复变函数与积分变换期末试题附有答案完整版

复变函数与积分变换期末试题附有答案

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复变函数与积分变换期末试题

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．231i -

2.)1(i Ln +-的主值是（

）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是

4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z

z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分）

1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；

（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；

（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.

2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C z z f ．

（A ） 23-z ； （B ）2

)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；

3．如果级数∑∞=1n n n

z c 在2=z 点收敛，则级数在

（A ）2-=z

点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．

４．下列结论正确的是( )

（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

（C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；

（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、

),(y x v 在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ ）．

(A) 的可去奇点；为z

1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞

(C) ;1sin 1

的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设)()(2

222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C z

z z

z e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数z

z e z f z

2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内

⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C z

z z z e z z

z e z z z e 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++33

42215

d )2()1(z z z z z 解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3

]),([Re 2d )2()1(3342215

∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分）

]1)1([Re 22z

z f s i π= ----（8分） ⎰==++∴33

42215

2d )2()1(z i z z z z π --------（10分） （4）函数23

3

2)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点， 如果有极点，请指出它的级.

解 ：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)

(sin )3()2)(1()(32

32k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z k k z πsin ,,,,,

（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±==

（3）的一级极点，为)(3z f z

= （4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z ±-=

（5）的非孤立奇点。为)(z f ∞

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

四、（本题14分）将函数)

1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-

解：（1）当110<-

'--='+-∑∞=n n n z z ∑∞

=-+--=021)1()1()(n n n z n z f -------6分

（2）当10<

)

1(1)1(1)(22z z z z z f --=-==∑∞=-021n n z z

∑∞=--=0

2n n z -------10分

（3）当∞<

∑∑∞=+∞

===03031)1(1)(n n n n z z z z f ------14分 每步可以酌情给分。

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：

解：对)(x y 的Laplace 变换记做)(s L ，依据Laplace 变换性质有

11)(4)1)((51)(2+=

+----s s L s sL s s L s …（5分） 整理得 )4(151)1(65)1(101 1

1)4(151)1(61)1(101 1

1)4)(1)(1(1)(-+-++=-+-+--+=-+--+=

s s s s s s s s s s s s L …（7分） x x x e e e x y 415

165101)(++=- …（10分） 六、（6分）求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：