高一数学知识点总结 免费下载

高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集
合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,
减法运算 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相 反向量仍然是零向量。 （1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。
数乘运算 实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa| ＝|λ||a|，当λ > 0 时，λa 的方向和 a 的方向相同，当λ < 0 时，λa 的方 向和 a 的方向相反，当λ = 0 时，λa = 0。 设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3） λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。
指数函数对称规律：
1、函数 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称
2、函数 y=a^x 与 y=-a^x 关于 x 轴对称
3、函数 y=a^x 与 y=-a^-x 关于坐标原点对称
&对数函数 y=loga^x
如果 a > 0 ，且 a ≠ 1， M > 0 ， N > 0 ，那么：
○1
E
A
A
loga (M · N ) = loga M ＋ loga N ；
○2
E
A
A
log a
M N
= loga M － loga N ；
○3
E
A
A
loga M n = n loga M
(n ∈ R) ．
注意：换底公式
log a
b
=
log c log c
b a
（ a > 0 ，且 a ≠ 1；c > 0 ，且 c ≠ 1；b > 0 ）．
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
⎧ ⎨
x
⎩
x
≠
kπ
+
π 2
,
k
∈
Ζ⎫⎬ ⎭
R
既无最大值也无最小 值
x = 2kπ − π 2
(k ∈ Ζ) 时， ymin = −1．
(k ∈ Ζ) 时， ymin = −1．
周
Baidu Nhomakorabea
2π
期
性
奇
奇函数
偶
性
2π 偶函数
π 奇函数
在
⎡⎢⎣2kπ
−
π 2
,
2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
在 [2kπ −π , 2kπ ](k ∈ Ζ)
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积 已知两个非零向量 a、b，那么|a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积或内积，记作 a?b，θ是 a 与 b 的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量 a 在 b 方向上（b 在 a 方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为 0。 a?b 的几何意义：数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大
括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn 图:
4、集合的分类：
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集
不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
( ) 4、已知α 是第几象限角，确定 α n ∈ Ν* 所在象限的方法：先把各象限均分 n 等 n 份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α 原来 是第几象限对应的标号即为 α 终边所落在的区域．
n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．
称 性
对
称
x = kπ + π (k ∈ Ζ)
2
轴
⎛ ⎜⎝
kπ
+
π 2
,
0
⎞ ⎟⎠
(k
∈
Ζ)
对称轴 x = kπ (k ∈ Ζ)
⎛ ⎜⎝
kπ 2
,
0
⎞ ⎟⎠
(
k
∈
Ζ)
无对称轴
必修四 角α 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限， 则称α 为第几象限角．
{ } 第一象限角的集合为 α k ⋅360o < α < k ⋅360o + 90o, k ∈ Ζ
sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα
大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A={ 我 校 的 篮 球 队
员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集
R
1）列举法：{a,b,c……}
幂函数 y=x^a(a 属于 R)
1、幂函数定义：一般地，形如 y = xα (a ∈ R) 的函数称为幂
函数，其中α 为常数． 2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点
（1，1）；
（2）α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞)
上是增函数．特别地，当α > 1时，幂函数的图象下凸；当 0 < α < 1时，幂函数的图象上凸； （3）α < 0 时，幂函数的图象在区间 (0,+∞) 上是减函数．在
公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
公式六： π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα
{ } 第二象限角的集合为 α k ⋅360o + 90o < k ⋅360o +180o, k ∈ Ζ
{ } 第三象限角的集合为 α k ⋅360o +180o < α < k ⋅360o + 270o, k ∈ Ζ
{ } 第四象限角的集合为 α k ⋅360o + 270o < α < k ⋅360o + 360o, k ∈ Ζ
U
U
2、函数零点的意义：函数 y = f (x) 的零点就是方程 f (x) = 0
实数根，亦即函数 y = f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。
即：方程 f (x) = 0 有实数根 ⇔ 函数 y = f (x) 的图象与 x 轴有
交点 ⇔ 函数 y = f (x) 有零点．
3、函数零点的求法：
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数 y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b 属于 Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b 属于 Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b 属于 Q)
单 调 性
(k ∈ Ζ) 上是增函数；在
⎡⎢⎣2kπ
+
π 2
,
2kπ
+
3π 2
⎤ ⎥⎦
上是增函数；在
[2kπ , 2kπ + π ]
(k ∈ Ζ) 上是减函数．
在
⎛ ⎜⎝
kπ
−
π 2
,
kπ
+
π 2
⎞ ⎟⎠
(k ∈ Ζ) 上是增函数．
(k ∈ Ζ) 上是减函数．
对 称 中 心对
称
中
心对 称 中 心
对 (kπ ,0)(k ∈ Ζ)
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα
○1A
E
A
（代数法）求方程
f (x) = 0 的实数根；
○2A
E
A
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函
数 y = f (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ．
（1）△＞０，方程 ax2 + bx + c = 0 有两不等实根，二次函 数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性 质 函 数 y = sin x
y = cos x
y = tan x
图 象
定
义
R
R
域
值 域
[−1,1]
[−1,1]
最
当 x = 2kπ + π (k ∈ Ζ)
2
当 x = 2kπ (k ∈ Ζ) 时，
值 时 ， ymax = 1 ； 当 ymax = 1；当 x = 2kπ + π
（2）△＝０，方程 ax2 + bx + c = 0 有两相等实根，二次函 数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二
阶零点．
（3）△＜０，方程 ax2 + bx + c = 0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次
函数无零点． 三、平面向量 向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0 的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 相等向量：长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB， 则以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的 平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a，有：0＋a＝a＋0＝a。 |a＋b|≤|a|＋|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： A ⊆ B 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与
B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作
A ⊆/ B 或 B ⊇/ A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且 5≤5，则 5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集 合相等”
第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限
地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 + ∞ 时，图象在 x 轴上方无限
地逼近 x 轴正半轴．
方程的根与函数的零点
1 、 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 y = f (x)(x ∈ D) ， 把 使
f (x) = 0 成立的实数 x 叫做函数 y = f (x)(x ∈ D) 的零点。
{ } 终边在 x 轴上的角的集合为 α α = k ⋅180o, k ∈ Ζ
{ } 终边在 y 轴上的角的集合为 α α = k ⋅180o + 90o, k ∈ Ζ
{ } 终边在坐标轴上的角的集合为 α α = k ⋅90o, k ∈ Ζ
{ } 3、与角α 终边相同的角的集合为 β β = k ⋅360o + α, k ∈ Ζ
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A⊆A ②真子集:如果 A⊆B,且 A≠ B 那就说集合 A 是集合 B 的真子
集，记作 A B(或 B A) ③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④ 如果 A⊆B 同时 B⊆A 那么 A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真 子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集