数论初步

一个题目 6
• 青蛙王子
http://202.197.224.59/exam/index.php/problem/read/id/1058
– 一只青蛙能跳两种长度a,b，问它能否跳到c处 – 例如a=4，b=6，c=2。它可以右跳6，再左跳4, 就到了2了。 – 问题转化为是否存在整数x,y使x*a+y*b=c; – 所以判断gcd(a,b)能不能整除c就行了。
– 把一个数质因数分解 – 像我上一页那个代码
最大公约数greatest common divisor
• 就是最大的(greatest)，公共的(common)，约数(divisor); • 假设a，b的最大公约数为g，既gcd(a,b)=g; • 把a，b，g质因数分解，
– – – – – a=p0a0 * p1a1 * p2a2 *……* pkak b=p0b0 * p1b1 * p2b2 *…… * pkbk 要是a没有pi这个质因子，则可以认为ai等于0 如果a能整除b，则a0<=b0,a1<=b1……ak<=bk gcd(a,b) = g = p0min(a0,b0) * p1min(a1,b1) * p2min(a2,b2) *…… * pkmin(ak,bk)
扩展欧几里德定理
• 代码：
void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y,int &g){//用引用来传递x,y,g值，a*x+b*y=g; if(b==0){ g=a;x=1;y=0; return; } ex_gcd(b,a%b,y,x,g);//b*y+(a%b)*x=g; y-=a/b*x; } int main(){ int a,b; scanf("%d %d",&a,&b); int x,y,g; ex_gcd(a,b,x,y,g); printf("x=%d,y=%d,g=%d\n",x,y,g); return 0; }
p -1 i 0 p i - 1
k
ei 1 i
一个题目 2
• 因子和
http://202.197.224.59/exam/index.php/problem/read/id/1172
• 求一个数的所有因数和 • 直接上公式就行了
质因数分解
const int N=100; int p[N],e[N]; int main(){ int n,i,j,k; scanf("%d",&n);//n>1 printf("%d = ",n); k=0; for(i=2;i*i<=n;i++){//i*i大于n的时候 就结束循环 if(n%i==0){//找到了一个n的约数， 一定是素数(为什么？) p[k]=i; e[k]=0; while(n%i==0){ n/=i;//n一直除以i，直到n没 有了i这个约数 e[k]++; } k++; } } if(n>1){//结束循环之后，要是n大 于1，则n是一个素数 p[k]=n; e[k]=1; k++; } for(i=0;i<k;i++){ printf("%d^%d",p[i],e[i]); if(i<k-1) printf(" * "); else printf("\n"); } return 0; }
– 1可以理解为0个素数的乘积(p0)；
• a = p0e0 * p1e1 * p2e2 * …… * pkek
– 其中p0<p1<p2<……<pk – 这种表示方法是唯一的。 – a的因子个数为(1+e0)*(1+e1)*……*(1+ek) – a的所有因子和为 (1+p0+p02+p03+……+p0e0)*(1+p1+p12+p13+…… +p1e1)*……*(1+pk+pk2+pk3+……+pkek)*
如何判断一个整数a(>1)是不是素数
• 若2~（a-1）有a的因子，则a不是素数。否则a是素数 int main() { int a,i; scanf("%d",&a); for(i=2;i<a;i++) if(a%i==0){ printf("a不是素数"); //找到了a的一个因子，判断完成了，跳出结束循环。 //此时，i<a; break; } //如果a不是素数，则结束循环的时候i<a; //若结束循环的时候i>=a,则说明a是素数。 if(i>=a) printf("a是素数"); //最坏的情况要循环a-2次，要是a很大，就很慢了。 return 0; }
一个题目 7
• hdu1212 Big Number
/showproblem.php?pid=1212
• 就是求a模b，只是a有很大很大最大有1000 位数，b比较小，b最大是100000 • 怎么解？
快速幂
• 求ab，是不是要把a乘b次呢？这样也行， 只是慢了点 • 例如求a8，先把a乘a一次，得到a2，然后把 a2和a2乘一次，得到a4，然后把a4和a4乘一 下就得到a8了 • 假如要求a10呢？10=8+2，a10=a8*a2 • 把10化为二进制， 10=1010(2),1010(2)=1000(2)+10(2)
快速幂
• 直接上代码 int q_pow(int a,int b){//求ab int ans=1;//ans初始化为1 while(b>0){ if(b&1) ans=ans*a;//如果b是奇数，则把ans乘以a a=a*a;//把a变成a2 b>>=1;//b右移一位，相当于b除以2 } return ans; }
更快的方法
• 若2~（a-1）有a的因子，假如是x。 – 则存在y*x=a; – y也是a的一个因子，且2 <= y <= a-1; – x和y必有一个小于等于根号a(sqrt(a)); • 所以，若a是合数，则在2~sqrt(a)中有a的因子。 int m=sqrt(a+0.5);//加0.5是为了避免浮点数误差 for(i=2;i<=m;i++) if(a%i==0){ printf("a不是素数"); break; } if(i>=a) printf("a是素数"); //最坏的情况要循环sqrt(a)-1次，a在1012以内都能很快的算出来
扩展欧几里德定理
• 假设存在整数x,y使a*x+b*y=gcd(a,b); • 若b等于0，可令x=1,y=0;
• a*x+b*y=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*x0+(a%b)*y0
• a%b=a-[a/b]*b;(r=a-k*b); • a*x+b*y=b*x0+(a-[a/b]*b)*y0 =b*x0+a*y0-[a/b]*b*y0 =a*y0+b*(x0-[a/b]*y0) • 既x=y0,y=x0-[a/b]*y0; • 令x'=y0,y'=x0,则x=x',y=y'-[a/b]*x'；
/showproblem.php?pid=1108
一些定理和推论
• gcd(a, b) 的性质： – 定理：如果a，b是不全为0的任意整数， 则gcd(a, b)是a与b的线性组合 {ax+by:x,y∈Z}中的最小正元素。 – 推论1：对于任意整数a，b，如果d|a并 且d|b，则d|gcd(a, b)。 – 推论2：对于所有整数a和b以及任意非负 整数n，gcd(an, bn)=n*gcd(a,b)。 – 推论3：对所有正整数n，a和b，如果 n|ab并且gcd(a, n)=1，则n|b。
筛法
• 一个合数可以表示为一个比他小素数的倍 数； • 从最小的素数开始，把这个素数的所有倍 数标记为合数； • 对于下一个没有被标记的数，也是素数， 把这个素数的所有倍数标记为合数；（一 直重复这一步） 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1 9,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32
筛法
const int N=1000;//判断出N以内的素数 int vis[N]={0}; int main(){ for(int i=2;i*i<N;i++)//从2开始 if(vis[i]==0)//如果没有被标记为1，则i是素数 for(int j=i*i;j<N;j+=i)//从i*i开始(为什么？)把i的倍数j全部标记为1 vis[j]=1; int n; scanf("%d",&n);//n要小于N if(vis[n]==0) printf("n是素数");
else printf("n不是素数");
return 0; }
一个题目 1
• 素数个数
http://202.197.224.59/exam/index.php/problem/read/id/1104
– 求a和b之间有多少个素数 – 判断每一个数是不是素数很慢的 – 用筛法就行了
质因数分解
• 任意一个正整数都可以表示为若干个素数 的乘积。
同余
• 设m≠0，若m∣a－b，即a－b＝km，则od m)
• a、b关于模m同余的充要条件是整数a和b 被同一正整数m除时，有相同的余数。