【离散数学】知识点及典型例题整理

【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。

【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。

【Abel群/交换群】·适合交换律。

可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。

【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。

单位子群{1}和G称为平凡子群。

【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。

a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。

若G的元数是一个质数，则G必是循环群。

n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。

共有ϕ（n）个。

【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。

H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。

任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。

求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。

G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。

（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。

1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。

2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。

3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。

证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。

故Ha=aH。

4G的任意多个子群的交集是G的子群。

并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。

5 H是G的子群。

N是G的正规子群。

命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，则HN是G的子群。

【同态映射】K是乘法系统，G到K的一个映射σ（ab）=σ（a）σ（b）。

设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：x→e，∀x∈G，其中e是K的单位元。

则σ是G到K 内的映射，且对a，b∈G，有σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。

即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。

σ（G）={e}是K的一个子群。

这个同态映射是任意两个群之间都有的。

【同构映射】K是乘法系统，σ是G到σ（G）上的1-1映射。

称G与σ（G）同构，G≅G′。

同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。

G和G′同态，则可以说G′是G的一个缩影。

【同态核】σ是G到G′上的同态映射，核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}。

N是G的一个正规子群。

对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。

Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。

设N是G的正规子群。

若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。

【环】R非空，有加、乘两种运算a+b=b+a2）a+（b+c）=（a+b）+c，3）R中有一个元素0，适合a+0=a，4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0，5）a（bc）=（ab）c，6）a（b+c）=ab+ac,（a+b）c=ac+bc。

交换环：乘法适合交换律ab=ba 。

含壹环：R不只有一个元素且有一个元素1适合1a =a1=a。

1不为零。

无零因子环：不含a，b∈R，a≠0，b≠0,但ab=0，a，b为零因子。

又叫消去环。

消去环：消去律成立。

不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。

整区：有壹无零因子的交换环。

体：如果去掉0，环R的其余元素作成一个乘法群。

体有壹而且无零因子，其中任意非零元素有逆。

域是交换体。

单纯环：R除自己和{0}外没有别的理想。

【子环】环R的非空子集S在R的加法和乘法下仍是环。

若a∈S，b∈S，则a-b∈S;若a∈S，b∈S，则ab∈S。

对于乘法群，其壹恒与子群的壹一致；但对于环，其壹却未必与子环的壹一致。

【理想】环R的子集N (理想子环)N非空；若a∈N，b∈N，则a-b∈N;若a∈N,х∈R,则aх∈N,хa∈N。

1理想一定是子环，但子环未必是理想。

2任意体R只有平凡理想。

3设R是有壹的交换环,a∈R,则aR={ar|r∈R}是R的理想，且包含a。

【主理想（a）】R是有壹的交换环，a∈R,则aR称为由a生成的。

(0)={0},(1)=R。

环R的主理想（a）是R中包含a的理想中最小的理想。

【合同】设R是环，N是理想。

a，b∈R，如果a-b=n∈N，或a=b+n，n∈N，则称a和b模N合同，记为a≡b（mod N）。

在环R中，对于模N，有：反身性：a≡a;对称性：若a≡b，则b≡a;传递性：若a≡b，b ≡c，则a≡c;加法同态性：若a≡b，c≡d，则a±c≡b±d。

乘法同态性：若a≡b，c≡d，则ac≡bd。

【环同态】R是环，S有加乘两种运算，R到S中的一个映射σ（a+b）=σ（a）+σ（b），σ（ab）=σ（a）σ（b）。

R到R′同态，记为R～R′。

【环同构】σ是环R到系统R′上的一个一对一的同态映射。

R与R′同构,记为R≅R′。

若σ是R到S中的一个同态映射,则R的映象R′=σ（R）也是一个环,σ（0）就是R′的零0′,σ(-a)=-σ（a）。

若R有壹而R′不只有一个元素,则R′有壹而且σ（1）就是R′的壹1′;若a∈R有逆,则σ（a）在R′中有逆而且σ(a-1)就是σ(a)-1。

【理想】同态映射σ的核N是R的一个~.设a′是R′的任意元素,则a′的逆映象σ-1(a′)={a ∈R∣σ(a)=a′}是N的一个剩余类。

1按照剩余类的加法和乘法，R对于理想N的所有剩余类的集合R∕N是一个环，2规定σ（a）= a+N，则σ是R到R∕N上的一个同态映射，其核为N。

R∕N叫做R对于N 的剩余环3设环R同态于R′：R～R′于是R与N之间的子环与R′的子环一一对应，大环对应大环，小环对应小环，理想对应理想。

【极大理想】N ⊂ R，而R与N之间没有别的理想。

极大理想不唯一若N ⊂ R，则N是R的极大理想必要而且只要R∕N是单纯环。

【域】任意有壹的交换的单纯环。

任意域F是有壹的交换的单纯环。

设R是有壹的交换环，N是R的理想。

于是，R∕N是一个域，必要而且只要N是一个极大理想。

任意域F的特征P是零或一质数。

【最小域/素域】没有真子域的域，特征P的最小域为R (p为0或质数)。

设p为质数或等于0，特征为p的任意域F包含Rp为其最小子域。

域F上х的多项式作成的环F[х]是一个【整区】。

【多项式】1以х-α除ƒ(х)所得的余式等于ƒ（α）。

2 х-α∣ƒ(х),当且仅当α是ƒ(х)的根。

3说α是非0多项式ƒ（х）的k重根，如果（х-α）k∣ƒ（х），（х-α）k+1不整除ƒ（х）。

4若α是非常数多项式ƒ（х）的k重根，则它至少是ƒ′（х）的k-1重根。

5α是ƒ（х）的重根，当且仅当它是ƒ（х）和ƒ′（х）的公共根。

6复数域上任意非常数多项式必有根。

7实数域上，质式只能是一次式或二次式。

二次式aх2+bx+c是质式，当且仅当判别式b2-4ac<0。

设ƒ（х）= a0хn + a1хn-1 … + an 是整系数多项式，若对质数p，p不整除a0，p∣a1，…，p∣an，p2不整除an，则ƒ（х）在有理域上【不可约】。

设ƒ（х）= a0хn + a1хn-1 + … + an 是整系数多项式。

若有理数b∕c是ƒ（х）的根，其中b和c是互质的整数，则b∣an，c∣a0。

【求有理根】1.分别找a0和an的所有因子ci,bj;2.找互质对（ci,bj ）；3.判断ci/bj是否为根；4.判断重根。

复数α称为一个代数数，如果α是某个有理系数非0多项式的根。

若α不是任何有理系数非0多项式的根，则α称为一个超越数。

复数域中恰有n个n次单位根。

它们在乘法下作成一个n元循环群Φ1（х）=х-1 Φ2（х）=х+1Φ3（х）=х2+ x + 1Φ4（х）= x2 + 1х12-1=Φ12Φ6Φ4Φ3Φ2Φ1，х6-1= Φ6Φ3Φ2Φ1相除得х6+1 = Φ12Φ4设n不是F的特征的倍数，并设Φn（х）在F中有根。

于是，F中恰有n个n次单位根，它们在乘法下作成一个n元循环群，其ϕ（n）个生成元素恰是Φn（х）的所有的根。

F中的q-1个非0元素恰是所有q-1次单位根，而F的所有q个元素是多项式хq-х的所有的根。

F的q-1个非0元素在乘法下作成一个q-1元循环群，其ϕ（q-1）个生成元素恰是Φq-1（х）的所有的根。

【有限域】的元数必为pn的形式，其中p为其特征。

如果同构的域看作是一样的，则对任意q=pn恰有一个q元有限域，【格】部份序集(L，≢），对于任意a，b∈L，L的子集{a，b}在L中都有一个最大下界（记为inf{a，b}）和一个最小上界(记为sup{a，b})。

一个序集是一个格，但是，不是所有部份序集都是。

设（L，≢）是格,S是L的子集,即S⊆L，如果（S，≢）是格，则称（S，≢）是格（L，≢）的【子格】。

设L是一个集合,×,⊕是L上两个二元代数运算，如果这两种运算对于L中元素满足：（1）交换律：a×b=b×a，a ⊕ b=b ⊕ a。

（2）结合律：a×（b×c）=（a×b）×c，a ⊕（b ⊕ c）=（a ⊕ b）⊕c。

（3）吸收律：a×(a ⊕ b)=a,a ⊕(a×b)=a。

则称此代数系统（L,×,⊕）为一个【格】。

集合L中的【部份序关系】R与其逆关系R-1,称为互相对偶的两个关系。

对任意x，y∈L，xR-1y⇔yRx。

若R是部分序关系，则R-1也是。

【格同态】（L，×，⊕）和（S，∧，∨）是个格，L到S的映射g对任意a，b∈L，有g （a×b）= g（a）∧g（b）g（a⊕b）= g（a）∨g（b）若g是L到S上的同态映射，且是一对一的，则称g是格【同构映射】。

【有界格】格（L，≢）有一个最大元素(记为1)和一个最小元素(记为0)，亦即，对任意a ∈L，都有0≢a≢1，0，1称为格（L，≢）的界。

在有界格(L,×,⊕,0,1)中，一个元素b∈L,称为元素a∈L的【余元素】,如果a×b = 0，a ⊕ b = 1。

在有界格（L,×,⊕,0,1）中，任意元素a可以有余元素，也可以没有余元素；如果有余元素，则可以有一个或一个以上的余元素。