北师大版初中数学八年级上册第七章 三角形内角和定理的证明复习、回顾与思考三角形内角和定理的证明 教案

三角形内角和定理的证明

教学目标：

(一)过程与方法目标：

1、掌握三角形内角和定理的证明和简单的应用，初步学会作辅助线的证明基本方法，培养学生观察、猜想和推理论证能力。

2、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

3、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。

4、引导学生应用变化的观点认识数学。

（二）情感、态度、价值观目标：

通过一题多证、一题多变、激发学生勇于探索合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。

教学重难点：

教学重点：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明,体会数形结合思想。

教学难点：应用运动的观点变化认识数学，辅助线添加的必要性和具体方法，从拼图过程中发现并正确引导引入辅助线是本节课的关键。教学方法：引导发现法、尝试探究法。

引入本节课内容

三角形的内角和定理是从数量关系上来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，是计算角的度数的方法之一，三角形内角和定理的内容，学生在小学阶段、七年级通过拼、

折、画等方法观察、实验得出了三角形的内角和等于180度，进入八年级学生可以通过添加辅助线来解决数学问题，用辅助线将三角形的三个角巧妙的转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，两个直角，为定理的证明提供了线索。我们先观察如下的实验：

当点Ａ在移动时，啊

∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ

的大小会发生怎样的变化？

用橡皮筋构成△ABC，其中以顶点B、C为定点，点A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……

［结论］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角∠B和∠C 越来越接近于0°

当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC也逐渐趋向平行，这时,∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°. 通过观察实验：请同学们思考一下，三角形的内角和可能是多少度呢？取一张三角形纸片，把它的三个角剪开，拼在一起，看看得到什么？

通过拼接我们可以得到启示，你有哪些证明三角形内角和定理的证明方法呢？用量角器测一下，通过动手操作，将分散的三个角搬到一起，从而构成一个平角和补角，从而得到三角形的内角和等于180度。接下来我们一起来通过严谨的数学推理来证明这一结论。请同学们通过自己的语言说说这一结论的证明，并与同桌一起交流一下。 证法一：

证明：延长BC,过点C 作CE ∥AB

则∠ACE=∠A

∠DCE=∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚ ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180∴∠BCA+∠A+∠B=180°﹙等量代换﹚

在证明的过程中，添加了辅助线，个角，巧妙地拼凑到一起来了。为了证明的需要，在原来的图形上添画的虚线叫辅助线。

A

B

C

图1

通过推理，证明了命题是真命题，这时称它为定理。即：三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800

通过组织学生小组讨论，教师参与感到困难的小组中一起启发和引导，看看哪个组最先找到解决办法，找到的方法最多。 给学生充分展示的机会，尽量发现更多的添加辅助线的方法。 证法二：

已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点A 作PQ ∥BC ，则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等) ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠3= 180°(平角的定义)

∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换). 证法三：

已知：如图，△ABC.

求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：过点

P 作PQ ∥AC 交AB 于Q 点，

作PR ∥AB 交AC 于R 点。 ∴四边形AQPR 是平行四边形 （平行四边形的定义） ∴ ∠QPR=∠A

（平行四边形的对角相等）

∠RPC=∠B （两直线平行，同位角相等） ∠QPB=∠

C （两直线平行，同位角相等）

∵∠QPB+∠QPR+∠RPC=180°（1平角=180°） ∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换） 证法四：

已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过A 作AE ∥BC ， ∴∠B=∠BAE

(两直线平行,内错角相等) （∠EAB+∠BAC ）+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) 证法五：

证明:过△ABC 的两个锐角作BC 的垂线BD 和CE,过点A 作BD 的平行线AF.可得BD ∥AF ∥CE. ∴∠BAF=∠ABD ∠ECA=∠FAC

(两条直线平行,内错角相等.) ∴ △ABC 的三个内角

∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+ ∠BAF+ ∠FAC=

A

B

C

E A

B

C

D

E

F

=∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°

在证明三角形内角和定理时，可以把三角形的三个角凑到三角形的某个定点处，凑到一条边上，凑到三角形内一点，凑到三角形外一点。我们利用逆向思维的方法把问题转化为一个平角，同旁内角互补，两个直角的和，这种转化思想是数学中常用的思想方法，希望通过今天的研究能给你们提出一个方向，让我们探索出更多证明三角形内角和定理的方法。

小结：

1、添加辅助线思路：（1）构造平角（2）构造同旁内角（3）构造两个直角

2、通过本节课的学习，你有哪些收获？ 作业：1、学案作业。

2、自己通过本节课的学习，尝试更多的证明三角形全等的方法，并将方法写在作业本上。

C

T

R