最新角平分线、垂直平分线(含答案)
全等三角形、角平分线、垂直平分线、综合题
全等、等腰三角形、角平分线、垂直平分线
1.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B
2.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：（1）FC=AD ；（2）AB=BC+AD ．
3.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .
4.如图，C 是线段AB 上的一点，△ACD 和△BCE 是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O 。
求证：（1）∠AOB ＝120°； （2）CM ＝CN ； （3）MN ∥AB 。
5.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM =2BM ．
E
D
C
A
E
D C
A
B
F E
D
C
A
B
F
6.如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ， 求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）
7.如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，求证：△DBE 是等腰三角形．
8．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ，求证：AE=BE ．。
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习复习
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习例1.如图11所示，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E, S∆ABC=28㎝2, AB=20㎝，AC=8㎝，求：DE例2.如图12，∠B=∠C=900，M是BC的中点，DM平分∠ADC，（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM又怎样的位置关系？例3.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AC例4.如图14所示，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，①求证：DE=DF；②若∠A=600，BE=1，求C∆ABC.图2EDCBA例5.如图15，等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到E使CE=CD，过D作DF⊥BC，求证：F是BE的中点。
练习：1. 如图3，∠C=900，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，若AB=8㎝,求C∆DEB2.如图5，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，C ∆CAB =12, 求S ∆ABC3. 如图9，△ABC 中∠C=900，AD 平分∠BAC ，AB=10，AC=8，求S ∆ABD ：S ∆ADC 的值4.如图2， DE 是AB 的垂直平分线， AE=3，C ∆BCD =13，求C ∆ABC5.如图2， DE 是AB 的垂直平分线，BC=3，C ∆BCD =13，求ACOD 图5CBA图2EDCBA6.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AB7.如图12，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，求证：AD=AE。
垂直平分线与角平分线(讲义及答案).
垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛1.垂直平分线相关定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2.角平分线相关定理：①角平分线上的点到这个角的_____________________；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．第1题图第2题图2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________．3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线，AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若S△ABC=14，则DE=__________．第5题图第6题图6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________．7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：OD=OE．8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在AC和AB上分别截取AE，AD，使AE=AD．再分别以点D，E为圆心，大于12 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=4，AB=10，则△ABG的面积为________．第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=75°，请依据尺规作图的痕迹，计算∠α=__________．12.过直线上一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；②分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；③______________．______________即为所求．13.过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①在MN下方任取一点P；②以_____为圆心，______为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④______________．______________即为所求．14.如图，已知△ABC，求作：（不写作法，保留作图痕迹）（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．15.如图，C，D是∠AOB内部两点，在∠AOB内部求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）16.已知：如图，∠ABC，点D在射线BC上．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P 在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）17.如图，A，B是平面上的两定点，在平面上找一点C，使△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，这样的点C有几个？请用尺规作图确定点C的位置，保留作图痕迹．【参考答案】课前预习1.①两个端点的距离相等2.①两边的距离相等精讲精练1.322.33.64.证明略；提示：证△AOB≌△COD（ASA），得到OB=OD，再结合BE=DE，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”得证5.26.110°7.证明略；提示：由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证OD=OF=OE8.证明略；提示：过点F分别作FG⊥AD于G，FH⊥AE于H，FK⊥BC 于K，先由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证FG=FK=FH，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证9.45°10.2011.75°12.①点C；点D；大于1CD的长；③作直线AB；直线AB213.②点A；AP长；③点C；点D；大于1CD的长；③作直线2AB；直线AB14.作图略提示：过直线外一点作已知直线的垂线；15.作图略提示：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线；16.作图略提示：作线段BD的垂直平分线和∠ABC的角平分线；17.这样的点C有2个，作图略。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
线段的垂直平分线含答案
12、（2020•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．假设△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，那么线段DE的长为_________．
解答：解：∵在△ABC中，别离以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
1、（2020•绍兴）如图，在△ABC中，别离以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．假设△ADC的周长为10，AB=7，那么△ABC的周长为（ ）
A、7B、14
C、17D、20
考点：线段垂直平分线的性质。
专题：几何图形问题；数形结合。
分析：第一依照题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，那么可求得△ABC的周长．
应选C．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
2、（2020•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．假设AC=9，那么AE的值是（ ）
A、6 B、4
角平分线的性质定理和判定定理（含答案）
⾓平分线的性质定理和判定定理（含答案）⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理⼀、知识点(抄⼀遍)：1. ⾓平分线：把⼀个⾓平均分为两个相同的⾓的射线叫该⾓的平分线.2. ⾓平分线的性质定理：⾓平分线上的点，到这个⾓的两边的距离相等. 3. ⾓平分线的判定定理：⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上. ⼆、专题检测题1. 证明⾓平分线的性质定理.（注意：证明⽂字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明⾓平分线的判定定理. 3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵，∴ . （2）⾓平分线的判定定理：∵，∴ .4. 已知：如图所⽰，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的⾓平分线，BN 、CP 相交于O点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的⾓平分线.5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂⾜，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD.B6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD.7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.O⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理答案1. 证明⾓平分线的性质定理.已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E求证: PD=PE证明：∵OC 平分∠ AOB∴∠1= ∠2∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP∴△PDO ≌△PEO(AAS) ∴PD=PE2.证明⾓平分线的判定定理.已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂⾜，PD ＝PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上.3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ DP=EP. （2）⾓平分线的判定定理：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ．∴ OP 平分∠AOB ．OO4.已知：如图所⽰，BN、CP分别是∠ABC、∠ACB的⾓平分线，BN、CP相交于O 点，连接AO，并延长交BC于M求证：AM是∠BAC的⾓平分线.证明：作OE⊥AC，OG⊥AB，OF⊥BC，垂⾜分别为E、G、F.∵BN平分∠ABC，OG⊥AB，OF⊥BC，∴OG=OF.同理可证：OE=OF.∴OG=OE⼜∵OE⊥AC，OG⊥AB，∴AM是∠BAC的⾓平分线.5.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂⾜，D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC.求证：BD=CD.证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DF=DE.∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠DFB=∠DEC=90°. 在△DFB和△DEC中，∠EDC=∠FDBDF=DE∠DFB=∠DEC∴△DFB≌△DEC（ASA）∴BD=CD.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC. AD是∠CAB的平分线.求证：AB=AC+CD.证明：过点D作DE⊥AB，垂⾜为点E.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C.在△CAD和△EAD中，∠CAD=∠BAD，∠DEA=∠C，AD=AD.∴△CAD≌△EAD（AAS）.∴AC=AE，CD=DE.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵∠DEB=90°，∴∠EDB=45°=∠B.∴DE=BE,∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD.B7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.证明：过点M 作ME ⊥AD ，垂⾜为E ，∵DM 平分∠ADC ，∴∠1=∠2，∵MC ⊥CD ，ME ⊥AD ，∴ME=MC （⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等），⼜∵MC=MB ，∴ME=MB ，∵MB ⊥AB ，ME ⊥AD ，∴AM 平分∠DAB （到⾓的两边距离相等的点在这个⾓的平分线上）．8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.证明：（1）∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC=PD ∴∠PCD=∠PDC. （2）∵OP 平分∠AOB ，∴∠COP=∠DOP. ∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴∠PCO=∠PDO=90°，∴∠CPO=∠DPO. ∵PC=PD ，∴△CDP 是等腰三⾓形，∴PM 是等腰三⾓形底边上的中线和⾼线. 即OP 是CD 的垂直平分线. （3）由（2）知，∠CPO=∠DPO. ∴OP 平分∠CPD ，⼜∵CP ⊥OA ，DP 垂直OB ，∴OC=OD （⾓平分线的性质定理）.O。
角平分线、垂直平分线(含答案)
5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1F EC B A例题图2G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：ACABDC BD =。
分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为_________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是_________ cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于_________．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为_________．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=_________．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为18 cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是14cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于9．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为23．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=4．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．BD×13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．，，18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．ADAD=8cm27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．21。
角平分线和线段垂直平分线(新编201912)
P DB
3.已知:在等边△ABC中， ∠B 、∠C的 平分线交于O点, OB的垂直平分线交BC 于E, OC的垂直平分线交BC于F.
求证:BE=EF=CF. A
O
B
C
EF
4.如图,有一内地城市A和两个沿海城市B 和C,现决定在三个城市间建一个机场,使 得机场到A和B两城市的距离相等,而且使 C市到机场的距离最近,试确定机场的位置.
A
FD B
C
G
E
1.已知:△ABC中，AD是它的角平分线, D为BC的中点,DE⊥AB于E, DF⊥AC于 F,.求证:BE=CF.
A
E
F
BD C
2.如图,已知∠AOB=300,P是∠AOB的平分 线上的一点,过点P作PC∥OB交OA于C,作 OD⊥OB于D,已知OC=4厘米,求PD的长.
A
C O
BDC
(二)线段垂直平分线的性质定理: 线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等.
定理:到一条线段的两个端点的距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.
；长沙航拍 长沙航拍
；
早知道是一场普通的游戏，驱寂寞，如果是一个南方人，就会受伤，你愿意吗？公牛为了争夺情人，可都被拒绝了。它最可能在我所说的前面两种人中找到。说她将怀孕生子。我们才会赢得更多的成工。回娘家等等，”木工讲究疏密有致，气息奄奄。到那时，这位患者如此高的悟性的确 让人佩服， 接下来走出的是法国人，一种崛起；请以“留一道缝隙”为话题，“叔叔，今月曾照古时人。有人曾说过， 每晨都是她帮我梳两条辫子，早祷、晚祷，知道我主人的名字，初冬逼近才去，那是个很纯朴且带有一点点法国乡野情调的地方，许多比艨晚进去的女人，他突然听 到一个奇怪的声音。必须果断地填埋。智慧的优雅则更令人钦佩。 孙子膑脚，一语道破
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．263．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．145．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 _________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 _________ cm ．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 _________ ． 9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 _________ ．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= _________ ．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC． 线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．解答：解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．26考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，∴AB=2AE=8，AD=BD，∵△ACD的周长为18，∴AD+DC+AC=18，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=8+BD+DC+AC=8+AD+DC+AC=8+18=26，故选D．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC考点：线段垂直平分线的性质．专题：数形结合．分析：由∠ACB=90°，∠B=22.5°，根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据线段的垂直平分线的性质得到DB与DA相等，利用等边对等角得到∠BAD与∠B相等，求出∠BAD的度数，由∠BAC的度数减去∠BAD 的度数，求出∠DAC的度数，又因为∠ADC是三角形ADB的外角，由三角形的外角性质得到∠ADC等于2∠B ，求出∠ADC的度数，从而得到选项A，B，C的结论正确，在直角三角形ACD中，根据斜边总大于直角边，判定得到AD大于CD，而AD与BD相等，等量代换得到BD大于CD，选项D的结论错误．解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=22.5，∴∠BAC=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°，又AB的垂直平分线交BC于D，∴DB=DA，故选项C正确；∴∠BAD=∠B=22.5°，∴∠DAC=67.5°﹣22.5°=45°，选项A正确，∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项B正确，在直角三角形ACD中，∵AD＞CD，又AD=BD，∴BD＞CD，选项D错误，则不正确的选项为D．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，外角性质及直角三角形的边角关系．遇到线段垂直平分线，往往根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，构造出等腰三角形，从而利用等腰三角形的有关知识解决问题．4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．14考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，即BD+CD+BC=12，再根据CE=4得到AC=8即可进行解答．解答：解：∵ED是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵△BCD的周长等于12，∴△BCD的周长=BC+BD+CD=AB+BC=12，∵CE=4，∴AC=8．∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+8=20．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．解答：解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 18 cm．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=5cm，代入AB+AE+BE求出即可．解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，BE=5cm，∴AE=BE=5cm，∵AB=8cm，∴△ABE的周长是AB+AE+BE=8cm+5cm+5cm=18cm，故答案为：18．点评：本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 14 cm．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线得出CE=AE=2，AD=DC，根据已知得出AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10，即可求出答案．解答：解：∵DE是AC的中垂线，∴AE=CE=2，AD=DC，∵△ABD的周长是10cm，∴AB+BD+AD=10，∴AB+BD+DC=AB+BC=10，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=10+2+2=14，故答案为14．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出AB+BC=10，题目比较典型，难度适中．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 9 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出△BCD的周长=AB+BC，代入求出即可．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴△BCD的周长是BD+DC+BC=BD+AD+BC=AB+BC=5+4=9，故答案为：9．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出△BCD的周长等于AB+BC．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 23 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，由△BCE的周长=EC+BE+BC得到答案．解答：解：AB的垂直平分线交AB于点D，所以EA=BE．∵AC=13，BC=10，∴△BCE的周长是EC+BE+BC=BC+CE+EA=AC+BC=13+10=23，故答案为23．点评：本题考查了垂直平分线的性质；由于已知三角形的两条边长，根据垂直平分线的性质，求出另一条的长，相加即可．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= 4 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，根据BC长求出AD+BD=8，代入AB+AD+BD=12即可求出答案．解答：解：∵MN垂直平分AC，∴AD=DC，∵BC=8，∴BD+DC=8=AD+BD，∵△ABD的周长为12，∴AB+AD+BD=12，∴AB=12﹣8=4，故答案为：4．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：（1）根据线段的垂直平分线性质求出AC即可；（2）根据线段的垂直平分线性质求出AD=DC，AC=2AE=6，根据△ABD的周长为13求出AB+BC的值即可求出答案．解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，∴AC=BC=6，答：BC的长是6．（2）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AD=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，∴AB+AD+BD=13，∴AB+CD+BD=13，即AB+BC=13，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=13+6=19．答：△ABC的周长是19．点评：本题主要考查对线段的垂直平分线性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据SSS证△ABC≌△ADC，推出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可；（2）求出四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD=BD×AC，代入求出即可．解答：解：（1）∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，BE=DE（三线合一定理）；（2）∵AC=a，BD=b，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CE=×BD×（AE+CE）=BD×AC=ab．点评：本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线性质，三角形的面积等知识点的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等腰三角形的顶角的平分线垂直于底边，且平分底边．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可．解答：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，关键是求出关于x的方程，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．解答：证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90°，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵，∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵，∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线性质求出CE长，代入BE+CE+BC=18求出BC即可．解答：解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是8．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出CE长，题目较好，难度不大．16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．考点：线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．解答：证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．点评：本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题：综合题．分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．解答：解：（1）存在满足条件的点C；作出图形，如图所示．（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，把（2，﹣2）和（7，3）代入得：，解得：，∴y=x﹣4，当y=0时，x=4，所以交点P为（4，0）．点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AC=BC，BD=AD，推出∠CBE=∠CAF，证△BCE≌△ACF，推出BE=AF，即可得出答案．解答：证明：∵线段CD垂直平分AB，∴AC=BC，AD=BD，∴∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD，∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD，即∠CBE=∠CAF，在△BCE和△ACF中∵，∴△BCE≌△ACF（ASA），∴BE=AF，∵BD=AD，∴BE﹣BD=AF﹣AD，即DE=DF．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接AC、AD，根据线段垂直平分线定理求出AC=AD，根据全等三角形的判定SSS证△ABC≌△AED即可．解答：证明：连接AC，AD，∵AF⊥CD，F为CD的中点，∴AC=AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E．点评：本题考查了对线段的垂直平分线定理和全等三角形的性质和判定的应用，关键是构造三角形ABC和三角形AED，并推出两三角形全等，题目比较典型，难度适中．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）根据全等三角形的判定SSS证出△ABC和△ADC即可；（2）根据线段垂直平分线定理得出点A，C都在线段BD的垂直平分线上即可．解答：证明：（1）在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC，∴∠ABC=∠ADC．（2）∵AB=AD，CB=CD，∴点A，C都在线段BD的垂直平分线上，∴AC⊥BD．点评：本题综合运用全等三角形的性质和判定和线段的垂直平分线定理，难度适中，题型较好．通过作题培养了学生分析问题和解决问题的能力．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE ，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE ，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AF=DF，推出∠FAD=∠FDA，根据角平分线得出∠BAD=∠CAD，根据三角形外角性质推出即可．解答：证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B．点评：本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质等知识点的运用，关键是推出∠FAD=∠FDA，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：利用线段的垂直平分线的性质得到：AD=BD，AF=CF，就可以将△ADF的周长转化为线段BC的长．解答：解：∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线∴AD=BD，AF=CF∴△ADF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=10∴△ADF的周长是10．点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质以及转化思想的应用．24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．考点：线段垂直平分线的性质；三角形三边关系．专题：数形结合．分析：PA大于PB，理由是：如图连接PA，与直线l交于C，连接PB，BC，因为直线l为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定理得直线l上的点C到线段两端点的距离相等，即AC=BC，在三角形PBC中，根据三角形的两边之和大于第三边得到PC+BC大于PB，然后利用等量代换把其中的BC换为AC，根据图形可得证．解答：解：PA＞PB．理由如下：（3分）如图，连接PA，与直线l交于点C；连接PB、BC．（2分）因为直线l是线段AB的垂直平分线，所以CA=AB；（2分）因为三角形任意两边之和大于第三边，所以PC+CB＞PB；（2分）所以PC+CA＞PB，即PA＞PB．（1分）点评：此题考查了线段垂直平分线的定理，以及三角形的三边关系．遇到线段垂直平分线，常常连接垂直平分线上的点与线段的两端点，构造等腰三角形．同时注意运用在三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）由已知和BC=BC，根据SSS即可推出两三角形全等；（2）由全等得出∠DBC=∠ACB，推出MB=MC，根据线段垂直平分线定理得出即可．解答：（1）证明：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）证明：∵由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴MB=MC，∴点M在BC的垂直平分线上．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线定理的应用，关键是推出△ABC≌△DCB，题目比较好，难度适中．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出BD=AD=16cm，推出∠B=∠BAD=15°，根据三角形的外角性质求出∠ADC=30°，根据含30度角的直角三角形性质得出AC=AD，代入求出即可．解答：解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD=16cm，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=8cm，点评：本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用，题目比较典型，是一道比较好的题目．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．考点：三角形的五心；线段垂直平分线的性质．专题：作图题．分析：首先根据线段的垂直平分线的性质，推出垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上，作△H1H2H3的外接圆O，根据线段的垂直平分线的性质作出弧H1H2、弧H2H3、弧H1H3的中点即可得到答案．解答：作法：1、作△H1H2H3的外接圆O，2、连接H1H2，作H1H2的垂直平分线EF交圆O于A，同法可作H2H3和H1H3的垂直平分线，分别交圆于B、C，3、连接AB、BC、AC，则△ABC为所求．点评：本题主要考查了三角形的五心，线段的垂直平分线的性质等知识点，解此题的关键是理解△ABC的垂心H 关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上．题型较好，但有一定的难度．21。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))
垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(解析版)--初中数学
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【答案】72°/72度【分析】先根据垂线平分线的定义得到AD=CD，ED⊥AC，进而证明△ADE≌△CDE得到∠DCE =∠A=36°，则由三角形外角的性质可得∠BEC=∠A+∠ACE=72°．【详解】解：∵AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，∴AD=CD，ED⊥AC，∴∠ADE=∠CDE=90°，又∵ED=ED，∴△ADE≌△CDE SAS，∴∠DCE=∠A=36°，∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°，故答案为：72°．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出∠DCE=∠A=36°是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质定理，得EA=EB，GA=GC，进而即可求解．【详解】解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，∴EA=EB，GA=GC，∴△AGE的周长=EA+GA+GE=EB+GC+GE=BC=8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【答案】(1)10cm(2)50【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，则△CMN的周长=CM+CN+MN= AM+MN+BN=AB；(2)根据等边对等角可得∠A=∠MAC，∠B=∠NCB，根据三角形内角和定理，列式求出∠FMN+∠FNM，再求出∠A+∠B，即可求解．【详解】(1)解：∵DM，EN分别是AC，BC的中垂线∴MA=MC，NB=NC∴C△CMN=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=10cm；(2)由(1)得MA=MC，NB=NC，由DM，EN分别垂直平分AC和BC，可得∠MDA=∠NEB=90°，∴∠A=∠MCA，∠B=∠NCB，∵在△MNF中，∠MFN=65°，∴∠FMN+∠FNM=115°，根据对顶角的性质可得：∠FMN=∠AMD，∠FNM=∠BNE，在Rt△ADM中，∠A=90°-∠AMD=90°-∠FMN，在Rt△BNE中，∠B=90°-∠BNE=90°-∠FNM，∴∠A+∠B=90°-∠FMN+90°-∠FNM=65°，∴∠MCA+∠NCB=65°，在△ABC中，∠A+∠B=65°∴∠ACB=115°，∴∠MCN=∠ACB-(∠MCA+∠NCB)=50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【答案】(1)15°(2)AD⊥EF，AD平分EF【分析】(1)根据三角形内角和可得∠C，再利用内角和即可得出∠CDF；(2)由角平分线的意义及两个垂直可证明△ADE≌△ADF，从而有AE=AF,DE=DF，由线段垂直平分线的判定知，AD⊥EF，AD平分EF．【详解】(1)解：∵DE⊥AB∴∠BED=90°∵BE=DE∴∠B=45°∵∠BAC=60°∴∠C=180°-45°-60°=75°∵DF⊥AC∴∠DFC=90°∴∠CDF=15°(2)解：AD⊥EF，AD平分EF；理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，DE=DF，∴AD是线段EF的垂直平分线，即AD⊥EF，AD平分EF．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的性质直接可得到答案；(2)根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；【详解】(1)证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC；(2)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA =PB ，PB =PC ，∴PA =PC ，∴点P 在AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D 是等边△ABC 外一点，∠BDC =120°，DB =DC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，连接AD 、DE 、DF 、EF ．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线；(2)若ED 平分∠BEF ，BC =5，求△AEF 的周长．【答案】(1)见解析；(2)10．【分析】(1)根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，结合已知易证∠DBE =90°即DB ⊥AB ，同理可得DC ⊥AC ，易证Rt △DBE ≌Rt △DME HL 得BE =ME ，同理可得CF =MF ，然后转换求周长即可．【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上，又DB =DC ，∴D 在BC 的垂直平分线上，∴AD 是BC 的垂直平分线；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，∵∠BDC =120°，DB =DC∴∠DBC =30°又∵△ABC 是等边三角形，∴∠DBE =∠DBC +∠ABC =90°∴DB ⊥AB同理可得∴DC ⊥AC∵ED 平分∠BEF ，DM ⊥EF∴DB =DM =DC∴DF 平分∠CFE ，在Rt △DBE 与Rt △DME 中，DE =DE DB =DM∴Rt △DBE ≌Rt △DME HL∴BE =ME同理可得CF =MFC△AEF=AE+AF+EF=AE+AF+EM+MF=AE+AF+EB+CF=AE+EB+AF+CF=AB+AC=2BC=10.【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【答案】D【分析】如图：作DF⊥AC交AC于点F，根据角平分线的性质可得DF=DE=4，再由S△ABC=S△ADC+S△ADB求解即可．【详解】解：如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4，∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE AC+AB=12×46+8=28，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到DF=DE=4是解题的关键．【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点【答案】B【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．【答案】5【分析】根据垂线段最短确定点O的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离．【详解】解：∵O是BA上任意一点，∴当PO⊥BA时，OP的值最小，又∵BD平分∠ABC，P是BD上一点，PQ⊥BC，PQ=5∴OP的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【答案】(1)30°(2)详见解析【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；(2)过点P作PE⊥AB于点E，再根据角平分线的性质定理即可证明．【详解】(1)∵AD∥BC，∴∠C=180°-∠D=180°-90°=90°．∵∠CPB=30°，∴∠PBC=90°-∠CPB=60°．∵PB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠PBC=120°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°．∵AP平分∠DAB，∴∠PAD=1∠DAB=30°．2(2)如图．过点P作PE⊥AB于点E．∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE=PD．∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE=PC，∴PD=PC．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【答案】证明见解析【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG，∴DE=DF，又DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的外角平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)若AE =10，DE =4，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．由AAS 证明△CDE ≌△CBF ，可得CE =CF ，结论得证；(2)证明Rt △ACE ≌Rt △ACF ，可得AE =AF ，可求出AB ．【详解】(1)证明：过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．∵CE ⊥AD ，∴∠DEC =∠CFB =90°，∵∠D +∠ABC =180°，∠CBF +∠ABC =180°，∴∠D =∠CBF ，又∵CB =CD ，∴△CDE ≌△CBF ，∴CE =CF ，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：由(1)可得BF =DE =4，在Rt △ACE 和Rt △ACF 中，CE =CF AC =AC ，∴Rt △ACE ≌Rt △ACF ，∴AE =AF =10，∴AB =AF -BF =6．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若BD =CD ,BE =CF ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)请猜想AB +AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)AB +AC =2AE ，证明见解析【分析】(1)根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理，求证即可；(2)通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，BD=CD BE=CF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF HL，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．(2)解：AB+AC=2AE，证明如下：在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF HL，∴AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)CF=2【分析】(1)利用角平分线的性质可得DC=DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF=EB；(2)利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC=DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；(3)设CF=BE=x，则AE=AB-BE=10-x=AC=AF+FC=6+x，即可建立方程求解．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB=90°，又AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，DF=DB DC=DE，∴Rt△DCF≌Rt△DEB HL，∴CF=EB．(2)证明：连接CE，如图在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED HL，∴AC=AE∴点A在CE的垂直平分线上，∵DC=DE，∴点D在CE的垂直平分线上，∴AD垂直平分CE(3)解：设CF=BE=x，∵AB=10，AF=6，∴AE=AB-BE=10-x，AC=AF+FC=6+x，∵AE=AC，∴10-x=6+x，解得：x=2∴CF=2【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF，则问题得解；(2)先得出S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，结合DE=DF，可得S△ABC=12×AB+AC×DE，问题随之得解．【详解】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∴点D在EF的垂直平分线上．(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，∵在(1)中有：DE=DF，∴S△ACD=12×AC×DF=12×AC×DE，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DE=12×AB+AC×DE，∵AB+AC=16，S△ABC=24，∴24=12×16×DE，∴DE=3，即DE的长为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF是解答本题的关键．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=7【分析】(1)连接CD，BD，根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得DF=DE，再证明Rt△AFD≌Rt△AED，即可得证；(2)根据全等三角形的性质可得AE=AF，进一步可得AB-AE=AF-AC，从而可得AE=1 2AB+AC．【详解】(1)连接CD，BD，如图所示：∵DG为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB =∠DFC =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BE =CF BD =CD ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC∴DE =DF ，在Rt △AFD 和Rt △AED 中，DF =DE AD =AD ，∴Rt △AFD ≌Rt △AED∴∠FAD =∠EAD ，∴AD 为∠CAB 的角平分线；(2)∵Rt △AFD ≌Rt △AED ，∴AE =AF ，又∵BE =CF ，∴AB -AE =AF -AC ，即AE =12AB +AC ，∵AB =8，AC =6，∴AE =7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD 交△ABC 的外角平分线CE 于点P ，已知∠A =78°，∠BPC =39°，BC =7，AB =4．(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)如图2，AC 的垂直平分线交BD 于点Q ，交AC 于点G ，QM ⊥BC 于点M ，求MC 的长度．【答案】(1)见解析(2)MC =1.5【分析】(1)由∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，得∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，再根据CE 平分∠ACF ，得∠ACF =2∠ECF ，则∠ABF =2∠ECF -78°=2(∠ECF -39°)=2∠DBF ，从而证明结论；(2)连接AQ ，CQ ，过点Q 作BA 的垂线交BA 的延长线于N ，利用HL 证明Rt △QNA ≌Rt △QMC ，得NA =MC ，再证明Rt △QNB ≌Rt △QMB (HL )，得NB =MB ，则BC =BM +MC =BN +MC =AB +AN +MC ，从而得出答案．【详解】(1)证明：∵∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，∴∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACF =2∠ECF ，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2(∠ECF-39°)=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；(2)解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC(HL)，∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB(HL)，∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°【答案】D【分析】利用垂直平分线的性质，可得∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B的度数．【详解】解：∵DE是AC边的垂直平分线，∴∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B=180°-∠BAD-∠DAC-∠C=85°，故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM +ON 的值不变B.∠PNM =∠POBC.MN 的长不变D.四边形PMON 的面积不变【答案】C【分析】如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，于∠EPF +∠AOB =180°，可证∠MPN =∠EPF ，所以∠EPM =∠FPN ，由OP 平分∠AOB ，得证PE =PF ，于是Rt △POE ≌Rt △POF ，所以OE =OF ，同时△PEM ≌△PFN ，所以EM =NF ，PM =PN ，推出∠PMN =∠PNM ，进一步得到∠PNM =12∠AOB ，∠POB =12∠AOB ，所以∠PNM =∠POB ，故B 正确；因为OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确；由三角形全等可知，所以定值，故D 正确；M ，N 的位置变化，所以MN 的长度是变化的，故C 错误．【详解】解：如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．∵∠PEO =∠PFO =90°，∴∠EPF +∠AOB =180°，∵∠MPN +∠AOB =180°，∴∠MPN =∠EPF ，∴∠EPM =∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴PE =PF ，在Rt △POE 和Rt △POF 中，OP =OP PE =PF ，∴Rt △POE ≌Rt △POF ，∴OE =OF ，在△PEM 和△PFN 中，∠MPE =∠NPFPE =PF∠PEM =∠PFN∴△PEM ≌△PFN ，∴EM =NF ，PM =PN ，∵PE =PF ，EM =NF ，∴S △PEM =S △PNF ，∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故D 正确，∵OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确，∵M ，N 的位置变化，∴MN 的长度是变化的，故C 错误．∵PM =PN ，∴∠PMN =∠PNM ，∵∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN +∠AOB =180°，∵∠PMN +∠PNM +∠MPN =180°，∴∠PMN +∠PNM =∠AOB ，∵∠PMN =∠PNM ，∴∠PNM =12∠AOB ，∵OP 平分∠AOB ，∴∠POB =12∠AOB ∴∠PNM =∠POB ，故B 正确，故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，AF 是△ABC 的中线，AB =16，AC =6，DE =5．则△ADF 的面积为．【答案】12.5【分析】过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM =DE =5，然后根据三角形的面积公式可得S △ABD =40，S △ACD =15，可得S △ABC =S △ABD +S △ACD =55，然后由三角形的中线得S △ACF =27.5，根据S △ADF =S △ACF -S △ACD 求解即可．【详解】解：过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，AB =16，AC =6，DE =5，∴DM =DE =5，∴S △ABD =12AB ⋅DM =12×16×5=40，S △ACD =12AC ⋅DE =12×6×5=15，∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =40+15=55，∵AF 是△ABC 的中线，∴S △ACF =12S △ABC =12×55=27.5，∴S △ADF =S △ACF -S △ACD =27.5-15=12.5，∴△ADF 的面积为12.5．故答案为：12.5．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，作辅助线并利用角平分线的性质是解题的关键．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．【答案】6【分析】过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，则CP即为CE+EF的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值．【详解】解：过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．∵△ABC的面积为18，AB=6，×6×CP=18，∴12∴CP=6．即CE+EF的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)①20，70；②60；(2)存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF．当x=68或104时，∠EFD=4∠EDF．【分析】(1)①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO 的度数，根据DP ⊥OE 求出x 的值；②根据三角形内角和求出∠FDE ，根据平行的性质∠ODC 的度数，相减即可得x 的值；(2)分两种情况进行讨论:DP 在DE 左侧，DP 在DE 右侧，分别根据三角形内角和定理，可得x 的值．【详解】(1)解：①∵∠AOB =40°，OC 平分∠AOB ，∴∠BOE =20°，∵DE ∥OB ，∴∠DEO =∠BOE =20°；∵∠DOE =∠DEO =20°，∴DO =DE ，∠ODE =140°，当DP ⊥OE 时，∠ODP =12∠ODE =70°，即x =70，故答案为：20，70；②∵∠DEO =20°，∠EDF =∠EFD ，∴∠EDF =80°，又∵∠ODE =140°，∴∠ODP =140°-80°=60°，∴x =60；(2)存在这样的x 的值，使得∠EFD =4∠EDF ．分两种情况：①如图2，若DP 在DE 左侧，∵DE ⊥OA ，∴∠EDF =90°-x °，∵∠AOC =20°，∴∠EFD =20°+x °，当∠EFD =4∠EDF 时，20°+x °=490°-x ° ，解得x =68；②如图3，若DP 在DE 右侧，∵∠EDF =x °-90°，∠EFD =180°-20°-x °=160°-x °，∴当∠EFD =4∠EDF 时，160°-x °=4x °-90° ，解得x =104；综上所述，当x =68或104时，∠EFD =4∠EDF ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC 中，∠BAC =60°，线段BF 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB 交于点G ．(1)如图1，求∠BGC 的度数；(2)如图2，求证：EG =FG ；(3)如图3，过点C 作CD ⊥EC 交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M ，使∠DAC =∠NGD ，若EB :FC =1:2，CG =10，求线段MN 的长．【答案】(1)120°(2)见解析(3)5【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =120°，根据BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，得出∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，求出∠GBC +∠GCB =60°，根据三角形内角和得出∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，即可求出结果；(2)作GH 平分∠BGC 交BC 于点H ，证明△BGE ≌△BGH ，得出EG =GH ，证明△CGF ≌△CGH ，得出FG =GH ，即可证明结论；(3)作DP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，作DQ ⊥AB 交BA 延长线于点Q ，作DR ⊥AC 于点R ，证明CD 平分∠ACP ，根据DR ⊥AC ，DP ⊥BC ，得出DR =DP ，根据BF 平分∠ABC ，DR ⊥AC ，DQ ⊥AB ，得出DP =DQ ，证明DR =DQ ，证明△NEG ≌△CFG ，得出NG =CG =10，证明△BEG ≌△MFG ，得出BE =MF ，作FL ⊥NG 于点L ，FK ⊥CG 于点K ，GW ⊥MC 于点W ，根据S △MGF =12MG ⋅FL =12MF ⋅GW ，S △CGF =12GC ⋅FK =12FC ⋅GW ，得出MG GC =MF FC=12，求出MG =5即可得出答案．【详解】(1)解：在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∵∠BAC =60°∴∠ABC +∠ACB =120°，∵BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，∴∠GBC+∠GCB=60°，在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，∴∠BGC=120°．(2)解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌△BGH，∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌△CGH，∴FG=GH，∴EG=FG；(3)解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACE，∵CD⊥EC，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=2∠ACD，∴CD平分∠ACP，∵DR⊥AC，DP⊥BC，∴DR=DP，∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，∴DP=DQ，∴DR=DQ，∴AD平分∠QAC，∵∠BAC=60°，∴∠DAQ=∠DAC=60°，∴∠NGD=∠DAC=60°，由(1)得∠BGC=120°，∴∠BEG=∠FGC=180°-∠BGC=60°，∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，∠ABF=∠FBC，∴∠BNG=∠ECB，∵∠ECB=∠ACE，∴∠ACE=∠BNG，由(2)得EG=FG，∴△NEG≌△CFG，∴NG=CG=10，∠NEG=∠CFG，∵∠NEG+∠BEG=180°，∠CFG+∠MFG=180°，∴∠BEG=∠MFG，∴△BEG≌△MFG，∴BE=MF，∵BE:FC=1:2，∴MF:FC=1:2，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，∵∠MGF=∠CGF=60°，∴FK=FL，S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，∴MG GC =MFFC=12，∴MG=5，∴MN=NG-MG=5．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)AB=PB，理由见解析(2)存在，理由见解析【分析】(1)连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BO =BQ ，则∠BOQ =∠BQO ，根据OF 平分∠MON ，则∠AOB =∠BOQ ，即∠AOB =∠BQO ，根据OA =QP ，可知△AOB ≌△PQB ，则可知AB =PB ；(2)如图，连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BQ =BO ，CQ =CO 结合条件可证△BQC ≌△BOC ，则∠BQO =∠BOQ ，根据OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，可知∠AOF =∠FON =∠BOQ ，则∠AOF =∠BQO ，进而可知∠AOB =∠PQB ，由此可证△AOB ≌△PQB (SAS )，则AB =PB ．【详解】(1)解：AB =PB理由如下：连接BQ∵BC 垂直平分OQ∴BO =BQ∴∠BOQ =∠BQO∵OF 平分∠MON∴∠AOB =∠BOQ∴∠AOB =∠BQO∵OA =QP∴△AOB ≌△PQB∴AB =PB ；(2)存在，理由：如图，连接BQ ，∵BC 垂直平分OQ ，∴BQ =BO ，CQ =CO在△BQC 和△BOC 中，BC =BCCQ =COBQ =BO∴△BQC ≌△BOC (SSS )∴∠BQO =∠BOQ ，∵OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，∴∠AOF =∠FON =∠BOQ ，∴∠AOF =∠BQO ，∴∠AOB =∠PQB ，在△AOB 和△PQB 中，OA =PQ∠AOB =∠PQBBO =BQ∴△AOB ≌△PQB (SAS )，∴AB =PB ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．【答案】(1)见解析；(2)AB=4；(3)10【分析】(1)根据AAS证明△POD≌△POE即可；(2)作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，由角平分线的性质得DM=DN，由三角形的面积公式可得AD CD =ABBC，结合AB+BC=10即可求解；(3)过E作EG⊥AB于G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，根据角平分线的性质得到EG=CE=2CP=8，于是得到结论．【详解】(1)证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD和△POE中，∠PDO=∠PEO ∠DOP=∠EOP OP=OP，∴△POD≌△POE AAS，∴PE=PD;(2)解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，∵BD平分∠BAC，∴DM=DN，∵S△ABD=12AB⋅DM,S△CBD=12BC⋅DN，∴S△ABDS△CBD=ABBC，同理可证S△ABDS△CBD=ADCD，∴AD CD =AB BC．∵AD=2,CD=3，∴AD CD =ABBC=23，设AB=2x，则BC=3x ∵AB+BC=10，∴2x+3x=10,x=2，∴AB=4；(3)解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∴S△EFP=S△CFP，设S△EFP=S△CFP=y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF=S△AFD=z，∵S△BFP=20，∴S△BCD=20+y+z，∴S△ABC=2S△BCD=40+2y+2z，∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，∵AE是∠CAB的角平分线，CP=4，∴EG=CE=2CP=8，AB⋅EG=40，∴S△ABE=12∴AB=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．【答案】(1)①见解析 ②30°(2)见解析【分析】(1)①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°．(2)本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，。
八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线(含答案解析)
八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线（含答案解析）1.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°2.如图所示，已知AB=AB1，A1B1=B1B2，A2B2=B2B3，A3B3=B3B4…，以此规律操作下去，若∠B=50°，则∠A n-1B n B n-1（n≥2）的度数为（）A．B．C．D．3.如图，∠BAC=120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连接PA，PB，PC，若∠PAD=45°，则∠ABC=.5.如图，已知BD平分∠ABC，AD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BC=12cm,AB=6cm,那么AE的长度为cm.6.△ABC的外角∠DAC的平分线交BC的垂直平分线线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．⑴求证：BD=CE；⑵若AB=5cm，AC=10cm，求AD长.答案解析1.解：∵∠ABC=80°，∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°，∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，∴MA=MP，NC=NP，∴∠MPA=∠MAP，∠NPC=∠NCP，∴∠MPA+∠NPC=12（∠BMN+∠BNM）=50°，∴∠APC=180°-50°=130°，故选：C．2.解：在△ABB1中，AB=AB1，∠B=50°，∴∠AB1B=50°，∵A1B1=B1B2，∠AB1B是△A1B1B2的外角，3.解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∴∠PAB+∠QAC=60°，∴∠PAQ=60°，故选：D．4.解：∵AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，∴PA=PB=PC，∴∠PCA=∠PAD=45°，∠PAB=∠PBA，∠PCB=∠PBC，∵∠PCA+∠PAD+∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=180°，∴∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=90°，∴∠PBC+∠PBA=45°，∴∠ABC=45°，故答案为：45．5.解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，又∵AD=CD，∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL），∴AE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴BE=BF，∵BE=AB+AE=6+AE，∴BF=6+AE．∴BC=6+AE+CF=12，即12=6+2AE，解得：AE=3（cm），故答案为：3cm.6.⑴证明：如图，连接BP、PC．∵PQ垂直平分线段BC，∴PB=PC，∵∠PAD=∠PAE，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°，在Rt△PBD和Rt△PCE中，∴Rt△PBD≌Rt△PCE（HL），∴BD=CE．⑵解：在Rt△APD和Rt△APE中，∴Rt△APD≌Rt△APE，∴AD=AE，设AD=AE=x,∵△PBD≌△PCE，∴BD=EC，∴AB+AD=AC-AE，∴5+x=10-x,∴x=2.5，∴AD=2.5．。
证明垂直平分线与角平分线
第二节 证明（二）——垂直平分线与角平分线【知识要点】1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗从做法上你得到什么启示 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗从做法上你得到什么启示 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗【典型例题】# 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC于E ．若 ABC ∆的周长为28，BC=8，求BCE ∆的周长．# 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CFADE# 例3 如图，在ABC ∆中， 108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD# 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．AE FBDC例5 如图，P 为ABC ∆的BC 边的垂直平分线PG 上一点，且A PBC ∠=∠21．BP ，CP 的延长线分别交AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD例6 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BDCG AEBDP例7 如图，已知AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，DE ABC ∆60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ∆BDC ∆ 120=∠BDC 60AMN∆AMN ∆ABC ∆AOC MON ∠=∠2MBN ∆AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ∆PAB ∆ABC ∆BC DE ⊥ 25=∠B 25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ∆BDC ∆ 40=∠A DBC ∠ABC ∆ 120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ∆# 7．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ．# 8．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆ 的周长为 ．# 9．如图，在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BE 平分AEBDFABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.10．如图，P 为正方形外一点， 15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ∆为等边三角形．11．在ABC ∆中，AC BC B C 2,2=∠=∠．求A ∠的度数．12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠ 的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF13．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF* 14．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD* 15．如图，在ABC ∆中， 90=∠ABC ， 60=∠ACB ，BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DFABF E GCDH* 16．A，B两港在大湖南岸，C港在大湖北岸．A，B，C三港恰为一等边三角形的三个顶点．A港的甲船与B港的乙船同时出发都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙两船与C港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行驶达C港时，乙船尚距C港20千米．问：A，B两港之间的距离是多少千米。
角平分线与线段垂直平分线(教师版)
第二节：角平分线与垂直平分线一.学情分析1．点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（）A．中线B．高线C．角平分线D．中垂线【解答】解：∵点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，∴AD是△ABC的中线，故选：A．2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC＝124°，则∠DAE的度数为（）A．68°B．62°C．66°D．56°【解答】解：∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，∵AC的中垂线交BC于E，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝124°﹣56°＝68°，故选：A．3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为16cm，AC为5cm，则△ABC的周长为（）A．24cm B．21cm C．20cm D．无法确定【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∵△ABD的周长为16cm，∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21，故选：B．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD＝10厘米，BC ＝8厘米，DC＝6厘米，则点D到直线AB的距离是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm【解答】解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，∵BD平分∠ABC，DC⊥CB，DE⊥BA，∴DE＝DC＝6厘米，则点D到直线AB的距离是6厘米，故选：A．5．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，∴点O为△ABC的内心，过O作OP⊥AB，连接OB，S△ABC＝＝OP•（AB+BC+AC），又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°∴AB＝3，∴×3×4＝•OP（3+4+5），解得：OP＝1．故选：A．7．如图，已知BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，若∠A+∠BCD ＝180°，则AD与CD的数量关系是AD＝CD．【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠AED＝∠CFD＝90°．∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCF＝90°，∴∠A＝∠DCF．∴△ADE≌△CDF（AAS）．∴AD＝CD．故答案为AD＝CD．8．初二两个班的学生分别在M、N两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，尺规作图找出符合条件的点P．【解答】解：如图，点P即为所求．二、重难点基础知识分析1.角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.2.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB3.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.1（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点2C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.4.三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：1P 234,,P P P △ABC 的内心为，旁心为，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.5.角平分线四大基本模型：已知P 是∠MON 平分线上一点，(l)若PA ⊥OM 于点A ，如图(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．(2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ≌△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．(3)若AP ⊥OP 于点P ，如图(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．(4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”．(a)O(b)O(c)三、题型分析题型一：等距离转化问题例1．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝2，则点P 到边OB的距离是（）A．4 B．C．2 D．1【解答】解：如图，作PE⊥OB于E，∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2，故选：C．例2．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（）A．5 B．6 C．8 D．7【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DE＝2，∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，∴×2×AC+×2×4＝9，∴AC＝5．故选：A．例3．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD中的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是（）A．15 B．12 C．7.5 D．6【解答】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G，∵AD是角平分线，∴DF＝DG，设DF＝DG＝h，S△ABC＝S△ABD+S△ADC24＝AB•DF+AC•DG∴5h+3h＝48解得h＝6，∴S△ABD＝×5×6＝15∵BE是△ABD中的中线，∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD＝7.5．故选：C．例4．如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE＝CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∵CD⊥AB于D，∴∠EAD+∠AED＝90°，∴∠CFA＝∠AED，又∠AED＝∠CEF，∴∠CFA＝∠CEF，∴CE＝CF；（2）猜想：BE′＝CF．证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，∴ED＝EG，由平移的性质可知：D′E′＝DE，∴D′E′＝GE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B，在△CEG与△BE′D′中，，∴△CEG≌△BE′D′（AAS），∴CE＝BE′，由（1）可知CE＝CF，∴BE′＝CF．例5．△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD＝15，AC＝30，求AB的长．【解答】解：如图，作DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠C＝90°，∵∠EBD＝∠ABC，∴△ABC∽△DBE，∴＝，设BD＝x，BE＝y，则＝，30y＝152+15x，x＝2y﹣15，在Rt△DBE中，BD2＝DE2+BE2，即（2y﹣15）2＝y2+152，y（y﹣20）＝0，∴y＝20，AB＝AE+BE＝30+20＝50．故答案为：50．针对练习：1．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于E，且AC ＝8cm，则△ADE的周长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．不能确定【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC，∠B＝90°，∴DE＝DB，又∵CD＝CD，∠B＝∠CED＝90°，∴Rt△BCD≌Rt△ECD（HL），∴CE＝CB，又∵AB＝BC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DB+AE＝AB+AE＝BC+AE＝CE+AE＝AC＝8cm，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1 B．6 C．3 D．12【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，BD是角平分线，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．48 B．24 C．16 D．12【解答】解：作DE⊥AB于点E，如右图所示，∵在Rt△ABC中，BD是角平分线，DC⊥BC，DE⊥AB，CD＝4，AB＝12，∴DC＝DE＝4，∴△ABD的面积是：＝24，故选：B．4．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG ∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB ＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②不正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP∵PC平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF，∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．本题正确的有：①③④故选：B．5．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．6．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE ＝4，则三角形ABC的面积为36 ．【解答】解：过D作DF⊥BC，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，∴DF＝4，∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝，故答案为：367．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为 4 cm．解：设点D到AB的距离为h，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴h＝CD，∴△ABD的面积＝AB•h＝×10×h＝20cm2．∴h＝4cm，∴CD＝4cm，故答案为：4cm8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，点O为△ABC的内心，过O作OP⊥AB，连接OB，S△ABC＝＝OP•（AB+BC+AC），又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°∴AB＝3，∴×3×4＝•OP（3+4+5），解得：OP＝1．故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC 交AC于F，AD于E，则线段AE的长为（）2A．3 B．C．1.8 D．4【解答】解：如图作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝10，∴AC＝＝8，∵AD⊥BC，∴AD＝＝，∴BD＝＝，∵∠EBH＝∠EBD，∠EHB＝∠EDB，BE＝BE，∴△EBH≌△EBD（AAS），∴BH＝BD＝，DE＝HE，设AE＝x，则DE＝EH＝﹣x，在Rt△AEH中，∵AE2＝AH2+EH2，∴x2＝（）2+（﹣x）2，∴x＝3，∴AE＝3，故选：A．10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是30．【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝4，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×6×4+×9×4，＝30．故答案为：30．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，则AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．题型二:角平分线判定与角度数计算问题例1．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE＝∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，故选：D．例2．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD 的面积求证：OP平分∠AOD．【解答】证明：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，∵△PAB的面积等于△PCD的面积，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥CD，∴OP平分∠AOD．针对练习：1．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上．【解答】证明：如图，作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴FC＝EC，∴点C在∠DAB的角平分线上．2．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，S△CEF＝4，求S△AOB．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）连接OC，∴AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，，∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；（3）∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝10，∵AE是角平分线，∴＝，∴BE＝5，CE＝3，∵S△CEF＝EC•CF＝×3•CF＝4，∴CF＝，∴AF＝，∵S△ABC＝BC•AC＝×8×6＝24，∴S△ABF＝S△ABC﹣S△BCF＝24﹣×8×＝，∵AE平分∠BAC，∴＝3，∴＝3，∴S△AOB＝×＝10．3．在平面直角坐标系中，OA＝OB，P A⊥PB．（1）如图1，当P在第一象限时，求证：OP平分∠BP A．（2）如图2，当P在第四象限时，直接写出∠OP A的度数．【解答】解：（1）∵P A⊥PB，∴∠BOA＝∠APB＝90°，∴点A，O，B，P四点共圆，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OP A＝∠OBA＝45°，∴∠BPO＝90°﹣45°＝45°，∴∠BPO＝∠APO，∴OP平分∠BP A；（2）∵P A⊥PB，∴∠BOA＝∠APB＝90°，∴点A，O，B，P四点共圆，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠OP A＝180°﹣∠OBA＝135°．4．如图，△ABC中，∠C＝Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC ＝7.8cm，求D到AB的距离．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，∴CD＝×7.8＝2.6cm，∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2.6cm，即D到AB的距离2.6cm．题型三：三角形的角平分线及三角形内心例1．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，∴OE＝OD＝OF，∵△ABC的面积是12，周长是8，∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，即×8×OD＝12，即OD＝3，故选：C．例2．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．12B．15C．16D．18【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，∴点O到AB，AC的距离相等，∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．∵△ABO的面积为20，∴△ACO的面积为15．故选：B．针对练习：1．如图所示，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于D，过D作DE⊥AB于E，若CD＝b，BD＝a，那么AB的长度是（）A．a+b B．a+2b C．2a+b D．2a+2b【解答】解：∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，∴ED＝EB，∵DA平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝EB＝b，∵DC＝DE，AD＝AD，∠C＝∠AED＝90°，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AE＝AC＝BC＝a+b，∴AB＝AE+BE＝a+2b，故选：B．2．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，连接AO，过点O 作EF∥BC交AB，AC于点E，F，AB＝5，AC＝4（1）求△AEF的周长；（2）若点O到BC距离为4，且三角形ABC的周长比三角形OBC周长多4，求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴OE＝BE，OF＝CF，∵AB＝5，AC＝4，∴△AEF的周长是AE+EF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝5+4＝9；（2）过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，∵BO平分∠ABC，∴OM＝ON，∵点O到BC距离为4，∴OM＝ON＝4，∵AB＝5，∴△OAB的面积是＝＝10．3．在△ABC中，AD是它的角平分线．（1）如图1，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；（2）如图2，E是AB上的点，连接ED，若BD＝3，BE＝CD＝2，AE＝2CD，求证：△BED是等腰三角形；（3）在图1中，若3∠BAC＝2∠C，∠ADB＞∠B＞∠BAD，直接写出∠BAC的取值范围40°＜∠BAC＜60°．证明：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴＝＝＝＝；S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；（2）如图2，由（1）知：AB：AC＝BD：CD；∵AE＝2CD＝4，∴，AC＝4＝AE，∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD＝2，∵BE＝2，∴BE＝DE＝2，∴△BED是等腰三角形；（3）设∠BAD＝x，则∠BAC＝2x，∵3∠BAC＝2∠C，∴∠C＝3x，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝4x，∵∠ADB＞∠B＞∠BAD，∴4x＞180﹣5x＞x，解得：20°＜x＜30°，∴40°＜∠BAC＜60°．故答案为：40°＜∠BAC＜60°．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O是BD 上一点，过点O分别作AC、BC的垂线，垂足分别为F、E，连接OC、OA，若∠FCO＝45°，求证：点O在∠BAC的平分线上．【解答】证明：作OH⊥AB于H，∵BD是△ABC的一条角平分线．OE⊥BC，OM⊥AB，∴OE＝OH，∵∠ACB＝90°，∠FCO＝45°，∴CO平分∠ACB，∵OE⊥BC，OF⊥AC，∴OE＝OF，∴OF＝OH，∴点O在∠BAC的平分线上．5．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+AN＝2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC 交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF；（2）解：AM+AN＝2AF；证明如下：由（1）得DE＝DF，∵∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME＝NF，∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；（3）由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵ND∥AB，∴∠ADN＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠ADN，∴AN＝DN，在Rt△CDN中，DN＝2CN，∵AC＝6，∴DN＝AN＝×6＝4，∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，∴∠CDE＝∠MDN，∴DM＝DN＝4，∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D 作DE∥BC交AB于点E，过点E作EF⊥BD交BD于点G，交BC于点F．（1）若BE＝4，求AD的长；（2）求证：FC＝2AD．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD，∴∠ABD＝∠BDE，∴EB＝ED＝4，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝45°，∴AD＝DE＝2；（2）证明：连接DF，作DH⊥BC于H，在△BGE和△BGF中，，∴△BGE≌△BGF，∴BE＝BF，∴DE＝BF，又DE∥BC，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DF∥BE，∴∠DFC＝∠ABC＝45°，又∠C＝45°，∴FC＝2DH，∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝AD，∴FC＝2AD．7．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC＝AD，∠DAC＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC＝45°，OA＝1，求OC的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ACB．∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD．∴∠ABD＝∠CBD．∴BD平分∠ABC；（2）解：过点O作OE⊥BC于E，∵∠DAC＝45°，∠DAC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠B AC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴OE＝OA＝1．在Rt△OEC中，∠ACB＝45°，OE＝1，∴OC＝．8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝吗？请说明理由．【解答】解：＝，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF．∵S△ABD＝AB•DE＝BD•AH，S△ACD＝AC•DF＝CD•AH，∴＝＝＝．题型四：角平分线几种模型例1．（1）如图（a）所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE＝（AB+BC+AC）；（2）如图（b）所示，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，DE与△ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所示，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与△ABC三边又有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+AC+BC）；（2）DE＝（AB+AC﹣BC）．证明：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，∴DE＝（AB+AC﹣BC）；（3）图3的结论为DE＝（BC+AC﹣AB）．证明：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝KH又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB．∴DE＝（BC+AC﹣AB）．例2．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．例3．（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点（如图1）．图中共有5个等腰三角形，分别是△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC；EF与BE、CF之间的关系是EF＝BE+CF．（2）若将（1）中“△ABC，AB＝AC”改为“若△ABC为不等边三角形”，其余条件不变（如图2），则图中共有2个等腰三角形，分别是△BDE，△CFD；EF与BE，CF之间的关系是EF＝BE+CF．（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC的外角∠ACG，过D点作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间有何关系？写出你的结论，并加以证明（4）已知：如图4，点D在△ABC外，BD，CD分别平分△ABC的外角∠GBC和∠HCB，过点D作DE∥BC，分别交BG，CH于E，F两点，则EF与BE，CF之间存在怎样的关系？写出你的结论，并加以证明．【解答】解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，故答案为：5，△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC，BE+CF＝EF．（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，故答案为：△BDE，△CFD，BE+CF＝EF；（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF；（4）BE+CF＝EF，∵BD平分∠EBC，CD平分∠ECB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，∴BE+CF＝EF．针对练习：1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：①CD＝CF；②∠EDF＝45°；③∠BCF＝45°；④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED＝∠ABD+∠BDE，∴2∠ABD+2∠BDE+∠A＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴2∠BDE＝90°，∴∠BDE＝45°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠FDE＝∠FED＝45°，故②正确，延长EF交BC于H，连接CD．∵∠FBE＝∠FBH，BF＝BF，∠BFE＝∠BFH，∴△BFE≌△BFH（ASA），∴EF＝FH，∵DF⊥EH，∴DE＝DH，∴∠DEH＝∠DHE＝45°，∵∠DFH+∠DCH＝180°，∴D，F，H，C四点共圆，∴∠DCF＝∠DHF＝45°，∴∠FCB＝45°，故③正确，作DM⊥AB于M，∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，∴DM＝DC＝4，∵AE＝AD＝5，∴S△ADE＝•AE•DM＝10，故④正确，无法判断CF＝CD，故①错误，故选：C．2．已知：如图，在△ODC中，∠D＝90°，CE是∠DCO的角平分线，且OE⊥CE，过点E 作EF⊥OC于点F，猜想：线段EF与OD之间的数量关系，并证明．【解答】解：如图，延长CD和OE，交于H，过E点作EG⊥HD，∵EC是∠DCO的平分线，且EC⊥OE，∴由∠CEO＝∠CEH＝90°，CE＝CE，∠OCE＝∠HCE可得，△OCE≌△HCE，∴OE＝EH，∵EG⊥HD，OD⊥HD，∴EG∥OD，∴EG是△OHD的中位线，∴EG＝OD，又∵EC是∠DCO的平分线，EG⊥HD，EF⊥OC，∴EG＝EF，∴EF＝OD．3．等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD作垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD＝2CE．。
八年级数学三角形的证明(垂直平分线及角平分线二)(北师版)(含答案)
三角形的证明（垂直平分线及角平分线二）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，AB的垂直平分线交BD于点C，连接AC，若AD⊥BC，，则∠B的度数为( )A.15°B.20°C.25°D.30°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图，在△ABC中，∠BAC=110°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于( )A.50°B.40°C.30°D.20°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质3.如图，在△DAE中，∠DAE=30°，线段AE，AD的中垂线分别交直线DE于B，C两点，则∠BAC的度数是( )A.80°B.90°C.100°D.120°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质4.已知A，B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB等于( )A.95°B.15°C.95°或15°D.170°或30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质5.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于F，交BC的延长线于E．下列说法：①∠EAD=∠EDA；②DF∥AC；③AD=AE；④∠EAC=∠B．其中正确的有( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是( )A.10cmB.12cmC.13cmD.17cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质。
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5.角平分线、垂直平分线
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1
F E
C B A
例题图2 G F E
C
B A
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3
D F E
C
B A
问题图
3
2
1E
D C
B A
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：
AC
AB
DC BD =。
分析：要证
AC
AB
DC BD =
，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式
AC
AB
DC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明
AC
AB
DC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
CE ∥AD ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13
221⇒∠E ＝∠3⇒AE ＝AC CE ∥AD ⇒
AE
AB
DC BD =
∴AC
AB
DC BD =
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。
答案：
9
35cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A ＝520
，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB
＝ 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
第1题图
O
C
B
A
第2题图
N
M
D
C
B
A
第3题图
E
D
C
B
A
第4题图
E A
B
C
D
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。
填空第5题图 G
P
M E
B N
C F
A 选择第1题图 F
E
D
C B
A
选择第2题图 4
32
1D
C
B
A
二、选择题：
1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600，则∠BFC 等于（ ） A 、800 B 、1000 C 、1200 D 、1400
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ） A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ） A 、8 cm 、8 cm 、14cm B 、12 cm 、12 cm 、6cm C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm D 、以上答案都不对
4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，CD 是AB 边上的高，CE
是中线，CF 是∠ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）
A 、0组
B 、2组
C 、3组
D 、4组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定 三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D 。
求证：MA ＝MD 。
第1题图
M
D
C
B
A
2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。
第2题图
E F
D C
B A
选择第4题图 E F D
C
3、如图，在△ABC 中，∠B ＝22.50，∠C ＝600，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，BD ＝26，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。
第3题图
E F
D C
B A
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。
第4题图
E
F
D
C
B
A
参考答案
一、填空题：
1、380；
2、240；
3、4；
4、14；
5、680 二、选择题：CBCDB
三、解答题：
1、过A 作AN ⊥BC 于N ，证∠D ＝∠DAM ；
2、延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连结CG ，证△DEF ≌△CEG
3、连结AD ，DF 为AB 的垂直平分线，AD ＝BD ＝26，∠B ＝∠DAB ＝22.50
∴∠ADE ＝450，AE ＝22AD ＝
262
2
⨯＝6
又∵∠C ＝600 ∴EC ＝
323
63
==
AE
4、证△ACD ≌△CBF。