4.2 格林函数
用格林函数算预测置信区间
用格林函数算预测置信区间1. 介绍在统计学和数据分析中，预测置信区间是一种重要的工具，用于估计未来的观测值或未知参数的不确定性。
通过计算置信区间，我们可以得到对未来观测值的范围估计，以评估其可靠性和精确性。
格林函数是一种用于计算预测置信区间的方法，它基于时间序列数据和线性回归模型。
本文将详细介绍格林函数的原理和应用，以帮助读者理解并应用该方法进行预测置信区间的计算。
2. 格林函数原理格林函数是一种用于求解常微分方程的方法，它基于线性性质和叠加原理。
在统计学中，格林函数可以用于对未来观测值的预测进行建模。
假设我们有一个时间序列数据集，其中包含自变量和因变量的观测值。
我们可以使用格林函数方法来建立一个线性回归模型，通过该模型来预测未来观测值，并计算其置信区间。
格林函数方法的基本原理是将时间序列数据分解为特征向量和特征值。
特征向量表示时间序列数据的模式和趋势，特征值表示每个特征向量对应的重要性或权重。
在预测过程中，我们可以使用特征向量和特征值来生成预测值和置信区间。
3. 格林函数应用格林函数方法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 经济预测格林函数方法在经济学中被广泛用于预测经济指标，如国内生产总值（GDP）、消费者物价指数（CPI）等。
通过建立时间序列模型，并使用格林函数方法进行预测，经济学家可以评估经济指标的未来走势和波动性，并制定相应的政策和措施。
3.2 股票价格预测在金融市场中，股票价格的预测对于投资者来说非常重要。
格林函数方法可以用于建立股票价格的预测模型，并计算相应的置信区间。
投资者可以根据这些预测结果来制定买入和卖出策略，以获得更好的投资收益。
3.3 气象预测格林函数方法也可以应用于气象学中的天气预测。
通过建立气象变量的时间序列模型，并使用格林函数方法进行预测，气象学家可以预测未来天气的变化趋势和概率。
这对于农业、能源等行业来说非常重要，可以帮助他们制定相关的决策和策略。
频域格林函数
频域格林函数1. 引言频域格林函数是电磁场理论中用于求解波动方程的一种重要工具。
它是指在频域中描述电磁场响应的函数，可以描述电磁场在给定边界条件下的传播和反射情况。
频域格林函数的计算和应用在电磁场分析、电磁波传输和散射问题等方面具有广泛的应用。
本文将详细解释频域格林函数的定义、用途和工作方式。
2. 定义频域格林函数是指满足无源波动方程的解，在频域中通过傅里叶变换将时间域的响应转换为频域的响应。
对于三维空间中的电磁问题，频域格林函数可以表示为：G(r,r′)=∑2λl2mn e jkλl rrA l,mn(r′)A l,mn∗(r)其中，G(r,r′)是频域格林函数，r和r′分别表示源点和观测点的位置矢量，λl是第l 个模式的波长，r是源点和观测点之间的距离，k=2π/λ是波数，A l,mn(r′)是源点处l模式下的电磁场分量，A l,mn∗(r)是观测点处l模式下的电磁场分量的共轭。
3. 用途频域格林函数在电磁场分析中有广泛的应用。
主要用途包括：3.1. 边界值问题求解频域格林函数可用于求解电磁场在给定边界条件下的分布和传播情况。
通过将边界条件转化为积分形式，可以利用频域格林函数作为积分核，求解电磁场的分布。
例如，在有导体边界的问题中，可以通过给定边界上的边界条件，利用频域格林函数计算电磁场分布。
3.2. 散射问题分析在电磁波与物体相互作用的散射问题中，频域格林函数可以用于计算物体的散射场。
通过利用物体的远场和散射系数，可以利用频域格林函数计算出散射场的分布和特性。
3.3. 天线辐射和接收分析频域格林函数可用于计算天线的辐射和接收情况。
通过将天线模型化为一系列电流分布，可以利用频域格林函数计算天线的辐射场和接收场。
4. 工作方式频域格林函数的计算和应用通常包括以下几个步骤：4.1. 求解模式场分布首先，需要通过求解模式方程，得到电磁场在给定边界条件下的模式场分布。
模式方程通常是一个特征值问题，可以通过数值方法或解析方法求解。
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
第四章格林函数法
西安理工大学应用数学系
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dΩ= ∫∫ (Pcosα + Qcos β + Rcosγ )dS Ω Γ
的外法线方向。 其中n = {cosα, cos β, cosγ } 是 Γ 的外法线方向。 公式： 是有界区域， （2）第一 ）第一Green公式：设 Ω是有界区域， Γ 是其边界曲面且 公式 足够光滑， 足够光滑，u(x, y, z), v(x, y, z) 及其一阶偏导数在 Ω+Γ 上连 内有二阶连续偏导数， 续，在 Ω 内有二阶连续偏导数，则
从而得证
1 u(M0 ) = − 4π
∂ 1 1 ∂u(M) ∫∫ [u(M) ∂n (rMM ) − rMM ∂n ]dS Γ 0 0
西安理工大学应用数学系
4 调和函数的基本性质 性质1： 内为调和函数， 性质 ：设 u(x, y, z) 在有界区域 Ω 内为调和函数，且在Ω+Γ 上有一阶连续偏导数， 上有一阶连续偏导数，则 ∂u ∫∫ ∂n dS = 0 Γ 证：令 v ≡1 将 u, v代入第二 代入第二Green公式即可。 公式即可。 公式即可 (x, y, z) ∈Ω 推论1： 推论 ：诺伊曼问题 ∆u = 0, ∂u ∂n = f Γ
选 v ，使 v = Γ
1 4π rMM0
，则（3）式变成 ）
Γ
称为Green函数 函数 称为
∂v 1 ∂ 1 u(M0 ) = ∫∫ u[ − ( )]dS ∂n 4π ∂n rMM0 Γ ∂ 1 = − ∫∫ u ( − v)dS ∂n 4π rMM0 Γ 1 −v 4πrMM0
（4）
令 G(M, M ) = 0 则（4）式表示为 ）
格林函数.pdf
第4章 格林函数在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看,一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数.4.1δ函数几何学中的点是没有大小的,它仅仅表示空间的一个位置,因此物理学中的质点、点电荷等点源无法用几何中的点来表示.那么,我们用数学语言如何描述这类具有实际背景的点源呢?考虑一根长为l 的直线,其上任一点的坐标⎦⎤⎢⎣⎡−∈2,2l l x .若总电量为Q 的电荷均匀分布在直线上,则直线上的电荷分布的线密度)(x ρ是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=2,2,0)(l x lQ lx x ρ (4.1.1) 由定积分的性质可知x x Q d )(∫+∞∞−=ρ (4.1.2)若将上述线段无限缩小,或者说令0→l ,则我们得到了一个物理上常用的点源—点电荷.此时,电荷分布密度用)(0x ρ表示,同时式(4.1.1)变为⎩⎨⎧=∞≠=0,,0)(0x x x ρ (4.1.3) 而此时,电量仍为Q ,则式(4.1.2)仍然成立.为了理解上的方便,我们修改一下问题的叙述:去电量1=Q ,线段长度为ε2,则密度分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=εεεδεx x x ,21,0)(且1d )(d )(===∫∫−+∞∞−εεεεδδx x x x Q由此可见)(x εδ是偶函数,则由积分第一中值定理可得)()(d )()(d )()(εξεξδξδεε<<−==∫∫+∞∞−+∞∞−f x x f x x f x当0→ε时,我们有了新的结果,我们将它定义为δ函数. 我们称符合下述2个条件的函数为δ函数⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(x x x δ (4.1.4)且∫+∞∞−=1d )(x x δ (4.1.5)由极限理论可知,)(x δ是偶函数.∫∫+∞∞−+∞∞−→→===)0(d )()(d )()(lim )(lim 00f x x f x x x f x f δδξεεε (4.1.6))(x δ不是通常意义下的函数,它用来描述集中分布这种常见而又特殊的一类现象的数学工具.δ函数不局限于描述点电荷的分布密度,它可以用来描述任意点量的密度.借助于δ函数,我们可以方便地描述各类点源的分布情况.如电量Q 的点电荷的分布函数为)()(0x Q x δρ=.例1 设有一条张紧静止的无穷长的细弦,其线密度为1=ρ若在0=x 点,在很短的时间内,用大小为F 的力敲一下,使获得的冲量1=∆⋅t F .问弦上的初始速度v 是怎样的?解 若0≠x ,由于时间非常短,扰动尚未传动,所以0=v ;而在0=x 上有∞=v .此外,由于敲打前弦是静止的,所以弦上的动量是1=∆⋅t F ,即∫∫+∞∞−+∞∞−==⋅1d )()(d x x v x v x ρ故初速度)()(x x v δ=.例2 设有一根温度为C 0o度的导热杆,其线密度为ρ,比热为c ,现用火焰在0=x 处以极短的时间烤一下,传给杆的热量为Q ,请分析一下开始一瞬间杆上的温度)(x T 的分布?解 在刚开始一瞬间,我们有⎩⎨⎧=∞≠=0,,0)(x x x T且∫+∞∞−=Q x x T c d )(ρ所以有)()(x c Qx T δρ=通过以上两个例题,我们对)(x δ有了进一步的认识.如果将坐标平移0x ,即集中量出现在点0x x =处,则有⎩⎨⎧=∞≠=−000,,0)(x x x x x x δ且∫+∞∞−=−1d )(0x x x δ这样，我们可以得到δ函数的一个重要性质)(d )(00x f x x x ∫+∞∞−=−δ或者说⎩⎨⎧><<<=−∫bx a x bx a x x x ba0000,0,1d )(或δ⎩⎨⎧><<<=−∫b x a x bx a x f x x x x f b a00000,0),(d )()(或δ4.2 无界域中的格林函数在第1章中,我们推导出了静电场的电势分布u 满足泊松方程ρε1222222−=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u (4.2.1)式中,ρ是电荷密度,所占区域为Ω,0r 是Ω中任意一个点.如果不考虑其他因素的影响,对于无界空间中的电势u ,可以利用定积分中的微元法的思想求出来.有库仑定律知,位于0r 点的一个正的单位电荷,在无界空间中点r 处产生的电势是041),(r r r r G −=π (4.2.2)则以0r 为中心的小体积Ωd 在r 处产生的电势为Ω=d )(),(d 00r r r G u ρ因此,在r 处产生的电势为∫∫ΩΩΩ−==d 4)(d )(00r r r u r u πρ为了表述上的方便, 0r 处的体积微元Ωd 以后用0d r 表示,则有∫Ω−=000d 4)()(r r r r r u πρ这样,我们没有直接求解方程,而是通过寻找微元,利用积分的方式求出了方程的解.而点源产生的电势),(0r r G 称为泊松方程式(4.2.1)在无界空间中的格林函数,利用它,我们求出了泊松方程在无界空间的解.无界空间中的格林函数又叫做方程的基本解,因此式(4.2.2)又称为泊松方程的基本解.有时也称它为相应的齐次方程(即拉普拉斯方程)的基本解,记为).,(00r r G基本解式(4.2.2)是密度为0ρ的点源在空间产生的电势,因此它在空间除了0r r =点以外,满足方程001ρε−=∆G而在0r r =点有奇异性.由于格林函数是点源函数,因此在空间某一点有奇异性. 在一般的数学物理方程中,我们需要考虑的是满足一定边界条件和初始条件的解,因此相应的格林函数就比刚才所提到的要复杂.在这种情况下,一个点源所产生的场,同时要受到边界条件及初始条件的影响,而这些影响的本身也是待定的. 例如,在一个接地的导体空腔内的点0P 处放置一个正的单位点电荷(如图4-1),则在点P 处的电势不仅是点电荷本身所产生的场41r r −π,并且还要加上这个点电荷在导体内壁上感应电荷所产生的场.而感应电荷在导体内壁上的分布是未知的,我们只知道在边界上电势为零(接地).因此,在一般情况下,格林函数是一个点源在一定的边界条件和(或)初始条件下所产生的场.通过格林函数,我们可以求得任意分布的源所产生的场.4.3 格林公式 有界域上的格林函数为了进一步探讨利用格林公式函数求解数学物理方程,我们先来推出一个重要工具—格林公式,它是曲面积分中高斯公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界域,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ+Ω上是连续的,在Ω内具有一阶连续偏导数,则有如下的高斯公式∫∫∑++=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ΩS z n R y n Q x n P z R y Q x P d )],cos(),cos(),cos([d (4.3.1) 式中,Ωd 是体积元素;n 是曲面Γ的外法向量;S d 是Γ上的面积元素.设函数),,(),,,(z y x v z y x u 在Γ+Ω上一阶偏导数连续,在Ω内二阶偏导数连续,则在式(4.3.1)中,令z vR yv u Q x v uP ∂∂=∂∂=∂∂=,,则有∫∫∫∫∫∫ΓΩΩΩΩΩ∂∂=Ω⋅+Ω∆=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+Ω∆=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S nvuv u v u z v z u y v y u x v x u v u z R y Q x P d d grad grad d )(d d )(d 或表示为Ω⋅−∂∂=Ω∆∫∫∫ΩΓΩd grad grad d d )(v u S nvuv u (4.3.2)式(4.3.2)称为格林第一公式.在式(4.3.2)中,交换v u ,的位置，则有Ω⋅−∂∂=Ω∆∫∫∫ΩΓΩd grad grad d d )(v u S nuvu v (4.3.3)式(4.3.2)减式(4.3.3)得∫∫ΓΩ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=Ω∆−∆S n u v n vu u v v u d d ][ (4.3.4) 式(4.3.4)称为格林第二公式.下面,我们以泊松方程第一类边值问题为例,进一步阐明格林函数的概念.⎪⎩⎪⎨⎧=−=∆Γ)6.3.4()5.3.4(1f u u ε式中, f 是在区域Ω上的边界Γ上给定的函数.在介绍格林函数之前,我们要引进空间的δ函数来表示点源的密度分布,有)()()()(0000z z y y x x r r −−−=−δδδδ⎩⎨⎧=∞≠=−000,,0)(r r r r r r δ )),,((1d )(00000Ω∈=−∫Ωz y x r r r r δ∫Ω=−)(d )()(00r f r r f r r δ用),(0r r G 表示位于0r 点的单位强度的正点源在第一类边界条件下产生的场,则),(0r r G 作为r 的函数满足⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)8.3.4(0)7.3.4()(1),(00G r r r r G δε以),(0r r G 乘式(4.3.5),)(r u 乘式(4.3.7),二式相减后在Ω上对r 积分,以r d 表示r 点处的体积微元,有∫∫∫ΩΩΩ−+−=∆−∆r r r r u r G r G u u G d )()(1d 1d )(0δερε利用格林第二公式及δ函数的性质,有)9.3.4(d ),()(d )(),(d ),()(d )(),(d ),()()(),(d )(),()(00000000∫∫∫∫∫∫ΓΩΓΩΓΩ∂∂−=∂∂−=⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂+=S nr r G r f r r r r G S nr r G r u r r r r G S n r r G r u n r u r r G r r r r G r u ερερερ但这个表达式中所表示的意义与我们的初衷相矛盾.),(0r r G 表示的是位于0r 点的点源在r 点产生的场.但我们能证明),(),(00r r G r r G =,这样,式(4.3.9)可以改写成)10.3.4(d ),()(d )(),(d ),()(d )(),()(0000000000∫∫∫∫ΓΩΓΩ∂∂−=∂∂−=S nr r G r f r r r r G Snr r G r f r r r r G r u ερερ这样,式(4.3.1)的物理诠释就很清楚了:右方第一个体积分代表在区域Ω中体分布源)(0r ρ在r 点产生的场的总和,第二个面积分则表示了在边界上的源所产生的场. 下面我们来证明),(),(00r r G r r G =,由式(4.3.7)及式(4.3.8),我们有⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)12.3.4(0),()11.3.4()(1),(111r r G r r r r G δε⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)14.3.4(0),()13.3.4()(1),(222r r G r r r r G δε×),(2r r G 是式(4.3.11)—×),(1r r G 式(4.3.13),有)(),()(),()],(),(),(),([21122112r r r r G r r r r G r r G r r G r r G r r G −−−==∆−∆δδε两侧同时对r 积分,有∫∫ΩΩ−−−=∆−∆rr r r r G r r r r G r r r G r r G r r G r r G d )(),()(),(d )],(),(),(),([21122112δδε根据格林公式第二公式及δ函数的性质,有),(),(d ),(),(),(),(12212112r r G r r G S n r r G r r G n r r G r r G −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂∫Γε 则根据式(4.3.12)及式(4.3.14),有0),(),(),(),(2112=∂∂−∂∂Γnr r G r r G nr r G r r G 所以),(),(1221r r G r r G =这种性质在物理学中称为倒易性,如图4-2所示,即位于1r 点的点源,在一定的边界情况下,在2r 点产生的场等于位于2r 点的同样强度的点源,在相同的边界情况下在1r 点产生的场.我们称这种现象为格林函数的对称性.应当说明，在得式(4.3.9)时,我们利用格林公式把重积分化为曲面积分时,这要求G ∆(及u ∆)在积分区域Ω内连续为前提,由式(4.3.7)可明显看到G ∆不连续,这样的推导请参阅谷超豪等著《数学物理方程》(第二版).4.4 格林函数的应用在第1章里,我们从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布推出了三维拉普拉斯方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u作为描述稳定或平衡等状态的方程,它与初始状态无关,因而不能提初始条件.对于边界条件,常见的是如下两种现象.第一边值问题 在空间),,(z y x 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ,要找这样的函数),,(z y x u ,它在闭区域Γ+Ω上连续,且满足⎩⎨⎧==∆Γf u u 0第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题,或简称为狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解,即具有二阶连续偏导数,并且满足拉普拉斯方程的连续函数,称为调和函数.因此, 狄氏问题也可以这样叙述:在区域Ω内找一个调和函数,它在边界Γ上的值是已知的.第二边值问题 在空间在空间),,(z y x 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ,要找这样的函数),,(z y x u ,它在闭区域Γ+Ω上连续,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∆Γf nuu 0 式中,n 是曲面Γ的外法向矢量.第二边值问题也称为诺依曼(Neumann)问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些条件,在区域内部求解拉普拉斯方程,这样的问题称为内问题.在应用中,我们还会碰上另一类现象,如确定某物体外部的稳恒温度场时,就归结为在区域Ω的外部求调和函数u 使之满足边界条件f u =Γ,这里Γ是区域Ω的边界,f 表示物体表面的温度分布.这样的问题称为拉普拉斯方程的外问题. 限于篇幅,本书仅讨论如何利用格林函数求解狄利克莱问题⎩⎨⎧==∆Γ)2.4.4()1.4.4(0fu u至于其他的问题,求解的思考方法是想像的,可查阅相关的书籍.由式(4.4.1)知源的分布密度函数0=ρ,所以上节给出的求解公式就变为∫Τ∂∂−=S nr r G r f r u d ),()()(00 (r 在曲面Γ上) 或∫Τ∂∂−=S nr r G r f r u d ),()()(00 (0r 在曲面Γ上) (4.4.3) 此处介电常数1=ε. 这样,对一个由曲面Γ围成的区域Ω来说,只要求出了格林函数),(0r r G ，则这个区域内狄氏问题的解就可以由式(4.4.3)求出.实际上,求解边值问题式(4.3.7)—式(4.3.8)是很困难的,因此有必要对格林函数),(0r r G 作进一步的剖析.在本章中,我们定义了方程的基本解),(00r r G ,它满足方程式(4.3.7))(),(000r r r r G −−=∆δ但不满足边界条件式(4.3.8).于是我们设)(),(),(000r V r r G r r G +=代入式(4.3.7)及边界条件式(4.3.8),则有⎩⎨⎧−==∆ΓΓ00G V V这样,只要找到满足边界条件ΓΓ−=0G V的调和函数V ,那么就可以由基本解得到格林函数),(0r r G .事实上,当区域的边界具有特殊的对称性时,格林函数是用镜像法(静电源像法)求得的.所谓静像法,就是在区域Ω外找出点0M 关于边界Γ的像点(对称点)1M ,然后在1M 上放置适当的负电荷,由它所产生的负电位与点0M 处单位电荷产生的电位在曲面Γ上相互抵消.此时,放置在0M ,1M 两点处的电荷所形成的电场在Ω内的电位就是所要求的格林函数.下面,我们以寻求半空间、球域的格林函数为例来说明镜像法的具体应用.例3 求解上半空间0>z 内的狄利克莱问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<−∞=>=∂∂+∂∂+∂∂=)5.4.4(),(0)4.4.4()0(00222222y x u z z uy u xu z解 先求出格林函数),(0r r G .为此在上半空间0>z 中任意一点),,(0000z y x r 处置一单位正电荷,在点0x 关于平面0=z 的对称点),,(0001z y x r −处置一单位负电荷,如图4-3所示.由它们所形成的静电场的电势在平面0=z 上恰好为零.因此上半空间的格林函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=1001141),(r r r r r r G π(4.4.6)为了利用式(4.4.3)求解问题式(4.4.4),式(4.4.5)需要计算边界曲面上的nG∂∂值.由于在平面0=z 上的外法线方向是Oz 轴的负向,所以)7.4.4(])()[(210])()()[(])()()[(4123220200232020200232020200000z y y x x z z z z y y x x z z z z y y x x z z z G nG z z +−+−−==⎪⎭⎪⎬⎫++++++−⎪⎩⎪⎨⎧−+−+−−=∂∂−=∂∂=ππ则定解问题式(4.4.4),式(4.4.5)的解为∫∫+∞∞−+∞∞−+−+−=ηξηξηξπd d ])()[(),(21),,(23222z y x zf z y x u (4.4.8)用同样的方法，我们可以求出球域上的格林函数,并给出球域内的狄利克莱问题的解.设有一球心在原点,半径为R 的球面Γ.在球内任取一点),,(0000z y x r ，在0Or 的延长线上截取线段1Or ,令00ρ=Or ,11ρ=Or ,使210R =⋅ρρ,这样的点1r 称为点0r 关于球面Γ的反演点(或对称点),如图4-4所示.我们在点0r 处放置一单位正电荷,在点1r 处放置一q 单位的负电荷,通过选择恰当的q 值,使得这两个点电荷所产生的电势在球面Γ为零.即P r qP r 10441ππ=或 Pr P r q 01=式中,P 为球面Γ上任意一点.由于三角形△P Or 1与△P Or 0在点O 处有公共角,且夹这个角的两条边成比例1ρρRR=,因此这两个三角形相似.于是得到01ρRP r P r =因此ρRq =即只要在点1r 处放ρR单位的负电荷,则由0r 及1r 处点源产生的电势在球面上为零,这样,球域内的格林函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=10001141),(r r R r r r r G ρπ(4.4.9) 式中,r 为球域内任意一点,记0ρ=Or .下面,我们利用格林函数来求解球域内的狄利克莱问题⎩⎨⎧==∆Γf u u 0Ω∈),,(z y x 由式(4.3.9)得(介电常数)1=εS nr r G r f r u d ),()()(00∫Γ∂∂−=因此,我们要计算Γ∂∂n G,由 γρρρρcos 21102200−+=−r rγρρρρcos 21112211−+=−r r012ρρ⋅=R式中,γ是向量0Or 与Or 的夹角.所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−−+=40222002200cos 21cos 2141),(R M M G γρρρρργρρρρπ在球面Γ上 2302022022340222002202302020)cos 2(41)cos 2()cos ()cos 2(cos 41γρρρπργρρρργρργρρρργρρπρρR R R R RR R R R RG G −+−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−+−−==∂∂=ΓΓ∂∂ 所以狄氏问题的解为S f R R R R r u d )cos 2(41)(23022220∫∫Γ−+−=γρρρπ (4.4.10)为了方便解释物理现象,我们也可以利用格林函数的倒易性,求出球内任一点r 处的电势)(r u .在球面上应用球坐标系,上式变为∫∫−+−=ππθϕϕγρρρθϕπθϕρ202302222000d d sin )cos 2(),,(4),(R R R R f Ru (4.4.11)式中, ),(000θϕρ是点0r 的坐标;),,(θϕR 是球面Γ上点P 的坐标;γcos 是向量0Or 与OP 的余弦.因为向量0Or 与Or 的方向余弦分别是)cos ,sin sin ,sin (cos )cos ,sin sin ,sin (cos 00000ϕϕθϕθϕϕθϕθi所以可得)cos(sin sin cos cos )cos cos sin (sin sin sin cos cos cos 0000000θθϕϕϕϕθϕθθϕϕϕϕγ−+=++=式(4.4.10)及式(4.4.11)称为球的泊松公式.例4 设有一半径为R 的均匀球,球心在坐标原点,上半球面的温度保持为C o0,下半球面的温度保持为C o2,求:(1) 球内温度的稳定分布; (2) 球内z 轴上温度的分布; (3) 球心的温度.解 这个问题的数学描述为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<=<=∆=πϕππϕρρ2,220,0)(0R u R u由泊松公式,球内任一点),(0θϕρ处的温度为∫∫∫∫−+−=−+−=ππππθϕϕγρρρπθϕϕγρρρθϕπθϕρ2023020220220023020222000d d sin )cos 2(2d d sin )cos 2(),,(4),(R R R R R R R R f Ru若只考虑z 轴上的温度,即00=ϕ(上半轴)或πϕ=1(下半轴), 可知:当00=ϕ时,ϕγcos cos =,则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−=−+−=∫∫2020202210202022202230222200112)cos 2(d d sin )cos 2(2),0,(ρρρρπϕπϕϕρρρρθϕϕϕρρρρπθρπππR R R R R R R R R R R Ru当πϕ=0时ϕγcos cos −=,故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−−=202002020011),,(ρρρρθπρR R R u 当00→ρ时,应用洛必达法则有1),,(lim )0,0,0(00000==→θϕρρu u即球心温度为C o1。
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
格林函数——精选推荐
格林函数格林函数这是⼀篇关于格林函数经典解法的⽂章。
从现代的讨论中寻求根本的解法。
在数学中，格林函数是⼀种⽤来解有边界条件的⾮齐次微分⽅程式的函数。
在多体理论中，这⼀术语也被应⽤于物理中，特别在量⼦场论，电动⼒学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。
格林函数的名称是来⾃于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第⼀个提出这个概念的⼈。
在线性偏微分⽅程的现代研究中，格林函数主要⽤于研究基本解。
内容1、定义及⽤法2、动机3、⾮齐次边值问题的求解3.1、研究框架3.2、定理4、寻求格林函数4.1、特征⽮量展开5、拉普拉斯算⼦的格林函数6、范例7、其他举例定义及⽤法技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着⼀个在流形M 中作⽤的线性算⼦L ，为以下⽅程式的解：)(),(s x s x LG -=δ (1)其中δ为狄拉克δ函数。
此技巧可⽤来解下列形式的微分⽅程： )()(x f x Lu = (2)若L 的核是⾮平凡的，则格林函数不只⼀个。
不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯⼀的格林函数。
⼀般来说，格林函数只需是⼀种数学分布即可，不⼀定要具有⼀般函数的特性。
格林函数在凝聚态物理学中常被使⽤，因为格林函数允许扩散⽅程式有较⾼的精度。
在量⼦⼒学中，哈密顿算⼦的格林函数和状态密度有重要的关系。
由于扩散⽅程式和薛定谔⽅程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。
其⽅程如下：)(),(s x s x LG --=δ这⼀定义并不显著改变格林函数的任何性质。
如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成⼀个卷积算，即为：)(),(s x G s x G -=在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。
动机若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得：)()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此：ds s f s x LG x Lu )(),()(?=由于算符 L 为线式，且只对变量x 作⽤，不对被积分的变量 s 作⽤），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得：))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?=⽽以下的式⼦也会成⽴：ds s f s x G x u )(),()(?= (3)因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以⽤上述的⽅式得到)(x u 。
04第四章格林函数法
（1）
西安理工大学应用数学系
u u 但在边界上， 未知，不能用上述公式求解，必须消去 n n
为此，引入Green函数的概念。
取 u, v 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续 的偏导数，则由第二Green公式，有
v u (u n v n )dS 0
西安理工大学应用数学系
P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u
（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
（3）
西安理工大学应用数学系
选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成
称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
什么是格林函数(Green's function)
一般地，点源作用产生的场就是格林函数。
在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。
集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。
在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。
（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。
注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。
1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。
不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。
如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。
郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。
知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。
”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。
利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。
格林函数法
M2 K1 M 1 K2 M 3 S2 S1
Kn N Mn Sn
l
图4.1
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2 格林函数
由于调和函数有积分表示:
1 u(M 0 ) 4
u 0, x , 又因为Dirichlet边值问题 的解唯一,故希望 u f
u ( M ) u ( M 1 ) 。设 M 2 是 K 1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
1 1 u a u n ( r ) r n dS
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
又因为，在
a
a
上式称为调和函数的球面平均值公式。 性质3 (极值原理)
1 1 1 ，所以 上有 ( ) 2 2 n r r a 1 u(M 0 ) udS. 2 a 4a
1 u 1 u dS dS 0 a n r n a
设函数 u( x, y, z ) 在区域 内调和，
它在 上连续且不为常数，则它的最大值与最小值
只能在边界上达到。 推论1 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在
上连续且在边界 上有 u v，则在 内有 u v.
u u 0, | f . n
性质2 (平均值定理)
u ndS f dS 0.
4.2_格林函数
v
u n
dS.
(15)
如果选取调和函数 v,
使之满足
v |
1
4rMM0
| ,
这样(15)式中的 u 项就消失了，于是有
n
u(M 0 )
u(M ) u(M1).
同理，在以 M1为心，任意 r(r R) 为半径的球面
上，也有
u(M ) u(M1).
因此，在整个球 KR 中恒有
u(M ) u(M1).
5
性质2 性质3
u(M0 )
(极值原理)
1
4a 2
udS.
a
(13)
现在证明对于 中的所有点都成立 u u(M1). 任取一点 N , 在区域 中作连接 M1, N 两点的
矛盾。则在球面 S R 上满足u(M ) u(M1).
4
性质2 性质3
u(M0 )
(极值原理)
1
4a 2
udS.
a
(13)
用反证法. 假定函数 u 在某点 M1 达到最大值， 以M1为心，任意长 R 为半径作球 K R , 使它完全落 在区域 中，记KR的球面为 S R , 则在 SR 上满足
(uv
vu)d
u
v n
v
u n
dS.
(6)
11
(uv
vu)d
u
v n
v
u n
dS.
(6)
u(M
0
)
1
4
u
(
M
)
n
1 rMM0
1 rMM0
u(M
)
dS.
n
(8)
在格林第二公式(6)中，取 u, v均为区域 内的
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
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2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
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8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
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11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
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7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
4第四章格林函数法
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
格林函数公式
格林函数公式格林函数是一种数学工具，用于求解偏微分方程问题。
他们被广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域中。
在此文档中，我们将介绍格林函数的基本概念，并讨论它们在求解偏微分方程中的重要作用。
基本概述格林函数是一个数学函数，用于求解关于某个特定系统的线性偏微分方程的解。
这个函数在数学上被定义为下面的积分：G(x, y) = ∫K(x, y, ξ)F(ξ)dξ其中，K代表一个所谓的内核函数，它可以被视为系统对某个点源触发产生的响应函数。
F(ξ)是一个给定的受迫项函数，它表示了在系统中产生的激励效应。
G(x,y)代表了任意两个点x和y之间的影响函数，它表达了一个点受另一个点影响的程度。
格林函数的重要性格林函数在求解偏微分方程中体现了它特殊的重要性。
在PDE中，我们经常需要求解由某个系统的激励效应所引起的响应。
例如，在热传导问题中，激励项F(ξ)可以表示为热源的转移率。
在流体力学中，它可以表示为质量和能量输入的源。
在声学中，它可以表示为声音源的振动。
无论哪种情况，我们都需要找到一个函数G(x,y)，它可以很好地反映出在当前系统下，如何将激励函数在某个点上转发到系统中的其他点上。
在这个过程中，格林函数的具体形式和性质显得尤为重要。
具体应用接下来我们将介绍两个具体的例子，它们分别显示出了格林函数在解决实际问题中体现出的价值。
例子一：热传导问题假设我们在一个矩形的平面内部有一热源，并且这个矩形的四周的边界是冷却的。
现在，我们要求出在矩形平面中任意一个点的温度变化情况。
为此，我们需要考虑如下的偏微分方程：∇²u - κu = q其中，u表示温度变化的值，κ表示热扩散性质的参数，q是热源的转移率。
这个方程的解可以被表示为下面的积分：u(x) = ∫K(x, y)F(y)dy在这里，K(x,y)是格林函数，它可以表示为热对某一点的效应；F(y)是热源在某一点上的转移率。
例子二：波动方程假设我们需要模拟一个灵敏的声学系统。
格林函数法
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
格林函数——精选推荐
格林函数在线性媒质中，任意分布的简谐(或稳恒)源所激励的场，都可以化为单位点源所激励的场的线性组合。
在确定的媒质和边界条件下，单位点源所激励的场⽮量或势函数就称为该条件下场或势的格林函数。
它们是场点位置⽮径r和源点位置⽮径r′的函数。
电磁场边值问题的解可以表⽰成源函数与格林函数乘积的积分。
标量格林函数在均匀⽆界媒质中，⾃由电荷密度ρ所产⽣的标势φ在洛伦兹规范下满⾜⽅程(1)式中k2=ω2εµ，该标势的格林函数G(r，r′)应满⾜⽅程(2)式中2对r点的坐标作运算,δ(r－r′)是集中作⽤在r′点的狄拉克δ-函数。
此⽅程的解是(3)由此可得标势的解是下列对r′的坐标的积分(4)当媒质为分区均匀时,在分界⾯上G应满⾜与φ相同的连续性条件。
设G＝G0+G1,其中G1表⽰分界⾯的影响，且在r→r′时应为有限值。
例如在理想导体平表⾯S的上半空间中的格林函数为(5)式中第⼀项即为G0，第⼆项表⽰导体表⾯的影响，r媴是r′关于平表⾯的镜象点。
如果均匀媒质空间V被闭曲⾯S0所包围,应⽤格林第⼆公式，并利⽤格林函数的对称性G(r′,r)＝G(r,r′)，可得(6)为了消除⾯积分中的未知项，应当根据φ的已知边界条件来规定G的边界条件，具体来说，当已知φ或或的边界值时，应相应地规定例如，V是⽆限⼤平⾯S的上半空间,已知V内的源分布ρ和S上的φ值，利⽤格林函数（5）式并注意到以及对于S上的源点ri=r，有和于是(7)并⽮格林函数以上的讨论也适合场或⽮势的各直⾓坐标分量。
对于⽮量源函数，通常将r′点的源⽮量分解为三个正交分量,分别求出在r点的场或势。
于是对于电场和磁场⽮量，共有6个⽮量格林函数，采⽤并⽮记法，则可合并为两个并⽮格林函数。
设在r′点放置的电流源J，它的三个分别沿正交单位⽮量e媴(i=1,2,3)的电偶极矩为(8)则体积V中的电流源J(r′)所产⽣的电场为(9)记电场和磁场的电并⽮格林函数分别是(10)则(9)式可写成并⽮的形式(11)⼀般情况下，沿e媴⽅向的电偶极矩所产⽣的电场E e(e媴)应满⾜⽅程(12)对应有电并⽮格林函数的⽅程(13)和关系式(14)在⽆界均匀媒质中(15)对应有电并⽮格林函数(16)式中是单位并⽮，当r→r′时,E e为|r→r′|-3的量级,所以当J(r)厵0时,在数学上不收敛,应当取其主值。
Chapter4.2格林函数法
M ( x, y, z )
o
y
x
M1 ( x0 , y0 , z0 )
1 它与M 0点负电荷所产生的电位在平面z 0上相互抵消由于 . 4 rMM1 在半空间z 0为调和函数，且在z 0上有一阶连续偏导数， 1 1 1 因此 G ( M , M 0 ) ( ). 4 rMM 0 rMM1
与调和函数的积分公式相加可得 v u 1 1 1 u ( M 0 ) u ( M ) ( ) v dS n 4 n rMM 0 4 rMM 0 n
显然，若能选择调和函数v满足 v
z0 2
f ( x, y) [( x x0 )2 ( y y0 )2 z02 ]3/2 dxdy
思考：半平面的格林函数？
定解问题
2u 2u x 2 y 2 0, y 0, u f ( x), x y 0
应在内侧就感应有一定分布密度的负电荷，而在外侧分布有相应的
1 G( M , M 0 ) v. 4 rMM0
当点M 在边界上时电位为零，即G(M , M 0 ) | 0.
2 v 0 in 显然电位v满足方程 . 1 v 4 r MM 0
1 则 u( M 0 ) u( M ) ( v)dS n 4 rMM 0
1 4 rMM 0
2 v 0， in 1 1 令G ( M , M 0 ) v, 其中调和函数v满足 1 4 rMM 0 v 4 r MM 0 G 则 u ( M 0 ) u ( M ) dS . n
数理方程第四章格林函数法
第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思 义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条 件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林 函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微
分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯
(4.1.1)
求方程(4.1.1)的球对称解u V (r ) (即与 和 无关的解) ,则有：
c1 其通解为：V ( r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r 1 若取 c1 1, c2 0,则得到特解 V0 ( r ) ,称此解为三维Laplace r
方程的边值问题。
2
上午5时5分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.1 格林公式及其应用
4.1.1 基本解 对拉普拉斯方程 u uxx u yy uzz 0 , 其球坐标形式为：
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
u 0, ( x, y, z ) 推论2 Dirichlet问题 的解是唯一的。 u f ( x, y, z )
9
上午5时5分
HUST 数学物理方程与特殊函数
如图4.1 , 以
u(M ) u(M 1 ) .
M1
第4章格林函数法
证明： （ 反证法）假设 u 在 内某点 M 1 达到最大值， 为中心，任意长 R 为半径作球 k R ,使 它完全落在区域 中，记 kR 的球面为 S R , 则在 SR 上有 这是因为，若 M ，使u ( M ) u ( M 1 ) ,则由函数的 连续性，必可找到此点在球面 S R上的一个邻域，在此 邻域中，也有 u ( M )
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函数的概念。 还需要借助格林第二公式
u v (uv vu)d u v dS. n n
u v (uv vu)d u v dS. n n
(6)
1 u(M 0 ) 4
4
4.2 格林函数
对于在区域 中为调和函数，在 上具 有一阶连续偏导数的函数 u, 我们有等式
1 u(M 0 ) 4 1 u ( M ) rMM n 0 1 u ( M ) dS. rMM n 0
2
利用极值原理证明狄利克雷问题
u( x, y, z ) 0, ( x, y, z ) ,
u | f ( x, y, z)
(14)
解的惟一性。
设 u1 , u 2 是问题(14)的两个解， 则 u u1 u 2 是 内的调和函数，即 u 0, 并且 u | 0. 由极值原理知 u在 内既不能大于0，又不能
1 u(M 0 ) 4 1 u ( M ) rMM n 0 1 u ( M ) dS. rMM n 0
(8)
所以为了求解狄利克雷问题， 我们自然首先想到
u 从公式(8)中设法消去n .
为此，需要引入格林 (6)
(6)
1 u(M 0 ) 4
1 u ( M ) rMM n 0
1 u ( M ) dS. rMM n 0
(8) (15)
1 u ( M 0 ) u v 4rMM 0 n
0 0
在格林公式(6’)中，取 u , v 均为区域 D 内的 调和函数， 并且在 D C上有连续的一阶偏导数 ，则得
u v 0 u v dS. n n C
1 u 1 ln v dS. (15’) 2 rMM n 0
17
G( M , M 0 )
1 1 ln v, 2 rMM 0 G u(M 0 ) u dS. n C
(17’) (18’)
因此，如果格林函数 G(M , M 0 ) 已经知道，并且 它在 D C上具有一阶连续偏导数， 如果二维拉普拉斯方程的狄利克雷问题
u( x, y) 0, ( x, y) D,
G f ( x, y, z ) dS. n
(20)
11
G( M , M 0 )
1 v, 4rMM 0
G dS. n
(17) (20)
u ( M 0 ) f ( x, y, z )
因此，如果格林函数 G(M , M 0 ) 已经知道，并且 它在 上具有一阶连续偏导数， 对于泊松方程的狄利克雷问题而言
1 u ( M ) rMM n 0
1 u ( M ) dS. rMM n 0
(8)
在格林第二公式(6)中，取 u , v 均为区域 内的 调和函数， 并且在 上有连续的一阶偏导数, 则得
u v 0 u v dS. n n
它在 上具有一阶连续偏导数， 如果拉普拉斯方程的狄利克雷问题
u( x, y, z ) 0, ( x, y, z ) ,
u | f ( x, y, z)
(19)
在 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19)的解可表示为
u ( M 0 )
(8)
u 由于 给定的，而 n 在边界 上的值就不知道， u 狄利克雷问题的解是惟一的 因此 n 在边界 上
比如，对于狄利克雷问题， u 在 上的值是已
， 的值就不能再任意给定了。
6
4.2 格林函数
对于在区域 中为调和函数，在 上具 有一阶连续偏导数的函数 u, 我们有等式
则(16)式可表示为
G dS. n
其中 G(M , M 0 ) 称为拉普拉斯方程的格林函数(或 称为狄利克雷问题的源函数). 而且 G(M , M 0 ) 在 边界 上恒等于0.
10
G( M , M 0 )
1 v, 4rMM 0
(17)
G u ( M 0 ) u dS. (18) n 因此，如果格林函数 G(M , M 0 ) 已经知道，并且
(8)
此积分表达式表示函数 u 在区域 内部的数值
u 可以用函数 u 及其法向导数 n 在边界 上的数值
表示出来。 但狄利克雷问题或诺依曼问题的解 还不能直接由(8)式求出。
5Leabharlann 4.2 格林函数对于在区域 中为调和函数，在 上具 有一阶连续偏导数的函数 u, 我们有等式
1 u(M 0 ) 4 1 u ( M ) rMM n 0 1 u ( M ) dS. rMM n 0
u |C f ( x, y)
(19’)
在 D C 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19’)的解可表示为
G u ( M 0 ) f ( x, y ) dS. n C
(20’)
18
G( M , M 0 )
1 1 ln v, 2 rMM 0 G u(M 0 ) u dS. n C
G dS. n
(17) (20)
u ( M 0 ) f ( x, y, z )
应用(20)求解拉普拉斯方程的狄利克雷问题时， 关键在于要找到格林函数(17)G(M , M 0 ), 其中 v 是下面特殊的狄利克雷问题的解
v 0, ( x, y, z) , 1 v | | 4rMM 0
小于0， 故在 上有 u 0, 即 u1 u2 . 这就证明了狄氏问题解的惟一性。
3
推论 (比较原理) 设 u , v 都是区域 内的调和函数，且在 上连续， 若在 边界 上成立不等式 u v, 则在 内该不等式同样成立， 且只有在 u v 时， 在 内等号才成立。
u( x, y, z ) F , ( x, y, z ) ,
u | f ( x, y, z)
在 上如果存在一阶连续偏导数的解， 则这个 解必能表示为
u ( M 0 )
G f dS FGd. n
12
G( M , M 0 )
1 v, 4rMM 0
u 这样(15’)式中的 n
项就消失了，于是有 (16’)
16
1 1 u(M 0 ) u ln v dS. n C 2 rMM 0
1 1 u(M 0 ) u ln v dS. n 2 r MM C 0
(8’)
和平面上的格林公式
u v (uv vu)d u v dS. n n D C
(6’)
14
u v (uv vu)d u v dS. (6’) n n D C 1 1 1 u ( M ) ln u(M 0 ) u( M ) ln dS. (8’) 2 C n rMM rMM n
(21)
由这个函数 v 确定的格林函数，称为第一边值
问题的格林函数。 (对于某些特殊区域，如球域、 半空间等，可求出格林函数) 13
补充3 定义平面上第一边值问题的格林函数并 导出该问题解的积分表达式
为此，我们需要借助公式
1 u(M 0 ) 2 ln 1 u ( M ) rMM n C 0 1 u ( M ) ln dS. rMM 0 n
1
二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为
1 U 0 ln r 1 U0 r
(r 0),
2 格林第二公式
u v ( u v v u ) d u v dS. n n
(6)
3 调和函数的积分表达式
1 u(M 0 ) 4 1 u ( M ) rMM n 0 1 u ( M ) dS. rMM n 0
将上式与(8)式相加得
1 u ( M 0 ) u v n 4rMM 0 1 u v dS. 4rMM n 0
(15)
8
u v (uv vu)d u v dS. n n
15
将上式与(8’)式相加得
1 1 u (M 0 ) u v ln n 2 rMM 0 C
u v (uv vu)d u v dS. (6’) n n D C 1 1 1 u ( M ) ln u(M 0 ) u( M ) ln dS. (8’) 2 C n rMM rMM n
1 | , 于是有 选取的调和函数 v , 满足 v | 4rMM 0
1 u ( M 0 ) u v dS. n 4 r MM 0
(16) (17) (18)
令
1 G( M , M 0 ) v, 4rMM 0
u ( M 0 ) u
0 0
1 1 u (M 0 ) u v ln n 2 rMM 0 C
1 u 1 ln v dS. (15’) 2 rMM n 0
1 1 如果选取调和函数 v , 满足 v |C 2 ln r |C , MM 0
1 u v dS. 4rMM n 0