多尺度方法在复合材料力学研究中的进展

多尺度方法在复合材料力学分析中的研究进展摘要简要介绍了多尺度方法的分量及其适用围，详细论述了多尺度分析方法在纤维增强复合材料弹性、塑性等力学性能中的研究进展，最后对多尺度分析方法的前景进行了展望。

关键词多尺度分析方法，复合材料，力学性能，细观力学，均匀化理论1 引言多尺度科学是一门研究不同长度尺度或时间尺度相互耦合现象的跨学科科学，是复杂系统的重要分支之一，具有丰富的科学涵和研究价值。

多尺度现象并存于生活的很多方面，它涵盖了许多领域。

如介观、微观个宏观等多个物理、力学及其耦合领域[1]。

空间和时间上的多尺度现象是材料科学中材料变形和失效的固有现象。

多尺度分析方法是考虑空间和时间的跨尺度与跨层次特征，并将相关尺度耦合的新方法，是求解各种复杂的计算材料科学和工程问题的重要方法和技术。

对于求解与尺度相关的各种不连续问题。

复合材料和异构材料的性能模拟问题，以及需要考虑材料微观或纳观物理特性，品格位错等问题，多尺度方法相当有效。

复合材料是由两种或者两种以上具有不同物理、化学性质的材料，以微观、介观或宏观等不同的结构尺度与层次，经过复杂的空间组合而形成的一个多相材料系统[2]。

复合材料作为一种新型材料，由于具有较高的比强度和比刚度、低密度、强耐腐蚀性、低蠕变、高温下强度保持率高以及生物相容性好等一系列优点，越来越受到土木工程和航空航天工业等领域的重视。

复合材料是一种多相材料，其力学性能和失效机制不仅与宏观性能（如边界条件、载荷和约束等）有关，也与组分相的性能、增强相的形状、分布以及增强相与基体之间的界面特性等细观特征密切相关，为了优化复合材料和更好地开发利用复合材料，必须掌握其细观结构对材料宏观性能的影响，即应研究多尺度效应的影响。

如何建立起复合材料的有效性能和组分性能以及微观结构组织参数之间的关系，一直是复合材料研究的重点，也是复合材料研究的核心目标之一。

近年来，随着细观力学的发展和渐近均匀化理论的深化，人们逐渐认识并开始研究复合材料宏观尺度和细观尺度之间的联系，并把二者结合起来。

本文综述了多尺度分析法在纤维增强复合材料力学性能中的研究进展，并对多尺度分析方法的发展进行了展望。

2 纤维增强复合材料力学性能分析中的多尺度方法目前，纤维增强复合材料的研究方法可分为宏观力学和细观力学方法两种。

复合材料宏观力学方法[3]是从唯象学的观点出发，基于均匀化假设，将复合材料当做宏观均匀介质，视增强相和基体为一体，不考虑组分相的相互影响，仅考虑复合材料的平均表现性能。

宏观力学方法中的应力、应变不是基体和增强相的真实应力、应变，而是在宏观尺度上的某种平均值。

复合材料细观力学[4]的目的是建立复合材料宏观性能同其组分材料性能及细观结构之间的定量关系，是将微观结构形态特征量与宏观力学分析相综合，来建立两个不同尺度之间的联系，细观力学是介于宏观力学与微观力学之间的重要分支学科，对研究跨尺度效应的力学问题，既有重要的理论价值，也有重要的工程应用前景，是当前力学研究的国际前沿性问题。

纤维增强复合材料领域的多尺度分析方法主要为细观力学方法，主要分为两大类：分析法和细观力学有限元法[4]。

2.1 分析法分析法是用来研究复合材料处于弹性围时的弹性性能，现在也用于非弹性性能的预测。

常见的方法包括自治方法、广义自治方法、Mori-Tanaka方法、胞元模型和均匀化方法等。

2.1.1 自治方法和广义自治方法自治方法是Hershey[5]和Kroner[6]在50年代先后提出的，主要用来研究多晶体材料的弹性性能。

自治方法所使用的模型为无限大均匀介质中含单一夹杂的模型。

如图1所示，认为夹杂单独处于一有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性常数恰好就是复合材料的弹性常数。

求解基本思想是由均匀边界条件下的自治模型求得夹杂相的平均应变，从而求得有效弹性刚度量。

2.1.2 Mori-Tanaka 方法Mori-Tanaka[7]方法是1973年Mori和Tanaka在研究弥散硬化材料的加工硬化时，提出的求解材料部平均应力的背应力方法，是一种基于Eshelby等效夹杂原理的非均质材料的等效弹性模量的计算方法。

Mori-Tanaka方法建立了夹杂相平均应变同基体相平均应变间联系的四阶量，并将这个依赖于夹杂浓度的四阶量用无限大的基体材料单一夹杂的平均应变和均与应变间联系量来代替。

近年来，该方法成为预测非均匀复合材料性能的手段之一，但是该方法只适用于夹杂物都体分比较小的情况，模型示意图如图2所示。

2.1.3 胞元模型胞元模型，即宏观-细观统一的弹性本构模型，是Aboudi于1989年首次提出来，并与1991年把该模型推广到通用单胞模型中，后来Aboudi[8]等又把Bonder-Partom本构模型融入到MOC与GMC模型中，将其推广到纤维增强复合材料的弹塑性分析中。

胞元模型是利用复合材料的周期性假设，将代表性体积单元划分为若干个子胞（如图3所示），假设子胞任一点的位界条件（平均位移连续条件和应力连续条件），求解弹性力学的基本方程，获得RVE的应力应变场，再利用均匀化理论获得复合材料的宏观应力-应变关系。

分析思路如图4所示。

2.1.4 均匀化理论均匀化理论是20世纪70年代由法国科学家提出并应用到具有周期性结构的材料分析中[9]。

Babuska曾预言均匀化理论应用于复合材料研究的可能性，后来Duvaut首先将其应用于单向纤维复合材料，并将所得结果与Halpin-Tsai的结果进行了比较，发现吻合较好。

近年来该方法已成为分析夹杂、纤维增强复合材料、混凝土材料等效模量以及材料的细观结构拓扑优化常用的手段之一。

均匀化方法是目前国际上分析复合材料宏细观力学性能较为流行的方法，现在我国的研究人员也致力于这方面的研究，并逐步运用到工程领域中。

均匀化方法是一种分析周期性微观结构材料性能的具有严格数学依据的方法，是一种既能分析复合材料的宏观特性，又能反映其细观结构特性并建立起二者之间的联系及相互作用的方法。

它从构成材料的微观结构的“胞元”出发，将胞元均匀化理论同时引入宏观尺度和微观尺度中，利用渐近分析方法，来有效建立宏观和细观之间的联系。

2.2 细观力学有限元法细观力学有限元法是通过划分网格将结构离散化来计算应力-应变关系，先求出应力-应变场，再通过均匀化方法求出宏观应力-应变关系，还可以根据细观场量进一步研究复合材料的塑性屈服、损伤破坏等问题。

细观力学的最大优点在于它能够获得细观尺度下完整的应力、应变场来反映复合材料的宏观相应特征，这样能够定量分析复合材料宏观性能对细观结构的依赖关系。

细观力学有限元法是处理具有小周期构造的复合材料问题的一个重要理论方法，近年来许多学者建立和发展了多尺度有限元算法。

3 多尺度分析方法对纤维增强复合材料弹塑性性能的预测3.1 弹性性能复合材料是一种多相材料，影响其弹性性能的因素可以分为两大类：一类是复合材料每一组分材料的弹性常数；另一类是复合材料部的微结构特征，它包括增强相的形状、种类、几何尺寸、在基体中的分布和增强相间的相互作用等。

为了揭示复合材料特征对其宏观性能的影响，许多研究工作者从细观角度出发，发展了较为系统的细观力学方法，解决了一些理论和工程问题，特别是今年来出现的均匀化理论，已成为分析纤维增强复合材料多尺度问题最常用的方法。

俊芝等[10]研究了拟周期结构在线弹性边界条件下的均匀化方法，并给出了有限元基本计算量——位移、应力、应变和能量的估算。

他们对具有小周期孔洞的复合材料弹性结构[11]进行了研究，得到了位移函数一类可以计算的双尺度渐近展开式。

他们还分析了一类具有小周期系数的椭圆型边值问题的双尺度渐近方法[12]，主要研究方法是将原始的计算问题转换到定义在边界层上的周期性问题的分析中，并采用了严谨的数学理论。

他们还用双尺度有限元分析方法给出了周期性复合材料格林函数一阶均匀化解的逐点误差估计以及高精度的近似解，并针对周期性复合材料的热-力耦合问题给出了物理、力学参数和热-力耦合解的双尺度表达式，发展了相应的多尺度有限元算法。

志刚[13]研究了复合材料宏-细观统一本构模型及一体化分析方法将复合材料细观场量与宏观场量联系起来。

针对线性细观位移模式的通用单胞模型无细观正应力和剪应力之间耦合问题，推导了采用二阶细观位移模式的高精度通用单胞模型，并对基于高阶理论的通用单胞模型进行了深入研究，针对高精度通用单胞模型计算效率低的缺点，采取了以界面平均量代替细胞位移函数的系数，并按弱化的边界条件，提出了改进的二维高精度通用单胞模型。

建华等[14]以三维有限元为数值分析手段，通过在复合材料细观模型的边界上施加多组特定形式的均匀边界条件，提出了一种通用的计算复合材料刚度的有限元方法，该方法可以一次性求解出复合材料所有的刚度系数。

3.2 塑性性能近年来，运用细观力学均匀化方法对复合材料有效性能的研究逐渐兴起，但还多限于对复合材料弹性性能的研究，然而材料的破坏过程往往与材料的非线性特征相联系，因此用多尺度方法对非线性问题进行研究就显得更为重要。

多尺度方法能够加速建模过程，减少计算工作量，主要思想是以全局均匀材料来等效原来的非均质材料，且能满足两体系的应变能完全或近似相同，对复合材料塑性研究也颇为有效。

华祥等[15]从反映复合材料细观力学的胞元入手，综合塑性极限分析中的机动法，将周期性复合材料的解转化为求解一组带等式约束的非线性数学规划问题；建立了计算极限载荷因子的一般数学规划格式，并采用一种无搜索直接迭代计算法，研究了韧性复合材料的塑性极限承载能力。

该方法建立在位移模式有限元基础上，有较广的适用围，为复合材料的强度分析提供了一个有效手段。

他还将细观力学中的均匀化方法引入到塑性极限分析的机动方法中[16],对组合材料采用非线性von Mises屈服准则。

建立了复合材料塑性极限分析的有限元分析格式，最终将问题归结为求解一个带等式约束的非线性数学规划格式，并采用一种无搜索直接迭代算法进行求解，为复合材料强度分析提供了一个有效手段。

苑学众等[17]建立了整体材料的渐近分析理论。

利用渐近级数并引用宏观和细观两个尺度阐述了复合材料的弹塑性性能与组分性能及细观结构的关系；用ANSYS有限元软件对玻璃纤维/环氧树脂和硼/铝复合材料的弹塑性有效性能进行了计算，并与试验结构进行了比较。

涛等[18]将均匀化方法和渐近分析与参变量变分原来相结合提出了一种模拟复合材料非线性性能的多尺度树脂方法。

利用渐近分析建立了宏·细观变量之间的联系，用参变量变分原理计算非线性响应，求解过程采用迭代算法。

为了提高计算精度，针对von-Mises准则和Tsai-Hill准则，提出了一个基于参变量变分原理的改进算法，算例表明该方法可以显著消除传统方法采用线性展开式构造线性互补条件所带来的误差。