川大离散数学习题

习题6

1.设A={1，2，3，4}，B=A×A。确定下述集合是否为A到B的全

函数或部分函数。

(1){(1,(2,3)),(2,(2,2)),(3,(1,3)),(4,(4,3))}.

(2){(1,(1,2)),(1,(2,3)),(3,(2,4))}.

(3){(1,(3,3)),(2,(3,3)),(3,(2,1)),(4,(4,1))}.

解：

（1）、全函数

（2）、不符合单值

（3）、全函数

要点：根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素y与之对应。

2.判别以下关系中那些是全函数。

(1){(n1,n2)|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}。

(2){(n1,n2)|n1,n2∈N,n2是n1的正因子个数}。

(3){(S1,S2)|S1,S2⊆{a,b,c,d}且S1 S2=Ø}。

(4){(a,b)|a,b∈N,gcd(a,b)=3}.

(5){(x,y)|x,y∈Z,y=x2}.

解：

(1) {(n1,n2)|n1, n2∈N, 0<2 n1-n2<5}

不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。

(2) {(n1,n2)|n1, n2∈N, n2是n1的正因子个数}

部分函数，n1=0时无定义

(3) {(S1,S2)|S1, S2⊆{a,b,c,d}且S1⋂ S2= ∅}

不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。

(4) {(a, b)|a, b ∈N, gcd(a,b)=3}

不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。

(5) {(x, y)|x, y ∈Z, y=x2}

全函数

3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。请利用集合A和B的特征函数χA（x）和χB（x）表示出A B，A B，A-B，A以及A○+B对应的特征函数。

解：（略）

4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。

解: 可以定义n n个二元关系，n！个全函数

5.设，证明：。

证明：b∈f(A)-f(C)⇒b∈f(A)∧ b∉f(C)

⇒(∃x)[x∈A ∧ x∉C ∧ f(x)=b]

⇒(∃x)[x∈A-C ∧ f(x)=b]

⇒b∈f(A-C)

所以f(A)-f(C)⊆f(A-C)

7.设f：X→Y，A和B是X的子集。

证明，()()(),()()()

⋃=⋃⋂⊆⋂

f A B f A f B f A B f A f B

证明：

（1）y∈f(A∪B)

⇒(∀x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]

⇒(∀x)[x∈A ∧f(x)=y]∪(∀x)[x∈∪B ∧f(x)=y]

⇒y∈f(A)∪y∈f(B)

∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)

（2）y∈f(A∩B)

⇒(∀x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]

⇒(∃x)[x∈A∧f(x)=y]∩(∃x)[x∈B∧f(x)=y]

⇒y∈f(A)∩y∈f(B)

∴f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)

8.确定下例映射是否单射、满射或双射：

（1）f1:N→R,f1(n)=ln n.

（2）f2:N→N,f2(n)为不超过n的素数数目。

（3）f3:N⨯N→N,f3(n,n)=(n+1).

（4）f4:R→R,f4(x)=x2+2x-15.

（5）f5:Z→Z,f5(x)=1+2x3.

（6）A是集合，f6:2A⨯2A→2A⨯2A,f6(x,y)=(x y,x y).

（7）f7:R⨯R→R,f7(x,y)=x+y. F8:R⨯R→R,f8(x,y)=xy.

解：

(1)单射

(2)满射，非单。如f(5)=f(6)=3

(3)非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。

(4)非单,非满。

(5)单,非满。如：1+2x3=5无解。

(6)非单: ({a}⋃{b}, {a}⋂{b}) = ({a,b}⋃∅, {a,b}⋂∅)

非满: (x ⋃ y,x ⋂ y)=({a}, {a,b})无解。

(7) f7: 非单,满，如：f(1,3)=f(2,2)

f8: 非单,满，如：f(1,3)=f(3,1)

9.设X是有限集合，f：X→X。证明：

(1)如果f是单射时，f必是双射。

(2)如果f是满射时，f必是双射。

证明：

(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有任意t,s∈X,当t≠s时f(t)

≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同；

又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射

∴f必是双射。

(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存

在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当

t≠s时，f(t)≠f(s)。

∴f必是双射。

10. 设f是有限集X上的一个函数，满足∀x∈X，f2（x）=x。证明：

f 是双射。

证明：

设x,y 是有限集X 上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x= f 2(x)= f 2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知f 是双射。

11.设f:A →B ，g ：B →2A ，满足∀b ∈B ，g （b ）={x ∈A|f(x)=b}.证明：当f 为满射时g 为单射。问g 为单射时，f 是否必是满射？

证：

1）对任意b 1、b 2∈B ，且b 1≠b 2。

∵f(x)是满射

∴1122,12a a A f(a )b ,f(a )b ∃∈==、使得

)b (g a ),b (g a )b (g a ),b (g a )x (g 12212211∉∉∈∈，且的定义，

由 12211221 )b (g a ),b (g a b )f(a ,b )f(a ==∈∈，有否则，如

为单射即与函数的定义相矛盾，g(x)), g(b )g(b 21≠∴。

不一定是满射并不能保证为单射时，对）而)x (f ,)b (g ,B b )(2∴≠∈∀φx g

12. 设A 和B 都是有限集合，试确定A 到B 有多少个单射？多少个满射？多少个双射？

解：

设A 、B 中元素个数分别为：m 、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m) 满射个数为：n m

,双射个数为：n!或m!