应用随机过程习题

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[应用随机过程][习题][02]

[应用随机过程][习题][02]

上海理工大学
2010-7-30
第四章习题
G X (ω ) = ∫ 2e e
∞ ∞ ∞ ∞ τ j (ω +π )τ
dτ + ∫ 2e e j (ω π )τ dτ


τ
+ ∫ (cos 2πτ )e jωτ dτ 4 4 = + + π [δ (ω 2π ) + δ (ω + 2π )] 2 2 1 + (ω + π ) 1 + (ω π )
2 Aα ( Ae 2 ) 2 α +ω ( cos ω 0 t π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω ω 0 )] )
α t
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第四章习题
补充:设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳,其
互相关函数为
9e 3τ , τ ≥ 0 R XY (τ ) = τ <0 0, 求互谱密度 GXY (ω ) 和 GYX (ω )
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第五章习题
5.10设表5.1中系统一栏的第二行所示的线性电
路,输入X(t)为白噪声,其功率谱密为 N 0 2 求输出Y(t)的功率谱密度及自相关函数 解: H (ω ) = jωRC
1 + jωRC
功率谱密度
N 0ω 2 R 2 C 2 GY (ω ) = G X (ω ) H (ω ) = 2(1 + ω 2 R 2 C 2 )
t3 t 2 RC
t t
t 3 > t1
t 2 t1 RC
RY (t3 t 2 ) RY (t 2 t1 ) N = 0 e 4 RC RY (0)

应用随机过程期末复习题

应用随机过程期末复习题

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布,又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的,而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前,该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =,状态转移矩阵1102211124412033P=(1)画出状态转移图;(2)讨论其遍历性;(3)求平稳分布;(4)计算下列概率: i ){(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ){(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行,其到达率为λ,若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行,问:(1)此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少? (2)至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少?4、设2()X t At Bt C ++,其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量,讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞,加上到一短时间的时间平均器上作它的输入,如下图所示,它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫,其中t 为输出信号的观测时刻,T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =,A 是(0, 1)内均匀分布的随机变量。

(1)求输入过程的均值和相关函数,问输入过程是否平稳? (2)证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.(3)证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−,输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−,问输出是否为平稳过程?6、甲、乙两人进行比赛,设每局比赛甲胜的概率为p ,乙胜的概率为q ,和局的概率为R ,1p q r ++=,设每局比赛后胜者记“1”,分负者记“-1”分,和局记“0”分。

随机过程及应用习题课三

随机过程及应用习题课三

随机过程及应用习题课三11. 设()cos ,X t A B t t =+-∞<<+∞,其中A 和B 为相互独立均服从(0,1)N 的随机变量.(1)证明{(),}X t t -∞<<+∞为正态过程;(2)求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.2. 设{(),(,)}X t t ∈-∞+∞是均值函数为0,自相关函数()(,)/2X R s t s t s t =+-- 的正态过程,证明1()()Y t X t =,0t >,2()(),0Y t X t t =-≥是相互独立的正态过程。

3. 设0{()}W t +∞是参数为2σ的维纳过程,试证明1()0()0tW t W t tt ?>?'=??=?是参数为2σ的维纳过程。

4. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,证明12()()0t W t c W t c=?≥是参数为2σ的维纳过程。

5. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,证明2()()W t W t =-是参数为2σ的维纳过程。

6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,证明3,0()()()0t W t W t a W a a ≥=+->是参数为2σ的维纳过程7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程,令231()0()00t W t W t tt ?>?'=??=? (1)(){},0W t t '≥是否为正态过程;(2)(){},0W t t '≥是否为维纳过程。

8. 设{(),0}X t t ≥是具有零均值和协方差(,)C s t 的正态过程,则对于任意的非负数,s t 和τ,证明:(1)2[()](,)()E X t C t t D t ==;(2)222[()]2(,)2()D X t C t t D t ==;2(3)222cov((),())2(,)X s X t C s t =;(4)[()()](,)E X t X t C t t ττ+=+;(5)2[()()](,)(,)(,)D X t X t C t t C t t C t t ττττ+=++++;(6)cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)X s X s X t X t C s t C s t C s t C s t ττττττ++=+++++ 9. 设{(),0}W t t ≥是参数24σ=的维纳过程,令(3)(1),(4)(2).X W W Y W W =-=-求:()D X Y +和cov(,).X Y10. 设0{()}W t +∞是为参数为2σ的Wiener 过程,求下列过程的均值函数和自相关函数。

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

第一章习题解答1. 设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数,EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=(其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、(1) 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩(2) 其期望和方差;(3) 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。

解 (1)设X 服从(,)p b Γ分布,则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ (2)'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===(4) 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得:()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量,()F x 是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。

李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1

李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1

习 题一、习题编号本次作业:1,2, 7,9,12,17,18,19,23,25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次,观察H -正面,T -反面出现的情况,试分析它的概率空间(),,P Ω。

解1.1: 样本空间:Ω = {HH, HT, TH, TT}集类:F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率:P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω,集类{},A B =。

试求:()σ的所有元素。

解1.2:因为:{},A B =所以:(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组,记A 组中白球的数目为X ;然后随机交换A 与B 中一个球,再记交换后A 组中白球的数目为Y 。

试求:(1)X 的分布律;(2)Y|X 的分布律;(3)Y 的分布律。

解1.3:(1)总计有2个白球,因此,X 的取值为0,1,2。

等分共有36C 种分法,等分后,X 取值分别为0,1,2的概率为:3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)交换一个球后,1)如果X 中没有白球,则交换后Y 可能取值为0、1 2)如果X 中有一个白球,则交换后Y 可能取值为0、1、2 3)如果X 中有两个白球,则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为:012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件,且()01P B <<,试证明:A 与B独立的充要条件为:()()|=|P A B P A B 。

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案一.概念简答题(每题5 分,共40 分)1. 写出卡尔曼滤波的算法公式2. 写出ARMA(p,q)模型的定义3. 简述Poisson 过程的随机分流定理4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念5. 简述Markov 状态分解定理6.简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷(共9 页)第2 页7. 什么是随机过程,随机序列?8.什么是时齐的独立增量过程?二.综合题(每题10 分,共60 分)1 .一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) ,2 k kk X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X是相互独立的。

试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。

2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且,在给定Y=y 条件下,随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷(共9 页)第3 页3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y}4.设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。

试求数学期望( ) t E X ,方差( ) t D X ,相关函数1 2 ( , ) X R t t,协方差1 2 ( , ) X C t t。

B 卷(共9 页)第4 页5 .设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P= 0 ,求其相应的极限分布。

6.设I={1,2,3,4},其一步转移概率矩阵P= 1 1 0 0 2 2 10 0 0 1 ,试画出状态传递图,对其状态进行分类,确定哪些状态是常返态,并确定其周期。

B 卷(共9 页)第5 页河北科技大学2010——2011 学年第一学期《应用随机过程》试卷(B)答案一.概念简答题(每题5 分,共40 分)1. 写出卡尔曼滤波的算法公式答:X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) (1)P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2) X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…(5) 2.写出ARMA(p,q)模型的定义答: 自回归移动平均ARMA(p,q) 模型为1 1 2 2 1 1 2 2 t tt p t p t t q t q X XXX ?其中,p 和q 是模型的自回归阶数和移动平均阶数;, ? ? 是不为0 的待定系数;t ?是独立的误差项;t X 是平稳、正态、零均值的时间序列。

[应用随机过程][习题][01]

[应用随机过程][习题][01]

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第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]

T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]

《应用随机过程》习题课二

《应用随机过程》习题课二

习题1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞且1221(),()33P P ωω==,分别求:(1)一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π;(2)二维分布函数(0,;,)4F x y π;(3)均值函数()X m t ; (4)协方差函数(,)X C s t .2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验,定义随机过程12cos ()2t X t πωω⎧=⎨⎩出现正面出现反面且“出现正面”与“出现反面”的概率相等,各为12,求 1)画出{()}X t 的样本函数2){()}X t 的一维概率分布,1(;)2F x 和(1;)F x3){()}X t 的二维概率分布121(,1;,)2F x x3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X tcos ()2t t X t t π⎧=⎨⎩在时刻抛掷硬币出现正面在时刻抛掷硬币出现反面求:(1)1(,),(1,)2F x F x ; (2)121(,1;,)2F x x4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥,()cos X t t ξω=,其中ω为正常数,~(0,1)U ξ.(1)分别求3,,,424t ππππωωωω=时()X t 的概率密度(,)f t x . (2)求均值函数()m t ,方差函数()D t ,相关函数(,)R s t ,协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程:()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数.6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =1()(),1,2,,(0)0nk Y n X k n Y ====∑其中()(0,1,2,)X k k =是相互独立同服从2(0,)N σ的正态随机变量. 试求: (1)()Y n 的概率密度;(2)((),())Y n Y m 的联合概率密度(m n ≥).7. 给定随机过程{(),}X t t T ∈,定义另一个随机过程:1,(),()0,().X t x Y t X t x <⎧=⎨≥⎩试证:{(),}Y t t T ∈的均值和自相关函数分别为{(),}X t t T ∈的一维分布函数和二维分布函数. 8. 设随机过程()cos()β=+ΘX t A t其中β为正常数,r. v. ~(0,1),~(0,2)A N U πΘ二者相互独立. 试求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的均值函数()m t 、方差函数()D t 和相关函数(,)R s t .9. 已知随机变量,ξη相互独立都服从正态分布2(0,)N σ,分别设:(1)()X t t ξη=+; (2)()cos X t t ξ=,令01max ()t Z X t ≤≤=,分别两种情形求()E Z .10. 一个通讯系统,以每T 秒为一周期输出一个幅度为A 的信号,A 为常数,信号输出时间~(0,)i X U T ,且持续到周期结束,设每个信号的输出时间i X 相互独立,设()Y t 为t 时刻接收到的信号幅度,求{()}Y t 的一维概率分布。

(完整版)应用随机过程试卷

(完整版)应用随机过程试卷

湖南科技学院二○一 年 学期期末考试数学与应用数学 专业 年级 应用随机过程试题考试类型:闭卷 试卷类型:C 卷 考试时量: 120分钟F一 、填空题(每空4分共24分)1、过程12{()cos sin ;0}X t Z at Z at t =+≥,其中1Z ,2Z 独立同分布,其共同分布为2(0,)N σ,a 为常数,则均值函数(())E X t = ,方差函数(())Var X t = ,协方差函数(,)s t γ= .2、计数过程{}(),0N t t ≥为参数为2的泊松过程,则{}(20)(18)2P N N -== ,((3))=E N .3、()1()N t i i S t Y ==∑是复合Poisson 过程,其中{}(),0N t t ≥为参数为3的泊松过程,1Y 服从正态分布(1,4)N ,则[(5)]E S = .二 、判断题(小题2分,共16分)1、 设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程,n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间,则{}{}()n N t n T t <⇔>. ( ) 2、{}(),0N t t ≥是更新过程,则对0t≤<+∞,有()EN t <+∞. ( )3、Poisson 过程具有独立增量性. ( )4、{}n Z 是马尔可夫链,则202(,)()n n n n P X j X i X k P X j X i ++======.题 号 一二三四五总分 统分人得 分 阅卷人复查人( )5、Brown 运动的样本路径()B t ,0t T ≤≤具有连续性. ( )6、{}n Z 是有限状态的马尔可夫链,其一步转移矩阵为P ,则其n 步转移矩阵()n n PP =.( )7、Brown 运动不是平稳增量过程. ( ) 8、{}(),0N t t ≥是Poisson 过程,n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间,则当t →+∞时,()1()N t r t T t +=-与()()N t s t t T =-有相同的极限分布. ( )三 、计算题(共46分)1、(12分)设{}(),0N t t ≥是强度为3的Poisson 过程, 求(1){}(1)2,(3)4,(5)6P N N N ===; (2){}(5)6(3)4P N N ==;(3)求协方差函数(),s t γ,写出推导过程.2、(10分)设{}(),0N t t ≥是更新过程,第k 次更新与第1k -次更新的时间间隔k X 服从分布2(2)3k P X ==,1(3)3k P X ==.计算((1))P N n =,((2))P N n =,((3))P N n =,0,1,2,n =.3、(12分)设1{(),0}N t t≥,2{(),0}N t t ≥是强度分别为1λ,2λ 且相互独立的Poisson 过程,记k T 为1{(),0}N t t≥的第k 次事件发生的等待时间,1V 为2{(),0}N t t ≥第1次事件发生的等待时间.求1()k P T V <.4、(12分){,1,2,}n X n =为独立同分布的随机变量序列,具有如下分布1(1)(1)2n n P X P X ===-=1,2,n =令1nni i S X ==∑.(1)求随机过程{,1,2,}n S n =的均值函数和自相关函数;(2)判断{,1,2,}n S n =是否为宽平稳过程.四 、证明题(共14分)1、设{}(),0i N t t ≥,1,2,,in =是n 个相互独立的Poisson 过程,参数分别为i λ,1,2,,i n =,试证{}1()=(),0ni i N t N t t =≥∑是Poisson 过程.。

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述,错误的是:A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的,也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案:D2. 以下哪种过程不是随机过程?A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案:D3. 随机过程的一阶矩描述的是:A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案:A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时,该随机过程为:A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案:B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中,正确的是:A. 当前状态只与上一状态有关,与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关,与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案:A二、填空题1. 随机过程中,时域函数常用的表示方法是__________。

答案:概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。

答案:当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。

答案:时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。

答案:冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。

答案:时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。

随机过程是一种由随机变量组成的集合,表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。

它可以是离散的,也可以是连续的。

随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数,以及相关的统计特征,如均值、方差等。

随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。

2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。

马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程,即当前状态只与上一状态有关,与历史状态无关。

其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。

应用随机过程林元烈期中考自测题(1)

应用随机过程林元烈期中考自测题(1)

应用随机过程林元烈期中考自测题(1)应用随机过程——林元烈期中考自测题随机过程是一种研究随机现象随时间或空间变化的数学模型。

而应用随机过程则是将随机过程理论应用于实际问题的一种方法,例如在金融、物理、计算机科学、统计等领域都有广泛的应用。

在林元烈期中考自测题中,也涉及到了应用随机过程的相关内容,下面进行分析。

1. 第2题:某公司的电话接线员接电话量服从泊松分布,平均每小时接25个电话。

设T代表这位接线员一小时内接3个电话的时间 [0,t]的概率,求T的概率密度函数。

解析:由于电话接线员接电话服从泊松分布,因此假设单位时间内接电话的个数X~Pois(25),接3个电话的概率为P(X=3),因此可得出T,即3/X的分布函数概率密度函数。

最终得出答案为3*e^(-75*t)/(5 * (1-e^(-25*t))^2)。

2. 第10题:某银行的营业额服从均值1.2万元,方差为0.81万元^2的正态分布。

若有某天该银行的营业额达到了1.5万元,则该天是该银行总营业额高于期望值的概率是多少?解析:由于营业额服从正态分布,因此可以使用标准正态分布表求得Z 值,即Z=(1.5-1.2)/0.9=0.333。

然后,在标准正态分布表中查找Z=0.333时的面积为0.6293,即该天该银行总营业额高于期望值的概率为0.6293。

3. 第11题:有5个记忆体插座,其中有2个是坏的,设插座随机插入记忆体,取出一块记忆体,若是坏的,则再次放回盒中;若不坏,则不再放回盒中。

现已取出一块不坏的记忆体,请问至少要进行几轮才能够找到一块坏的记忆体?解析:这个问题可以使用几何分布来解决,假设坏的记忆体出现的概率为p=2/5,取出一块不坏的记忆体之后,再次放回盒中,因此不影响下一次抽取的概率。

因此,设X为进行几轮才能找到一块坏的记忆体,则X~Geo(p),根据几何分布公式可得E(X)=1/P(X>=1)=1/p=2.5,因此至少要进行3轮才能够找到一块坏的记忆体。

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个是随机过程的数学定义?A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案:C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是:A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案:A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程?A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案:A4. 泊松过程是一种:A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案:A5. 布朗运动是:A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案:B二、简答题(每题5分,共20分)1. 简述什么是平稳随机过程,并给出其数学特征。

答案:平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。

数学上,如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变,则称该过程为严格平稳过程。

2. 解释什么是遍历定理,并说明其在随机过程中的重要性。

答案:遍历定理是随机过程中的一个基本定理,它提供了时间平均与概率平均之间的联系。

在随机过程中,如果一个随机过程是遍历的,那么对于任意的观测时间点,其时间平均值将趋向于其期望值,这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。

3. 描述什么是随机过程的平稳增量,并给出其数学定义。

答案:随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内,随机过程增量的分布不随时间变化。

数学上,如果对于任意的非负整数n和任意的实数h,随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布,则称该随机过程具有平稳增量。

4. 简述什么是马尔可夫性质,并给出一个实际应用的例子。

答案:马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态,而与过去的状态无关。

具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。

例如,在天气预报中,明天的天气可能只与今天的天气有关,而与前几天的天气无关,这就是马尔可夫性质的一个实际应用。

随机过程与应用考试试题

随机过程与应用考试试题

随机过程与应用考试试题一、选择题1. 在马尔科夫链中,状态转移概率矩阵的要求是:A. 每行所有元素之和等于1B. 每列所有元素之和等于1C. 对角线上的元素均大于0D. 所有元素均大于02. 在随机过程中,平稳性的要求是:A. 每个时刻的概率分布都相同B. 概率分布随时间发生改变C. 均值和方差不随时间发生改变D. 方差不随时间发生改变3. 泊松过程的特点是:A. 不存在跳跃B. 存在连续的状态变化C. 均值和方差相等D. 每个单位时间发生事件的数量是恒定的4. 马尔科夫链是一种:A. 离散时间和离散状态的随机过程B. 离散时间和连续状态的随机过程C. 连续时间和离散状态的随机过程D. 连续时间和连续状态的随机过程5. 连续时间马尔科夫链的状态转移概率与时间的关系是:A. 与时间无关B. 每个时间段内相同C. 随时间变化而变化D. 无法确定二、填空题1. 在泊松过程中,到达的时间间隔满足 ______ 分布。

2. 在连续时间马尔科夫链中,状态转移概率与时间的关系可以由______ 函数来表示。

3. 马尔科夫链具有 ______ 性,即过去的状态对未来的状态具有影响。

4. 在随机过程中, ______ 是指在给定前面状态下,未来状态的条件概率分布。

三、解答题1. 请说明马尔科夫链的定义,并列举出两个例子。

2. 请说明泊松过程的特点,并说明其在实际应用中的一个例子。

3. 请解释连续时间马尔科夫链的平稳分布,并给出一个实际应用的例子。

四、应用题1. 假设某商品的售出数量服从泊松分布,平均每天售出5件。

如果要求计算每天售出不少于3件的概率,应如何计算?2. 某公交车站的乘客到达服从泊松过程,平均每小时到达12人。

如果公交车每隔10分钟发车一次,求在每趟车发车前等待的乘客人数的概率分布。

3. 某产品的寿命服从指数分布,平均寿命为1000小时。

如果要求计算寿命在800小时到1200小时之间的概率,应如何计算?以上是随机过程与应用考试试题的部分内容,请按要求回答题目。

应用随机过程考试题

应用随机过程考试题

一、选择题1.在随机过程中,若某一过程的所有可能状态及其概率在时间上保持不变,则称该过程为:A.平稳过程B.非平稳过程C.马尔可夫过程D.遍历过程2.下列哪个不是描述随机变量分布特性的重要参数?A.期望值(均值)B.方差C.协方差D.样本容量3.马尔可夫链中,若当前状态仅依赖于前一个状态,则称该链具有:A.一阶记忆性B.无记忆性C.高阶记忆性D.完全记忆性4.在随机游走模型中,若每一步的位移是独立同分布的随机变量,且均值为0,则该模型属于:A.布朗运动B.泊松过程C.几何布朗运动D.平稳独立增量过程5.泊松分布常用于描述:A.单位时间内某事件发生次数的概率分布B.连续型随机变量的概率分布C.样本均值的分布D.两个随机变量之间的线性关系6.若一个随机过程的任意两个时间点上的随机变量之间都存在线性关系,则称该过程具有:A.平稳性B.相关性C.正态性D.独立性7.在连续时间马尔可夫链中,状态转移率矩阵描述了:A.各状态间的直接转移概率B.各状态间的间接转移概率C.单位时间内从某状态转移到其他状态的概率D.所有状态的总转移概率8.布朗运动的一个关键性质是:A.路径可预测性B.路径连续但几乎处处不可导C.路径分段平滑D.路径与时间呈线性关系9.对于随机过程X(t),若对任意t,X(t)的概率分布函数与时间t无关,则X(t)是:A.平稳过程B.严格平稳过程C.弱平稳过程D.遍历过程10.下列哪个随机过程模型常用于金融市场中的股票价格模拟?A.几何布朗运动B.泊松过程C.平稳独立增量过程D.线性回归过程。

随机过程及应用习题课四

随机过程及应用习题课四

1. 设{(),0,1,2,}X n n =为马氏链,证明12312{(1)|(2),(3),,()}{(1)|(2)}n P X x X x X x X n x P X x X x =======即马氏链的逆序也构成一个马氏链. 2. 如果马氏链的转移概率矩阵为0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明:此马氏链不是遍历的马氏链,但具有平稳分布.3. 一个开关有两种状态:开或关,设它现在开着时,经过单位时间(s )后,它仍然开着的概率为12,关上的概率为12;当它现在关着时,经过单位时间(s )后它仍然关着的概率为34,它打开的概率为14. 假设开关的状态转移只在0,1,2,3,…(s )时进行. 设0t =时,开关开着. 求3t =时,开关关着和开关开着的概率.4. 甲乙两人进行比赛,设每局比赛甲胜的概率为p ,乙胜的概率为q ,和局的概率为r ,1p q r ++=,设每局比赛后胜者记“1”,分负者记“-1”分,和局记“0”分. 当两人中有一个获得2分时,结束比赛. 以()X n 表示比赛至第n 局时,甲获得的分数. {(),0,1,2,}X n n =是一个齐次马氏链.(1)写出此马氏链的状态空间; (2)写出状态转移矩阵; (3)计算2步转移矩阵;(4)问在甲获得1分的情况下,再赛2局就结束比赛的概率为多少?5. A 、B 、C 三家公司决定在某一时间推销一新产品. 当时它们各拥有13的市场,然而一年后,情况发生了如下的变化:(1)A 保住40%的顾客,而失去30%给B ,失去30%给C ; (2)B 保住30%的顾客,而失去60%给A ,失去10%给C ; (3)C 保住30%的顾客,而失去60%给A ,失去10%给B .如果这种趋势继续下去,试问第2年底各公司拥有多少份额的市场?(从长远来看,情况又如何?)6. 一质点沿圆周游动,圆周上按顺时针等距排列五个点0,1,2,3,4,把圆周分成五格。

《应用随机过程》第二次作业和参考答案

《应用随机过程》第二次作业和参考答案
=F(! ,(" (x! , x# )
即{Y(t)}的相关函数为 X(t)的二维分布。
四、设有随机过程X(t) = ( + Θ),式中A是服从瑞利分布的随机变量,其分布密度


"
exp
R−
T,
>0
f(a) = ' "
2 "
0, ≤ 0
2

-
,
#
#
E = g # exp m− # n = g (−# ) mexp o− # pn
2
2
+
+
#
# ∞
#
= − exp o− # p q + 2 g exp o− # p
2
0
2
+
#
= −2 # exp o−
# ∞
p q = 2 #
4

⎪1
1
, 0 ≤ ! < 1, # ≥ 2 或! ≥ 1, − 1 ≤ # < 2
F ( ,1; ! , # , = 2
2

1, ! ≥ 1,# ≥ 2

cov(V, W) = E(VW) − EV ∙ EW
1
=−
V! # − 2! ∙ , − E# # + 2# ∙ , W
√12
= 0 = cov(W, V)
从而
#
Σ=•0
0
0
#
0
0
0‚
#
七、设{(), ≥ 0}是一个维纳过程,试求{()}的均值函数和协方差函数,并讨论其平
γ(s, t) = E[()()] = {()[() − () + ()]}

应用随机过程习题

应用随机过程习题

应用随机过程习题随机过程是概率论和统计学中的一种数学模型,用来描述随机事件在时间上的演化。

应用随机过程的习题有很多,可以涵盖多个领域,例如通信、金融、电力系统等。

下面我将给出一些应用随机过程的习题,并进行详细的解答。

习题1:航空公司的每小时飞行延误时间服从均值为2小时的指数分布。

计算飞行延误时间小于等于3小时的概率。

解答:首先,我们知道指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx),其中λ为参数。

延误时间小于等于3小时的概率可以表示为P(X≤3),其中X为随机变量表示延误时间。

由于题目已经给出了参数λ=1/2小时^-1,我们可以直接代入计算概率。

P(X ≤ 3) = ∫[0, 3] λe^(-λx) dx= ∫[0, 3] (1/2)e^(-(1/2)x) dx=[-e^(-x/2)],0,3=-(e^(-3/2)-1)≈0.7769所以飞行延误时间小于等于3小时的概率约为0.7769习题2:染料厂制造的染料每小时以恒定速率泄漏。

设染料从泄漏口出来的间隔时间服从均值为30分钟的指数分布。

求在1小时内泄漏从未中断的概率。

解答:设泄漏从未中断的概率为P(X>1),其中X为随机变量表示泄漏中断的时间。

由于题目已经给出了参数λ=1/30分钟^-1,我们可以直接代入计算概率。

P(X>1)=1-P(X≤1)= 1 - ∫[0, 1] λe^(-λx) dx= 1 - ∫[0, 1] (1/30)e^(-(1/30)x) dx=1-[-e^(-x/30)],0,1=1-(e^(-1/30)-1)≈0.0335所以在1小时内泄漏从未中断的概率约为0.0335习题3:商店的顾客到达服从均值为10分钟的指数分布,服务时间服从均值为8分钟的指数分布。

求平均每分钟服务完的顾客数。

解答:设顾客到达和服务完的速率为λ和μ,分别表示单位时间内到达和服务完的顾客数。

根据泊松过程的理论,平均每分钟服务完的顾客数为λ/μ。

应用随机过程答案1

应用随机过程答案1

2. (1) 求参数为的()b p ,分布的特征函数,其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−(2)求其期望和方差。

(3)证明对具有相同参数的b Γ分布,关于参数具有可加性。

p 函数有下面的性质:解 (1) 首先,我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义,有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=(2)根据期望的定义,有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的,有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以,[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=(3)()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。

随机过程习题课

随机过程习题课
3!
3
(2)求[0,2]内收到3次且[0,3]内收到5次呼唤的概率 P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) P ( N (2) N (0) 3, N ( 3) N ( 2) 2) ( 2 2)3 ( 22 ) ( 2 1)2 ( 21) 64 6 e e e 3! 2! 3 (3)已知[0,3]内收到5次呼唤,求[0,2]内收到3次呼唤的概率.
E ( 2 ) E ( )( t1 t 2 ) E ( 2 )( t1t 2 ) C X (t1 , t 2 ) RX (t1 , t 2 ) X (t1 ) X (t 2 )
[ E ( 2 ) E ( )2 ] [ E () E ( ) E ( )]( t1 t 2 ) [ E ( 2 ) E ( )2 ]( t1t 2 )
37 19 19 , , 75 75 75
p(2)
1 p(0) P (2) 3
即两年后所占市场份额分别是 20
(2)试问至第2年底,A公司转移多少客户给B公司。 p12 (2)
p12 (2) 0.24
即第2年底,A公司转移24%客户给B公司。 (3)若某顾客第一年底是A公司的客户,第三年是B公司 的客户,第四年仍然是A公司的客户,求该事件的概率
0 1 3 F ( x; ) 4 2 3 1 x 2 2
(1) t

4
X 4 P
2 X( ) A 4 2
2 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2

2 x 2 2 2 x x 3 2 2 3 2 2
( 2) t
P ( N ( 2) 3 N ( 3)
64 6 e P ( N ( 2) 3, N ( 3) 5) 35 5) 6 6 P ( N ( 3) 5) e 5!
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或者下面的方法,这种方法更好理解,把需要汇总的生成一个视图e。 select e.*,d.dname from
(select deptno, count(ename) ,avg(sal),avg(months_between(sysdate,hiredate)/12) from emp group by deptno) e, dept d where e.deptno =d.deptno;
• eno emp.empno%type;
• begin
• eno:=&no;
• for v_emp in c_emp(eno) loop
• if v_emp.job='MANAGER' and v_emp.loc='DALLAS' then

update emp set sal = sal *1.15 where empno=eno;
13.列出在每个部门工作的员工数量、平均 工资和平均服务期限。
14.列出所有员工的姓名、部门名称和工资。
15.列出从事同一种工作但属于不同部门的 员工的一种组合。
13.select d.deptno,d.dname, count(e.ename), avg(e.sal), avg(months_between(sysdate,e.hiredate)) from emp e, dept d where e.deptno(+)= d.deptno group by d.deptno,dname;
• begin
• for v_mycur in mycur loop
• if v_mycur.job='MANAGER' and v_mycur.loc='DALLAS' then

update emp set sal = sal *1.15 where empno=v_mycur.empno;
• end if;
使用PL/SQL块编程实现,注意必要的异常处理 1.输入一个员工号,输出该员工的姓名、薪金和大
概的服务年限(按年月日显示)
2.接收一个员工号,输出该员工所在部门的名称 3.接收一个员工号,如果该员工职位是MANAGER,
并且在DALLAS工作那么就给他薪金加15%; 如果该员工职位是CLERK,并且在NEW YORK工
9.列出薪金高于公司平均薪金的所有员工。
7.select job, min(sal) from emp group by job having min(sal)>1500;
8.select e.ename,d.dname from emp e,dept d where e.deptno=d.deptno and d.dname=upper('sales'); 或者: select ename from emp where deptno = (select deptno from dept where dname=upper('SALES'));
2.select ename,job,mgr,hiredate,sal from emp where sal> (select sal from emp where ename='SMITH');
3.select e.ename, e.mgr , w.ename from emp e, emp w where e.mgr=w.empno;
22 SELECT * FROM
(SELECT a.*,rownum AS rn FROM emp a ORDER BY sal DESC )
WHERE rn=5;
1、创建表myemp和emp表具有相同的结构和 记录。(若只是结构而没有数据呢?只复 制部分数据呢?)
2、给myemp的empno列添加主建约束。
或者create table mydept1 as select * from dept where deptno>20;
2.alter table myemp add constraint myemp_empno_pk primary key (empno);
创建以下表teacher create table teacher(
作那么就给他薪金扣除5%;其他情况不作处理。 4.接收一个员工号,输出这个员工所在部门的平均
工资
5.以交互的方式给部门表插入一条记录,如果出现 主键冲突的异常,请显示“部门号已被占用”的 字样
• declare
• CURSOR c_emp(p_empno emp.empno%TYPE) IS
• SELECT emp.job,emp.empno,dept.loc,emp.deptno FROM emp,dept WHERE emp.deptno=dept.deptno and emp.empno=p_empno;
9.select ename, job, sal from emp where sal> (select avg(sal) from emp );
10.列出与“SCOTT”从事相同工作的所有 员工。
11.列出薪金等于部门30中员工的薪金的所 有员工的姓名和薪金。
12.列出薪金高于在部门30工作的所有员工 的薪金的员工姓名和薪金。
16.列出所有部门的详细信息和部门人数。
17.列出各种工作的最低工资。
18.列出各个部门的MANAGER(经理)的 最低薪金。
19.列出所有员工的年工资,按年薪从低到高 排序。
16.select count(e.ename),d.dname from emp e, dept d where e.deptno(+)= d.deptno group by e.deptno,d.dname;
14.select d.dname, e.ename, sal+nvl(comm,0) from emp e, dept d where d.deptno=e.deptno;
15. select e.ename,e.job, e.deptno ,d.job, d.deptno from emp e, emp d where e.job=d.job and e.deptno<>d.deptno;
6.select e.ename,e.hiredate,e.job, d.dname,d.deptno from emp e, dept d where e.deptno =d.deptno and e.job=upper('clerk');
7.列出最低薪金大于1500的各种工作。
8.列出在部门“SALES”(销售部)工作的 员工的姓名,假定不知道销售部的部门编 号。
• end if;
• if v_emp.job='CLERK' and v_emp.loc='NEW YORK' then

update emp set sal = sal *0.95 where empno=eno;
• end if;
• end loop;
• end;
3
• declare
• cursor mycur is select emp.empno,emp.job,dept.loc from emp ,dept where emp.deptno=dept.deptno;
teacherxh varchar2(10) primary key, teachername varchar2(20) ); 插入记录,要求:教师的编号的格式是 TH00001,TH00002…….
建立序列 create sequence teacher_seq maxvalue 99999;
insert into teacher values ('TH'|| ltrim(to_char(teacher_seq.nextval,'00000')), '张三'); insert into teacher values ('TH'|| ltrim(to_char(teacher_seq.nextval,'00000')), '李');
4.列出受雇日期早于其直接上级的所有员工。
5.列出部门名称和这些部门的员工信息,同 时列出那些没有员工的部门。
6.列出所有“CLERK”(办事员)的姓名 及其部门名称。
4.select e.ename, e.mgr , e.hiredate,w.ename,w.hiredate from emp e, emp w where e.mgr=w.empno and e.hiredate< w.hiredate;
5.select e.ename,e.hiredate, d.dname,d.deptno from emp e, dept d where e.deptno (+)=d.deptno;
本例子使用的是外连接, 也可以用右连接。 select e.ename,e.hiredate, d.dname,d.deptno from emp e right join dept d on e.deptno=d.deptno;
使用scott/tiger用户下的emp表和 dept表完成下列练习
1.列出至少有一个员工的所有部门。
2.列出薪金比“SMITH”多的所有员工。
3.列出所有员工的姓名及其直接上级的姓名。
1.select distinct dname from dept where deptno in (select distinct deptno from emp);
20.查找EMP表中前5条记录 21查找EMP表中10条以后的记录 22查找EMP表中薪水第5高的员工
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