2017-2018学年数学人教A版选修4-4优化课件：第一讲 二 第一课时 极坐标系的概念

Z)．所以，点 P 的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)． π (2)由 P、Q 关于直线 θ＝ 对称， 2 得它们的极径|OP|＝|OQ|， 点 P 的极角 θ′满足 θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点 P 的坐标为 (ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
4．点与极坐标的关系
(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z) 表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 一般地，极坐标(ρ，θ)与__________________
(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有 无数 种表示． 如果规定 ρ＞0， 0≤θ＜2π ，那么除 极点 外，平面内的点可用 唯一 的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一 确定的．
)
B．2 D． 4
π 3π 解析：M1，2 ，N1， 2 ，O(0,0)三点共线，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝1＋1＝2.
答案：B
探究一 [例 1] 在极坐标系中，画出点
由极坐标确定点的位置
π 3 π 19 A1，4 ，B2，2π，C3，－4 ，D4， 4 π.
二
第一课时
极坐标系
极坐标系的概念
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解极坐标系及其概念， 重点：极坐标系的概念与点 会求点的极坐标. 的极坐标的表示.
2.能建立极坐标系， 由点的 难点：极坐标系中点与极坐 极坐标确定位置. 标之间的对应关系.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
3π D4， 4 ，如图位置．
怎样确定极坐标点的位置 由极坐标确定点的位置，常常首先由 θ 的值确定射线(方向)，再由 ρ 的值确定 位置． 如果 θ 的值不在[0,2π)范围内， 先根据 θ＝θ0＋2kπ(k∈Z)确定出 θ0∈[0,2π) 的值再确定方向．
π π 7π 1．在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B3，4 ，C2，2 ，D3， 4 .
课时作业
[自主梳理]
1．平面内点的位置 在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离 和角度确定． 2．极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫作极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ) 或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极 点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
2．设点
3．极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极
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(ρ，θ) 轴 Ox 为始边， 射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对_______
叫作点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ． 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取 任意实数 ． 特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为 (0，θ) ，θ 可以取 任意实数 ．
4π 色警报，已知福州所在城市的极坐标为200， 3 .
(1)求台风中心的极坐标； (2)福州是否已发布台风蓝色警报？
π π π [解析] 在极坐标系中先作出 线，再在 线上截取|OA|＝1，这样可得到点 A1，4 . 4 4
同样可作出点
3π π 19 3π B 2， 2 ， C 3，－4 . 由于 π ＝ ＋ 4π ，故点 4 4
19 D 4， 4 π 可写成
答案：A
2．极坐标系中，集合{(ρ，θ)|ρ＝1，θ∈R}表示的图形是( A．点 C．直线 B．射线 D．圆
)
解析：由于 ρ＝1，θ∈R 表示到极点距离等于 1 的点的集合，即以极点为圆心， 半径为 1 的圆．
答案：D
3．极坐标系中，点 A． 1 C． 3
π M1，2 与
3π N1， 2 两点间的距离为(
π A2，3 ，直线
l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴，
直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－π＜θ≤π)．
解析：如图所示， 关于极轴的对称点为
π B2，－3 . 2 C2，3π. 2 D2，－3π.
解析：如图所示，A，B，C，D 四个点分别是唯一确定的．
探究二
求点的极坐标
[例 2] 已知点 Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点 P 的极坐标． (1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； π (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ＝ 的对称点． 2 [解析] (1)由于 P、Q 关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈
关于直线 l 的对称点为
关于极点 O 的对称点为
四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
探究三
[例 3]
极坐标系的实际应用
如图，以温州所在城市为极点，正东方向为极轴正方
向，建立极坐标系，今有某台风中心在东偏南 60° ，距离极点 800 千米处，假设当距离台风中心 700 千米时应当发布台风蓝
[双基自测]
π 1．极坐标系中，与点3，6 相同的点是( 13π A.3， 6 17 C.3， 6 π
)
π B.3，－6 5π D.3，－ 6
解析：因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，故选 A.