2017-2018学年数学人教A版选修4-4优化课件：第一讲 二 第一课时 极坐标系的概念
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
2017-2018学年高中数学选修4-1课件人教A版2.4弦切角的性质(共30张PPT)
������������ ∥ ������������⇒∠������������������ = ∠������������������ ������������切☉������于点������⇒∠������������������ = ∠������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟比例式(或乘积式)的证明方法 1.证明乘积式成立,往往与相似三角形有关.若存在切线,常要寻 找弦切角,确定三角形相似的条件,有时需要添加辅助线创造条件. 2.直接证明比例式或乘积式有困难时,可考虑把它分解成两个比 例式的形式.
解析:∵PA是圆O的切线,∴∠BAP=∠BCA.
������������ 又∠BAC=∠APB,∴△BAP∽△BCA,∴������������
=
∴AB2=PB· CB=7×5=35,故 AB=√35.
答案:√35
������������ , ������������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.与弦切角定理有关的结论 (1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. (2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半. (3)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.
【做一做2】 如图,正三角形ABC内接于圆O,CP是圆O的切线,则 ∠ACP=( )
A.90° B.30°C.60° D.75° 解析:因为△ABC是正三角形,所以∠B=60°.又因为CP是圆O的切 线,所以∠ACP=∠B=60°. 答案:C
四
弦切角的性质
学 习 目 标 1.理解弦切角的概念. 2.掌握弦切角定理,并能运 用定理解决问题.
思 维 脉 络 弦切角的性质 概念 弦切角定理—应用
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-3第一讲-坐标系
2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化 与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样， 以平面直角坐标系 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的 长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也 可以进行互相转化，设曲线上任意一点 M 的直角坐标与极坐标分 别为(x，y)和(ρ，θ)，则极坐标方程与直角坐标方程的互相转化公 式为：y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2.
【例 3】
π 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝6(ρ
∈R)的距离是________．
【解析】
圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其
π 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 6 |0－2 3| 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝ ＝ 3. 2
【例 1】
求圆心在
并把它化为直角坐标方程． 【分析】 数形结合，先描绘圆的大致位置，找出圆上任一点 满足的几何条件．
【解】
如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连
3 接 OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－ π，∠BMO＝ 2 π 2.
从而△BOM 为直角三角形， 所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB. 即
与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
【解】
x＝ρcosθ， (1)因为 y＝ρsinθ，
所以 ρ2＝x2＋y2，
由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第一讲《坐标系》小结
在△OMB 中，同理 → |MB|＝ ρ2＋36－12ρcosθ. → → 由|MA|· |MB|＝36，得 (ρ2＋36)2－(12ρcosθ)2＝362. 即 ρ4＋72ρ2－144ρ2cos2θ＝0. 即 ρ2＝72(2cos2θ－1)＝72cos2θ. 所以，点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ2＝72cos2θ.
3．柱坐标系与球坐标系 (1)柱坐标系
一般地，如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意 一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示 点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ， θ， z)(z∈R)表示，这样我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间 的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有 序数组(ρ，θ，z)，叫做 P 的柱坐标，空间点 P 的直角坐标与柱坐 x＝ρcosθ， 标之间的变换公式为y＝ρsinθ， z＝z.
2ac (2)当 a≠c 时，方程可化为 x ＋y － x＝0，其轨迹是以 a－c
2 2
ac ac 2ac ( ，0)为圆心， 为半径的圆，但不包括点(0,0)和( ， a－c |a－c| a－c 0)．
【例 2】
x′＝2x， 在同一坐标系中， 经过伸缩变换 y′＝2y
后，
曲线 C 变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线 C 的方程，并判 断是什么曲线．
高 考 真 题 【例 8】 在极坐标系中， 圆 ρ＝2cosθ 的垂直于极轴的两条切 线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π B．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π C．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝ D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本 讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化 等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为 主．
返回
真题体验 1．(2012· 安徽高考)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直 π 线 θ＝ (ρ∈R)的距离是________． 6 解析：将 ρ＝4sin θ 化成直角坐标方程为 x2＋y2＝4y，即 x2
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
求曲线 C 的方程，并判断其形状．
[解]
x′＝2x， 将 y′＝2y
代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1 中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1. 52 1 2 化简，得(x－ ) ＋(y＋3) ＝ . 2 4 5 1 该曲线是以( ，－3)为圆心，半径为 的圆. 2 2
返回
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利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼
顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好
是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
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[例1]
已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离
为4，A、B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程． [解] 如图，以圆心O为原点，OP
人教新课标版数学高二选修4-4课件 第1课时 圆的极坐标方程
当堂训练
1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3
B. 2
C.1
√D.
2 2
12345
答案
2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 C.x2＋y2＝0或x＝1
B.x＝1 √
D.y＝1
12345
答案
3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是
π 4
＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
∴ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，
∴化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
解答
(3)ρcos(θ＋π4)＝ 22； 解 ∵ρcos(θ＋4π)＝ 22， ∴ρ(cos θ·cos π4－sin θ·sin π4)＝ 22， ∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴x－y－1＝0.
解答
反思与感悟
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、 极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 0≤θ<2π范围内求值.
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y2＝4x； 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)x2＋y2－2x－1＝0. 解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-2第一讲-相似三角形的判定及有关性质
变式2
如图所示，DE∥BC，EF∥DC.
求证：AD2＝AF· AB.
证明
在△ABC中，DE∥BC，
AD AE ∴ ＝ . AB AC AF AE AD AF 在△ADC中，EF∥DC，∴ ＝ ，∴ ＝ . AD AC AB AD ∴AD2＝AF· AB.
【例3】
如下图，平面α∥β∥γ，l1，l2是异面直线，l1交
思考探究3
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交
的直线，所截得的三角形与原三角形三边是否对应成比例？ 提示 截得的三角形与原三角形三边对应成比例.
名师点拨 1.平行线分线段成比例定理
(1)用数学符号语言表达 直线l1∥l2∥l3，直线l交l1，l2，l3于A，B，C，l′交l1， AB DE l2，l3于D，E，F，则BC＝ EF . AB AB (2)教材中就 为有理数时给出了证明，实际上当 为无 BC BC 理数时定理也成立． (3)定理的条件是一组平行线(至少三条)，且至少有两条直 线和这组平行线相交．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
二
平行线分线段成比例定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.探索和理解平行线分线段成比例定理的证明过程． 2．理解定理的推论． 3．能应用定理及推论解决相关的几何计算问题和证明问 题． 4．感知平行线分线段成比例定理向空间的推广，探索并 证明空间形式的“平行面分线段成比例定理”.
课前预习 1.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应__________． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所 得的__________.
答 案
「精品」高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4_1
=
������������ ������������
=
������������ ������������
=
23.
又 DF=1,∴AF=2,AD=3.
又������������
������������
=
������������ ������������
=
23,故
AB=92.
探究一
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
求线段的长度及其比值
【例3】 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.若BC=3,DE=2, DF=1,求AB的长度.
分析:先根据已知条件中的两组平行线得到线段比值相等,再结
合已知线段长度求出AB的长度.
解:∵DE∥BC,EF∥CD,BC=3,DE=2,
∴������������
=
������������ ������������
B.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
C.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
D.BD∥CE⇒������������������������
=
52,即������������������������
=
52.
答案:52
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
1.如图,l1∥l2∥l3,已知AB=6 cm,BC=3 cm,A1B1=4 cm,则B1C1的长为 ()
A.6 cm
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4：第二讲 一 2. 圆的参数方程
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos ωty ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32. ∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎨⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.10．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
人教A版高中数学选修4-1-第一讲--一-平行线等分线段定理-课件(共27张PPT)
过程与方法
1．通过初中学习平行线的性质和判定定理， 进一步学习一组平行线等分线段定理以及两个推论.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过平行线等分线段定理证明，体会数 学证明的必要性.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
求证:B1B2=B2B3
分析
l l’
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
“角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
B1B2=B2B3
知识要 点
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的 线段相等,那么在其他直线上截得的线段也 相等.
小练习
已知：ΔABC,D是AB的中点，DE//BC
求证: AE=EC 证明： 因为AD=BD,DE//BC
A DE
根据平行线等分线段定理，得：
B
C
AE=EC.
能推出
思
什么结论？
考
知识要 点
平行线等分线段定理
推论1：经过三角形一边的中点与另一边 平行的直线必平分第三边.
小练习
已知：梯形ABCD,E是AB的中点，
求证:CF=DF.
A
C
证明： 因为AE=BE,AC//BD E
3、平行线等分线段定理和推论的应用
（1）把线段n等分. （2）证明在同一直线上的线段相等.
A AD
？
EF
？
E
F
？
B B
CB
？ C
随堂练习
1.判断题
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5优化课件 (共17份打包)11
[双基自测]
1．否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( ) A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析：恰有一个的否定是至少有两个或都是，故选 D. 答案：D
2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，故假 设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序 为________．
[证明] (1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12. 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 矛盾， ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
课时作业
[自主梳理] 一、反证法 先 假设要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、 定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、 明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立， 我们称这种证明问题的方法为反证法． 二、放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式， 从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．
探究二 利用放缩法证明不等式
[例 2] 设 Sn＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1， 求证：不等式nn2＋1<Sn<n＋2 12对所有的正整数 n 都成立． [证明] ∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1. 且 Sn<1＋2 2＋2＋2 3＋…＋n＋n2＋1 ＝32＋52＋…＋2n2＋1 <12＋32＋52＋…＋2n2＋1＝n＋2 12 ∴nn2＋1<Sn<n＋2 12.
2017_2018学年高中数学第二章参数方程第2节第1课时椭圆的参数方程课件新人教A版 选修4_4
sin φ－1 MB2 的方程：y－1＝ x， 2cos φ
2cos φ ∴|OQ|＝ 1－sin φ. 2cos φ 2cos φ ∴|OP|· |OQ|＝ × 1＋sin φ 1－sin φ＝4.
利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用 θ 表示点的坐 标，再利用 sin2θ ＋cos2θ ＝1 进行消参，本题的解决方法体 现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数 方程显得很简单，运算更简便．
x2 y2 2．设 F1、F2 分别为椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0) 的左、右两个焦点． (1)若椭圆 C 上的点
3 A 1，2到
F 1， F2 的距离之பைடு நூலகம்等
于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标； (2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 F1P 的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点 A 到 F1，F2 的距离之和是 4，得 2a ＝ 4， 3 2 （2） 3 1 即 a＝2.又点 A(1，2)在椭圆上，因此4＋ b2 ＝1，
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步 骤为： (1)求出椭圆的参数方程； (2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．
x2 y2 1．已知实数 x，y 满足25＋16＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大值与最小值．
x＝5cos φ， x2 y 2 解： 椭圆25＋16＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝4sin φ
2 x 得 b2＝3，于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为 4
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答案：A
2．极坐标系中，集合{(ρ，θ)|ρ＝1，θ∈R}表示的图形是( A．点 C．直线 B．射线 D．圆
)
解析：由于 ρ＝1，θ∈R 表示到极点距离等于 1 的点的集合，即以极点为圆心， 半径为 1 的圆．
答案：D
3．极坐标系中，点 A． 1 C． 3
π M1，2 与
3π N1， 2 两点间的距离为(
π A2，3 ，直线
l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴，
直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－π＜θ≤π)．
解析：如图所示， 关于极轴的对称点为
π B2，－3 . 2 C2，3π. 2 D2，－3π.
π π π [解析] 在极坐标系中先作出 线，再在 线上截取|OA|＝1，这样可得到点 A1，4 . 4 4
同样可作出点
3π π 19 3π B 2， 2 ， C 3，－4 . 由于 π ＝ ＋ 4π ，故点 4 4
19 D 4， 4 π 可写成
4π 色警报，已知福州所在城市的极坐标为200， 3 .
(1)求台风中心的极坐标； (2)福州是否已发布台风蓝色警报？
课时作业
[自主梳理]
1．平面内点的位置 在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离 和角度确定． 2．极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫作极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．
关于直线 l 的对称点为
关于极点 O 的对称点为
四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
探究三
[例 3]
极坐标系的实际应用
如图，以温州所在城市为极点，正东方向为极轴正方
向，建立极坐标系，今有某台风中心在东偏南 60° ，距离极点 800 千米处，假设当距离台风中心 700 千米时应当发布台风蓝
)
B．2 D． 4
π 3π 解析：M1，2 ，N1， 2 ，O(0,0)三点共线，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝1＋1＝2.
答案：B
探究一 [例 1] 在极坐标系中，画出点
由极坐标确定点的位置
π 3 π 19 A1，4 ，B2，2π，C3，－4 ，D4， 4 π.
解析：如图所示，A，B，C，D 四个点分别是唯一确定的．
探究二
求点的极坐标
[例 2] 已知点 Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点 P 的极坐标． (1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； π (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ＝ 的对称点． 2 [解析] (1)由于 P、Q 关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈
[双基自测]
π 1．极坐标系中，与点3，6 相同的点是( 13π A.3， 6 17 C.3， 6 π
)
π B.3，－6 5π D.3，－ 6
解析：因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，故选 A.
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3π D4， 4 ，如图位置．
怎样确定极坐标点的位置 由极坐标确定点的位置，常常首先由 θ 的值确定射线(方向)，再由 ρ 的值确定 位置． 如果 θ 的值不在[0,2π)范围内， 先根据 θ＝θ0＋2kπ(k∈Z)确定出 θ0∈[0,2π) 的值再确定方向．
π π 7π 1．在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B3，4 ，C2，2 ，D3， 4 .
3．极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极
(ρ，θ) 轴 Ox 为始边， 射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对_______
叫作点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ． 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取 任意实数 ． 特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为 (0，θ) ，θ 可以取 任意实数 ．
Z)．所以，点 P 的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)． π (2)由 P、Q 关于直线 θ＝ 对称， 2 得它们的极径|OP|＝|OQ|， 点 P 的极角 θ′满足 θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点 P 的坐标为 (ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ) 或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极 点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
2．设点
二
第一课时
极坐标系
极坐标系的概念
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解极坐标系及其概念， 重点：极坐标系的概念与点 会求点的极坐标. 的极坐标的表示.
2.能建立极坐标系， 由点的 难点：极坐标系中点与极坐 极坐标确定位置. 标之间的对应关系.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
4．点与极坐标的关系
(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z) 表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 一般地，极坐标(ρ，θ)与__________________
(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有 无数 种表示． 如果规定 ρ＞0， 0≤θ＜2π ，那么除 极点 外，平面内的点可用 唯一 的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一 确定的．