九章算术中关于多元一次方程组及其解法
九章算术--新九章数学教育
原作有插图，今传本已只剩下正文了。《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是：第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
九章算术
九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。
这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示。
原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。
由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和几何三部分。
一、算术部分1．分数《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。
其步骤与方法大体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。
加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。
“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分子小于分母时便以分数形式保留。
其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法也很清楚。
2．最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
九章算术
九章算术九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。
魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。
苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。
根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。
最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。
《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。
《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。
再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。
九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。
1984年，在湖北出土了《算数书》书简。
据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。
有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。
后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。
其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。
刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。
唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。
到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。
在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。
清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。
此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。
九章算术
《九章算术》是中国古代数学专著，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。
是《算经十书》中最重要的一种。
它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。
作为中国古代数学的系统总结，对中国传统数学的发展有了深远的影响。
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。
分为九章。
第一章“方田”有关田亩面积的计算。
第二章“粟米”有关粮食谷物按一定比例进行折算的方法。
第三章“衰分”将物品按一定比例进行分配。
第四章“少广”已知面积或体积，逆求一边的长等问题。
提出开平方和开立方的方法。
第五章“商功”有关筑城、修堤、开渠、积粮等工程的计算问题。
第六章“均输”研究如何合理摊派赋税的问题。
第七章“盈不足”研究盈亏、比例的问题。
第八章“方程”用消元法解三元一次方程组。
第九章“勾股”运用勾股定理解决一些实际问题。
数学成就是多方面的：(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。
“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的．《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数等等。
《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
(2)、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。
《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。
《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。
但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。
看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。
九章算术方程题目解析
九章算术方程题目解析
在九章算术中，方程题目是数学中的重要部分。
方程题目要求我们找到一个或
多个未知数的值，使得方程两边相等。
下面将对九章算术中一些常见的方程题目进行解析。
1. 一元一次方程
一元一次方程是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解
这类方程可以采用平衡法，移项得到x = (c - b) / a。
注意，当a等于0时，方程没
有解或有无数解。
2. 一元二次方程
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解这类方程可以利用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
注意，当判别式(b^2 - 4ac)小于0时，方程无解。
3. 分式方程
分式方程是含有分式的方程。
解这类方程的关键是化简分式，将分母消去或通分，使得方程化为整式方程。
然后按照一元一次方程或一元二次方程的方法解。
4. 线性方程组
线性方程组是包含多个方程的方程组，每个方程中包含相同的未知数。
解线性
方程组可以通过消元法、代入法或矩阵法等方法。
目标是找到使得所有方程都成立的未知数的值。
总结来说，九章算术中的方程题目可分为一元一次方程、一元二次方程、分式
方程和线性方程组。
解这些方程题目的关键是灵活应用解方程的方法，将问题转化为求解未知数的表达式。
掌握这些解题方法有助于我们更好地理解和应用数学知识。
《九章算术》中的“方程”优秀教案
《九章算术》中的“方程”——基于HPM视角的拓展课一、教材分析：本节课源自浙教版七年级下册第2章二元一次方程组第53页阅读材料，这是在学生学习了二元一次方程组后对方程内容的拓展。
学生在此之前，已经有解一元一次方程、二元一次方程组甚至三元一次方程组的经验，主要通过加减或者代入消元，但是学生对更多元的方程还缺乏经验，对数学文化的了解比较欠缺。
而九章算术中有丰富的方程应用内容，包括从“一元”到“五元”的线性方程应用，题目来源于生活，应用于生活，具有趣味性，是基于HPM视角向学生作知识拓展的良好素材。
二、教学目标：（一）知识与技能目标：1、了解《九章算术》的历史意义、主要内容及其独特成就，了解古人的算筹技法；2、能利用方程思想解决《九章算术》中的简单方程实际问题；（二）过程与方法目标：1、重点经历二元一次方程组甚至多元线性方程的求解过程，体会“方程”思想在解决实际问题中的重要性，再次体验“消元”思想的实际应用。
2、让学生经历求解《九章算术》中由“一元”到“五元”的过程，了解线性方程的发展，体验类比探究的思想。
（三）情感态度与价值观目标：1、通过了解中国古代数学名著《九章算术》的背景和内容，渗透数学文化，培养学生形成正确数学史观。
2、激发学生学习兴趣，拓宽知识视野，感受数学的悠久历史，感悟数学文化多元性。
三、教学重难点：教学重点：利用二元一次方程组解决《九章算术》中的简单实际问题教学难点：部分题目稍有文言表述，学生对题意理解可能稍有困难；数学文化、数学思想方法的渗透四、教学过程：例题尝试生：代入消元师：对于这个题目，比较两种解法，你更喜欢哪一个？为什么？生：加减消元，因为代入消元此时会出现分数师：所以我们在解方程时，也是遵循方便原则。
问题三：（亩产问题）今有甲乙两块地共6亩，甲地亩产4担粮，乙地亩产3担粮，甲地的总产量比乙地总产量多10担。
问：甲乙两地面积各多少亩？（限时3分钟，列方程求解）师：请一位同学来阐述一下你的解题过程生：设甲x亩，乙y亩，列二元一次方程组=643=10x yx y+⎧⎨-⎩……师：他采用的是什么方法？那用代入（加减）消元是不是也很方便？这两种解法，在计算过程上看似不同，但是它们的本质上是一样的，不管是利用代入还是加减，主要想达到怎样的目的？生：实现消元。
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九章算术九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元⼀世纪前后，《九章算术》的内容⼗分丰富，全书采⽤问题集的形式，收有246个与⽣产、⽣活实践有联系的应⽤问题，其中每道题有问(题⽬)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是⼀题⼀术，有的是多题⼀术或⼀题多术。
这些问题依照性质和解法分别⾪属于⽅⽥、粟⽶、衰分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程及勾股九章如下表所⽰。
原作有插图，今传本已只剩下正⽂了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前⼀段历史时期内通过多⼈之⼿逐次整理、修改、补充⽽成的集体创作结晶。
由于⼆千年来经过辗转⼿抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》⽂字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和⼏何三部分。
⼀、算术部分1．分数《九章算术》中有⽐较完整的分数计算⽅法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内⼦，“内”读为纳)等等。
其步骤与⽅法⼤体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进⾏加减。
加法的步骤是“母互乘⼦，并以为实，母相乘为法，实如法⽽⼀”这⾥“实”是分⼦。
“法”是分母，“实如法⽽⼀”也就是⽤法去除实，进⾏除法运算，《九章算术》还注意到两点：其⼀是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分⼦⼩于分母时便以分数形式保留。
其⼆是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进⾏加减，运算时不必通分，使分⼦直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，⼦相乘为实，实如法⽽⼀”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出⼀般法则，但算法也很清楚。
2．最⼤公约数与最⼩公倍数《九章算术》中还有求最⼤公约数和约分的⽅法。
求最⼤公约数的⽅法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母⼦之数，以少减多，更相减损，求其等也。
九章算术中用方程解决问题的史料
九章算术是我国古代数学经典之一，它记录了大量的数学知识和解决问题的方法。
在九章算术中，方程是一种重要的工具，被广泛用于解决实际问题。
本文将从史料和案例出发，深入探讨九章算术中如何运用方程解决问题的方法，以及其中蕴含的数学思想和意义。
一、史料考证1.九章算术中方程的出现九章算术是我国古代数学的重要著作之一，它涵盖了算术、代数和几何等多个数学领域。
在《九章算术》中，关于方程的记载非常丰富，不仅包括了解方程的方法，还有许多具体的应用案例。
2.方程在古代我国的应用九章算术中提到了许多用方程解题的例子，这些例子包括了农业、商业、水利和工程等各个领域。
可以看出，古代我国人在各种实际问题中都广泛运用了方程，而且掌握了解决这些问题的技巧和方法。
二、方程解决问题的方法1.从简到繁的解题方法九章算术中的方程解题方法以从简到繁的顺序呈现，首先是一元一次方程的解法，然后是一元二次方程的解法，最后是高阶方程的解法。
这种从简到繁的方法，使得读者可以逐步了解方程的应用，从而更好地掌握解题的技巧。
2.解题思路的灵活性九章算术中提供的方程解题方法非常灵活，不仅限于特定问题的解法，还包括了一般性的思考方法和解题技巧。
这种灵活性使得方程成为了解决各种实际问题的通用工具，而不仅仅局限于特定类型的问题。
三、个人观点与总结在我看来，九章算术中方程解决问题的方法展现了古代我国人在数学思维和实际应用上的高度成就。
方程作为一种通用的数学工具，被广泛地应用于古代我国的各个领域，反映了当时人们对数学知识和技巧的深刻理解和掌握。
九章算术中方程解题的方法和灵活性也对后世的数学发展产生了重大影响。
在总结上，九章算术中方程解题的史料和案例为我们提供了丰富的思想资源，并展现了古代我国数学在实际应用中的深厚功底。
方程作为解决实际问题的重要工具，其思想和方法对我们今天的数学学习和应用仍具有重要的启发意义。
结语通过对九章算术中方程解决问题的史料和案例的探讨，我们不仅可以了解古代我国数学的发展历程，更能够学习到方程在解决实际问题上的应用和思考方法。
《九章算术》—方程
《九章算术》—方程“方程”史话：我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z 这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如543,04,16752=+=-=+y x x x 等. 中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation(指含有未知数的等式)一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程：《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ 26323432 323z y x z y x z y x其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta ，598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo ，1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有：设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组(71)2102(81)10x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解得35264152xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？据题意可得15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得37.525xy=⎧⎨=⎩.。
九章算术中关于多元一次方程组及其解法
九章算术中关于多元一次方程组及其解法
《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．
方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：
《九章算术》用算筹演算：
“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方(图1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除”是减，“直除”即连续相减．)……(引文下略)”．
现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一(9斗)；中禾一秉，四斗四分斗之一(4斗)；下禾一秉，二斗四分斗之三(2斗)”
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．
多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．。
最新数学文化之《九章算术》—方程
《九章算术》—方程“方程”史话：我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如-+==+yx等.xx7453,0416,52=中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation(指含有未知数的等式)一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程：《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ 26323432 323z y x z y x z y x其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta ，598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo ，1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有：设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组(71)2102(81)10x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得35264152x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？ 据题意可得15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得37.525x y =⎧⎨=⎩.。
数学文化之《九章算术》—方程
《九章算术》—方程“方程”史话：我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如-==xx等.x+y+3,04552=4716,中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation(指含有未知数的等式)一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程：《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ 26323432 323z y x z y x z y x其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta ，598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo ，1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有：设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组(71)2102(81)10x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得35264152x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？ 据题意可得15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得37.525x y =⎧⎨=⎩.。
九章算术
九章算术与希腊数学的发展同步，中国数学也有了长足的进步、一系列的数学思想和著作开始流传，到了西汉时代的《九章算术》，标志着中国数学已逐渐形成体系、流传至今的最早的数学思想，当推墨经中的几何学与逻辑学的表达、《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，蕴涵了无限的数学思想、到公元前两百年，已有数学著作流传、1984年在湖北江陵张家山出土的《算数书》竹简，总字数约7000余，有60余小标题，如“方田”，“税田”，“金价”，“合分”，“约分”，“少广”，“程禾”，“贾盐”等等，涉及面积计算、开方、分数运算等、由于全部竹简尚未公开，其内涵有待进一步研究，与《算数书》几乎同时的还有《周髀算经》，涉及天文学上的分数运算、比例、等差级数等问题，而以勾股定理的论述最为重要、此后还有《淮南子》，《三统历》、《许商算术》、《杜忠算术》等著作，涉及数学问题、而集大成的，就是《九章算术》，就其内容和标题来分折，它是《算数书》的继续与发展、现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后、《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术、这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示、《九章算术》的作者不详、很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶、由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明、现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释、80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版、现将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和几何三部分概要介绍如下：【一】《九章算术》中的算术部分1、分数《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四那么运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等、其步骤与方法大体与现代的雷同、分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减、加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子、“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”、就是分子小于分母时便以分数形式保留、其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可、关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”、《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法那么，但算法也很清楚、如第一章方田章的第18个题“有三人三分人之一〔即313〕，分六钱三分钱之一〔即316〕，四分钱之三〔即43〕，问人得几何”、“答曰：人得二钱八分钱之一”〔即每人得812钱〕、“经分〔分数除法称经分〕术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一”、即313)43316(÷+、在计算过程中首先需要把带分数化为假分数，然后分数相除，即相当于现在所说的“颠倒相乘”、2、最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法、求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也、以等数约之、”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数、可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2、不都是偶数了，那么另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数、如方田章第六题：“又有九十一分之四十九，问约之得几何”、将更相减损这一运算写成现代的图式就是于是7就是所求得的等数，再以它约9149得简约分数137、更相减损法实质上是辗转相减法、辗转相减法与欧几里得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是一致的、《九章算术》在分数的加减运算中，用最小公倍数作公分母，例如少广章第六题相当于分数的运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7的最小公倍数、3、比例算法在《九章算术》的第【二】【三】六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题、粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……、例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”、它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”、用现代的方式来表达，即为公式：或所求数∶所有数＝所求率∶所有率、这个题是欲将粟米换成粝米，其中“粟米一斗(十升)”是“所有数”，粝米数即为“所求数”，按规定“粟率五十”为“所有率”，粝米30为“所求率”、于是得所求数为10×30÷50＝6(升)，这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米、因而可以根据物与物的比率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应用问题大都依据“今有”的数据，问所求的数，因此我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词、在《九章算术》中，今有术应用特别广泛，是一种普遍的解题方法、与比率有关的其他一些算法一般都是在今有术的基础上演化而来的、《九章算术》中另一个常用的比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分、比例分配的意思，它是古代处理配分问题的一般方法，“衰分术曰，各置列衰(即所配的比率)，副并(得所配比率的和)为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得的和)为所有率，所分为所有数”，用“今有术”计算，就可以得到各所求数、例如衰分章第二题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马(所食)，马主曰，我马食半牛(所食)，今欲衰偿之，问各几何”，依照羊主人、马主人的话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4∶2∶1，就用4、2、1各为所求率，4＋2＋1＝7为所有率，粟50升为所有数、以“今有术”演算分别得牛主人应偿7450 ＝7428〔升〕，马主人应偿7214升，羊主人应偿717升、 《九章算术》中有相当复杂的比例问题，例如均输章中，既有按正比“列衰”也有按反比“列衰”的比例分配问题等等、因此《九章算术》已包括了现代算术中的全部比例的内容，形成了一个完整的体系、4、盈亏问题《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)、”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下、令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实、实为物价，法为人数”、如以算筹演算大致如图1－24所示、用现代的符号来表示：设每人出a 1钱，盈b 1钱；每人出a 2钱，不足b 2钱，求物价u 和人数v 、依据术文得以下二公式：当然我们还可以算出每人应该分摊的钱数因此上述的盈不足术实际上包含着三个公式、盈不足章的第9到第20题，是一般的算术应用题，有些问题还相当难，初学者不易解达、如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足的数量，这样任何算术问题都可以改造成为一个盈亏问题来解、因此盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位、盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国、【二】《九章算术》中的代数部分《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平、1、开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样、所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步、问为方几何”、“答曰：二百三十五步”、这里所说的步是我国古代的长度单位、“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长、)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)、步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)、议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)、以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225－40000＝15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)、复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位、因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3、置3于商的十位、以次商3乘借算得3×100＝300，与定法相加为4000＋300＝4300、再乘以次商，那么得：3×4300＝12900，由“实”减去得：15225－12900＝2325、如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1＋4300＝4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5＋460＝465，再乘以三商5，得465×5＝2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235、)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作、它的开平方原理与现代开平方原理相同、其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换、《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的、2、二次方程问题《九章算术》勾股章第二十题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何、”“答曰：二百五十步”、：如图1－26所示，CD＝20步，EB＝14步，BF＝1775步，求CE、按题意，得或EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF、设x＝EC、经整理，得x 2＋34x ＝71000、这是一个解数字二次方程的问题、这种二次方程有一个正系数的一次项在二次项后面，我国古代称这个一次项为“从法”、《九章算术》少广章开平方术虽然专为开整平方而建立，但是也可以利用来解一般的二次方程问题、解这种二次方程只需开带“从法”的平方，或简称为“开带从平方”、从而即可求得方程的正根、因此上述勾股章第20题的解法为：“术曰以出北门步数乘西行步数倍之，(2CD ·BF ＝2×20×1775＝71000)为实，并出南门步数为从法(20＋14＝34)，开方除之，即邑方、”现列出开带从平方的筹算步骤如图1－27所示、(注：为了不易搞错，空位补上0)如果我们将上述开带从平方的演算过程与55225的开平方的演算过程作一比较的话，我们就可以发现：在55225开平方过程中，议平方根的第二位和第三位数字时，所列的算式是一个有“从法”的开方式相当于我们分别用开带从平方的方法解二次方程：）—，（参阅图)6(251152254000100222=+x x以及）—．（参阅图)8(2512325460323=+x x不过要注意的是前者的正根是10x 2＝35，而后者的正根是x 3＝5、3、多元一次方程组及其解法《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同、《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)、消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换、方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗、问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题假设按现代的记法、设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，那么上述问题是求解三元一次方程组：《九章算术》用算筹演算：“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方、中、左行列如右方(图1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除”是减，“直除”即连续相减、)……(引文下略)”、现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：这题的答案：《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一〔419斗〕；中禾一秉，四斗四分斗之一〔414斗〕；下禾一秉，二斗四分斗之三〔432斗〕、 《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法、多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)、至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E、Be－zout)建立、可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产、4、正负数由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术、刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”、并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否那么以邪正为异”、这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹、如果只有同色算筹的话，那么遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)放、宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本、关于正、负数的加减运算法那么，“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之、其异名相除，同名相益，正无入正之，负无人负之”、这里所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、异号、“相益”、“相除”是指二数相加、相减、术文前四句是减法运算法那么：(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a＞b≥0，那么同名相除：(±a)－(±b)＝±(a－b)，异名相益：(±a)－(b)＝±(a＋b)、(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b＞a≥0、①如果两数皆正那么a－b＝a－[a＋(b－a)]＝－(b－a)、中间一式的a和a对消，而(b－a)无可对消，那么改“正”为“负”，即“正无入负之”、“无入”就是无对，也就是无可对消(或不够减或对方为零)、②如果两数皆负那么(－a)－(－b)＝－a－[(－a)－(b－a)］＝＋(b－a)、在中间的式子里(－a)和(－a)对消，而－(b－a)无可对消，那么改“负”为“正”所以说“负无入正之”、③如果两数一正一负、那么仍同(1)的异名相益、术文的后四句是指正负数加法运算法那么、(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和、如果a＞0，b＞0，那么a＋b＝a＋b，(－a)＋(－b)＝－(a＋b)(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除、如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”、如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”、用符号表示为①如果a＞b≥0，那么a＋(－b)＝［b＋(a－b)]＋(－b)＝a－b，或(－a)＋b＝［(－b)－(a－b)]＋b＝－(a－b)、②如果b＞a≥0，那么a＋(－b)＝a＋[(－a)－(b－a)]＝－(b－a)，或(－a)＋b＝(－a)＋［a＋(b－a)]＝b－A、关于正负数的乘除法那么，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算、可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四那么运算法那么已经全面作了总结、至于正负数概念的引入，正负数加减运算法那么的形成的历史记录，我国更是遥遥领先、国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？)欧洲到16世纪才承认负数、【三】《九章算术》中的几何部分《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用，现分别介绍如下1、面积计算《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法、《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong)十六步、问为田几何、”“答曰：一亩”、这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之，即亩数、百亩为一顷、”当时称长方形为方田或直田、称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”、这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也、”“亦可以半正从以乘广”(图1－30)、盈是多余，虚乃不足、“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式、方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的面积公式是：“术曰：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并、”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法、在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”、至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十【一】三十二题中，它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”、这里“周”是圆周长，“径”是指直径、这个圆面积计算公式是正确的、只是当时取径一周三(即π≈3)、于是由此计算所得的圆面积就不够精密、除了上述面积计算公式以外，《九章算术》中还有近似计算公式，方田章第三十。
数学公式知识：多元一次方程组的解法
数学公式知识：多元一次方程组的解法多元一次方程组是数学中一个非常基本的概念，它是求解一些实际问题时常用的数学工具。
在本文中，我们将会介绍多元一次方程组的定义、解法以及一些常见的应用场景。
一、多元一次方程组的定义多元一次方程组是由若干个含有多个未知数的一次方程组成的方程组。
一次方程指的是方程中未知数的最高次数是1，例如：2x+3y=5。
而多元指的是方程组中包含多个未知数，例如：2x+3y=5，3x-5y=1。
二、多元一次方程组的解法对于一个二元一次方程组，我们可以通过以下两种方法求解：1.代入法假设我们有如下方程组：2x+3y=53x-5y=1我们可以使用代入法来求解这个方程组。
具体的步骤如下：首先，我们可以将第一个方程写成y=(5-2x)/3的形式，然后将这个式子代入到第二个方程中，得到3x-5(5-2x)/3=1。
然后，将这个式子进行化简和移项，得到17x=16。
最后，我们将x=16/17代入到第一个方程中，得到y=(5-2(16/17))/3=17/34。
因此，该方程的解为x=16/17，y=17/34。
2.消元法除了代入法，我们还可以使用消元法来求解多元一次方程组。
对于一个二元一次方程组，我们可以使用以下方法来消元：首先，将第一个方程乘以5，得到10x+15y=25。
然后，将第二个方程乘以3，得到9x-15y=3。
最后，将两个方程相加，消除y的系数，得到19x=28。
因此，该方程的解为x=28/19，y=(5-2(28/19))/3=17/34。
对于三元一次方程组或者更高维的一次方程组，我们同样可以使用代入法或消元法来求解。
但是，随着方程组的维数增加，求解的难度也相应地增加。
三、多元一次方程组的应用多元一次方程组常常被应用于一些实际问题中。
例如，假设我们要计算一家餐馆的进货成本和售出利润，我们可以将进货成本、售价和售出量等因素表示为多元一次方程组，并使用上述方法求解方程组，得到进货成本和售出利润的值。
[教程]《九章算术》中的方程-
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《九章算术》﹝约公元50-100年﹞《九章算术》的成书年代各说不一，约在公元50至100年间，书中系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国古代数学著作中影响最大的一部。
下面介绍书中各章的内容。
第一章，「方田」：平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等田地的求积公式，及分数算法，包括分数的加、减、乘、除运算，约分﹝将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。
第二章，「粟米」：各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。
第三章，「衰分」：比例分配问题。
第四章，「少广」：多位数开平方，开立方的法则。
第五章，「商功」：立体形体积的计算。
第六章，「均输」：处理行程和合理解决征税的问题。
还有一些与按人口征税有关的问题。
其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。
第七章，「盈不足」：算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。
第八章，「方程」：有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。
将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。
在本章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。
第九章，「勾股」：专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。
《九章算术》的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，它有以下的一些特点：1.是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；2.以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，"术"是主要需阐述的内容；3.以算筹为工具。
《九章算术》取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。
《九章算术》的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。
中国数学十大成就
中国数学十大成就
以下是中国数学的十大成就：
1. 十进位值制与算筹记数法：中国是世界上最早使用十进制计数的国家之一，商代甲骨文中已有十进制计数。
2. 《九章算术》与盈不足术：《九章算术》约成书于东汉初年，是中国现有传本中最古老的数学著作，其中最著名的便是分数运算法则和双假设法（盈不足术）等。
3. 《周髀算经》与勾股定理：西汉末年编纂的《周髀算经》，其中提出勾股定理的特例，在赵爽的注释中给出了普遍形式和证明。
4. 线性方程组及解法：《九章算术》中关于多元一次方程组解法的记载比印度早400多年，比欧洲早1300多年。
5. 中国珠算：珠算术用算盘演算，比筹算术用算筹演算简单方便，珠算口诀又便于记忆，在中国被普遍应用，同时也流传到了其他国家和地区。
6. 贾宪三角与增乘开方法：现代初等数学中，二项式乘方展开是一种最基本的运算方法。
二项式展开项系数，具有一定规律性，贾宪三角与增乘开方法就是利用这一规律展开的方法。
除此之外，中国数学成就还包括割圆术、刘徽原理、二元一次方程组、孙子定理等。
1。
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
《九章算术》方程术与初等变换之实例详解
◎姚秀凤
【摘要】【摘要】本文主要是以《九章算术》中一题目作为实例，详尽解析《九章算术》中方程术的解法，并与现今矩阵的初等变换做对比.《九章算术》中所谓“方程”专指多元一次方程组，解法是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”，运用直除法进行消元，这个过程与现今《线性代数》中矩阵的初等变换一致.从中感受我国古代科技之进步.
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2019(000)019
【总页数】1
【关键词】【关键词】《九章算术》；方程术；初等变换
矩阵初等变换是求解线性方程组的重要方法，今天广泛应用的线性方程组的解法是十七世纪由莱布尼茨提出的.而实际上，在我国公元前的汉代，张苍等整理校订的《九章算术》一书，即提出了线性方程组的概念，并系统的总结了线性方程组的求解算法.这一科学论述远远早于欧洲.在这本《九章算术》中，第八卷方程术主要讲述了由线性方程组的系数排列而成的长方阵的问题，使用的直除法与现在矩阵的初等变换一致.下面以其中一道题目为例，对比两种解法.一、《九章算术》题目原文
问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？
答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，。
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九章算术中关于多元一次方程组及其解法
《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．
方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：
《九章算术》用算筹演算：
“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方(图1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除”是减，“直除”即连续相减．)……(引文下略)”．
现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一(9斗)；中禾一秉，四斗四分斗之一(4斗)；下禾一秉，二斗四分斗之三(2斗)”
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．
多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．。