分析法与综合法方法比较
分析方法与综合方法
⌛️
综合方法的优缺点及适用范围
优点
• 整合事物的内在联系和规律
• 发现新的联系和规律
缺点
• 可能忽视事物的细节和局部
• 需要较高的综合素质和创新能力
适用范围
• 研究事物的整体性和系统性
• 解决复杂问题和创新领域
分析方法与综合方法的综合运用与优化
综合运用
优化
• 在研究过程中，根据需要灵活运用分析方法和综合方法
CREATE TOGETHER
SMART CREATE
分析方法与综合方法：理论应用与实例
01
分析方法与综合方法的基
本概念
分析方法的定义与特点
分析方法是一种深入研究事物内部的方法
• 通过分解、剖析、观察等手段
• 了解事物的本质和规律
• 强调细节和局部
分析方法的特点
• 深入：深入挖掘事物的内在联系
• 细致：关注事物的细节和局部
域
归纳综合方法及其应用
归纳综合方法
应用领域
• 通过归纳手段从具体事物中提炼出一般规律
• 哲学：研究世界观、认识论等
• 如：归纳法、类比法等
• 科学：研究科学方法、科学发现等
• 艺术：研究艺术创作、审美规律等
演绎综合方法及其应用
演绎综合方法
• 通过演绎手段从一般规律推导出具体事物
• 如：演绎法、推理法等
• 员工满意度分析：评估员工满意度、激励措施等
品创新
综合方法在科技创新中的应用
科技创新中的综合方法
• 跨学科研究：整合不同学科的知识和技术，解决复杂问题
• 创新方法论：研究创新过程、创新策略等
• 技术路线图：规划技术发展路径，指导科技创新方向
11.2 分析法、综合法与反证法
由x1,x2∈
0,
2
,x1≠x2知上式显然成立,因此12
[f(x1)+f(x2)]>f
x1
2
x2
.
第第十十四四页，页编，辑编于辑星于期星五期：六二：十二十点五点三十三九十分九。分。
栏目索引
方法三 反证法证题的方法
反证法证题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否 定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾—— 与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾; (推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然 原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
栏目索引
考向突破
考向一 综合法 例1 (2019届江苏连云港板浦高级中学检测)如图,在四棱锥P-ABCD中, PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2, E是PB的中点. (1)求证:EC∥平面PAD; (2)求证:平面EAC⊥平面PBC.
第第三页三，页编，辑编于星辑期于五星：二期十六二：点十三五十九点分三。十九分。
栏目索引
11.2 分析法、综合法与反证法
第第一一页页，编，辑编于辑星于期星五期：六二：十十二点五点三十三九十分九。分。
栏目索引
考向基础
考点清单 考点一 直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是① 综合法 和② 分析法 .
(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过
一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做
证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3,
综合法、分析法和分析综合法
综合法、分析法和分析综合法证明一个数学命题，重要的是寻找“条件”（已知）与“结论”（未知）之间的逻辑关系．寻找的方法通常分成正面思考和反面思考两大类．正面思考的方法有综合法、分析法和分析综合法等，反面思考的方法有反证法和同一法等．（一）综合法所谓综合法就是从“已知条件”出发，运用已学过的数学知识（定义、公理、定理等），一步步地进行推理，直至导出“结论”为止．综合法以“结论”为目标，由“已知”推出“可知”，逐步靠拢目标．因例1 如图1-1．已知：α⊥β，b⊥β且bα．求证：b∥α．【分析】由α⊥β和平面与平面垂直的性质定理可知，在α内，作垂直于α与β交线的直线c必垂直于β．从而由b⊥β、c⊥β和直线与平面垂直的性质定理可得，b与c重合或平行．若b与c重合，则bα，与已知条件bα不合；若 b∥c，则 b∥α．【证明】设α∩β=m，在α内作直线c⊥m．【解说】用综合法证明立体几何题，从“已知”过渡到“可知”时，必须注意挖掘几何图形的性质，充分运用性质定理去推证，这是综合法证题的一个规律．例2 如图1-2．已知：在四面体ABCD中，AB⊥DC，AC⊥BD．求证：AD⊥BC．【分析】由AB⊥DC和AC⊥BD可得出什么？注意到CD、BD都在平面BCD内，AB、AC都是这个平面的斜线，这样，已知条件就是平面BCD的两条斜线与该平面内的两条直线分别垂直．因此，由三垂线定理的逆定理可得，两条斜线的射影也分别垂直于这两条直线．于是，作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH，则BH⊥CD，CH⊥BD．从而H是△BDC的垂心，可知DH⊥BC．由DH是AD 在平面BDC内的射影和三垂线定理，可得AD⊥BC．【证明】如图1-2．过A作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH．（二）分析法所谓分析法就是从“结论”入手，去追溯“结论”成立的条件（即在什么条件下“结论”成立），再把所得的条件作为结论，去寻找这个新结论成立的条件．像这样，追根求源，一直追溯到“已知”为止．例3如图1-3．已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1．（1994年全国高考文科、理科试题）【分析】欲证AB1∥平面DBC1，即证AB1平行于平面DBC1内的一条直线．由于D是AC的中点，联想△CAB1的中位线的性质，只需找到B1C的中点E．而由已知易得B1BCC1是矩形，B1C与BC1的交点就是E．【证明】连结B1C、BC1，设B1C∩BC1=E，再连结DE．【解说】在本例的分析中，用分析法作了一番探索后，发现了由“已知”通向“未知”的思维过程，为综合法证明铺平了道路．例4 如图1-4．已知：在四面体ABCD中，AC=BC，AD=BD．求证：AB⊥DC．【分析1】欲证 AB⊥DC，由直线与平面垂直的性质知，需证AB垂直于过DC 的某个平面．因此，需找两条相交直线，它们都垂直于AB，且与DC共面．因AB 是△CAB和△DAB的公共边，问题转化为在AB上是否存在一点M，使AB⊥MC，且AB⊥MD，但这由已知条件CA=CB和DA=DB可知．【证法1】设M是AB的中点，连结MC和MD．【分析2】如图1-5．AB在平面ABD内，CD与这个平面相交．要证AB⊥CD，若CD是平面ABD的斜线，则问题转化为证CD在平面ABD内的射影 DH（CH⊥平面ABD）垂直于AB．因DA=DB，只需证∠ADH=∠BDH．由DA=DB知，只需证AH=BH，这可由CA=CB得出．若CD⊥平面ABD，则易得CD⊥AB．【证法2】（1）当CD不垂直于平面DAB时（如图1-5），过C作CH⊥平面DAB，垂足为H，连结AH、BH、DH．于是，由（1）、（2）可知，CD⊥AB．【解说】这两种证法都需要添置适当的辅助线，而这些辅助线都是在探索“结论”成立的条件中发现的．因此，分析法是立体几何中添置辅助线的一种重要方法．（三）分析综合法综合法由“条件”靠拢“结论”是正向思维，分析法由“结论”追溯“条件”是逆向思维．因此，在思维方法上，这两种方法构成一对矛盾．分析法和综合法是证明数学命题的两种有效方法，在立体几何中都大有用武之地，但是，使用这两种方法要灵活机动，因题制宜，不可拘泥于某一种方法．有的题目，单用一种方法简直到了山穷水尽疑无路的地步，一旦改换另一种方法，思维沿着相反的方向进行，就会出现柳暗花明又一村的美景．因此，一旦把两种方法结合起来，互相穿插使用，便能加快解题速度．这样，分析法和综合法互相配合就产生了分析综合法．这种方法从一个命题的两头（“条件”和“结论”）向中间靠拢，思路清晰，目标明确，思维集中，容易找到问题的突破口，发现解题途径．例5 如图1-6，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．求证：BE=EB1．（1996年全国高考理科试题改编）在平面A1CE内可作EG⊥A1C于G，设AC的中点为F，连BF、FG，【证明】如图1-6．在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C于G，则由截面EA1C⊥侧面A1C，得EG⊥侧面A1C．■设F是AC的中点，连结BF、FG，则由BA=BC，得BF⊥AC．∵平面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1．∴BF∥EG．从而BF、EG确定一个平面，这个平面与侧面A1C的交线为FG．又 BE∥侧面A1C，∴BE∥FG．于是 BE=FG．在△CAA1中，∵FG∥BE，BE∥AA1，∴FG∥AA1．又 F是AC的中点，。
综合法与分析法
1 1 ，试请此结论推广猜想. + ≥ 4” a1 a2 1 1 1 2. 已知 a, b, c ∈ R + ， a + b + c = 1 ，求证： + + ≥ 9 . a b c 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
1. 已知 “若 a1 , a2 ∈ R + ，且 a1 + a2 = 1 ，则
1、新课讲授 、新课讲授 例 1 求证： 求证：
1 lo g 5 1 9
+
2 lo g 3 1 9
+
3 lo g 2 1 9
< 2
学习札记 知识点总结 课 堂 师 生 互 动
综合法
综合法步骤的符号表示 针对训练
已知 sin 2α = 2 sin 4 ，求证 : tan( α + 2 ) cot( α − 2 ) = 3 .
求证： 例２ 求证：
3+
7 < 2 5
知识点总结
学习札记
分析法定义
分析法的步骤的符号表示
课 堂 师 生 互 动
针对训练 已知 a > 5, 求证： a − 5 −
a−3 < a−2− a .
知识点总结
课 堂 师 生 互 动
综合法与分析法各有何特点：
针对训练： 如图，设四面体 PABC 中, ∠ABC=90°，PA=PB=PC，D 是 AC 的中点， 求证：PD 垂直于△ABC 所在的平面．
课 堂 梯 度 练 习
3.已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证
【高中数学】综合法与分析法 、反证法
题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
分析综合法
提要分析法就是执果索因的解题方法，即首先抓住问题的结论，追索结论成立的条件，该条件找到后，在追索该条件成立的另一个条件，这样一直追索下去，直到最后出现显然成立的条件；综合法是一种由因索果的解题方法，从顺序上看其与分析法恰好相反，是从已知到未知（即从题设到结论）的推理方。
解题时，分析法和综合法是交替使用的。
知识全解一．分析法的概念解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。
它的思维形式是逆向推理。
对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则需反过来“顺着书写”。
二．综合法的概念解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推出结论为止，这种方法叫作综合法。
用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。
书写时应先写原因后写结论，一般都用“因为……，所以……”来表述推理。
在叙述过程中，当前面一步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。
三．分析综合法的概念对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。
一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼，想需要找到什么条件，从而找到解题途径。
这种方法称为分析综合法。
寻求解题要因题而异，有时用分析法，有时用综合法；有时用分析法分析思路，用综合法书写表达；有时分析法，综合法同时并用，一边分析，一边综合或交替使用。
四．分析法，综合法的解题策略应用分析法证明数学问题，尤其是证明几何问题时，语言是假定的；若要证明A成立则先证明B成立，若要证明B成立，则先证明C成立……应用综台法时，语气是肯定的，且每一步的推理都必须是正确的。
解题时，分析是为了综合，综合又必须根据分析。
因而有的题目往往同时应用两种方法：一边分析，一边综合，有时甚至交替运用。
小学数学：分析法和综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
综合法和分析法
x 3 x 2
x 4,
2
展开得 2x 5 2 x 1 x 4 2x 5 2 x 3 x 2, 即
x 1 x 4 x 3 x 2 ，
2 2
只需证 x 1 x 4 x 3 x 2 ， 即证x2-5x+4<x2-5x+6,即4<6，这显然成立. ∴当x≥4时， x 1
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R), (5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系，由 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)得出.三式中已知两式，
第三式即可由设等式用另两式表示出来.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别 为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数 列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
2 2
练习:当x≥4时，证明： x 1 x 2 证明:欲证 只需证 即证
x 3 x 4.
x 1 x 2 x 3 x 4 (x≥4)，
x 1 x 4 x 3 x 2 x 4 ，
x 1 x 4
2 B A C 证明： B 3 A B C
b ac a c 2ac cos B ac
2 2 2
a 2ac c 0 a c
2 2
∴△ＡＢＣ为等边三角形．
练习：在锐角三角形中，A、B、C为三角形内角，求证： sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
董2.2.1综合法和分析法-上课用
a+b 所以 2
因为;( a b )2 0 成立
ab成立
思考：上述两种证法有什么异同？
相同
不同
都是直接证明 证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论 为止 综合法 证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的 条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知 条件吻合为止 分析法
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C； •A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°； •a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一 步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余 弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.
…
Qn Q
作 业
Ｐ50
1
2.2.1综合法和分析法（二） ——分析法
一、回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果”
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2.2.2综合法与分析法
两边同乘以正数
4 ，得 2 L 因此，只需证明 4
L L2 2 4 16
L 2 L 2 因为上式是成立的，所以 （ ） （ ） 2 4 即，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积
比正方形的面积大
思维升华:
1、从寻找解题思路看：综合法是由因导果，探路艰难； 分析法是执果索因，便于寻找解题思路 2、从表达过程看：综合法形式简洁，条理清晰; 分析法叙述繁琐。 因此，在实际解题时，常把二者结合使用。先用分析法寻找解题思 路，再用综合法有条理的表述过程。
三、典例分析:
例3：求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积 比正方形的面积大。
L 2 证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为 （ ） ， 2
L 2 正方形的面积为 （ ） 4
因此本题只需证明
L 2 L 2 （ ） （ ） 2 4 2
1 1 4
为了证明上式成立，只需证明
P3 P4（结论）
一、综合法:
定义:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定 理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出 所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。 【问题一】 ：综合法的主要特点是什么？ 主要特点：由“已知”看“可知”，逐步推 向“未知”，即“由因导果 ” 。 【问题二】 ：如果用P表示已知条件，Q表示要证 明的结论，那么综合法证明的符号表示是什么？
所以PAD PBD PCD.
于是PDA PDB PDC , 而PDA PDC＝90 , 所以PDB＝90
P2P3 P0(已知) P1 A
P
D
C
B
而PD是PAD, PBD, PCD的公共边，
P1 P2
小学数学解应用题的综合法与分析法
小学数学解应用题的综合法与分析法［知识要点］１．一步计算的加（减）应用题与两不计算的加减应用题之间的关系。
⑴将两道有联系的一步计算的应用题合成一道两步计算的复合应用题；⑵将一道两步计算的加减应用题分解成两道一步计算的应用题；⑶将一道一步计算的应用题，改变其中的某个条件（已知条件或问题），使其变成一道两步计算的应用题。
２．用“分析法”和“综合法”解两步计算的加减应用题。
［范例解析］某些有联系的两道简单应用题，可以合并成一道两步计算的应用题。
例1⑴学校买来红纸382张，绿纸295张，一共买回多少张纸？⑵学校买回红纸和绿纸677张，做花用去488张，还剩多少张？分析第一题要求“一共买回多少张纸？”就是求382张红纸和295张绿纸的和。
算式是：382＋295 = 677（张）第二题要求“还剩多少张？”就得从红、绿纸的总数中减去“用去了488张”。
算式是：677－488 = 189（张）可以看出，第一题中所求的问题，正好是第二题中的一个条件，于是一变，把这两个有的简单应用题变成一个两步计算的应用题⑶学校买回红纸382张，绿纸295张，做花用去488张，还剩多少张？分析要求“还剩多少张？”必须先求出“一共买回多少张纸？”这个中间隐含的问题，而这个中间隐含的问题可以根据“买来红纸382张”和“绿纸295张”这两个条件来求。
求出了一共买来多少张纸，又已知“做花用去了488张”就可以求“还剩多少张纸？”算式是：382＋295－488= 677－488= 189（张）一道两步计算的应用题，也可以分解成两个有联系的简单应用题。
例2一条公路长1280米，工程队上午修了370米，下午修了392米，还剩多少米没有修？分析根据“上午修了370米”和“下午修了392米”，可以求修了多少米，又已知“一条公路长1280米”，就可以求“还剩多少米没有修？”算式是：1280－（370＋392）= 1280－762= 518（张）上题一变，把这个两步计算的应用题分解成了两个有联系的简单应用题。
分析与综合法
AD BD
1
4．前进型分析法 这种分析法，其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的 必要条件，也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的 和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这 样的数列最多能包含多少项。 解：从已经明确的部分出发，即（最小项） ∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， ∴a8+a9+…+a11＞0。（由已知：到11项是已成立的部分） 顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。（从11进到14，得a11＞0） 用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因 而a11+a12+a13＞0，(推至16项)但因为a11+a12+…+a17＜0， ∴a14+…+a17＜0。(考察17项) 另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得 a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。(从11前进到17项， 第17项不成立，故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法：把研究的对象分为各个组成部分，各个不同的 因素、不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而认识 和理解事物的一种方法，这是方法论中的分析法，也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法： 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法，它是从所需要 论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推，从而达到已知条件（也叫执果索因）
2.2.1综合法和分析法
分析法 又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显 成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一 来 步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形 系 状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理 为工具进行证明 .
2
证明 由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,
1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
分析与综合法
由A、B、C成等差数列→B=60° →b² =a² +c² -2accosB=a² +c² -ac。 思路接近，整理一下即得完整的证明。（从两 条线进行考察）
二、综合法
1、综合法：把研究的对象的各部分、方面、因素都联系起 来加以研究考察，从而在整体上认识和掌握事物的本质属 性和规律的一种思维方法。 特点是：从事物各部分、方面、因素的特点和属性出发寻找 内在联系，然后再去认识事物的整体规律。 2、数学解题中的综合法：指从已知的定义、定理、条件出 发，逐步推演从而导致所求结论的一种方法，是由因索果 的方法。 3、分析法与综合法混合使用 思维层面：解决问题总是从分析模式开始，找到方法后再 综合理解和表达出来。 方法层面：分析法和综合法是解决问题时的两种表达方式 4、联合使用二者的优势：目的性更明确；整体性更充分。
例2 已知A、B为锐角三角形之二内角，求证tgA· tgB＞1。 证明 • 考虑到tgA· tgB，可作CD⊥AB，则应有 （要证明结论， 也就是要证） CD 2
tan A tan B
即 CD² ＞AD· BD。 我们希望能在CD所在直线上找一点E，使得ED² ＝ AD· BD，且有CD＞ED。（是否存在这样的点E？不明确） 假设这个不明确的部分是成立的，则E点应在CD内。通 过已有的知识和C是锐角， 我们很快知道E点即是以AB为直径的半圆与CD的交点，且落 在CD内，即原命题是成立的。
例1 若x、y、z为互不相等的正数，求证
证明 把要求证的不等式看成是一个整体事物，并假设其 成立。 然后变形(即把它分解成一些适当的部分，以找出能解决 问题的一种分解形式)，即需证明
那么，原不等式做为一个整体，就可分解成以下三个部分 ， 且有 这三个部分按题设条件是成立的，所以原不等式成立
分析法、综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
数学证明方法
数学证明方法1 直接证明法从正面证明命题真实性的证明方法叫做直接证法．凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法．它是中学数学中常用的证明方法．综合法、分析法、分析综合法、比较法。
（1）综合法：从已知条件入手，运用已经学过的公理、定义、定理等进行一步步的推理，一直推到结论为止．这种思维方法叫综合法．这种方法是“由因导果”，即从已知到可知，从可知到未知的思维过程．（2）分析法：从问题的结论入手，运用已经学过的公理、定义、定理，一步步寻觅使结论成立的条件，一直“追”到这个结论成立的条件就是已知条件为止．可见分析法是“执果求因”的思维过程，它与综合法的思维过程相反．分析法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆。
分析法的步骤为未知→需知→已知。
在操作中“要证”、“只要证”、“即要证”这些词语也是不可缺少的。
分析法的书写形式一般为“因为......，为了证明......，只需证明......，即......，因此，只需证明......，因为......成立，所以‘......（结论）’成立”。
（3）分析综合法：把分析法和综合法“联合”起来，从问题的两头向中间“靠拢”，从而发现问题的突破口．这种思维方法叫做分析综合法．对于比较复杂的题目，往往采用这种思维方法．在证明的过程中，往往分析法、综合法常常是不能分离的。
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。
分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。
（4）比较法2 间接证明法不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题的不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证明法．反证法、同一法、归纳法（不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法）、类比法、换元法、放缩法、判别式法、函数法（1）反证法：反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
2.2.1综合法和分析法(1)
C
因为:SA 平面ABC ABC成立 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. SC成立 所以. AF⊥SC成立
如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC, ,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过 例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E, E,过 SC的垂线 的垂线, 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S F,求证 为F,求证 AF⊥SC
2 2 2
点评：在解决问题时，我们经常把综合法和分析 点评：在解决问题时，我们经常把综合法和分析
法结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论， 法结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论， 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件， 得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件， 得到中间结论P 可以推出Q 得到中间结论P，若P可以推出Q，就可以证明结论 成立
特点：执果索因. 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点. 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ⇐ P1
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
例题，求证： + 7 < 2 5 3
证明：因为 3 + 7和2 5都是正数，所以要证
3+ 7 <2 5
（ （ 只需证， 3 + 7） < 2 5）
:.已 例:.已知a、b、c为不全相等的正数， b+c-a c+a-b a+b-c 求证： + + > 3. a b c
利用已知条件和某些数学定义、公理、 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证, 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立, 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 法叫做综合法 表示已知条件、已有的定义、公理、 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. ,Q表示所要证明的结论 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: 则综合法用框图表示为:
高中数学—综合法与分析法
∵∴即a2>(aab->-1bcb),(+b-bc-1)c(c+-ca)-1<a0, 0 成立.
5. 已知 m, nR+,
求证
m
+ 2
n
m+n
mnnm
.
证明: ∵ m, nR+,
要证
m+ 2
n
m+n
mnnm
,
只需证
(
m+ 2
n
)m+n
mnnm
,
(
m+ 2
n
)m+n
(
mn )m+n ,
∴只需证 ( mn)m+n mnnm,
b3+c3=(b+c)(b2-bc+c2) ≥(b+c)bc, c3+a3=(c+a)(c2-ca+a2) ≥(c+a)ca, ∴2(a3+b3+c3)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca
=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2 =a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
配方计算得 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0,
∵a, b, c互不相等, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0 成立, ∴原不等式成立.
4. 已知 a>b>c,
求证
1 a-b
+
1 b-c
+
1 c-a