第1章被控对象数学模型分析解析

h KQ1 (1 e
t / T
)
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
2．无自平衡单容过程
所谓无自平衡过程是指受扰过程的平衡状态被破坏后， 在没有操作人员或仪表等干预下，依靠被控过程自身能力不 能重新回到平衡状 态。如图所示为无 自平衡单容液位过 程。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
机理法建模的基本步骤如下：
根据建模过程和模型使用目的做出合理假设。
根据被控对象的结构以及工艺生产要求进行基本分析，确 定被控对象的输入变量和输出变量。 根据被控对象的内在机理，列写原始动态方程组。 消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方 程式或传递函数。
1.2 被控对象的数学模型 的建立
1.2.2 实验法建模
实验法建模是根据被控对象输入/输出的 实验测试数据通过数学处理后得出数学模 型。此方法又称为系统辨识。 系统辨识是根据测试数据确定模型结构 （包括形式、方程阶次以及时滞情况等）， 在已定模型结构的基础上，再由测试数据 确定模型的参数即为参数估计。
1.2.1 机理法建模
机理法建模就是根据生产过程中实际发生的 变化机理，写出各种相关的平衡方程，如：物质 平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平 衡方程以及反映流体流动、传热、化学反应等基 本规律的运动方程、物性参数方程和某些设备的 特性方程，从中获得所需的被控过程的数学模型。
1.2 被控对象的数学模型 的建立
由上可见，液位变化dh/dt由两个因素决定： 一是储存罐的截面积A；
一是流入量与流出量之差Q1-Q2。
A越大，dh/dt越小；Q1-Q2越大，dh/dt越大。 在过程控制系统中，被控对象一般都有一定储存物料或 能量的能力，储存能力的大小通常用容量或容量系数表示， 其表示符号为C。其物理意义是：引起单位被控量变化时被 控对象储存能量、物料量变化的大小。 本例中A是决定液位变化率大小的因素。
如图所示为该双容过程的 阶跃响应曲线。
由图可见，与自平衡单容过程 的阶跃响应曲线相比，双容过程的 单位阶跃响应曲线从一开始就变化 较慢。这是因为在两个储存罐之间 存在液体流通阻力，延缓了输出量 的变化。显然，如果依次相接的储 存罐越多，过程容量越大，这种延 缓就会越长。
1.1 被控对象的数学模型
3 自衡振荡过程
K G( s) 2 2 e s , 0 1 T s 2 Ts 1
1.1 被控对象的数学模型
4 具有反向特性的过程
K (1 Td s) G( s) e s ,Td 0 (T1 s 1)(T2 s 1)
1.2 被控对象的数学模型 的建立
1.2 被控对象的数学模型 的建立
1.2.3 机理法与实验法建模相结合
当用单一的机理法或实验法建立复杂的被控对象的数学 模型比较困难时，可采用将机理法和实验法相结合的方法来 建立数学模型。 •一是部分采用机理法推导相应部分的数学模型，该部分往往 是工作机理非常熟悉的部分。对于其它尚不熟悉或不很肯定 的部分则采用实验法得出其数学模型。
因阀门2换成计量泵，使在任何情况下Q2都保持 不变，即与液位h的大小无关，故有：
dh Q1 Q2 C dt
因为ΔQ2=0，则可得：
dh C Q1 dt
对上式取Laplace变换，可得液位变化与流入 量之间的传递函数：
H ( s) 1 G( s) Q1 ( s) Ts
其中T=C为被控对象 的积分时间常数。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。
当输入发生阶跃扰动 后，输出量将无限制地变 化下去，不会停止。这与 实际物理过程是相吻合的。 因为当流入量Q1阶跃变化后， 液位 h 将随之而变，而流出 量不变，所以储存罐的液 位 h 要么一直上升直至液体 溢出，要么一直下降直至 液体被抽干。
对上式取Laplace变换，可得液位变化与流入量 之间的传递函数：
H ( s) R Q1 ( s) RCs 1
令T=RC，K=R，可得：
H ( s) K G( s) Q1 ( s) Ts 1
其中T为过程时间常数，K为过程放大系数或增 益。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
液位控制过程的阶跃响应如 图所示。当 t→∞ 时，液位变化趋 于稳态值。对于该过程，输入量 的变化经过储存罐这个对象后， 放大了K倍，故K称为放大系数。 液阻 R 不但影响液位过程的时间 常数T，而且影响放大系数K；而 容量系数 C 仅影响液位过程的时 间常数T。时间常数T是表征液位 过程响应快慢的重要参数。
1.3 ：
有自平衡过程的传递函数为： G(s)
H ( s) K e s Q1 ( s) Ts 1
H ( s) 1 e s Q1 ( s) Ts
无自平衡过程的传递函数为： G(s)
其中τ为过程的纯滞后时间
1.3 机理法建立被控对象的数学模型

1.2 被控对象的数学模型 的建立
系统辨识的一般步骤 ： 明确数学模型的应用目的及要求 掌握足够多的验前知识 实验设计
辨识方法应用
用阶跃响应、频率响应、频谱分析、相关函数或参数估 计等方法来建立过程的数学模型。对于模型结构，包括模型 形式、时滞情况及方程阶次的确定等，通常总是先作假定， 再通过实验加以验证。 模型验证
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
若以增量形式表示各变量相对于稳态值的变化量， 可得： dh
Q1 Q2 A dt
假设Q2与h近似成线性正比关系，与阀门2处的 液阻R成反比关系，即 Q2 h / R 则可得： 其中 C A
dh RC h RQ1 dt
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
式中：Q1、 Q2 、 Q3为流过阀门1、阀门2、阀门3的流量； h1、h2为储存罐1和2的液位；C1、C2为其溶液系数； R1、 R2 为阀门2、阀门3的液阻。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
对上式进行Laplace变换，整理可得双容过程的数学模型
R3 Q2 (s) H 2 ( s) 1 K G( s) Q1 (s) Q2 ( s) T1 s 1 T2 s 1 (T1 s 1)(T2 s 1)
有自平衡过 程的阶跃响 应过程如图 所示 ：
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
1.3.3 多容过程的数学模型
具有一个以上存储容量的过程称为多容过程。 在实际生产过程中被控对象大多具有一个以上的存 储容量。
如图所示的液 位过程由管路分离 的两个储存罐组成， 它有两个储水的容 器称为双容过程。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
过程控制
第一章 被控对象的数学模型
第一章 被控对象的数学模型
要实现过程控制，首先要了解和掌握被 控对象的过程特性，而用数学语言对过程特 性进行描述就是被控对象的数学模型。被控 对象的数学模型在过程控制系统的分析与综 合中起着至关重要的作用。本章在介绍被控 对象数学模型的基本概念、作用和要求的基 础上，详细阐述利用机理法建模和实验法建 模的原理、方法和步骤。
目
录
被控对象的数学模型 被控对象的数学模型的建立 机理法建立被控对象的数学模型 实验法建立被控对象的数学模型
1.1 被控对象的数学模型
1.1.1 被控对象的数学模型 的概念
被控对象就是正在运行着的各种各样的被 控制的生产工艺设备，例如各种加热炉、锅炉、 发酵罐、热处理器、精馏塔等。 被控对象的数学模型就是被控对象的动态 特性的数学表达式，即被控对象的输出量（被 控量）在输入量（控制量和扰动量）作用下变 化的数学函数关系式。
不计两个储存罐之间管路所造成的时间延迟， 以阀门1的流量Q1为输入量，第二个储存罐的液位h 为输出量，求此两容过程的数学模型
根据物料平衡关系，可以列写出下列增量方程
dh1 Q1 Q2 C1 dt
h1 Q2 R2
Q3 h2 R3
dh2 Q2 Q3 C 2 dt
1.1 被控对象的数学模型
1.1.4 典型的工业过程动态特性
自（平）衡过程：被控对象受到干扰作用后平衡状态被破坏， 无须外加任何控制作用，依靠对象本身自动趋向平衡的特性 称为自衡。具有这种特性的被控过程称为自衡过程。 如果被控量只需稍微改变一点就能重新恢复平衡，该过 程的自衡能力强。自衡能力的大小由对象静态增益K的倒数 衡量，称为自衡率()，=1/ K。 常见的4类工业过程模型类型，即自衡非振荡过程、无自 衡非振荡过程、自衡振荡过程、具有反向特性的过程。
在满足控制工程要求的前提下对动态数学模型进行必要的 简化。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
1.3.2 单容过程的数学模型
单容过程是指只有一个储存容量的过程。单容 过程可以分为自平衡单容过程和无自平衡单容过程。 1. 自平衡单容过程
单容液位控制过程如图所示。 其流入量为Q1，其大小 由阀门1的 开度控制。流量为流出量Q2，它取 决于用户的需要，其大小由阀门2 的开度控制。以储存罐中液位的高 度 h 为被控量，即输出，流入量 Q1 为输入，来建立其输入输出关系的 数学模型。
一般情况下，由机理推导的微分方程往往比较复 杂，需要对模型进行简化，以获得实用的数学模型。 简化模型方法有以下三种：一是在开始推导时就 引入简化假定，使推导出的方程在符合过程主要客观 事实的基础上尽可能简单；二是在得到较复杂的高阶 微分方程时，用低阶的微分方程或差分方程来近似； 三是对得到的原始方程利用计算机仿真，得到一系列 的响应曲线（阶跃响应曲线或频率特性），根据这些 特性，再用低阶模型去近似。如有可能，对所得的数 学模型进行验证，若与实际过程的响应曲线差别较大， 则需要对数学模型进行修改和完善。
指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 实施工业过程的优化 实现工业过程的故障检测和诊断 培训系统运行操作人员