大学物理学_第四章机械振动

t 0时的位置坐标和速度， 即由x 0 和v 0 确定
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x Acos( t ) v Asin ( t )
t 0:
x0 Acos
v0 A sin
A x0
2

v0 2
2
v0 tg x0
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几种常见的简谐振动
（1）单摆
重力的切向分力：
因该时刻速度为负(向x轴负方向运动),应舍去4/3， 设物体在t2时刻第一次回到平衡位置(x=0)，相位是3/2
t2 3 3 2
t2 1.83s
因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间： t t2 t1 0.83s。 另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为：
d2 I 2 mgh sin dt
d2 I 2 mgh dt
O

C
若 角度较小时
2 令
mg
mgh I
I T 2 mgh
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d2 2 0 2 dt
2
例1. 已知一弹簧振子，振幅为 A , 频率为 ， A t 0 : x0 , v0 0 。 求振动方程。 2 解
d2 x
2
k 2 令 m
d x dt
2
2x 0
解得：x A cos( t )
12
简谐振动的证明：
1 2
d 2x dt
2
2x 0
x A cos( t )
二 简谐振动特征参量的确定
( , A,)
2：A,
1： ：由系统本身的结构确定。
由初始条件确定。
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例:一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0 时 ,物体的位移 x=0.06m, 且向X轴正向运动。求 :(1) 简谐振动 表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x = -0.06m向X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。
解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动表达式写为：
原 长
M x0
x0 m
， (m M ) g sin kx0

(m M ) d 2 x /d t 2 (m M ) g sin k ( x x， 0) kx 以振动系统在恒力作用下的平衡位置 为原点，则可按常规立刻写出简谐振 动的微分方程或振动表达式。
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0
X
d2 x ( m M ) 2 kx dt
例：一质量为m的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静 止滑下，滑行 后远后与质量为M的物体发生完全非弹性 碰撞。M与倔强系数为k的弹簧相连，碰前M静止于斜面。 求：运动方程。 k 以碰撞时作为 m M 记时起点
因此, 此振动为简谐振动。
平衡位置
x0
o x x
f
m
伸
ห้องสมุดไป่ตู้
长
某时刻m位置
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如果振动系统除去本身 恢复力之外还有其它恒 力作用。振动系统仍作 简谐振动。以振动系统 在恒力作用下的平衡位 置为原点，则可按常规 立刻写出简谐振动的微 分方程或振动表达式。
在本例中
弹簧原长
l0
挂m后伸长
k
受弹力
平衡位置
x0
o x x
a0 x(t ) [Ak cos(k t k )] 2 k 1
§4.1 简谐振动及其描述
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角 位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
x A cos(t 0 )
速度 加速度
dx v A sin( t 0 ) dt d2 x a 2 2 A cos( t 0 ) dt
x 0.02cos(2 t
x(m) 0.02 0 0.5

2
)
1.0
t (s)
7
2.旋转矢量法 t=t
A
0

t+0
o
x
x = A cos( t + 0)
·
A
t=0
x
优点： ⑴初位相直观明确。 ⑵比较两个简谐振动的位相 差直观明确。
A2

1
A1
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
x A cos(t 0 ) 其中A=0.12m, T=2s, 2 T
初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得
0.12 cos0 0.06
0 3
v0 A sin 0 0, 0 3
x 0.12 cos(t 3)
(2) 由(1)求得的简谐振动表达式得: dv dx a 0.12 2 cos( t 3) v 0.12 sin(t 3)
x
0
t
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简谐振动的动力学解法 1. 由分析受力出发 (由牛顿定律列方程) t 求导) 2. 由分析能量出发 (将能量守恒式对 弹簧原长
例：弹簧竖直放置时物体的振动。 解：求平衡位置
l0
k
受弹力
mg kx0 mg x0 k 以平衡位置O为原点
挂m后伸长
F mg k ( x0 x) mg kx0 kx kx
第4章 振动
§4.1 简谐振动及其描述 §4.2 简谐振动的动力学方程
§4.3 简谐振动的能量
§4.4 简谐振动的合成 §4.5 阻尼振动 受迫振动 共振
作业：2、8、10、11、
12、13、14、15、16、17.
1
学习机械振动的意义
因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须的 基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电流、 交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。这些运 动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描 述却与机械振动类似。因此， 机械振动的研究也 为光学、电学、 交流电工学、无线电技术等打下 了一定的基础。
对周期性振动： T — 周期
2π = T
a0 x(t ) [Ak cos(k t k )] 2 k 1
k=1 k=2 k=3
基频（）
决定音调
二次谐频（2） 三次谐频（3）
高次谐频 决定音色
4

物理上：一般振动是多个简谐振动的合成 数学上： 付氏级数 付氏积分 也可以说 S.H.V.是振动的基本模型 或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上。
情况同动能。 1 2 系统总的机械能： E Ek E p kA 2 简谐振动系统机械能守恒
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E p max , E p min , E p
谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:
E
1 2 E kA 2 EP
Ek
0
1 2 Ek E p kA 4
t
x A cos t
3 t/s 0 1
t=1s
ω
ω-π/3= π/2 O φ=-π/3 t=0 x
简谐振动 x 6.0 102 cos( 5π t π )m. 6 3 的方程为
(由曲线可知:当t=1s时,位 移由正值变为负值,旋转 矢量应该处于π/2的位置, 亦可知ω- π/3 =π/2.) 19
§4.3 简谐振动的能量
M mgsin
(at )
mgsin mat

m mg
sin
d2 mg sin m 2 dt d2 g g 2 0 令 2 dt
d2 2 0 2 dt
T 2 g

3
3!


5
通解为：
x A cos( t )
A t 0 : x0 Acos 2
v0 A sin 0


3

3
x A cos( t - ) 3
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例2. 如图示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘。 质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘做完全非弹性碰撞， 而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t=0时刻，求振动方程。
2
0

x
8
(t 2 ) (t 1 ) 2 1 2k
(A1、A2) 两个振动为同相；
A2 A1 x
(2k 1)
(A2、A3) 两个振动为反相.
o A3
例:一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。 当 t=0 时 , 物 体 的 位 移 x=0.06m, 且向 X 轴正向运动 。 求:(1)简谐振动表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度 和加速度;(3)物体从x = -0.06m向X轴负方向运动，第一 次回到平衡位置所需时间。
5
:
A:
振幅:
离开平衡位置的最大距离。
圆频率：2 秒内所作的全振动次数
周期:
完成一次全振动所需的时间
2 T
频率:
单位时间内所作的全振动的次数
:
1 T
初位相。 [ (t ）：t 时刻的位相. ]
A， ， ：简谐振动的特征参量.
6
二 简谐振动的几何描述方法 1 振动曲线法
3 2 2 3 5 6
x1 3
2
2 3
0
x
振幅矢量的角速度， t=
t 0.83s
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§4.2 简谐振动的动力学问题 一 简谐振动实例 例一 弹簧振子
f kx
f
而 f ma kx m
d x dt
2
整理得：
2
o
x
x
k x0 2 m dt
...
5!
m cos(t 0 )
所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动（角 谐振动）。重力的分力（准弹性力）。
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很小,小于50 时，
sin
（2）复摆
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为C, 对过O 点的转轴的 转动惯量为I, O、C 两点间的距离为h。 据转动定律，得
dt
dt
在t =T/4=0.5s时，代入所列的表达式可求!
10
dx v 0.12 sin( t 3) x 0.12 cos(t 3) dt (3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得
cos(t1 3) 1 2
t1 3 2 3, 4 3
任何一种复杂的机械振动都可以看成多个简谐 振动的叠加。
2
振动 一个物理量的取值在某一数值附近作来回 往复 的变化则称该物理量在振动。 波动 振动在空间的传播。
机械振动
物体在某一位置附近作来回往复的运动。
阅读材料:频谱分析
利用付里叶分解可将任意振动分解成若干简谐振动(S.H.V.) simple harmonic vibration 的叠加 (合成的逆运算）。
解: 关键是求振幅和初位相，取碰后m+M整体振动 的平衡位置位坐标原点，向下为x轴正方向，则 初始条件为
k
m
M m M mg x0 ( )g k k k
v0
m 2 gh M m
h
?
v0 2
第几象限
M
x0
A
x0
2

2
v0 tg x0
x
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例3. 已知某简谐振动的曲线如图所示, 试写出该振动的位移与时间的关系. x/cm 解:简谐振动的方程为x=Acos(ωt+φ), 6 其中A=6.0×10-2m. 当t=0时,x0=A/2 由曲线可知:当t=0时,切线的斜率大于零, 因此速度v0>0,所以φ=-π/3. 当t=1s时x=0 由曲线可知:当t=1s时,切线的斜率 小于零,因此v<0 所以ω- π/3 =π/2,可得 ω=π/2+π/3=5π/6.
d2 x k x0 2 m dt
f
m
伸
长
x A cos(t )
某时刻m位置
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例：一质量为m的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静 止滑下，滑行 后远后与质量为M 的物体发生完全非弹性 碰撞。M与倔强系数为k的弹簧相连，碰前M 静止于斜面。 求：运动方程。 解1：取m与M 碰撞连在一起 后的平衡位置为坐标原点。 m M 设此时弹簧在m与M的压 。 坐标系如图 缩下退了 x 0 k
v Asin(t 0 )
k m
简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1 1 2 (1) 动能 EK mv m 2 A2 sin 2 (t 0 ) 2 2 1 kA 2 sin 2 (t 0 ) 2 t T 1 1 2 1 2 Ek Ek dt kA Ek max kA , Ek min 0 T t 4 2 1 2 1 2 EP kx kA cos 2 (t 0 ) (2) 势能 2 2