动量矩定理
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第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
动量矩定理
第十一章动量矩定理§11-1 引言建立质点或质点系的动量对于某固定点（或固定轴）的矩的变化与作用在该质点或质点系上的力系对同一点（或轴）的主矩之间的关系。
Pr ωε§11-2 动量矩一、质点动量矩Vm r V m M L o o r r r r r ×==)(的动量矩为则质点对固定点的速度为时作空间曲线运动，在瞬的作用下在力的质点设质量为O V t F M m ,r r 方向：右手螺旋法则大小：OAB o S d mV L ∆==2)(1、动量对点之矩V m r L o r r r ×=2、动量对轴之矩)(V m M L z z r =正负：右手规则是标量z L 质点对O 点的动量矩矢在通过O 点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
zz O L L =)(r OabS ∆±=2d v m ′′±=)(二、质点系动量矩各质点动量对某点O 的矩的矢量和（即质点系动量对O 点的主矩）称为该质点系对点的动量矩。
n n n o V m r V m r V m r L r r L r r r r r ×++×+×=222111各质点动量对某轴的矩的代数和称为该质点系对该轴的动量矩。
)()()(2211n n z z z z V m M V m M V m M L r L r r +++=∑=)(i i O V m M r r ∑×=i i i V m r r r ∑=)(i i z V m M rV m r L o r r r ×=由§11-3 质点的动量矩定理V m dt r d dt V m d r dt V m r d r r r r r r ×+×=×)()(得：V dt r d r r =∴dt V m r d )(r r ×∴O 点为固定点V m dt r d r r ×∴一、矢量形式0=V m V r r ×=F r r r ×=dt V m d r )(r r ×=oM F)()(F M dt L d F r dt V m r d o o r r r r r r r =×=×或质点的动量对任一固定点的矩对时间的导数等于作用于该质点的力对同一点的矩。
动量矩定理
mO (F ) mAgr mB gr 0
LO const 0,
即：质点系对轴 O 的动量矩守恒， 且等于零。 vA mAvAar mBvBar 0
O
RO
vB
mAg mBg
见后续
v Aa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析 因为二猴的体力有差异，所以
所以得
n d (e) d M M ( m v ) ( 交换求导数与求和的次序 ) ( m ) oi v i ) i i M o ( Fi o dt dt i 1 i 1 i 1 n
n
质点系对定点的动量矩定理
(e) d M o (mi vi ) M o (Fi ) dt i 1 i 1 n n
动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即
质点对某轴的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
关于质点动量矩守 恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
正确解法
Mf
O2 R2
11)动量矩定理
动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A
e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt
第11章 动量矩定理
指向按右手规则确定； 瞬时量
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
第十二章 动量矩定理
Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m， 受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ， 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积， 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项，先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点！)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾： 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即
vC
C
Lo = M o(Mvc)
第七讲动量矩定理
Friday, May 24, 2019
Theoretical Mechanics
(二) 动量矩定理
Kinetics 13-3-2
一、动量矩定理
1、质点的动量矩定理：
d(r mv) r F dt
dlO M O(F ) dt
------质点动量矩定理
2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：
z
A
u
r
ω
O
Friday, May 24, 2019
B
theoretical mechanics
解：1、研究对象：人和圆盘 2、受力分析（如图） 仅受轴承反力，重力的作用
z
A
XA
r
Kinetics 13-3-12
u Yω A
3、运动分析： 圆盘： 定轴转动，w 、a 人： 圆盘为动系，则
ve vr
vir
vi
Mi
ห้องสมุดไป่ตู้ r
LC
ri ' mi vir
z′
ri
vC
O
C
ri yy′
x′ rC
x
d LC M C ----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
r
d LC M C ----式中，所有的点用相对速度，相对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
Friday, May 24, 2019
y
B
aw q
Kinetics 13-3-19
N
A
mg
1 2
m l(w2
cos q
a sinq)
开始时：
C
Theoretical Mechanics
(二) 动量矩定理
Kinetics 13-3-2
一、动量矩定理
1、质点的动量矩定理：
d(r mv) r F dt
dlO M O(F ) dt
------质点动量矩定理
2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：
z
A
u
r
ω
O
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B
theoretical mechanics
解：1、研究对象：人和圆盘 2、受力分析（如图） 仅受轴承反力，重力的作用
z
A
XA
r
Kinetics 13-3-12
u Yω A
3、运动分析： 圆盘： 定轴转动，w 、a 人： 圆盘为动系，则
ve vr
vir
vi
Mi
ห้องสมุดไป่ตู้ r
LC
ri ' mi vir
z′
ri
vC
O
C
ri yy′
x′ rC
x
d LC M C ----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
r
d LC M C ----式中，所有的点用相对速度，相对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
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y
B
aw q
Kinetics 13-3-19
N
A
mg
1 2
m l(w2
cos q
a sinq)
开始时：
C
理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量； 而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性 就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
第12章-动量矩定理
它表达为刚体质量 m 与某一长度ρ z 旳平方
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
理论力学第13章动量矩定理
mi
rC x′
C
y′ y
mi vi mvC
LC ri mi vi
x
LO rC mvC LC
LO rC mvC LC
dLO d (e) (rC mvC LC ) r i Fi dt dt
r i rC ri
drC dLC d (e) i Fi ( e ) mvC rC mvC r C Fi r dt dt dt
v R
应用动量矩定理
O
FOx
mg
M
(e)
WR
dLO (e ) M dt
WR 2 a W 2 (JO R ) g
P
v
JO W dv ( R) WR R g dt
W
z
例 题3
z
求：此时系统的角速度 解：取系统为研究对象
M
A
(e ) z
0
A
B
a l
a
B
Lz 恒量
l
由质心坐标公式，有
z
vi z′ ri r′ i rC x′
C
mi
y′ y
O
mi ri mrC 0
x
LC ri mi vir
§13-6 刚体的平面运动微分方程
LC J C
由质心运动定理和相对于质 心的动量矩定理，有：
y
Fn
y′
D
F2 F1
maC Fi ( e ) d (e) J C J C M C ( Fi ) dt
用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是质点系相对于质心(平移
系)的动量矩定理。
理论力学第14章动量矩定理
J yz J zy mi yi zi
（e）
如果对某坐标系所有惯性积均为零，则三根坐标轴称为刚体过
O
点的惯量主轴，相应的转动惯量称为主转动惯量。 如果惯量主轴还通过刚体质心，则称为中心惯量主轴。
14.3 矩心为质心的动量矩定理 14.3.1质点系对质心的动量矩定理 １．质点系对质心动量矩的定义
d r mv r F dt
(c)
(14-3)
d m yz zy yFz zFy dt d m zx xz zFx xFz dt
d m xy yx yFz zFy dt
动量矩定理
（图14-6）。
图14-6 柯尼希坐标系
或 z 都是反映刚体质量分布情况的物理量。
J z x 2 y 2 dm
（14-1 )dm J x ( y 2 z 2 )dm
（14-19b）
图14-3转动惯量的定义
图14-4 转动惯量的平行轴定理
２. 平行轴定理 J ( x y )dm ( x a )
第14章 动量矩定理
14.1 矩心为定点的动量矩定理 14.1.1 质点的动量矩定理
动量对空间某点或某轴线，叫做动量矩，也叫角动量
LO r p
p对
(14-1) (14-2a) (14-2b) (14-2c)
x, y, z 轴的动量矩则为
LOx m yz zy
LOz m xy yx
ΓO r I
叫冲量矩。故质点动量矩的变化，等于外力在该时间内给予该质点的冲量矩。
(14-7b)
14.1.2 质点系对定点的动量矩定理 L r m r (14-8)
第三章动量矩定理
1 2 Jz = ml 12
1 2 3 ρz = l = l 12 6
B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量： 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：
Jz =
∫
m
0
R dm = mR
2
2
Jz = m 2 R
C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量： 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：
ρz = R
m = 2πr dr ⋅ ρA i i i m 式中： ρA = 2
Jxy = ∑ xy m
分别称为刚体对轴y和 , 分别称为刚体对轴 和z,对轴 z和x以及对轴 和y的惯性积。 以及对轴x和 的惯性积。 和 以及对轴 惯性积可正、可负， (2) 惯性积可正、可负，也可等 于零（转动惯量永远是正） 于零（转动惯量永远是正）。
刚体对任意轴的转动惯量 把式（1）和式 和式（2）代入（a）式最后得 代入（ 把式 和式 代入 ） 刚体对于轴OL的 刚体对于轴OL的转动惯量 J = Jx cos2 α + Jy cos2 β + Jz cos2 γ
M o (mv) = ml 2ω sin θ
方向同上 故有： Lo = 2ml
2
ω sin θ
若考虑杆子的质量，则需要进行积分。
3.平动刚体对固定点的动量矩 平动刚体对固定点的动量矩 设刚体以速度v平动，刚体内任一点A的矢径 是 ri ,该点的质量为mi，速度大小是 vi 。 该质点对点O 的动量矩为 MO(mivi) = ri ×mivi LO =∑ MO(mivi) = ∑ ri ×mivi 因为刚体平动 v i= v = v C
2.质点系动量矩的计算 质点系动量矩的计算
◆质点系对点的动量矩：
LO = ∑MO(mivi) =∑r × mivi
理论力学_12.动量矩定理
理论力学
动量定理： 质心运动定理：
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系， 由速度合成定理，有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理：
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ：dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
动量定理： 质心运动定理：
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系， 由速度合成定理，有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理：
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ：dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
理论力学10动量矩定理
3D空间应用
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
第九章 动量矩定理
LZ =
∑M
Z
(mi v i )
质点系对点O的动量矩矢在通过该点的 轴上 质点系对点 的动量矩矢在通过该点的z轴上 的动量矩矢在通过该点的 的投影等于质点系对于该轴的动量矩。 的投影等于质点系对于该轴的动量矩。
[LO ]Z
= LZ
4
刚体平移时 可将全部质量集中于质心， 刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 质点计算其动量矩。 刚体转动时 刚体转动时，刚体对转轴的动量 矩为
dLO = Labcd − LABCD = LCDcd − LABab
LCDcd 1 = qV ρ dt v2 r2 cosθ2 n
1 LABab = qV ρ dt v1 r cosθ1 1 n 1 dLO = qV ρ dt (v2 r2 cosθ2 − v1 r cosθ1) 1 n dLO MO (F ) = n = qV ρ(v2 r2 cosθ2 − v1 r cosθ1) 1
6
d d dr d × mv + r × ( mv ) M O ( mv ) = ( r × mv ) = dt dt dt dt
dr =v dt
则上式为
d (mv ) = F dt
d M O (mv ) = v × mv + r × F dt
因为 所以
v × mv = 0
r × F = M O (F )
dt
16
【例4 】已知 m JO， 1 m2 r ，2 ，不计摩擦。 ， m， ，1 r 不计摩擦。 求（1） α ） （2）O处约束力 F ） 处约束力 N （3）绳索张力 FT ， T ） F
1 2
17
解：1） LO = JOω + m v1r + m2v2r2 （ ） 1 1 = ω(JO + m1r 2 + m2r22 ) 1
第十二章 动量矩定理
解：将小球视为质点。其速度 且垂直于摆线。摆对轴 为 v l 的动量矩为
2 mo mv ml l ml
O
0
mo T o
l
T
C
mo F mglsin
v
mg
注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（在 本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有
kg m 2 s
二、质点系动量矩 1、对点的动量矩：
LO M O (mi vi )
i 1
n
2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：
Lz M z (mi vi )
3、刚体的动量矩 （1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度 相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。 对点的：
dx 2 m glsin m l dt
即
g sin 并令 l
2 n
g sin 0 l
——（1）
则（1）式化为
0
2 n
解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时
0
0 0
0 cosnt
质点系对固定点的动量矩定理为：
d (i) (e) M O(mi vi ) M O(Fi ) M O(Fi ) dt
其中： M O(Fi (i) ) 0
d d d LO M O(mi vi ) M O(mi vi ) dt dt dt
e d LO M O Fi dt
O
J O J O1 J O 2
l
mg
C
1 2 1 2 2 ml mR ml R 3 2
2 mo mv ml l ml
O
0
mo T o
l
T
C
mo F mglsin
v
mg
注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（在 本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有
kg m 2 s
二、质点系动量矩 1、对点的动量矩：
LO M O (mi vi )
i 1
n
2、对轴的动量矩（即上式在各轴上的投影）：
Lz M z (mi vi )
3、刚体的动量矩 （1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度 相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。 对点的：
dx 2 m glsin m l dt
即
g sin 并令 l
2 n
g sin 0 l
——（1）
则（1）式化为
0
2 n
解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时
0
0 0
0 cosnt
质点系对固定点的动量矩定理为：
d (i) (e) M O(mi vi ) M O(Fi ) M O(Fi ) dt
其中： M O(Fi (i) ) 0
d d d LO M O(mi vi ) M O(mi vi ) dt dt dt
e d LO M O Fi dt
O
J O J O1 J O 2
l
mg
C
1 2 1 2 2 ml mR ml R 3 2
理论力学动量矩定理
12.2 动量矩定理
12.2.1 质点旳动量矩定理
设质点对固定点O旳动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点旳矩为MO(F) ，如图 所示。
将动量矩对时间取一 次导数，得
d dt
MO
(mv)
d dt
(r
mv)
d r mv r d (mv)
dt
dt
MO(mv) MO(F)
x
z
F mv
Q
r
y
12.2.1 质点旳动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点旳动量矩与对轴 旳动量矩旳关系代入，得
d dt
M
x
(mv)
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F
)
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某固定
轴旳动量矩对时间旳 一阶导数等于质点所 受旳力对同一轴旳矩。
12.2.1 质点旳动量矩定理
例12-2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为 l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过 O点旳铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时旳运动规律。
例12-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O旳转
动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A旳
质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系 统对轴O旳动量矩。
解：
LO L块 L盘 mvr J mr 2 J (mr 2 J )
LO旳转向沿逆时针方向。
Or
A mv
LO J m2vR MO (F (e) ) M m2 g sin R
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a
z a
a l
z a
θ B A
θ l
B
A l
l
ω0
ω
运 动 演 示
解: 此系统所受的重力和轴承的 约束反力对于转轴的矩都等于零， 因此系统对于转轴的动量矩守恒。
A
a
z a
a l B l A
z a
θ
θ l
B
当=0时，动量矩
l
Lz1 2 ma 0 a 2 ma 0
2
0
当 θ≠ 0 时，动量矩
第12章 动量矩定理
※ 几个有意义的实际问题 ※ 质点.质点系的动量矩定理 ※ 刚体对定轴的转动惯量 ※ 动量矩定理 ※ 刚体定轴转动的微分方程 ※ 结论与讨论
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
人在走钢 丝时为什 么要手持 平衡杆？ 平衡是怎 样起平衡 作用的？
Lz 3 m2u 2 r4 m r
2 2 4
r3
整个系统的动量矩为
1 1 2 Lz mz mu m3 r3 m4 r42 m1r32 m2 r42 2 2
B A m2g
由动量矩定理
dLz m z Fe dt
，得
m1g
d 1 1 2 2 2 2 m3 r3 m4 r4 m1r3 m2 r4 dt 2 2 m1 gr3 m2 gr4
dLOz (e) M z ( F ) M z ( F (e) ) 0 dt
LOz C
如果作用于质点系的全部外力对于某一轴z之 矩恒等于 0，则质点系对这一轴的动量矩为常数。
例 题8
小球A，B以细绳相 连。质量皆为m，其余构件质 量不计。忽略摩擦，系统绕z轴 自由转动，初始时系统的角速 度为0。当细绳拉断后，求各 杆与铅垂线成角时系统的角速 度 。
m 1 l dx x ml 2 l / 2 l 3 2
l 2
Az
J Az m
1 l 3
例题2 计算均质细圆环对中心轴(垂直于
圆环平面)的转动惯量Jz。质量为m。 解：取一环状微元体，则有
r
z
dm ds O
m m m dm ds rd d 2 πR 2 πr 2π
z
M O ( mu ) r mu
d d M O ( mu ) ( r mu ) dt dt dr d mu r ( mu ) dt dt u mu r F M O (F )
y
Mo(mu) Mo(F)
O
F
B
mu r
A(x,y,z)
x
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
d
J z r dm
2 0
2π
2π
0
m r d mr 2 2π
2
均质圆板
m m 2m dm dA 2 π d 2 d 2 2 πR πR R
O
d
R
J Cz m i ri
2
R
0
2m 1 2 2 d mR R2 2
2
mg
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
F mgl sin j
d 2j g sin j 0 2 dt l
对于微小摆动的 单摆有sinj＝j
d 2j g j 0 2 l dt
2. 质点系的动量矩定理
d (e) (i ) M O ( miui ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
u
u Ar u Br
2
解 : M z ( Fi( e) ) 0
Lz 恒 量 0
u Aa
u Ar u Br u Ba 2
§12.3 刚体定轴转动微分方程
z F2
Fi
LOz (miui )ri (mi ri )ri J z
J z mi ri 2 —— 刚体对于z轴的转动惯量
i j k M O mu r mu x y z mvx mv y mvz M x mu i M y mu j M z mu k
2. 质点系的动量矩
z
ui
m2 ri
m1 mi
LO M O (miui ) ri mui
Lz M z ( miui )
M
J z r 2 dm
z
Jz M
例题1
计算均质细长杆对通过质心 轴的转动惯量Jz z
A
l
z
m dm dx l J Cz m i ri2
m 1 2 dx x ml 2 l / 2 l 12
l 2
C
x
B
x
dx
Cz
2
J Cz m
1 l 12
J Az
i
ri
ui
mi Fn
d ( J z ) M z ( Fi ) dt
y
F1 x
d dj J z J z J z 2 M z (F ) dt dt
2
★ 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于 刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
例题 9 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已 FOy FOx O 知复摆的质量是 m，重心 C 到转轴 O 的距离 OC O
航天器 是怎样实 现姿态控 制的
几个有意义的实际问题
直升飞机如 果没有尾翼将 发生什么现象
？
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
§12.1 质点.质点系动量矩
设质点在某瞬时的动量为mu,因质点的动量为 矢量，与力F对点O之矩的矢量表示类似，可以 给出质点的动量对固定点O的动量矩。
z
M O (mu ) = r mu
mi y1 yC 0 mi
★ 两轴必须是相互平行
J z J zC md
2
★ JZC 必须是通过质心的
例题3
z
利用平行移轴公式求解结构对转轴O的转动惯量
zC C B
J z J Cz
O
l 2 1 2 m ( ) ml 2 3
O
l
J O J O杆 J O盘
J O盘
★ 质点对某定点 的动量矩对时间的导数，等于 所有作用力对同一点的力矩。
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
上式的投影表达式
d M x (mu ) M x (F ) dt d M y (mu ) M y (F ) dt d M z (mu ) M z (F ) dt
J O杆
1 2 ml 3
l
m m
C
3 2 2 2 J C m (l R ) m ( R l 2lR ) 2
1 2 3 2 2 J O ml m ( R l 2lR ) 3 2 3 2 4 2 J O m ( R l 2lR ) 2 3
2R
例题4
r4 O
y
x
r3
B A m2g
m1g
运动演示
解：取整个系统为研究对象，并取逆时针 的动量矩为正，则两圆盘的动量矩为
1 1 2 Lz1 J z m3 r3 m4 r42 2 2 两重物的动 Lz 2 m1u1r3 m1r12
r4 O
y
x
量矩分别为
例题5
单摆如图所示，已知摆球的 质量为m，摆线长为l，若给单摆初始以 微小扰动。
(z)
O
j
求：此单摆作微小摆动时的运动微分方程
解：单摆绕悬点O在铅垂平面内运动。在某 一瞬时的速度为u，偏角为j 。则摆球对通 过O点的水平轴z的动量矩为
l
T mu
dj M z mu mu l ml dt dd 2 dj M u) Mz (F mgl sin j) z (m ml dt dt dt
所以圆盘的角加速度为
2m1 m3 r
2 m1r3 m2 r4
2 3
2m2 m4 r
2 4
g
3. 质点系动量矩守恒定律
dLO M O ( Fi e ) dt
e M ( F O i )=0，
LO C
如果作用于质点系的全部外力对于某一点的主矩 恒等于 0，则质点系对这一点的动量矩为常矢量。
Lz 2 2 m ( a l sin ) 2
因为 Lz1=Lz2 ，得
a2 0 2 ( a l sin )
m Au Aa r mBu Ba r 0
u Aa u Ba
u Aa u Ar u u Ba u Br u
强与弱不分胜负
对本章开始时的爬绳比赛 的分析
均质圆盘，质量 m，求圆盘绕 O轴的动量矩。
1 2 J C mr 2
J O J C me
2
C
r
1 2 2 mr me 2 1 2 2 m ( r 2e ) 2 1 2 2 LO J O m ( r 2e ) 2
O
e
§12.2 动量矩定理
1. 质点动量矩定理
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
d M O ( miui ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi ( i ) ) dt d ( e) (i ) Lx M x ( Fi ) 其中： M O ( Fi ) 0 dt d ( e) L y M y ( Fi ) d e dt LO M O ( Fi ) d dt ( e) Lz M z ( Fi ) dt