动量矩定理

★ 质点系对某定点(定轴) 的动量矩对时间的导数，等于作 用于质点系的外力 对同一点(轴)的矩的矢量和。
例题6
均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动 惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动， 已知重物重量为mg。 FOy
求：重物下落的加速度 解：取系统为研究对象
LO J O mu R
航天器 是怎样实 现姿态控 制的
几个有意义的实际问题
直升飞机如 果没有尾翼将 发生什么现象
？
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
§12.1 质点.质点系动量矩
设质点在某瞬时的动量为mu,因质点的动量为 矢量，与力F对点O之矩的矢量表示类似，可以 给出质点的动量对固定点O的动量矩。
z
M O (mu ) = r mu
所以圆盘来自百度文库角加速度为

2m1 m3 r
2 m1r3 m2 r4
2 3
2m2 m4 r
2 4
g
3. 质点系动量矩守恒定律
dLO M O ( Fi e ) dt
e M ( F O i )=0，
LO C
如果作用于质点系的全部外力对于某一点的主矩 恒等于 0，则质点系对这一点的动量矩为常矢量。
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
d M O ( miui ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi ( i ) ) dt d ( e) (i ) Lx M x ( Fi ) 其中： M O ( Fi ) 0 dt d ( e) L y M y ( Fi ) d e dt LO M O ( Fi ) d dt ( e) Lz M z ( Fi ) dt
2
mg
M
z
F mgl sin j
d 2j g sin j 0 2 dt l
对于微小摆动的 单摆有sinj＝j
d 2j g j 0 2 l dt
2. 质点系的动量矩定理
d (e) (i ) M O ( miui ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
a
z a
a l
z a
θ B A
θ l
B
A l
l
ω0
ω
运 动 演 示
解: 此系统所受的重力和轴承的 约束反力对于转轴的矩都等于零， 因此系统对于转轴的动量矩守恒。
A
a
z a
a l B l A
z a
θ
θ l
B
当=0时，动量矩
l
Lz1 2 ma 0 a 2 ma 0
2
0
当 θ≠ 0 时，动量矩
i j k M O mu r mu x y z mvx mv y mvz M x mu i M y mu j M z mu k
2. 质点系的动量矩
z
ui
m2 ri
m1 mi
LO M O (miui ) ri mui
Lz M z ( miui )
m 1 l dx x ml 2 l / 2 l 3 2
l 2
Az
J Az m
1 l 3
例题2 计算均质细圆环对中心轴(垂直于
圆环平面)的转动惯量Jz。质量为m。 解：取一环状微元体，则有
r
z
dm ds O
m m m dm ds rd d 2 πR 2 πr 2π
i
ri
ui
mi Fn
d ( J z ) M z ( Fi ) dt
y
F1 x
d dj J z J z J z 2 M z (F ) dt dt
2
★ 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于 刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
例题 9 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已 FOy FOx O 知复摆的质量是 m，重心 C 到转轴 O 的距离 OC O
d
J z r dm
2 0
2π
2π
0
m r d mr 2 2π
2
均质圆板
m m 2m dm dA 2 π d 2 d 2 2 πR πR R
O

d
R
J Cz m i ri
2

R
0
2m 1 2 2 d mR R2 2
4. 转动惯量平行移轴定理
z
r
O
z1 r1
C m z=z1 x=x1 y1 y,y1
J zC mi r12 mi ( x12 y12 )
J z mi r mi ( x y )
2 2 2
d x1
x y
mi [ x12 ( y1 d ) 2 ]
mi ( x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
JO LO ( mR )u R

u
R
O
F
Ox
应用动量矩定理
mg
F mgR M z
dLO dt
a
M F
z
P
JO du ( mR ) mgR R dt
mgR
2
u
mg
( J O mR 2 )
例题7
质量为m3、m4的均质圆盘结合在 一起并绕O轴转动。已知m2<m1。 求：此时圆盘的角加速度
均质圆盘，质量 m，求圆盘绕 O轴的动量矩。
1 2 J C mr 2
J O J C me
2

C
r
1 2 2 mr me 2 1 2 2 m ( r 2e ) 2 1 2 2 LO J O m ( r 2e ) 2
O
e
§12.2 动量矩定理
1. 质点动量矩定理
z
M O ( mu ) r mu
d d M O ( mu ) ( r mu ) dt dt dr d mu r ( mu ) dt dt u mu r F M O (F )
y
Mo(mu) Mo(F)
O
F
B
mu r
A(x,y,z)
x
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
BF
O h x
r
A(x,y,z)
y
1. 质点的动量矩 质点动量对某固定点(或某轴)的矩，称为质 点对点(某轴)的动量矩。
z
M O ( mu ) r mu
Mo(mu)
k
B
MO(mu) =muh=2△OAB
MO(mu)
y
mu
O
i
h
定位矢量
r
j
A(x,y,z)
x
[ M O ( mu )]z M z ( mu )
★ 质点对某定点 的动量矩对时间的导数，等于 所有作用力对同一点的力矩。
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
上式的投影表达式
d M x (mu ) M x (F ) dt d M y (mu ) M y (F ) dt d M z (mu ) M z (F ) dt
M
J z r 2 dm
z
Jz M
例题1
计算均质细长杆对通过质心 轴的转动惯量Jz z
A
l
z
m dm dx l J Cz m i ri2
m 1 2 dx x ml 2 l / 2 l 12
l 2
C
x
B
x
dx
Cz
2
J Cz m
1 l 12
J Az
J O杆
1 2 ml 3
l
m m
C
3 2 2 2 J C m (l R ) m ( R l 2lR ) 2
1 2 3 2 2 J O ml m ( R l 2lR ) 3 2 3 2 4 2 J O m ( R l 2lR ) 2 3
2R
例题4
阿迪力用红布蒙上双眼进行高空表演。当日，“高空王 子”阿迪力在广西乐业县大石围天坑上空展示了“达瓦孜”惊 人绝技，他在一根长547米、高613米的钢丝绳上表演倒立、倒 退行走等高难度动作并获得成功，整个表演耗时1小时14分。
几个有意义的实际问题
？
为什么 二者转动 方向相反
几个有意义的实际问题
？

Lz 2 2 m ( a l sin ) 2
因为 Lz1=Lz2 ，得
a2 0 2 ( a l sin )
m Au Aa r mBu Ba r 0
u Aa u Ba
u Aa u Ar u u Ba u Br u
强与弱不分胜负
对本章开始时的爬绳比赛 的分析

r4 O
y
x
r3
B A m2g
m1g
运动演示
解：取整个系统为研究对象，并取逆时针 的动量矩为正，则两圆盘的动量矩为
1 1 2 Lz1 J z m3 r3 m4 r42 2 2 两重物的动 Lz 2 m1u1r3 m1r12


r4 O
y
x
量矩分别为
Lz 3 m2u 2 r4 m r
2 2 4
r3
整个系统的动量矩为
1 1 2 Lz mz mu m3 r3 m4 r42 m1r32 m2 r42 2 2
B A m2g
由动量矩定理
dLz m z Fe dt
，得
m1g
d 1 1 2 2 2 2 m3 r3 m4 r4 m1r3 m2 r4 dt 2 2 m1 gr3 m2 gr4
u
u Ar u Br
2
解 : M z ( Fi( e) ) 0
Lz 恒 量 0
u Aa
u Ar u Br u Ba 2
§12.3 刚体定轴转动微分方程
z F2

Fi
LOz (miui )ri (mi ri )ri J z
J z mi ri 2 —— 刚体对于z轴的转动惯量
y
O
[ LO ] z Lz
x
质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量 和，称为质点系对点O的动量矩。
定轴转动刚体对转轴的动量矩
z
Lz M z ( miui ) miui ri mi ri 2 mi ri 2
ui
mi
ri
令：
mi ri
2
Jz

y x
mi y1 yC 0 mi
★ 两轴必须是相互平行
J z J zC md
2
★ JZC 必须是通过质心的
例题3
z
利用平行移轴公式求解结构对转轴O的转动惯量
zC C B
J z J Cz
O
l 2 1 2 m ( ) ml 2 3
O
l
J O J O杆 J O盘
J O盘
例题5
单摆如图所示，已知摆球的 质量为m，摆线长为l，若给单摆初始以 微小扰动。
(z)
O
j
求：此单摆作微小摆动时的运动微分方程
解：单摆绕悬点O在铅垂平面内运动。在某 一瞬时的速度为u，偏角为j 。则摆球对通 过O点的水平轴z的动量矩为
l
T mu
dj M z mu mu l ml dt dd 2 dj M u) Mz (F mgl sin j) z (m ml dt dt dt
第12章 动量矩定理
※ 几个有意义的实际问题 ※ 质点.质点系的动量矩定理 ※ 刚体对定轴的转动惯量 ※ 动量矩定理 ※ 刚体定轴转动的微分方程 ※ 结论与讨论
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
人在走钢 丝时为什 么要手持 平衡杆？ 平衡是怎 样起平衡 作用的？
dLOz (e) M z ( F ) M z ( F (e) ) 0 dt
LOz C
如果作用于质点系的全部外力对于某一轴z之 矩恒等于 0，则质点系对这一轴的动量矩为常数。
例 题8
小球A，B以细绳相 连。质量皆为m，其余构件质 量不计。忽略摩擦，系统绕z轴 自由转动，初始时系统的角速 度为0。当细绳拉断后，求各 杆与铅垂线成角时系统的角速 度 。
Jz——刚体对 z 轴的转动惯量
L z J z
★ 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转 轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
§12.4 刚体对轴的转动惯量
J z m i ri
2
刚体对 转 轴的转动惯量
转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。 转动惯量的大小不仅与质量的大小有关， 而且与质量的分布情况有关。 其单位在国际单位制中为kg· m2 对于其质量为连续分布的刚体，则上 式成为定积分 若设想刚体的质量集中于 离z轴距离为 z处，令 Jz=M z2 ，则称之为对z轴的 回转半径。