直线被圆截弦长问题
直线与圆位置关系之弦长问题
所以k 4 3
所以所求直线方程：
y 3 4 (x 3) 3
A
O
x
d=3 C
MD
即 4x 3y+21 0
l
错因分析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解。
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思路方法技巧
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
解法二：（求出交点利用两点间距离公式）
由
y x x2 y2
1
4
消去y
得2x2 2x 3 0
x1
1 2
7
,
x2
1 2
7
1 7 1 7 y1 2 , y2 2
A( 1 7 ,1 7 ), B( 1 7 ,1 7 )
2
2
2
2
| AB | 14
y
B(x2,y2)
A
O
x
(x1,y1)
析：当l CM 时，弦心距d最大，
从而让所截得弦长最短. 1 直线CM的斜率为 kCM 3
所求直线l方程
O
x
C M
D
y 3 3(x 3)
即 3x y 12 0
| AB| 2 r2 d2
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课堂基础巩固 【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y2 6x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
x=-3
思析考：由：4相2+d交2=5时2.得，d=所3 求直线一定有两条？
若（不此1）时是当d=，斜3,与率合不题什存意么在元时，素直有线关方程？x=-3, A
圆在y轴截的弦长
圆在y轴截的弦长1.引言1.1 概述圆在y轴截的弦长是指一条直线从圆的外部与圆相交，与y轴所构成的线段的长度。
这个概念在几何学中非常重要，与圆的半径和截距之间有着密切的关系。
本文将探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，以及弦长与圆的半径和截距之间的关系。
通过对这些内容的讲解和分析，我们可以更深入地理解和应用圆的相关概念，并加深对几何学的理解。
在接下来的章节中，我们将首先介绍圆在y轴截的弦长的定义和公式，从几何学角度详细解释其含义和计算方法。
然后，我们将研究弦长与圆的半径和截距之间的关系，通过数学推导和实例分析，展示它们之间的数学模型和规律。
最后，我们将总结得出两个重要的结论：弦长与圆的半径成正比，弦长与截距成反比。
通过阅读本文，读者将获得对圆在y轴截的弦长的全面认识和理解，对圆的相关概念和性质有更加深入的把握。
同时，我们也希望通过分析与探究，培养读者的逻辑思维和问题解决能力，为进一步研究和应用几何学打下坚实的基础。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下几个部分进行论述和分析：1. 引言：在引言部分，我们将简要介绍本文的研究对象——圆在y 轴截的弦长，并概述本文的目的和结构。
2. 正文：在正文部分，我们将详细探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，并分析弦长与圆的半径和截距之间的关系。
3. 结论：在结论部分，我们将总结本文的主要研究结果，并得出结论1：弦长与圆的半径呈正比关系；结论2：弦长与截距呈反比关系。
通过以上的文章结构，我们将从介绍、分析到总结全面而系统地展现圆在y轴截的弦长的特点和性质，为读者提供一个清晰、准确的了解。
同时，我们还将通过数学推导和图表展示等方式来支持我们的观点，以便读者更好地理解和接受。
在正文部分，我们将深入阐述弦长的计算公式和与圆的半径、截距的关联，以及这些关系对于实际问题的意义和应用。
最后，在结论部分我们将对我们的研究结果进行总结，并指出未来研究方向和可能的拓展。
通过这一结构，读者将能够逐步掌握关于圆在y轴截的弦长的相关知识，并发现其中的规律和趋势，对于更深入地理解数学中的圆和弦长概念将有所帮助。
直线与圆相交的弦长问题
【方法3】联立方程求交点，韦达定理求弦长（此 方法有普适性）
பைடு நூலகம்
直线与圆相交 例1 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y22y-4=0截得的弦长.
例2.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l的斜率为
问题：圆C:（x-a)2 ( y b)2 r 2 , P( x0 , y0 )为圆内一点， 过P点的弦与圆交于A，B，当CP与AB满足什么条件时 弦AB的长度最小。
直线与圆的位置相交时弦长问题
问题：已知直线Ax+Bx+C=0,与圆（x-a) ( y b) r
2 2
2
交于A，B两点，则弦AB的长度。 （圆心到直线距离用d表示）
求弦长的三种方法: 【方法1】先联立方程求交点，再用两点间的距离公式求弦 长
【方法2】利用弦心距、弦长一半、半径构成的直角三角形 解决
例3：已知直线l： 2mx y 8m 3 0和 圆C：x 2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1)m R时，证明l与C总相交 （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长
总结：圆的弦长的几种求法
与圆相交直线弦长公式
与圆相交直线弦长公式
与圆相交的直线弦长公式可以通过以下步骤推导：
1.设圆的方程为x2+y2=r2，其中r是圆的半径。
2.设直线的方程为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线的截
距。
3.联立圆的方程和直线的方程，得到关于x的二次方
程(k2+1)x2+2kbx+b2−r2=0。
4.由于直线与圆相交，所以二次方程有两个实根，分别对应直线
与圆的两个交点的x坐标。
设这两个实根为x1和x2，则根据韦达定理，有x1+x2=−k2+12kb和x1×x2=k2+1b2−r2。
5.弦长公式可以通过计算两个交点之间的距离得到。
由于交点在
直线上，所以弦长L可以表示为L=1+k2×∣x1−x2∣。
6.将x1+x2和x1×x2代入弦长公式，得到L=1+k2×(x1+x2)2−4x1×x2。
7.进一步化简，得到L=1+k2×(−k2+12kb)2−4×k2+1b2−r2。
8.最终化简得到L=∣k2+1∣2r1+k2r2−b2。
这就是与圆相交的直线弦长公式。
其中，r是圆的半径，k是直线的斜率，b是直线的截距。
需要注意的是，这个公式只适用于直线与圆相交的情况，如果直线与圆相切或完全在圆内，则需要使用其他方法计算弦长。
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式 相交1.1代数法： 相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。
2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。
(1)证明 由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。
直线与圆所截弦长公式
直线与圆所截弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。
当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。
在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。
下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。
我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。
即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。
A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。
根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。
假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。
设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。
根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。
化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。
然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。
进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。
除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学中的一个重要问题。
当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相交两点、内切、相切、外切、相离、内含。
每种情况下，弦的长度和位置都有不同的特点和计算方法。
在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。
数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦长的长度。
在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，以便确定杆件的长度和位置；在地理学中，需要计算地球表面上两点之间的最短距离时，也可以利用直线与圆所截弦长公式。
直线与圆所截弦长公式是几何学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆的交点、弦的长度、位置关系等内容。
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系2.已知圆C过原点且与相切，且圆心C在直线上．(1)求圆的方程；(2)过点的直线l与圆C相交于A,B两点, 且, 求直线l的方程．【答案】(1) (2) x=2或4x-3y-2=0．【解析】（1）由题意圆心到直线的距离等于半径, 再利用点到直线的距离公式解出圆心坐标和半径即可．(2)由题知,圆心到直线l的距离为1．分类讨论：当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立；若l的斜率存在时, 利用点到直线的距离公式,解得k ；综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0．（1）由题意设圆心 ,则C到直线的距离等于 ,, 解得, ∴其半径∴圆的方程为 (6分)(2)由题知,圆心C到直线l的距离． (8分)当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立 (9分)若l的斜率存在时,设,由得,解得,∴． (11分)综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0． (12分)【考点】圆的方程；点到直线的距离公式．3.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为．【答案】【解析】设A（），B（），Q（），又P（1，1），则，，＝()，＝()．由PA⊥PB，得•＝0，即（x1-1）（x2-1）+（y1-1）（y2-1）=0．整理得：x1x2+y1y2-（x1+x2）-（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1-2=x+y①又∵点A、B在圆上，∴x12+y12＝x22+y22＝4②再由|AB|=|PQ|，得(x1−y1)2+(x2−y2)2＝(x−1)2+(y−1)2，整理得：x12+y12+x22+y22−2(x1y1+x2y2)＝(x−1)2+(y−1)2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．.【考点】直线与圆．4.（1）求圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程；（2）已知圆过点，且与圆关于直线对称,求圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意可设圆心，所以圆心和切点的连线与直线垂直，根据斜率相乘等于，可求出圆心坐标，圆心与切点间的距离为半径，即可求出圆的标准方程。
直线截圆的弦长公式
直线截圆的弦长公式答案：弦长公式为=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB,点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的拓展资料：弦长公式的延伸：公式适用于所有圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）椭圆：(1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a ±2ex(2)设直线；与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）双曲线：(1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex(2)设直线；与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则同上{K=(y2-y1)/(x2-x1)}抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}(2)设直线；与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则同上。
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线弦长公式是数学中一个重要的公式，它用于计算圆与直线之间的弦长。
在本文档中，我们将详细介绍弦长公式以及应用实例。
一、什么是弦长公式弦长公式是一种用于计算弦长的数学公式。
它描述了圆与直线之间的关系，并可以通过给定的半径、角度或其他相关信息来计算弦长。
二、弦长公式的推导我们以一个简单的圆为例，假设半径为r，圆心角为θ，弦长为s。
根据几何关系，圆心角与弦之间的关系可以表示为θ = s/r，其中r是圆的半径，s是弦的长度。
通过对等腰三角形的分析，我们可以得到三角函数的关系sin(θ/2) = (s/2)/r，进一步计算得到s = 2r*sin(θ/2)。
这就是弦长公式，它表达了弦长与半径和圆心角之间的关系。
三、弦长公式的应用实例1. 计算圆上两点之间的弦长假设我们有一个半径为10cm的圆，圆心角为60度，我们想要计算圆上两个点A和B之间的弦长。
根据弦长公式，我们可以计算得到弧AB的弦长s =2*10*sin(60/2) = 20*sin(30) ≈ 10cm。
通过这个实例，我们可以看到弦长公式在计算圆上两点之间的距离时非常有用。
2. 计算圆上弦的长度假设我们有一个圆的半径为8cm，圆心角为45度，我们想要计算从圆的边缘到弦的垂直距离（弦的高度）。
根据弦长公式，我们可以计算得到弦的长度s = 2*8*sin(45/2) = 16*sin(22.5) ≈ 5.66cm。
这个实例展示了弦长公式在计算圆上弦的长度时的应用。
四、结论弦长公式是一种用于计算圆与直线之间关系的数学工具。
通过这个公式，我们可以轻松地计算圆上的弦长，从而解决一系列与弦和圆相关的问题。
无论是计算圆上两点之间的弦长，还是计算弦的高度，弦长公式都为我们提供了一种简洁而有效的计算方法。
希望通过本文档的介绍，您对弦长公式有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
编写完毕。
直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【典型例题】
1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5 , 求m的方程.
解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径
r
=
5，弦长的一半
l 2
2
5,
所以由勾股定理，得：d
2
52 2 5
5,
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即
故a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 25 0 或 2 x 5 y 25 0 ;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
(2)连接MB，MQ，设 P(x,y),Q(a,0),由点M， P，Q在一直线上，得 2 y 2,(A)
a x
由 |M B|2|M P||M Q|,即 x2(y2)2 a241,(B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
x2(y7)21(y2). 4 16
2 k 1k2 1k2 1 0(1k2)11k21k22, 即k2＝3，故k＝± 3 . 答案：A
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，
Q是x轴上的动点，QA，QB分别切
⊙M于A，B两点，(1)如果| A B | 4 2
求直线MQ的方程；
的方程为
y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的
距离 2 3k 3 因此 2 3k 3
d
.
5,
k2 1
k2 1
直线被圆截弦长问题
直线截圆弦长问题—求弦长一
直线被圆截得的弦长问题,两种解题方法：
①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形,结合勾股定理进
行求解.
②斜率为k的直线l与圆C交与Ax1,y1,Bx2,y2两点,则AB=
1+k2 2
1x
x 弦长公式
1、求直线l：2x-y-2=0被圆C:x-32+y2=9截得的弦长AB的长;
2、求直线l：3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长AB的长;
3、求圆心在1,-2、半径为2√5的圆在x轴上截得的弦长;
直线与圆弦长问题—求圆的方程二
1、已知圆的圆心在x轴上,半径是5,且以A5,4为中点的弦长是2√5,求这个圆的方程;
2、已知圆的圆心为C-1,3,直线3x+4y-7=0被圆截得的弦长为
5
6
8
,求圆的方程;
3、已知圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上,圆C与直线l2:4x+3y+14=0相切,且圆C截得直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6,求圆的方程;
直线圆弦长问题—求直线方程三
1、已知过点M-3,-3的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4√5,求直线l的
方程;
2、已知直线l经过点P-4,-3,且被圆x+12+y+22=25所截得的弦长为8,求直线l的方
程; 3.已知点P0,5及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0,若直线l过点P且被圆C截得的弦长为
4 3 ,求直线l的方程。
直线被圆所截弦长最短例题
设一条直线与圆相交，该直线被圆所截的弦中，弦长最短的情况发生在直线与圆的切点处。
这是因为圆上的切线与半径垂直，而半径是弦的一半，因此切点是弦的中点。
在这个位置，弦的两端到切点的距离最短。
让我们用一个例子来说明：
假设有一个半径为r 的圆，直线与圆相交于 A 和 B 两点。
要找到使得弦AB最短的直线，我们需要找到直线与圆的切点。
1. 画一个半径AO，其中O是圆心。
2. AO与切点T的连线垂直于切线AB。
3. 直线AT 是最短的弦。
这就是直线被圆截弦长最短的基本思路。
在具体问题中，你可能会面对一些特殊的几何形状，但这个基本原理仍然适用。
直线与圆相切、弦长问题(学生)
直线与圆的位置关系（复习）复习要求1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[难点正本疑点清源]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________题型一直线与圆的位置关系例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________．题型二圆的切线问题例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x －1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4. （a>0）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；方法与技巧1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数法：设直线与圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点,两点间距离公式。
直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.变式训练1：1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A ）（0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值？解：==AC d 2，故距离的最大值为3=+r d ，最小值为1=-r d变式训练1：圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222==d ， 则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +，最小值为r d -直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d +，最小值为r d -题型三：切线问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． 变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，P A ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA △AP ，所以S 四边形P AOB ＝2×12|OA |·|P A | ＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。
圆与直线弦长公式
圆与直线弦长公式
圆与直线弦长公式是数学中一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算圆和直线之间的距离。
这个公式在几何学中有着广泛的应用，特别是在建筑设计、工程测量以及物理学等领域中。
让我们来了解一下圆与直线之间的关系。
当直线与圆相交时，我们可以得到一个弦，它是连接圆上任意两个点的线段。
弦的长度就是我们要计算的距离。
圆与直线弦长公式告诉我们，当我们知道弦与圆心的夹角时，可以通过一些简单的计算来得到弦的长度。
具体来说，圆与直线弦长公式可以表示为：
弦长 = 2 * 半径 * sin(夹角/2)
其中，半径是圆的半径，夹角是弦与圆心之间的夹角。
通过这个公式，我们可以计算出弦的长度，从而获得圆与直线之间的距离。
这个公式的推导涉及到一些数学知识，但我们不必深入探讨。
重要的是，我们可以应用这个公式来解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们可以使用这个公式来计算弦的长度，从而确定建筑物与周围环境的距离。
在工程测量中，我们可以利用这个公式来测量地面上两个点之间的距离。
在物理学中，这个公式可以帮助我们计算物体的运动轨迹。
圆与直线弦长公式是一个非常实用的工具，它可以帮助我们计算圆
与直线之间的距离。
通过掌握这个公式，我们可以更好地理解几何学中的一些概念，并将其应用到实际问题中。
无论是在建筑设计、工程测量还是物理学等领域，这个公式都发挥着重要的作用。
希望通过这篇文章的介绍，读者对圆与直线弦长公式有了更深入的了解。
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直线截圆弦长问题—求弦长（一）
直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法：
① 利用半径r 、弦心距d 和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解. ② 斜率为k 的直线l 与圆C 交与A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则AB =
1+k 2 21x x （弦长公式）
1、 求直线l ：2x-y-2=0被圆C:（x-3）2+y 2=9截得的弦长AB 的长。
2、 求直线l ：3x-y-6=0被圆C:x 2+y 2-2x-4y=0截得的弦长AB 的长。
3、 求圆心在（1，-2）、半径为2√5的圆在x 轴上截得的弦长。
直线与圆弦长问题—求圆的方程（二）
1、已知圆的圆心在x 轴上，半径是5，且以A(5,4)为中点的弦长是2√5,求这个圆的方程。
2、 已知圆的圆心为C （-1,3），直线3x+4y-7=0被圆截得的弦长为
5
6
8，求圆的方程。
3、已知圆C 的圆心在直线l 1：x-y-1=0上，圆C 与直线l 2:4x+3y+14=0相切，且圆C 截得直线l 3:3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆的方程。
直线圆弦长问题—求直线方程（三）
1、已知过点M(-3，-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4√5，求直线l
的方程。
2、已知直线l经过点P(-4，-3),且被圆（x+1）2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，
求直线l的方程。
3.已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0,若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4 3 ,求直线l的方程。