高数：常数项级数的审敛法

1 1 1 1 1 + p + p + p + + p + 的收敛性.( p > 0) 的收敛性. 2 3 4 n 1 1 设 p ≤ 1, ∵ p ≥ , 则P 级数发散 . 解 n n
n dx 1 设 p > 1, 由图可知 p < ∫n1 p n x 1 1 1 sn = 1 + p + p + + p 2 3 n 2 dx n dx o ≤ 1 + ∫1 p + + ∫n1 p x x
则 σ n ≥ sn → ∞
∴
论 推 : 若
不是有界数列 定理证毕. 定理证毕
∑ vn发散. n =1
∞
∑u 收敛(发散)
n=1 n
∞
且vn ≤ kun (n ≥ N)(kun ≤ vn ),则
∑v
n=1
∞
敛 散 n 收 (发 ).
比较审敛法的不便: 须有参考级数. 比较审敛法的不便 须有参考级数
P-级数 例 1 讨论 P-级数
m =1
m 1
uN +1 ,
∞
∴ ∑ uN + m =
∑ un收敛, n = N +1
收敛
当ρ > 1时, 取ε < ρ 1, 使r = ρ ε > 1, 时
当n > N时, un+1 > run > un , lim un ≠ 0.
n→ ∞
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 比值审敛法的优点 不必找参考级数.
un = l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n→ ∞ v n n =1 n =1
则(1) 当 0 < l < +∞ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时,若
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
比值审敛法失效, 比值审敛法失效 改用比较审敛法
∞ 1 1 1 ∵ < 2 , ∵ 级数 ∑ 2 收敛 , ( 2n 1) 2n n n =1 n ∞ 1 故级数 ∑ 收敛 . n =1 2n ( 2n 1)
7.根 值 敛 7.根 审 法 (柯 判 法 : 西 别 )
设
un 是正项级数,如果lim n un = ρ ∑ 是正项级数,
un +1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 是正项级数, 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
∞
证明 当ρ为有限数时 , 对ε > 0,
un+1 N , 当n > N时, 有 ρ < ε, un
两点注意: 两点注意
1.当 时比值审敛法失效; 1.当ρ = 1时比值审敛法失效;
1 例 级数 ∑ 发散 , n =1 n
∞
级数 ∑
n =1
∞
n
(ρ = 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要. 2.条件是充分的,而非必要. 条件是充分的
2 + ( 1) 3 例 ∵ un = ≤ n = vn , n 2 2
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ∑ ; n=1n
发散
∞
1 2) ∑ ; n=1n!
收敛
∞
3) ∑
∞
n
n
n=110
.
收敛
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( 1) n 的收敛性. 例 8 判别级数 ∑ 的收敛性. n1 n= 2
n
∞
解
x (1 + x ) )′ = ∵( < 0 ( x ≥ 2) 2 x 1 2 x ( x 1)
1 1 1 n1 1 n +1 1 1) 1 + ++ (1) + n+1 收敛 2 3 4 un+1 n (n +1)! 1 1 +1 n 10 = = n =10 +1 1 1 1 un n1 1 1 n n 收敛 2) 1 + ++ (1) + n 2! 3! 4! n!10 n! 1 2 3 4 n1 n 3) + ++ (1) +收敛 10 102 103 104 10n
第二节 常数项级数的审敛法
一,正项级数及其审敛法 二,交错级数及其审敛法 三,绝对收敛与条件收敛 四,小结 思考题
第十一章
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一,正项级数及其审敛法
1.定义: 1.定义: 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 定义 这种级数称为正项级数. 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件 正项级数收敛的充要条件: 2.正项级数收敛的充要条件: s1 ≤ s2 ≤ ≤ sn ≤ 部分和数列 { sn } 为单调增加数列. 为单调增加数列. 定理
1 (1) ∑ ; n = 1 n!
解
n! 1 (2) ∑ n ; (3) ∑ . n = 1 10 n = 1 ( 2 n 1) 2 n 1 un+1 ( n + 1)! 1 (1) ∵ = → 0 ( n → ∞ ), = 1 un n+1 n! ∞ 1 故级数 ∑ 收敛 . n =1 n!
n =1
n→ ∞
∞
( ρ为数或 + ∞ ), 则ρ < 1时级数收敛; 时级数收敛;
时级数发散; 时失效. ρ > 1时级数发散; ρ = 1时失效.
例7. 证明级数
收敛于S 收敛于 , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 . 解: ∵ n un = n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 令 由定理 可知该级数收敛 .令 rn = S Sn , 则所求误差为 1 1 0 < rn = + + n+1 n+2 (n +1) (n + 2)
un+1 即 ρ ε < < ρ +ε un
(n > N )
当ρ < 1时, 取ε < 1 ρ, 时
使r = ε + ρ < 1,
∞
uN + 2 < ruN +1 ,
uN + m < r
∞ m =1
uN + 3 < ruN + 2 < r 2 uN +1 , ,
而级数 ∑ r m 1uN +1收敛 ,
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
证明
1 1 ∵ , > n( n + 1) n + 1
1 而级数 ∑ 发散, n =1 n + 1
∴ 级数 ∑
n =1 ∞
∞
1 发散 . n( n + 1)
4.比较审敛法的极限形式: 4.比较审敛法的极限形式: 比较审敛法的极限形式
y
y=
1 ( p > 1) p x
1
2 3 4
x
= 1 + ∫1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) < 1 + p = 1+ x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛 .
时 当p > 1 , 收敛 P 级数 时 当p ≤ 1 , 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
n =1 ∞
正项级数收敛部分和所成的数列 sn有界.
均为正项级数, 3.比较审敛法 设 ∑ un和 ∑ vn均为正项级数, 比较审敛法
n =1
∞
∞
) 且un ≤ vn (n = 1, 2, ,若∑vn 收 ,则 un 收 ; 敛 ∑ 敛
n =1 ∞
∞
散 则 散 反 , ∑un 发 , ∑vn 发 . 之 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l un l N , 当n > N时, l < < l + 2 vn 2
l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
由比较审敛法的推论, 得证. 由比较审敛法的推论 得证
1 1 1 = = n+1 1 1 n(n +1)n (n +1) n+1
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二,交错级数及其审敛法
定义: 正,负项相间的级数称为交错级数. 负项相间的级数称为交错级数.
∑ ( 1) n =1
∞
n 1
un或∑ ( 1) un (其中un > 0)
n n =1
∞
莱布尼茨定理
n
2 + ( 1)n ∴ 级数 ∑ un = ∑ 收敛 , n 2 n =1 n =1
∞
∞
un+1 2 + ( 1)n+1 但 = = an , n un 2( 2 + ( 1) )
lim a 2 n
n→ ∞
1 = , 6
lim a 2 n+1
n→ ∞
3 = , 2
un+1 ∴ lim = lim an 不存在. n→ ∞ u n→ ∞ n
n→ ∞ n→ ∞
∴ 级数收敛于和 s , 且s ≤ u1 .
余项 rn = ± ( un+1 un+ 2 + ),
rn = un+1 un+ 2 + ,
满足收敛的两个条件, 满足收敛的两个条件
∴ rn ≤ un+1 .
定理证毕. 定理证毕
判别法判别下列级数的敛散性: 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性
5.极 限 敛 : 5.极 审 法
设
∑u 为正项级数,
n=1 n
n→∞ n→∞
∞
果 如 limnun = l > 0 (或limnun = ∞), 级 则 数
∑u 发散;
n=1 n
∞
果 如 有p > 1, 使 limnpun存 , 得 在
n→∞
级 则 数
∑un 收敛. n=1
∞
判定下列级数的敛散性: 例 3 判定下列级数的敛散性:
例5. 讨论级数
的敛散性 .
un+1 (n +1) xn = lim =x 解: ∵ lim n1 n→∞ n x n→∞ un
根据定理4可知 根据定理 可知: 可知
当 < x < 1时 级数收敛 ; 0 ,
, 当x > 1时 级数发散 ;
当x = 1时 ,
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例6
∞
判别下列级数的收敛性: 判别下列级数的收敛性
∞
∞
un+1 ( n + 1)! 10 n n + 1 ( 2) ∵ → ∞ ( n → ∞ ), = = n +1 un n! 10 10 ∞ n! 故级数 ∑ n 发散. n=1 10 un+1 ( 2n 1) 2n = lim = 1, ( 3) ∵ lim n→ ∞ u n→ ∞ ( 2n + 1) ( 2n + 2) n
∞
∞
例4. 判别级数 的敛散性. 的敛散性
n=1
∑ ln[1+
∞
1 n
2
]
ln(1+ 1 )～ n2
2
1 n2
解: ∵ lim n ln[1+
n→∞
1 n
] = lim n 2
n→∞
2
1 n2
=1
1 n
2
根据比较审敛法的极限形式知 ∑ ln[ 1+
n=1
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∞
]收敛.
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6.比 值 敛 ( 朗 尔D Alembert 别 ) 法) 6.比 审 法 达 贝 D'Alembert 判 法 : 尔
如果交错级数满足条件: 如果交错级数满足条件:
n→∞
);(ⅱ (ⅰ) un ≥ un+1 (n = 1,2,3, ;(ⅱ) limun = 0,
则级数收敛,且其和 s ≤ u1,其余项 rn的绝对值 则级数收敛,
rn ≤ un+1.
证明
∵ un1 un ≥ 0,
∵ s2 n = ( u1 u2 ) + ( u3 u4 ) + + ( u2 n1 u2 n )
1 (2) ∑ n ; n =1 3 n 1 sin 1 n = 1, 原级数发散 解 (1) ∵ lim n sin = lim 原级数发散. n→ ∞ n n→ ∞ 1 1 n 3 n n = lim 1 = 1, ( 2) ∵ lim n→ ∞ 1 n→ ∞ n 1 n n 3 3 ∞ 1 故原级数收敛 ∵ ∑ n收敛 , 故原级数收敛. n =1 3 1 (1) ∑ sin ; n n =1
数列 s2n是单调增加的,
又 s2 n = u1 ( u2 u3 ) ( u2 n 2 u2 n1 ) u2 n
≤ u1
n→ ∞
数列s2n是有界的,
∵ lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
∴ lim s2 n = s ≤ u1 .
∴ lim s2 n+1 = lim ( s2 n + u2 n+1 ) = s ,
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x 1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n 1
三,绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
∞
n=1 ∞
n=1
证明 (1) 设 σ = ∑ vn ∵ un ≤ vn ,
且 sn = u1 + u2 + + un ≤ v1 + v2 + + vn ≤ σ ,
n =1
n=1
∞
n=1
即部分和数列有界
∴
∑ un收敛. n =1
∞
( 2) 设 sn → ∞ ( n → ∞ ) 且 un ≤ v n ,