偏导数几何意义(课资参考)

.
fx(x,
y) lim
x0
f
(xx, y) x
f
(x,
y)
.
❖偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看
作常数, 然后按一元函数求导法求导即可.
讨论 下列求偏导数的方法是否正确？
fx(x0, y0) fx(x, y) xx0 ,
y y0
fy(x0, y0) fy(x, y) xx0 ,
2z yx
f yx(x,
y)
,
y
(yz )
2z y2
fyy(x, y)
.
其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.
x
(z ) 2z x x2
,
(z ) 2z , y x xy
(z ) 2z , x y yx
(z ) 2z . y y y2
y y0
f
x
(x0,
y0)
[
d dx
f
(x, y0)] xx0
f
y ( x0,
y0)
[
d dy
f
(x0, y)] y y0
.
fx(x0, y0) fx(x, y) xx0 ,
y y0
fy(x0, y0) fy(x, y) xx0 ,
y y0
f
x
(x0,
y0)
[
d dx
f
(x, y0)] xx0
§8.2 偏 导 数
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
设函数zf(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限
lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)
x0
x
存在, 则称此极限为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
提示：当点P(x, y)沿直线ykx趋于点(0, 0)时, 有 因此, 函(ffx数x,(y(ylx)i0fm,(,k0xx(00),),0y))0x在dd2,xx([y0fyf,(2(00x,),的y0lxi)m)]极00x限02 ,k不xk2f2存yx(20在,0,1)当kkd然d2y [.也f (不0,连y)]续.0 .
z , x
f , x
zx , 或 fx(x, y) .
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f x (x0,
y0)
lim
x0
f
(x0
x,
y0) x
f
(x0,
y0)
.
❖偏导数的符号
❖偏导函数
z x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
,
zx xx0 ,
y y0
fx(x0, y0) .
例如, 三元函数uf(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义
为
fx(x,
y, z)
lim
x0
f
(x x,
y, z) x
f
(x,
y, z)
,
其中(x, y, z)是函数uf(x, y, z)的定义域的内点.
Fra Baidu bibliotek
❖偏导函数
f
x
(x0,
y0)
lim
x0
f (x0 x, y0) x
f
(x0, y0)
z x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
,
zx xx0 , 或 fx(x0, y0).
y y0
类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f x (x0,
y0)
lim
x0
f
(x0
x,
y0) x
f
(x0,
y0)
f
y
(x0,
y0)
[
d dy
f
(x0, y)] y y0
.
例1 求zx23xyy2在点(1, 2)处的偏导数.
解
z 2x 3y , x
z 3x2y . y
z x
x1 2132 8 ,
y2
z y
x1 3122 7 .
y2
例2 求zx2sin2y的偏导数.
解
z 2xsin 2y , x
z 2x2 cos2y . y
对y轴的斜率.
zf(x, y0) zf(x0, y)
❖偏导数的几何意义
❖偏导数与连续性 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能
保证函数在该点连续. 例如
f
(x,
y)
xy x2 y2
0
x2 y2 0, x2 y2 0.
在点(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0, 但函数在点(0, 0)并不连续.
二、高阶偏导数
❖二阶偏导数
如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数.
函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个
x
(xz )
2z x2
fxx(x,
y)
,
y
(z ) x
2z xy
fxy(x,
y)
,
x
(z ) y
解 r
x
x r
y
y.
x x2 y2 z2 r y x2 y2 z2 r
❖偏导数的几何意义 fx(x0, y0)[ f(x, y0)]x是截线zf(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx
对x轴的斜率. fy(x0, y0)[ f(x0, y)]y是截线zf(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty
.
❖偏导数的符号
❖偏导函数
z x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
,
zx xx0 ,
y y0
fx(x0, y0) .
如果函数zf(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数 都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为 函数zf(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作
例例33 设 z xy(x 0, x 1) , 求证
x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1, x
z x y ln x . y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x x y x y 2z .
y x ln x y y
ln x
例例44 求 r x2 y2 z2 的偏导数.
例6
设 zx3y23xy3xy1,
求 2z 、 3z x2 x3
、 2z 和 2z . yx xy
解解
z 3x2 y2 3y3 y , x
z 2x3y 9xy2 x y
2z x2
6xy2
,
3z x3
6
y2
2z xy
6x2
y
9y2
1
f
x(x,
y)
lim
x0
f
(xx, y) x
f
(x,
y)
.
❖偏导函数的符号
z , x
f , x
zx , 或 fx(x, y) . >>>
❖偏导函数
f
x
(x0,
y0)
lim
x0
f (x0 x, y0) x
f
(x0, y0)
.
fx(x,
y) lim
x0
f
(xx, y) x
f
(x,
y)
.
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.