勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习

一．知识归纳

１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=

２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422

S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形：

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.

2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ．

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

c b a H G F E D C

B A b a c b a c c a b c a b

a

b

c c b

a E D C B A

1. 若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高长是_______。

2.如图，△ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP 的最小值为（ ）A ． 8 B ． 8.8

C ． 9.8

D ． 10

3.在ABC ∆中，15,13AB AC ==，BC 边上的高12AD =，则ABC ∆的周长为（ ）

A 、42

B 、32

C 、42或32

D 、37或33

4.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为 .

5.等边三角形的边长为2，求它的面积。

【变式】: △ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，

则a b c 222+=。若△ABC 不是直角三角形，如图2和3，请你类比勾股定理，

试猜想a b 22+与c 2的关系，并证明你的结论。

类型三：勾股定理的实际应用

1.如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，

现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B

下降至B ′，那么BB ′（ ）．

A ．小于1m

B ．大于1m

C ．等于1m

D ．小于或等于1m

2.将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯

子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．

A ．h ≤17cm

B ．h ≥8cm

C ．15cm ≤h ≤16cm

D ．7cm ≤h ≤16cm

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了

到

达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C 点。

（1）求A 、C 两点之间的距离。（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向。

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问

这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的

距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路

MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉

机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目

前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A 、B 、C 、

D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联

合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请

你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

【变式】1.如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．

2.如图1，长方体的长为12cm ，宽为6cm ，高为5cm ，一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行，

问：爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？

3.如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上

方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走

直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多

少路程才能捕到害虫?