含参不等式求取值范围
含参数不等式的解法(含答案)
含参数不等式的解法例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cos sin ππ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
A 档（巩固专练）1．设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞)B.(－21，21)C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________.3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.4． 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 5. 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a6．已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7．解不等式log a (1－x1)＞18．设函数f (x )=a x满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.9.设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
含参数的不等式的解法
含参数的不等式的解法解含参数的不等式的一般步骤如下：步骤1：确定参数的取值范围对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。
常见的含参数的不等式有以下几种类型：1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，<b，x，其中a和b是参数。
如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。
2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是参数。
对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。
对于二次不等式，需要讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。
3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。
对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。
对于参数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不等式的解集为(-∞,0)。
步骤2：解参数的不等式在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。
根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。
1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。
-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。
2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。
-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。
3.解参数出现在不等式的指数中的不等式：-如果参数b是负数，则需要讨论不等式两侧的符号并得到一个简单的数学不等式。
步骤3：解不等式在解决了参数的不等式之后，可以根据参数的取值范围来解不等式，得到不等式的解集。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法
含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法温州中学 叶昭蓉恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
大多是在不等式中，一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
下面介绍几种常用的处理方法。
一、别离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形别离出参数，即：假设()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，那么()max a f x ≥；假设()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，那么()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，假设对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21ax x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，那么()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，那么可将两变量分别置于不等式的两边，即：假设()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，那么()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；假设()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，那么()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
例2、(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2xt =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t+=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
含参数不等式的解法(含答案)
含参数不等式的解法典题探究例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2,0(4,cos sin ππ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
演练方阵A 档（巩固专练）1．设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________.3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.4． 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 5. 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a6．已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7．解不等式log a (1－x1)＞18．设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.9.设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
一元一次不等式(组)提升专题
一元一次不等式（组）提升专题【问题归纳】1、知含参不等式组的解集，求参数的取值范围；2、知含参不等式组有解、无解，求参数的取值范围；3、知含参不等式组整数解的情况；求参数的取值范围；4、不等式与方程综合，求多元代数式的取值范围；5、与不等式相关的新定义（高斯函数，“四舍五入”）.【典例讲练】【例1】若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01456m x x x 的解集为x ＜4，则m 的取值范围是__________． 【练】关于x 的不等式组1235a x a x -<<+⎧⎨<<⎩的解集为32x a <<+，则a 的取值范围是__________．【例2】（1）如果关于x 的不等式(m －n )x ＋m －7n ＞0的解集为x ＜1，那么关于x 的不等式nx ≥m 的解集 为__________．【练】若不等式(2a －b )x ＋3a －4b ＜0的解集是x ＞94，求不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0的解集．【例3】（1）若关于x 的不等式组⎩⎨⎧++>-++>-x m m x m x x m 122)15(253有解，求m 的取值范围．【练】若关于x 的一元一次不等式组0230x a x a +>⎧⎨-+⎩≤有解，则a 的取值范围为____________．【变1】若关于x 的不等式组121x m x m <+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是____________．【变2】若关于x 的不等式组204(1)20x a x a +>⎧⎨-+>⎩无解，则a 的取值范围是____________．【例4】若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨--⎩≤有4个正整数解，则m 的取值范围为__________．【练】若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-0240x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．【变1】若关于x 的不等式组423()23(2)5x x a x x +>+>-+⎧⎨⎩仅有三个整数解，则a 的取值范围是__________．【变2】若关于x 的不等式组5060x m x n -<⎧⎨-⎩≥整数解仅为1，2，3，则（m ，n ）的有序整数对有多少个？【拓1】若关于x 的不等式组3190x x a +<⎧⎨-⎩≥的整数解的和为0，则a 的取值范围是__________．【拓2】关于x 的不等式组2132x x x m+⎧>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是﹣7，则m 的范围是__________．【拓3】（1）已知关于x 、y 的方程组2525x y x y a -=⎧⎨+=⎩的解满足不等式x ＋y ＜b ，且满足条件的正整数a 仅有2个，则b 的范围是________．（2）已知关于x ，y 的方程组3434x y a x y a -=+⎧⎨+=+⎩的解满足不等式x －2y ≥b ，且满足条件的正整数a 仅有4个，则b 的范围是________．【例6】已知x 、y 为非负数，且满足x ＋2y －3＝0，求m ＝2x ＋y 的最大值．【变】若a ，b 满足3a ＋5|b |＝7，且S ＝2a －3|b |，求S 的取值范围．【拓1】已知4325x y -+≤≤，13x y -≤≤，则2x y +的最大值为__________，最小值为__________．【拓2】已知实数a 、b 满足14a b +≤≤，01a b -≤≤，且2a b -有最大值，求82018a b +的值．【拓3】已知三个非负数a 、b 、c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最 大值和最小值．【拓4】已知非负数a ，b ，c 满足条件a ＋b ＝7，c ﹣a ＝5，设S ＝a ＋b ＋c 的最大值为m ，最小值为n ， 则m ﹣n 的值为__________．【拓5】已知非负实数x 、y 、z 满足123234x y z ---==，记345W x y z =++，求W 的最大值、最小值．【例7】对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如果n －21≤x ＜n ＋21，则＜x ＞＝n ． 如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…①填空：＜π＞＝_________（π为圆周率）；②如果＜2x ﹣1＞＝3，求实数x 的取值范围．【变】已知[x ]表示不超过x 的最大整数，如[﹣1]＝﹣1，[﹣1.5]＝﹣2，[3.5]＝3，则满足方程x ﹣2[x ]﹣103＝0的解的个数为__________．【拓】设[x ]表示不超过x 的最大整数（例如：[2]＝2，[1.25]＝1），则方程3x －2[x ]＋4＝0的解为 _______________．【思考题】1、已知有理数x 满足31752233x x x -+-≥-，若32x x --+的最小值为a ，最大值为b ，求ab .2、若a ＋b ＝﹣2，且a ≥2b ，则（ ）A ．a b 有最小值21B ．ba 有最大值1 C ．b a 有最大值2 D ．b a 有最小值98-3、已知a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，则ac 的取值范围是_______________．4、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使871513n n k <<+成立．5、已知a 、b 、c 、d 是正整数，且a ＋b ＝20，a ＋c ＝24，a ＋d ＝22，设a ＋b ＋c ＋d 的最大值为M ，最小 值为N ，则M －N ＝______________．【补充练习】1、已知关于x 的不等式(4a －3b )x ＞2b －a 的解集是x ＜94，求ax ＞b 的解．2、（1）若不等式12634x x a -<⎧⎨+⎩≤无解，求a 的取值范围．（2）关于x的不等式12634xx a-<⎧⎨+⎩≤仅有两个负整数解，求a的取值范围．（3）如果关于x的不等式2≤3x＋b＜8的整数解之和为7，求b的取值范围是．（4）若不等式组9080x ax b-⎧⎨-<⎩≥的整数解仅为1，2，3，则适合这个不等式组的整数解a、b有序整数对（a，b）共有多少个？（5）已知关于x，y的方程组922x yx y a-=⎧⎨+=⎩的解满足不等式x＋y≤b，且满足条件的正整数a仅有3个，则b的范围是________．（6）已知关于x、y的方程组521365x y ax y a-=+⎧⎨-=+⎩的解满足不等式2x－y＞b，且满足条件的非正整数a仅有4个，则b的范围是________．3、（1）m为何值时，方程组713x y mx y m+=-⎧⎨-=+⎩的解满足2x＋3y＞0．（2）已知方程组5331x yx y m+=⎧⎨+=⎩的解为非负数，求m的整数解．（3）求同时满足a＋b＋c＝6，2a－b＋c＝3和b≥c≥0的a的最大值及最小值．（4）已知13a b -<+<，24a b <-<，求23a b +的取值范围．（5）当x 、y 、z 为非负数时，且3x ＋3y ＋z ＝4，x －3y －2z ＝－3，求t ＝3x －2y ＋z 的最大值和最小值．4、（1）定义取整函数[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]4.54=，[]55=，若整数x 、y 满足2133x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 342y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则有序数对（x ，y ）共有__________对．（2）对非负实数x ，“四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如果n －21≤x ＜ n ＋21，则＜x ＞＝n ．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4； 如果＜2x －1＞＝3，则实数x 的取值范围为__________；如果＜x ＞＝34x ，则x ＝__________．。
利用导数解决含参不等式参数取值范围问题的策略_李文东
利用导数解决含参不等式参数取值范围问题的策略广东省中山市中山纪念中学(528454) 李文东含参不等式恒成立问题，特别是利用导数解决含参关系式恒成立求参数的取值范围这一问题经常出现在高考试题中，是高考的重点也是难点.解决这一类问题需要用到函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论等数学思想，能够很好的反映学生的数学素养.下面结合例题具体谈谈此类问题的求解策略.策略一 不等式(,)0f x a …恒成立⇔min (,)0f x a …，合理分类讨论求最值. 例1 (2010年高考新课标卷理科)设函数2()1x f x e x ax =---，a R ∈.若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.解 因为()12xf x e ax '=--，它比较复杂，考虑进一步求导：()"2f x ex a =-，显然()"f x 递增，故当0x ≥时，()"12min f x a =-.于是(1)当21a ≤，即12a ≤时，()"0f x ≥，所以()'f x 在[)0,+∞单调递增，所以()'f x ≥ ()00f '=，即() '0f x ≥，所以()f x 在[)0,+∞单调递增，所以()()00f x f ≥=.(2)当21a >，即12a >时，令''()20x f x e a =-=，解之得ln 2x a =.当()0,ln 2x a ∈时，()"0f x <，()'f x 为单调递减函数；又因为()'00f =，所以()0,ln 2x a ∈时，()'0f x <，所以()f x 在区间()0,ln 2a 是单调递减函数.又()00f =，所以()0,ln 2x a ∈时，()0f x <不符合题意要求.综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 评注 (1)分类讨论的难点在于分类标准的确定，目标就是确定导函数的符号，一般要结合导函数的具体形式来确定.如果导函数的符号能等价转化为一个二次函数的符号，则常见的讨论标准如下：1.讨论是否是二次函数；2.讨论零点的存在与否；3.讨论零点是否在定义域之内；4.讨论零点的大小关系；5.讨论二次函数的开口方向.(2)本例中()12x f x e ax '=--比较复杂，为了研究其符号，关键还是弄清楚其单调性，故继续对其求导后根据()""2f x e a =-的符号来确定讨论标准.策略二 分离参数避免分类讨论，快速求解.例2 (2013年高考全国新课标卷)已知函数2()f x x ax b =++，()()xg x e cx d =+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围.解 (1)4a =，2b c d ===.(2)2x ≥-时，()()f x kg x ≤，即242(22)xx x ke x ++≤+. 故当1x >-时，220x >＋，于是分离参数后有2422(1)x x x k e x +++…，令242()(1)x x x h x e x ++=+，则22(2)'()(1)x x x h x e x +=-+，可知当,0()1x ∈-时，()0h x '>，()h x 递增；,()0x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减；于是()()max 2021k h x h k ≥==⇒≥；而当21x -≤<-时，220x +<，于是有2422(1)x x x k e x +++≤，可知当)2(1x ∈--，时，()0h x '>，()h x 递增；于是22min 2()(2)2k h x h e k e ≤==⇒-≤.综上，k 的取值范围为21k e ≤≤.评注 本题是一个典型的利用分离参数法求解参数取值范围的例子，分离中需要注意分母函数()g x 的符号，分离参数的目的就是避免复杂的分类讨论而达到快速求解!策略三 利用必要条件或端点效应缩小参数的范围.例3 (2014年高考全国新课标卷)已知函数()2x x f x e e x -=--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值.解 (1)略.(2)注意到()00g =，要使当0x >时，()0g x >，则必存在00x >，当0()0x x ∈,时，()g x 递增，也即有：当0()0x x ∈,时，()0g x '≥，从而必有：()'00g ≥.而22'()2'(2)4'()2(2)4(2)x x x x g x f x bf x e e b e e --=-=+--+-.注意到()'00g =，从而同理必有()"00g ≥.而22)''()4()4(x x x x g x ee b e e --=---，注意到()"00g =，从而同理必有()"'00g ≥.而 22'''())8()4(x x x x g x e e b e e --=+-+，于是()()'''08202g b b =-≥⇒≤.而当2b ≤时，()()()24g x f x bf x =-()()()28f x f x h x ≥-=，222()2()8()122(2)'0x x x x x x h x e e e e e e ---=+-++=+->，故()h x 递增，又()00h =，于是()0h x >，也即有()0g x >成立.综上，b 的最大值为2.评注 端点效应是指：对于[]x a b ∀∈,，()0f x ≥，且()0f a =.则必然0()x a b ∃∈,，当0,[]x a x ∈时()f x 递增，从而有0,[]x a x ∈时，()'0f x ≥成立，特别有()'0f a ≥这一必要条件得出参数的范围，然后说明这一范围的充分性即可，这样既避免了分类讨论，也可避免了分离参数后函数很复杂且有时需要用到罗必塔法则的情形.实际操作中，若不满足这一条件，我们也可以在自变量的范围内取一特定值，缩小参数的取值范围，减少分类讨论的种类!策略四 分离函数，数形结合，转化为两函数图像的关系.例4 若不等式()2ln 2ax x a x x -≥-对1[)x ∀∈+∞,恒成立，求a 的取值范围.解 方法一 因为不等式2ln (2)ax x a x x -≥-对1[)x ∀∈+∞,恒成立，所以2()a x x lnx -≥对1[)x ∀∈+∞,恒成立.当1x =时，不等式显然成立，当1x >时，20x x ->，ln 0x >，故0a >.2()()g x a x x =-，()ln f x x =作出两函数的图像，如图1.图1当()f x 与()g x 在1x =处相切时，()()1g x x >图像恰好位于()()1f x x >图像的上方，此时()()'11f g ='，即1a =，结合图像可知，所求a 的取值范围为1a ≥.评注 本法是转化为两曲线的情况.顺着这个思路，本题还有以下两种解法.方法二 因为不等式2ln (2)ax x a x x -≥-对1[)x ∀∈+∞,恒成立，所以2()a x x lnx -≥对1[)x ∀∈+∞,恒成立，也即(1)ln x a x x-≥对1[)x ∀∈+∞,恒成立.令x (n )l f x x =，则21ln '()x f x x -=，可知()f x 在(1)e ,上递增，()e +∞,上递减.如图2，故当直线()1y a x =-位于()f x 在1x =处的切线及其上方时，不等式恒成立，从而 ()'11a f ≥=.图2图3 方法三 因为不等式2ln (2)ax x a x x -≥-对1[)x ∀∈+∞,恒成立，所以ln 1ax x x ≥-对1()x ∀∈+∞,恒成立. 令ln ()1f x x x =-，则211ln '()(1)x x f x x --=-.令1()1ln g x x x =--，则211'()g x x x=- 210(1)x x x-=≤≥，故()g x 递减，于是()()10g x g ≤=，进一步有()'0f x ≤，从而()f x 在(1)+∞,上递减，由于()f x 在1x =处没有意义，因此需要用到洛必达法则，1111l lim ()lim lim 111n x x x f x x x x →→→===-.如图3，当直线y ax =过点(1)1,时恰好满足题意，所求a 的取值范围为1a ≥.例5 已知函数()()ln 1f x x a x =-+，若对任意的]2[1x ∈，，2()f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.解 2()f x x ≥，即22ln(1)ln(1)x a x x x x x a ⇒-≥-+≥+对任意的]2[1x ∈,恒成立.因为]2[1x ∈,时，20x x -≤，()ln 10x +>，故0a ≤，从而函数()ln 1y a x =+和函数2y x x =-都在[1]2,上递减，且它们的凹凸性相反.在同一坐标系下作出两函数的图像，如图4，可知当函数()ln 1y a x =+满足在2x =时，2y ≤-即可，即2ln 32ln 3a a ≤-⇒-….图4评注 分离函数可看作分离参数法的推广，分离函数时，可以尽量从多个角度尝试不同的分离方式，只要分离后的函数比较简单即可.策略五 等价变换，巧妙转化.例6 (广东省2019届高三六校联考)已知函数ln 2()x f x x+=. (1)求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；(2)若1,[)x ∀∈+∞，()ln ln 424x x ax +≤+恒成立，求实数a 的取值范围.解 (I)略.(2)令ln x t =，则()0tx e t =≥，不等式()ln ln 424x x ax +≤+等价于2442tt t ae ≤+-，分离参数后得：2442()t t t a g t e +-=…，(2)(4)'()t t t g t e -+=，可知函数()g t 在[0,2]上递增，在[2,)+∞上递减，于是max 282()g a t e =≥，故实数a 的取值范围为2[4),e +∞. 例7 若对任意0x >，1(1)2()ln ax a e x x x +≥+恒成立，求实数a 的取值范围.解 不等式1(1)2()ln ax a e x x x +≥+两边同乘以x 得：2(1)2(1)ln a x ax ex x +≥+，进一步有22(1)ln (1)ln a x a x e e x x +≥+.令()()l 1n f x x x =+，则原不等式等价于：2()()ax f e f x ≥.又易知()f x 在(0,)+∞上递增，故2a x e x ≥，分离参数可得：ln 2a x x ≥⋅.令n (l )g x x x =，易知()g x 在(0,)e 上递增，在(),e +∞上递减，故max 22()a g x e ≥⋅=. 评注 当函数()f x 比较复杂时，我们可以对其进行等价变换，比如换元法，同构法等，使得问题达到简化的目的!以上是导数解决函数恒成立求参数取值范围问题的一般策略.一般来说，从解题的复杂程度来说选择的步骤是：数形结合，分离函数→分离参数→端点效应→合理转化→分类讨论.当然以上顺序也不是一成不变的，还是要具体情况具体分析.最后结合分离函数法来简单谈一下作为一个教师怎么编制出恒成立问题的试题.我们可以利用一些常见的曲线和直线来构造恒成立问题，特别是直线过曲线上的定点或者直线就是曲线在某点处的切线时.比如我们可以编制如下问题：(1)函数()ln f x x =在1x =处的切线方程为1y x =-，于是我们可以这样出题：当1x >时，()ln 1x a x <-恒成立，求a 的取值范围(答案：1a ≥)；(2)函数()()()ln 11f x x x =-+在0x =处的切线方程为y x =，于是我们可以这样出题：当0x >时，()()1ln 1x x ax -+<恒成立，求a 的取值范围(答案：1a ≥).我们还可以将本文中的例4稍加改编得到如下比较有趣的一道题：(3)若不等式2ln (2)ax x a x x -≥-对0,()x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.结合文章中的解法，不难知道所求a 的取值范围为1a =，它只有一个值满足要求!。
一元一次含参不等式的解法
一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。
其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。
例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。
因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。
2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。
例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。
当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。
含参不等式的解法
不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。
（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。
⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。
解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。
七年级下-专题 不等式与不等式组的含参问题(解析版)
七年级下册数学《第九章不等式与不等式组》专题不等式与不等式组的含参问题【例题1】若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜2�−3，则a的取值范围是（）A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．2�−3，【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x＜∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，∴a﹣3＜0，∴a＜3．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．【变式1-1】关于x的不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜1D．a＞1【分析】直接利用不等式的性质，得出a﹣1＞0，进而得出答案．【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，∴a﹣1＞0，解得：a＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确得出a﹣1的符号是解题关键．【变式1-2】（2022•南京模拟）如果关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞2【分析】利用不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得m﹣2＜0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，∴m﹣2＜0，解得：m＜2，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键．【变式1-3】（2022春•南山区期末）关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，那么m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞﹣2D．m＜﹣2【分析】根据不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，知m+2＜0，解之即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，∴m+2＜0，解得m＜﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式1-4】（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞2�−1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m≠1D．m≤1【分析】根据不等式的性质得m﹣1＜0，然后解关于m的不等式即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞2�−1，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．【变式1-5】（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a＞﹣3C．a＜﹣3D．a＞3【分析】根据已知解集，利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式1-6】（2023春•新城区校级月考）当m时，不等式（m+3）x≥2的解集是�≤2�+3．【分析】根据不等式的性质3（不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变）得出m+3＜0，求出即可．【解答】解：∵不等式（m+3）x≥2的解集是x≤2�+3，∴m+3＜0，∴m ＜﹣3，故答案为：＜﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变是解题的关键．【例题2】（2022秋•常德期末）关于x 的不等式组�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，则m＝．【分析】根据同大取大，可得出关于m 的方程，求出m 的值即可．【解答】解：由�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，得∵m +2＞m ﹣1，∴m +2＝﹣1，解得m ＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，利用同大取大是解题关键．【变式2-1】（2023春•北碚区校级月考）关于x 的一元一次不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，则m 的值是．【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：13(��−1)＞2−�13��−13＞2−�，13��＞73−�，mx ＞7﹣3m ，∵不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，∴�＜0，�＜7−3��，∴7−3��=−4，∴7﹣3m ＝﹣4m ，∴m ＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-2】（2022春•顺德区校级期中）关于x 的一元一次不等式�−2�3≤−2的解集为x ≥4，则m 的值为（）A ．14B ．7C ．﹣2D ．2【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：解不等式�−2�3≤−2得：x ≥�+62，∵不等式的解集为x ≥4，∴�+62=4，解得m ＝2，故选：D ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-3】如图，是关于x 的不等式2x ﹣a ≤﹣1的解集，则a 的值为（）A ．a ＝﹣2B ．a ＝﹣1C ．a ≤﹣2D ．a ≤﹣1【分析】解不等式得出x ≤�−12，结合数轴知x ≤﹣1，据此可得关于a 的方程，解之可得答案．【解答】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x ≤﹣1，解不等式2x ﹣a ≤﹣1得，x ≤�−12，即�−12=−1，解得a ＝﹣1．故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-4】（2022春•西峡县期中）若关于x 的不等式2�+9＞6�+1�−�＜1的解集为x ＜2，则a 取值范围是．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②，得�＜2�＜�+1．∵不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②的解集为x＜2，∴a+1≥2，解得a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．【变式2-5】（2023•永定区一模）不等式组3�−9＞0�＞�的解集为x＞3，则m的取值范围为．【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知条件判断m范围即可．【解答】解：3�−9＞0①�＞�②，解不等式①得：x＞3，又因为不等式组的解集为：x＞3，x＞m，∴m≤3．故答案为：m≤3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．【变式2-6】（2022春•武汉期末）若不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x＜2x+a+1成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥1.5B．a＞1.5C．a＜7D．1.5＜a＜7【分析】解不等式�+16−2�−54≥1得x≤54，解不等式4x＜2x+a+1得x＜�+12，根据题意得到关于a 的不等式，再解关于a 的不等式即可得出答案．【解答】解：解不等式�+16−2�−54≥1得x ≤54，解不等式4x ＜2x +a +1得x ＜�+12，∵不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x ＜2x +a +1成立，∴�+12＞54，∴a ＞1.5，故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．【变式2-7】（2022春•南关区校级期中）关于x 的不等式组3�−6＞0�−�＞−2的解集是2＜x＜5，则a 的值为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于a 的方程，解之即可．【解答】解：由3x ﹣6＞0得：x ＞2，由a ﹣x ＞﹣2得：x ＜a +2，∵不等式组的解集为2＜x ＜5，∴a +2＝5，解得a ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2-8】（2022秋•西湖区期中）已知关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，则a +b ＝．【分析】先求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集是3≤x ＜5得出a +1＝3，3+�2=5，求出a 、b ，再求出a +b 即可．【解答】解：�−1≥�①2�−�＜3②，解不等式①，得x ≥a +1，解不等式②，得x ＜3+�2，所以不等式组的解集是a +1≤x ＜3+�2，∵关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，∴a +1＝3，3+�2=5，∴a ＝2，b ＝7，∴a +b ＝2+7＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出a +1＝3和3+�2=5是解此题的关键．【变式2-9】若不等式组：�−�＞2�−2�＞0的解集是﹣1＜x ＜1，则（a +b ）2022＝（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2023【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a 、b 的值，再代入计算即可．【解答】解：由x ﹣a ＞2，得x ＞a +2，由b ﹣2x ＞0，得x ＜�2，∵不等式组的解集为﹣1＜x ＜1，∴a +2＝﹣1，�2=1，解得a ＝﹣3，b ＝2，∴（a +b ）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1，故选：C ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【例题3】（2022秋•零陵区期末）若关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，则m 的取值范围是（）A ．m ≤4B ．m ＜4C ．m ≥4D ．m ＞4【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出3−12m ＜�4，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−6+�＜0①4�−�＞0②，解不等式①，得x ＜3−12m ，解不等式②，得x ＞�4，∵关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，∴3−12m ＞�4，解得：m ＜4，故选：B ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．【变式3-1】（2022春•漳州期末）若不等式组�−4＜0�≥�有解，则m 的值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组有解得出m ＜4，再逐个判断即可．【解答】解：�−4＜0①�≥�②，解不等式①，得x ＜4，∵不等式组�−4＜0�≥�有解，∴m ＜4，A ．∵3＜4，∴m 能为3，故本选项符合题意；B ．∵4＝4，∴m不能为4，故本选项不符合题意；C．∵5＞4，∴m不能为5，故本选项不符合题意；D．∵6＞4，∴m不能为6，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组有解得出m的取值范围是解此题的关键．【变式3-2】（2023春•中原区校级期中）若关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，则m的取值范围为．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出4m≥8，再求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式﹣x+8＜0，得x＞8，∵关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，∴4m＞8，解得：m＞2，故答案为：m＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-3】（2023春•莘县期中）已知关于x的不等式组�−�≥05−2�＞1无解，则实数a的取值范围是．【分析】首先解每个等式，然后根据不等式组无解即可确定关于a的不等式，从而求解．【解答】解：�−�≥0⋯①5−2�＞1⋯②，解①得x≥a，解②得x＜2．根据题意得：a≥2．故答案是：a≥2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【变式3-4】（2022春•兖州区期末）若不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m≥2D．无法确定【分析】根据不等式组无解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，∴2m﹣1≥m+1，解得：m≥2，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-5】（2022春•都江堰市校级期中）若关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，则a的取值范围．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−�＞0①2�−1+3�2＜1②，解不等式①，得x＞�2，解不等式②，得x＜3，∵关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，∴�2≥3，解得：a≥6，故答案为：a≥6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式�2≥3是解此题的关键．【变式3-6】（2022春•齐河县期末）关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组�−2(�−1)≤32�+�3≥�有解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．4B．5C．2D．3【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组有解得出k≥﹣1，解方程得出x＝﹣k+3，由方程的解为非负数知﹣k+3≥0，据此得k≤3，从而知﹣1≤k≤3，继而可得答案．【解答】解：解不等式x﹣2（x﹣1）≤3，得：x≥﹣1，解不等式2�+�3≥x，得：x≤k，∵不等式组有解，∴k ≥﹣1，解方程k ﹣2x ＝3（k ﹣2），得：x ＝﹣k +3，∵方程的解为非负数，∴﹣k +3≥0，解得k ≤3，则﹣1≤k ≤3，∴符合条件的整数k 的值的和为﹣1+0+1+2+3＝5，故选：B ．【点评】本题考查的是解一元一次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和一元一次方程的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式3-7】（2022春•大渡口区校级期中）关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，且关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，则符合条件的整数k 的值的和为（）A ．5B ．2C ．4D ．6【分析】先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k 的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可．【解答】解：由方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x ，得x =9−3�2，∵关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，∴9−3�2≥0，得k ≤3，�−2(�−1)≥3①2�+�3≤�②，由不等式①，得：x ≤﹣1，由不等式②，得：x ≥k ，∵关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，∴k ＞﹣1，由上可得，k 的取值范围是﹣1＜k ≤3，∴k 的整数值为0，1，2，3，∴符合条件的整数k 的值的和为：0+1+2+3＝6，故选：D ．【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出k 的取值范围．【变式3-8】（2022秋•北碚区校级期末）若整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，且使关于y 的不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．20B ．21C ．27D ．28【分析】先求出方程的解，根据方程的解为非负数得出7−�2≥0，求出a ≤7，求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组的解集为y ≤﹣2得出﹣2≤2a ，求出a ≥﹣1，得出﹣1≤a ≤7，求出整数a ，再求出和即可．【解答】解：解方程4�+12=4−�−2�2得：x =7−�2，∵整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，∴7−�2≥0，解得：a ≤7，2�−13＜−1+�3①2�−�4≥0②，解不等式①，得y ＜﹣2，解不等式②，得y ≤2a ，∵不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜−2，∴﹣2≤2a ，∴a ≥﹣1，即﹣1≤a ≤7，∵a 为整数，∴a 为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，和为﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7＝27，故选：C ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，能求出a 的取值范围是解此题的关键．【例题4】（2022秋•余姚市校级期末）已知关于x 的不等式3x ﹣a ≥1只有两个负整数解，则a 的取值范围是（）A ．﹣10＜a ＜﹣7B ．﹣10＜a ≤﹣7C ．﹣10≤a ≤﹣7D ．﹣10≤a ＜﹣7【分析】先解不等式得出�≥�+13，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为﹣1和﹣2，据此得出−3＜�+13≤−2，解之可得答案．【解答】解：∵3x ﹣a ≥1，∴�≥�+13，∵不等式只有2个负整数解，∴不等式的负整数解为﹣1和﹣2，则−3＜�+13≤−2，解得：﹣10＜a ≤﹣7．故选：B ．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．【变式4-2】（2023•大庆一模）若关于x 的不等式3x ﹣2m ＜x ﹣m 只有3个正整数解，则m 的取值范围是．【分析】首先解关于x 的不等式，然后根据x 只有3个正整数解，来确定关于m 的不等式组的取值范围，再进行求解即可．【解答】解：由3x ﹣2m ＜x ﹣m 得：�＜�2，关于x不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，∴3≤�2＜4，∴6≤m＜8，故答案为：6≤m＜8．【点评】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．【变式4-3】（2022秋•海曙区期末）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0B．﹣1＜m≤0C．﹣2≤m＜﹣1D．﹣2＜m≤﹣1【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，根据题意得：3＜2﹣m≤4，解得：﹣2≤m＜﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．【变式4-4】（2022•贵阳模拟）若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【分析】解关于x的不等式求得x≤�3，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤�3，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤�3＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式4-5】（2023春•涡阳县期中）关于x5)＜3�−8的解集中仅有﹣1和0两个整数解，且10a＝2m+5，则m的取值范围是（）A．﹣2.5＜m≤2.5B．﹣2.5≤m≤2.5C．0＜m≤2.5D．2＜m≤2.5【分析】先根据不等式组的解集中仅有﹣1和0两个整数解，求出a的取值范围，再根据10a＝2m+5，得m的取值范围即可．【解答】解：解不等式组得�＜��＞−2，∵不等式组解集中仅有﹣1和0两个整数解，∴0＜a≤1，∵10a＝2m+5，∴m＝5a﹣2.5，∵﹣2.5＜5a﹣2.5≤2.5，∴m的范围是﹣2.5＜m≤2.5．故选：A ．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式4-6】（2022秋•巴南区校级期中）若关于x≥2�4(�+1)有解，且最多有3个整数解，且关于y 的方程3y ﹣2=2�−3(8−�)2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m 的和为（）A ．23B ．26C ．29D ．39【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得2≤3�10＜5，再解一元一次方程，根据题意可得2�−203≥0且2�−20310≤m ＜503且2�−203为整数，然后进行计算即可解答．≥2�①4(�+1)②，解不等式①得：x ≤3�10，解不等式②得：x ≥32，∵不等式组有解且至多有3个整数解，∴2≤3�10＜5，∴203≤m ＜503，3y ﹣2=2�−3(8−�)2，解得：y =2�−203，∵方程的解为非负整数，∴2�−203≥0且2�−203为整数，∴m ≥10且2�−203为整数，综上所述：10≤m ＜503且2�−203为整数，∴m ＝10，13，16，∴满足条件的所有整数m 的和，10+13+16＝39，故选：D ．【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式4-7】（2022春•兴文县期中）已知关于x 的不等式组2�+4＞03�−�＜6．（1）当k 为何值时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2？（2）若该不等式组只有4个正整数解，求k 的取值范围．【分析】（1）解不等式组得到其解集，结合已知的解集明确6+�3=2，即可求出k 的值；（2）根据（1）的结论和不等式组只有四个正整数解，可得关于k 的不等式组，再解不等式组即可．【解答】解：（1）不等式组2�+4＞03�−�＜6，解不等式2x +4＞0得：x ＞﹣2，解不等式3x ﹣k ＜6得：�＜6+�3，∴该不等式组的解集为−2＜�＜6+�3．∵﹣2＜x ＜2，∴6+�3=2，∴k ＝0，即k ＝0时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2．（2）由（1）知，不等式组2�+4＞03�−�＜6的解集为−2＜�＜6+�3，∵该不等式组只有4个正整数解，∴x ＝1，2，3，4，∴4＜6+�3≤5，∴6＜k ≤9．【点评】本题考查解一元一次不等式组，属于常考题型，第2问有一定难度，根据原不等式组解集的情况得出关于k 的不等式组是解题的关键．【变式4-8】（2022春•淮北月考）已知关于x 的不等式组�＞−1�≤1−�（1）当k ＝﹣2时，求不等式组的解集；（2）若不等式组的解集是﹣1＜x ≤4，求k 的值；（3）若不等式组有三个整数解，则k 的取值范围是．【分析】（1）将k ＝﹣2代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围；（3）根据不等式组中x ＞﹣1确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围．【解答】解：（1）当k ＝﹣2时，1﹣k ＝1﹣（﹣2）＝3，∴原不等式组解得：x＞−1x≤3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3；（2）当不等式组的解集是﹣1＜x≤4时，1﹣k＝4，解得k＝﹣3；（3）由x＞﹣1，当不等式组有三个整数解时，则不等式组的整数解为0、1、2，又∵x≤2且x≤1﹣k，∴2≤1﹣k＜3，1≤﹣k＜2，解得﹣2＜k≤﹣1．故答案为：﹣2＜k≤﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式4-9】（2022•南京模拟）已知关于x的不等式组5�+1＞3(�−1)12�≤8−32�+2�恰有三个整数解．（1）求a的取值范围．（2）化简|a+3|﹣2|a+2|．【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，再根据不等式组恰好有三个整数解进行求解即可；（2）根据（1）所求可得a+3≥0，a+2＜0，由此化简绝对值即可．【解答】解：（1）5�+1＞3(�−1)①12�≤8−32�+2�②，解不等式①得：x ＞﹣2，解不等式②得：x ≤4+a ，∴不等式组的解集为﹣2＜x ≤4+a ，∵不等式组前有三个整数解，∴1≤4+a ＜2，∴﹣3≤a ＜﹣2；（2）∵﹣3≤a ＜﹣2，∴a +3≥0，a +2＜0，∴|a +3|﹣2|a +2|＝a +3+2（a +2）＝a +3+2a +4＝3a +7．【点评】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，化简绝对值，正确求出不等式组的解集是解题的关键．【例题5】（2022秋•西湖区校级期中）关于x 的方程组�−�=�−2�+2�=2�+1的解满足2x +y＞2，则m 的取值范围是．【分析】两方程相加得到2x +y ＝3m ﹣1，结合2x +y ＞2列出关于m 的不等式，解之可得【解答】解：�−�=�−2①�+2�=2�+1②，①+②得：2x +y ＝3m ﹣1，∵2x+y＞2，∴3m﹣1＞2，∴m＞1，故答案为：m＞1．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．【变5-1】（2022春•长泰县期中）已知方程组2�+�=3+��+2�=1−�的解满足x﹣y＜0，则（）A．m＞﹣1B．m＞1C．m＜﹣1D．m＜1【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=1−�②，①﹣②得：x﹣y＝2m+2，代入x﹣y＜0得：2m+2＜0，解得：m＜﹣1．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变5-2】（2022春•建邺区校级期末）若方程组2�+�=3+��+2�=−1−�的解满足x＜y，则a 的取值范围是（）A．a＜﹣2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＞2【分析】将方程组中两方程相减，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范围．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=−1−�②，①﹣②得：x ﹣y ＝4+2a ，∵x ＜y ，∴x ﹣y ＜0，∴4+2a ＜0，∴a ＜﹣2．故选：A ．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x ﹣y 是解本题的关键．【变5-3】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式4−5�2−1＜6的负整数解是方程2x ﹣3＝ax 的解．求关于x 的一元一次不等式组7(�−�)−3�＞−1115�+2＜�的解集及其所有整数解的和．【分析】先求出不等式4−5�2−1＜6的负整数解，再解方程求出a 的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可得答案．【解答】解：∵4−5�2−1＜6，4﹣5x ﹣2＜12，﹣5x ＜10，x ＞﹣2，∴不等式的负整数解是﹣1，把x ＝﹣1代入2x ﹣3＝ax 得：﹣2﹣3＝﹣a ，解得：a ＝5，把a＝5代入不等式组得7(�−5)−3�＞−11 15�+2＜5，解不等式组得：6＜x＜15．∴所有整数解的和7+8+9+10+11+12+13+14＝84．【点评】本题考查了解一元一次不等式及整数解，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．【变5-4】（2022春•雁江区校级期中）已知a是不等式组5�−1＞3(�+1)12�−1＜7−32�的整数解，x，y满足方程组��−2�=8�+2�=0，求（x﹣y）（x2+xy+y2）的值．【分析】先解不等式组确定a的整数值，再将a值代入关于x、y的二元一次方程组中求解，最后求得（x+y）（x2﹣xy+y2）的值．【解答】解：解不等式①得：a＞2，解不等式②得：a＜4，∴不等式组的解集是：2＜a＜4，∴不等式组的整数解是3，∴方程组为3�−2�=8�+2�=0，解得�=2�=−1，∴（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（﹣1+2）（4+2+1）＝7．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了；也考查了解二元一次方程组以及求代数式的值．【变5-5】（2022春•南关区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组5�+2�=5�7�+4�=4�的解满足不等式组2�+�＜5�−�＞−9，求出整数a的所有值．【分析】解方程组5�+2�=5�7�+4�=4�得出�=2��=−52�，代入不等式组2�+�＜5�−�＞−9得到关于a的不等式组，解之可得．【解答】解：5�+2�=5�①7�+4�=4�②，①×2﹣②，得：3x＝6a，解得：x＝2a，将x＝2a代入①，得：10a+2y＝5a，解得：y=−52a，∴方程组的解为�=2��=−5 2�．将�=2��=−52�代入不等式组组2�+�＜5�−�＞−9，得：4�−52�＜5 2�+52�＞−9，解得：﹣2＜a＜10 3，∴整数a的所有值为﹣1、0、1、2、3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了解二元一次方程组．�+4�=2+�的解满足﹣1＜x+y≤3．【变5-6】（2023春•河南期中）已知方程组2�−�=1+2�（1）求a的取值范围；（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？【分析】（1）两个方程相加可得出x+y＝a+1，根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，解之可得答案；（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．【解答】解：（1）两个方程相加可得3x+3y＝3a+3，则x+y＝a+1，根据题意，得：﹣1＜a+1≤3，解得﹣2＜a≤2，即a的取值范围是﹣2＜a≤2；（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，∴2a﹣1＜0，得a＜0.5，又∵﹣2＜a≤2且a为整数，∴a＝﹣1，0，即a的值是﹣1或0．【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．【变5-7】（2022春•威远县校级期中）已知方程组�+�=−7−��−�=1+3�的解满足x 为非正数，y 为负数．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜4m +2的解集为x ＞2．【分析】（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，根据x 为非正数，y 为负数得�−3≤0①−2�−4＜0②，解之可得答案；（2）由不等式2mx +x ＜2m +1，即（2m +1）x ＜2m +1的解集为x ＞1知2m +1＜0，解之得出m ＜−12，再从﹣2＜m ≤3中找到符合此条件的整数m 的值即可．【解答】解：（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，∵x 为非正数，y 为负数，∴�−3≤0①−2�−4＜0②，解不等式①，得：m ≤3，解不等式②，得：m ＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜m ≤3；（2）∵不等式2mx +x ＜4m +2，即（2m +1）x ＜4m +2的解集为x ＞2，∴2m +1＜0，解得m ＜−12，在﹣2＜m ≤3中符合m ＜−12的整数为﹣1．【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变5-8】（2022春•定远县校级期末）已知不等式组3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②．（1）求此不等式组的解集，并写出它的整数解；（2）若上述整数解满足不等式ax+6≤x﹣2a，化简|a+1|﹣|a﹣1|．【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后再写出它的整数解即可；（2）将（1）中的结果代入不等式ax+6≤x﹣2a，然后求出a的取值范围，再判断a+1和a ﹣1的正负情况，然后将所求式子去掉绝对值，再化简即可．【解答】解：（1）3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②，由①得：�＜11 4，由②得：�＞7 5，∴不等式组的解集为75＜�＜114，∴不等式组的整数解为x＝2；（2）将x＝2代入不等式ax+6≤x﹣2a，得：2a+6≤2﹣2a，解得a≤﹣1，∴a+1≤0，a﹣1≤﹣2，∴|a+1|﹣|a﹣1|＝﹣（a+1）﹣（1﹣a）＝﹣a﹣1﹣1+a＝﹣2．【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变5-9】（2022春•乐安县期中）若关于x�−13�≤4−�恰有2个整数解，且关于x ，y 的方程组��+�=43�−�=0也有整数解，求出所有符合条件的整数m 的值．【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有2个整数解，确定出m 的范围，再由方程组有整数解，确定出符合题意整数m 的值即可．【解答】解：不等式组整理得：�＞−2�≤�+45，∵不等式组恰有2个整数解，∴﹣2＜x ≤�+45，即整数解为﹣1，0，∴0≤�+45＜1，解得：﹣4≤m ＜1，即整数m ＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，方程组��+�=4①3�−�=0②，①+②得：（m +3）x ＝4，解得：x =4�+3，把x =4�+3代入②得：y =12�+3，∵方程组的解为整数，∴m ＝﹣4，﹣2，﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。
七年级下册数学不等式含参问题
七年级下册数学不等式含参问题一、不等式含参问题题目。
1. 已知不等式ax + 3>2x - a的解集是x<2，求a的值。
- 解析：- 首先对不等式ax + 3>2x - a进行移项可得：ax-2x> - a - 3，即(a - 2)x>-(a + 3)。
- 因为已知不等式的解集是x<2，不等号方向发生了改变，所以a-2<0，即a<2。
- 此时不等式的解为x<(-(a + 3))/(a-2)，又因为x<2，所以(-(a + 3))/(a -2)=2。
- 解方程-(a + 3)=2(a - 2)，-a-3 = 2a-4，3a=1，解得a=(1)/(3)。
2. 若关于x的不等式2x - a≤slant0只有三个正整数解，求a的取值范围。
- 解析：- 解不等式2x - a≤slant0，得x≤slant(a)/(2)。
- 因为不等式只有三个正整数解，那么这三个正整数解必然是1，2，3。
- 所以3≤slant(a)/(2)<4（如果(a)/(2)=3，x = 3是解；如果(a)/(2)≥slant4，就会有四个及以上正整数解）。
- 解3≤slant(a)/(2)<4这个不等式组，得到6≤slant a<8。
3. 关于x的不等式mx - 2<3x + 4的解集是x>(6)/(m - 3)，求m的取值范围。
- 解析：- 对不等式mx-2<3x + 4移项得mx-3x<4 + 2，即(m - 3)x<6。
- 因为不等式的解集是x>(6)/(m - 3)，不等号方向改变，所以m-3<0，即m<3。
4. 若不等式(2a - b)x+3a - 4b<0的解集是x>(4)/(9)，求不等式(a - 4b)x+2a - 3b>0的解集。
- 解析：- 因为(2a - b)x+3a - 4b<0的解集是x>(4)/(9)，所以2a - b<0，则x>(4b -3a)/(2a - b)。
七年级下册数学含参不等式
七年级下册数学含参不等式
七年级下册数学含参不等式的相关知识有：
1. 含参不等式的概念：含参不等式是一个带有参数的不等式，参数可以是任意实数。
解含参数不等式就是找到满足不等式条件的参数的取值范围。
2. 含参不等式的解法：对于含参不等式，通常的解法是通过构建参数的取值范围，并进行推导和分析，从而得出参数的取值范围。
3. 含参不等式的图像表示：可以将含参不等式的图像表示在数轴上，帮助我们更直观地理解含参不等式的解集。
4. 含参不等式的应用：含参不等式在实际问题中有着广泛的应用，比如描述某个物理量的变化范围、解决最优化问题等等。
七年级下册数学教材中包含了一些含参不等式的例题和习题，通过学习这些例题和习题，可以帮助学生掌握含参不等式的解法和应用。
含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略
含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作者：刘飞来源：《理科考试研究·高中》2016年第01期含参不等式恒成立问题是高考中的热点问题，此类问题由于题型多样，有利于考查学生的综合解题能力，解答此类问题主要通过转化来解决问题.下面举几种常见的解答方法.一、分离参数此法是把不等式中的参数t与未知数x分离出来，得到t>f（x）或tf（x）max，或t例1已知对于任意x∈（0，1），不等式|loga（2-x）|>|loga（2+x）|-1恒成立，求实数a 的取值范围.解显然a>0且a≠1，当x∈（0，1）时，loga（2+x）>0，loga（2-x）>0，原不等式可化为lg2+x2-x所以2+x2-x=42-x-1∈（1，3），所以lg2+x2-x∈（0，lg3），因为对于任意的x∈（0，1），不等式lg2+x2-x所以|lga|≥lg3，解得a的范围是：a≥3或0二、联系二次函数如果原不等式可化为二次不等式型，可充分联系二次函数的图象及性质解决问题.例2当x∈[-2，2]时，不等式x2+ax+3-a≥0恒成立，求实数a的范围.解构造二次函数f（x）=x2+ax+3-a=（x+a2）2-a24-a+3.当-a2-a2f（-2）=（-2）2+a（-2）+3-a≥0，解集为空集.当-2≤-a2≤2时，原不等式等价于：-2≤-a2≤2，f（-a2）=（-a2）2+a（-a2）+3-a≥0，解得-4≤a≤2.当-a2>2时，原不等式等价于：-a2>2，f（2）=22+2a+3-a≥0.解得-7≤a≤-4.综上，a的取值范围为-7≤a≤2.三、数形结合某些不等式的恒成立问题，可通过构造函数，借助函数的图象来研究.例3当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2解设f（x）=（x-1）2，g（x）=logax.当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2当0当a>1时，画出f（x）及g（x）的图象，由图象可得，当x∈（1，2）时，要使不等式f（x）则需要f（2）≤g（2），即（2-1）2≤loga2，解得a≤2，故1综上，a的取值范围为1四、变更主元将不等式中的参数与变量地位互换，反客为主，实现难题巧解.例4若x∈（0，13]，不等式1+x+（a-a2）x2>0恒成立，求实数a的取值范围.解原不等式可化为关于a的不等式：x2a2-x2a-（x+1）即[ax-（x+1）]（ax+1）因为x∈（0，13]，所以不等式的解为-1x由条件知[-1x]max所以-3。
2012高考热点之参数问题分类讨论教师版
含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
下面介绍几种常用的处理方法。
一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m a xa f x ≥；若()a f x≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m i na f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2af x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21a x x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()m i n g x ，则()()m i n fa g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2xt =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t+-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t+=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t tt t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()()m in 324f t f ∴==234a a ∴-<1322a ∴-<<二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
不等式含参题型及解题方法初一下册
不等式含参题型及解题方法初一下册一、不等式含参题型介绍不等式含参题型是初中数学中的重要知识点，通常在初一下册的数学教学中进行学习和训练。
不等式含参题型是指含有未知数的不等式，通过对不等式进行变形求解未知数的取值范围。
二、不等式含参题型的解题方法1.确定不等式的类型和形式在解不等式含参题型时，首先要确定不等式的形式，包括一元一次不等式、一元二次不等式等等。
根据不等式形式的不同，采取相应的解题方法。
2.移项变形对于一元一次不等式，通常采用移项变形的方法进行求解。
通过在不等式两边进行加减运算，将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，从而得到未知数的取值范围。
3.化简并求解对于一元二次不等式，通常需要先将不等式进行化简，然后再通过代数方法或图像法求解。
化简包括合并同类项、配方等步骤，通过化简后的形式求解未知数的取值范围。
4.运用不等式性质在解不等式含参题型时，还可以运用不等式的性质进行求解。
常用的不等式性质包括加法性质、乘法性质等，通过这些性质对不等式进行变形和运算，从而得到未知数的取值范围。
5.综合运用在实际的不等式含参题型中，通常需要综合运用以上的方法进行求解。
需要根据具体的不等式形式和题目要求，选择合适的解题方法进行求解，从而得到正确的结果。
三、不等式含参题型的典型例题及解析题目一：已知不等式2x + 3 < 7，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行移项变形，得到2x < 4。
然后将不等式两边都除以2，得到x < 2。
所以不等式2x + 3 < 7的解集为x < 2。
题目二：已知不等式x^2 - 3x + 2 > 0，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行化简，得到(x-1)(x-2) > 0。
然后通过代数方法或图像法对不等式进行求解，得到x < 1或x > 2。
所以不等式x^2 - 3x + 2 > 0的解集为x < 1或x > 2。
(完整版)含参不等式题型
含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。
记住：“大小小大有解；大大小小无解。
”注：端点值格外考虑。
(x > -31：已知关于 x 的不等式组〈lx < a。
(1)若此不等式组无解，求 a 的取值范围，并利用数轴说明。
(2)若此不等式组有解，求 a 的取值范围，并利用数轴说明(x > a (y + a 之 12：如果关于 x 的不等式组〈无解，问不等式组〈的解集是怎样的?3、若关于 x 的不等式组〈的解集是 x>2a,则 a 的取值范围是。
4、已知关于 x 的不等式组〈> 1的解集为x > 2 ，则( )A.m > 2B.m < 2C.m = 2D.m 三 2lx < b ly + b 三 15、关于 x 的一元一次不等式组〈 的解集是 x>a,则 a 与 b 的关系为( ) (|x – 3(x – 2) 共 4 (x > a l x > bA.a > bB.a 共 bC.a > b > 0D.a 共 b < 0(x + 8 4x – 1 6、 若关于 x 的不等式组〈 的解集是x ＞ 3 ， 则 m 的取值范围是 x m (x < 8，7、 若关于 x 的不等式组〈 有解，则 m 的取值范围是__ ___。
( x < m + 18、 若关于 x 的不等式组〈 无解 ，则 m 的取值范围是。
二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。
方法： 先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。
1：若关于 x 的不等式组〈(2x – a < 1 的解集为 – 1< x < 1 ，求(a + 1)(b – 1) 的值。
2 ：已知关于 x 的不等式组〈 a + 2x 的解集是1共 x<3 ，求 a 的值。
含参不等式之整数解问题-杰少
含参不等式之整数解问题－－极客杰少－－2020年4月27日说明：本人才疏学浅，能力有限，请大家见谅.技能储备篇一、含参不等式整数解问题的三重境界①一重境·初阶:化简后的不等式两边都是常数，求整数解；如:2.1＜x＜4.5的整数解为:x＝3或4.②二重境·中阶:化简后的不等式一边是常数，一边含参数，给定整数解个数，求参数范围；如:2.1＜x＜2a－1的整数有2个，求a的范围.【特点】结果中一边取等，一边不取等.③三重境·高阶:化简后的不等式两边都含有参数，给定整数解的个数，求参数范围；如:a＜x＜2a的整数解有2个，求a的范围.二、必备技能1.绝对值不等式:①若|x|＞a(a＞0)，则x＞a或x＜－a；②若|x|＜a(a＞0)，则－a＜x＜a.2.一元二次不等式:①若(x－a)(x－b)＞0(a＜b)，则x＞b或x＜a；②若(x－a)(x－b)＜0(a＜b)，则a＜x＜b.3.区间长度:定义：a<x<b、a≤x<b、a<x≤b、a≤x≤b的区间长度均为d=b-a，则d能在数轴上覆盖的整数点的个数为[d]或[d]+1.极道征途篇一、一重境·初阶 1.解不等式组()41710853⎧⎪⎨−−⎪⎩＋≤＋①＜②x x x x ，并写出它的所有非负整数解．二、二重境·中阶 1. (双流期末) 已知关于x 的不等式－a ≤3x －a ≤0的正整数解只有3个，则a 的取值范围是__________.通过此题，可以发现答案与已知条件之间存在以下结论：【含参一侧，正号互补，负号复制；二重境时，答案两侧，一边取等，一边不取等】 做数学选择题的时候最让人兴奋的可能就是题目一出现别人在动笔一阵狂算，而你居然口暴答案！下面我们来一组不动笔，口暴答案的题！秒杀1:(四川宜宾期末)不等式组2⎧⎨⎩＞-≤x x m 有4个不同的整数解，则m 的取值范围( )A ．2≤m ＜3B ．2＜m ≤3C ．m ＜3D ．2＜m秒杀2:(四川眉山中考)已知关于x 的不等式组()232325−⎧⎨−⎩＞≥＋x a x x 仅有三个整数解，则a 的取值范围是( ) A ．12≤a ＜1 B ．12≤a ≤1 C ．12＜a ≤1D ．a ＜1秒杀3:(四川攀枝花期末)关于x 的不等式组()2331324−⎧⎪⎨⎪⎩＜＋＋＞＋x x x x a 有四个整数解，则a 的取值范围是( ) A ．11542−≤−＜a B ．11542−≤≤−a C ．11542−≤−＜a D ．11542−−＜＜a 秒杀4:(四川内江中考)若关于x 的不等式组()1023354413⎧⎪⎨⎪⎩＋＋＞＋＋＞＋＋xx x a x a 恰有三个整数解，则a 的取值范围是( )A ．1≤a 32＜B ．1＜a 32≤C ．1＜a 32＜D ．a ≤1或a 32＞秒杀5:(成都七中自主招生)若不等式组52111−⎧⎨⎩≤≤＜x x a 的正整数解有3个，那么a 必须满足( ) A ．5＜a ＜6B ．5≤a ＜6C ．5＜a ≤6D ．5≤a ≤6秒杀6:(浙江自主招生)关于x 的不等式组15322x x x a+⎧<−⎪−⎨⎪+>⎩的解中恰有4个整数解，则a 的取值范围是( ) A ．1819a B ．1819a < C ．1819a << D ．1819a <<2. (安庆一中自主招生)已知关于x 的不等式组12−⎧⎨⎩＜＋＜x x x m 有两个整数解，则实数m 的取值范围是__________.3. (四川成都金牛区期末) 如果关于x的不等式3020−⎧⎨−⎩≥≤x ax b的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对(a，b)共有个；如果关于x的不等式组⎧⎨⎩＋＞＋＜px d fqx e g(其中p，q为正整数)的整数解仅有c1，c2，…，c n(c1＜c2＜…＜c n)，那么适合这个不等式组的整数d，e组成的有序数对(d，e)共有________个．(请用含p、q的代数式表示)秒杀1:(四川乐山期末)如果关于x的不等式组5040−⎧⎨−⎩＞≤x mx n的整数解仅为2、3，那么适合这个不等式组的整数对(m，n)共有()A．30对B．20对C．25对D．16对秒杀2:(安徽宣城期中)如果不等式组4030−⎧⎨−⎩≥＜x ax b的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对(a，b)共有__________对.4. (四川南充自主招生)若关于x的不等式组321−⎧⎨−⎩≤＜xx m的所有整数解的和是6，则m的取值范围是__________.5. (四川成都锦江区期末)若关于x的不等式组2223⎧−⎪⎨⎪⎩＋≥＜xxx m的所有整数解的和是－9，则m的取值范围是__________.6.(四川成都新都区期中)关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有3个整数解，则a 的取值范围是__________.三、三重境·高阶1. (湖北武汉月考)已知关于x的不等式－4≤3x＋b≤11的整数解之和为－5，那么b的取值范围是__________.2. 已知关于x的不等式组230320⎧⎨−⎩＋＞≥a xa x有三个整数解，则a的取值范围是__________.3. (天津高考题)若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________.4.已知关于x的不等式组122⎧⎨−⎩＜＋＞x ax a的整数解集为3和4，则实数a的取值范围是__________．5. (天津竞赛题)已知关于x的不等式组122⎧⎨−⎩＜＋＞x ax a的解集中的整数恰好有2个，则实数a的取值范围是__________．6. (上海自主招生)已知a为正数，且关于x的不等式1＜ax＜2只有3个整数解，则a的取值范围是__________.7.(浙江温州自主招生)若满足不等式871513＜＜＋nn k的正整数k只有一个，则正整数n的最大值是__________.8.(安徽马鞍山自主招生)若满足不等式871513＜＜＋nn k的正整数k只有一个，则正整数n的最小值是__________.9. 已知正整数a，b满足:41235＜＜ab,则b的最小值是__________.10. 已知m、n为正整数，且仅有2个m使得1191814＜＜＋nn m成立，求n的最大值和最小值.登峰造极篇巅峰挑战1. (四川成都成华区期末)不等式组123122−⎧⎪⎨⎪⎩＜＋≤xx的所有整数解的积是__________.2. (四川成都锦江区期中)若不等式组321−⎧⎨−>⎩≥x ax有4个整数解，则a的取值范围是__________.3. (四川成都锦江区期末)对x 、y 定义一种新运算T ，规定:T (x ，y )2＋＝＋ax by x y (其中a 、b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如:T (0，1)01201⨯⨯⨯＋＝＝＋a b b ，已知T (1，－1)＝－2，T (4，2)＝1，若关于m 的不等式组()()254432−≤⎧⎪⎨−⎪⎩，，＞T m m T m m P 恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是__________.4.已知关于x 的不等式组29020−⎧⎨−⎩＜＞x x m 的所有整数解的和为10，则m 的取值范围是__________.5.如果不等式組9080−⎧⎨−⎩≥＜x a x b 的整数解仅为1、2、3，那么适合不等式组的整数a 、b 的有序数对(a ，b )共有__________个.6.已知关于x 的不等式组2030⎧⎨−⎩＋＞≥ax ax 恰有3个整数解，则a 的取值范围是__________．7.已知关于x 的不等式a ＋1≤x ＋2≤3a 有实数解但没有整数解，则a 的取值范围是__________.8.已知仅有3个整数x 满足不等式()2242320−＋＋＋＜x a x a a ，其中a ＞－1，则a 的取值范围是__________.9.设0＜b ＜a ＋1，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰有3个，则a 的取值范围是__________.10.已知关于x的不等式a＜x＜2a的整数解有3个，则a的取值范围是__________.11.已知m，n为正整数，仅存在2个m，使得561113＜＜＋nm n成立，则n的最小值是__________.参考答案一、一重境·初阶1. 【答案】解集为:722−≤＜x，整数解为:0，1，2，3．二、二重境·中阶1.【答案】9≤a＜12．秒杀1秒杀2秒杀3秒杀4秒杀5秒杀6A A CBC B2. 【答案】1＜m≤23. 【答案】6；pq秒杀1秒杀2B124. 【答案】3＜m≤45. 【答案】－2＜m≤－1或1＜m≤2．6. 【答案】－3≤a＜－2或4＜a≤5三、三重境·高阶1. 【答案】5＜b＜82. 【答案】43 32≤≤a3. 【答案】2549 916≤＜a4. 【答案】3＜a＜45. 【答案】3＜a＜4或4＜a≤5或a＝66. 【答案】13＜a＜25或27≤a＜13或a＝147. 【答案】1128. 【答案】159. 【答案】1110. 【答案】n最小16，最大36巅峰挑战1. 【答案】02. 【答案】43−−＜≤a3. 【答案】－2≤P13−＜4. 【答案】－11 22≤＜m5. 【答案】726. 【答案】1.5＜a＜2或－2＜a＜－1.57. 【答案】12≤a＜238. 【答案】1233＜≤a或a＝19. 【答案】1＜a＜310.【答案】532＜＜a或732＜≤a或a＝411. 【答案】41。
含参不等式
的解，
类型一：已知解的范围，求参数
例2、若方程组
2x y k +1 的解为 x 2y =1
x，y，且x＋y ﹥0 ，求k的取值范围。
类型二 解不等式 例3、关于x的不等式 k 1x 2
练习：关于x的不等式3ax≥12的解集如 图所示，求a的值。
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
类型四：已知不等式的整数解，求参数
1，2，3 整数解是 1，2 ，求m的取值范围。
xa 0 例6、关于x的不等式组 2 2 x 0 的 整数解共有6个，求a的取值范围
x m 0 例5、关于x的不等式 的正
1
类型三 不等式组是否有解
x3 例4、若不等式组 的解集是x>3求 xm m的取值范围。
练1、若不等式组 m的取值范围。
x 3 x 3 有解，求 x m x m
x 3 练2、若不等式组 无解，求 x m m的取值范围。 x
含参的不等式
类型一：已知解的范围，求参数
例1、关于x的不等式－x+a≥2的解为 x≤－1，求a的值。
变式 关于x的方程－x+a=2的解为负 正 数，求a的取值范围。
类型一：已知解的范围，求参数
练习:已知关于x的不等式 求a的值。
1 2x 1 的解，也是不等式 6 2
4 2 x 4 2x a 3பைடு நூலகம்3
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，符合题意，
解法2、数轴几何法
①若m<2,如图： ②若m=2,如图：
-3 -2
-1
m 1 0
2
3
则为 x<m .不符
-1
0
1
m 2
3
则为 x<2.符合。
③若m>2,如图：
-1 0 1 2 3m 4
则为 x<2 .符合
综上m ≥ 2.
2 x 1 3( x 1) 变式：若不等式组 的解集是“x＜-2”， xm
则 a的取值范围:____.
由图可得：-2≤a＜-1.
-3 -2 -1 0 1 2
作业：
2x a 1 1、 已知不等式组 的解集为-1＜x＜1.则 x 2b 3 （a+1）（b-1） 的值为___。
x 8 4x 1 的解集是x＞3.那么m的取值 xm
2、若不等式组
2 x 1 3( x 1) 1、若不等式组 的解集是x＜2，那么m xm
的取值范围是____.
解法1、代数法。：
2 x 1 3( x 1) x2 x m x m
由“小小取小”，它的解集为x＜2。说明m＞2．
x 2 再考虑当m=2时，此时为 x 2 x 2
x a 0 a的取值范围:____. x 1 0 x 1 析： 可知四个整数解为1、0、-1、-2。 x a 0 x a
x 1 0 变式2：若不等式组 只有四个整数解，则
-4
-3
-2Biblioteka -1012
3
借图可得：-3≤a＜-2.
x 1 0 变式3、若不等式组 只有一个负整数解， x a 0
含参不等式，求取值范围
一、教学目标 （1）、能够灵活解决“含参不等式，求取值范 围”类型题； （2）、培养学生的数形结合能力与分类讨论思想。
二、教学重、难点 1、不等式组解集情况在数轴上的体现； 2、借助数轴确定参数的取值范围。
一、复习回顾
5+2 x 3 解不等式组 x 1 x 2 3
①若a<1,如图：
-3 2 -a 0 1 1 2 3
有解，不符合
②若a=1,如图：
-2 -1 0 1 a2 3
无解，符合 无解，符合
-1 0 1 2a 3 4
③若a>1,如图： 综上，a≥1
x 1 0 变式1：若不等式组 有解，则a的取值范围:____. x a 0
答：a<1.
范围是_______？
5 3x 0 3、若不等式组 有实数解，则实数m的取值 xm 0
范围。
那么m的值是____. 析：此题可能有同学回答“m≤-2”。
x2 举反例若m=-3，则不等式组 解为x＜-3. x 3
因此此题应为m=-2.
x 1 0 2、若不等式组 无解，则a的取值范围是____. x a 0 析： x 1 0 x 1 x a 0 x a
① ②
解：解不等式①得，x ≥-1； 解不等式②得，x <2； 将不等式①②的解集在数轴上表示为
-2
-1
0
1
2
因此原不等式组的解集为
-1≤x＜2.
补充问题：
（1）、并写出不等式组的整数解；
（2）、求不等式组的所有整数解之和； （3）、写出不等式组的最小整数解； （4）、其整数解有几个。
,
二、教学过程