高中数学必修4课本知识点

第一章 三角函数

一、基本概念 （1）任意角

①正角：按逆时针方向旋转的角 ②负角：按顺时针方向旋转的角 ③零角：不做任何旋转形成的角 （2）任意角的大小 ①角度制

设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，若0

30=α，则终边 在其上的角的集合为

{}

Z k k ∈⋅+=,36030

00

ββ

终边在x 轴上的角的集合为{}

180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z

与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z

②弧度制

弧度制是角度的另一种表示方法.

概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：rad . 有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：π

180

1=

rad ，则180

1π=

︒

<2>设α是半径是r 的圆，弧长为l 所对应的圆心角. 则r

l

=α ③角度制和弧度制单位换算 π

180

1=

rad ，则180

1π=

︒

常见的角度制和弧度制的转化：

（4）象限角（任意角的归类）

设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限， 则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z

二、三角函数 （1）求三角函数值

设α是任意角，它的终边与圆心在原点的圆交于点()y x P ,，那么 2

2sin y x y +=

α、2

2cos y x x +=

α、x

y

=

αtan ① 特例：若原始单位圆，则y =αsin 、x =αcos 、x

y =αtan ② 终点在y 轴的角的正切值不存在 ③ 1cos sin

22

=+αα、α

α

αcos sin tan =

（★★★★★） ④ 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即

()απαs i n 2s i n

=⋅+k 、()απαcos 2cos =⋅+k 、()απαtan tan =⋅+k 其中z k ∈

⑤ 三角函数在各象限的符号：

（2）三角函数图像与性质 1） 正弦函数图像 <1>图像来源 ①描点法（略）

②平移、拉伸

A 、sin y x =的图象上所有点向左（右）平移

ϕ个单位长度，得到函数

()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长

（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象

B 、sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）

平移

ϕ

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标

不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象

<2>图像性质

函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： A 、.振幅：A ；B 、周期：2π

ω

T =；C 、.频率：12f ω

π

=

=T ；D 、相位：x ωϕ+； E 、初相：ϕ

F 、函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ϕ，1x 、2x 为相邻的取得函数最大值与 函数最小值的自变量的取值，则()max min 12y y A =-，()21122

x x x x T

=-< <3>诱导公式

A 、()()Z k x k x ∈=+sin 2sin π：函数x sin 图像周期性

B 、()x x sin sin -=+π：函数x sin 图像在任意相距π的两个自变量所对应的 函数值互为相反数

C 、()ααsin sin -=-：函数x sin 图像关于原点对称，或者函数x sin 图像在 互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数

D 、()ααπsin sin =-：函数x sin 图像关于2

π=x 对称

2）余弦函数

<1>余弦函数图像来源（略） ①描点法（五点法） ②平移旋转 <2>图像性质

函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ϕ的性质： A 、.振幅：A ；B 、周期：2π

ω

T =；C 、.频率：12f ω

π

=

=

T ；D 、相位：x ωϕ+； E 、初相：ϕ

F 、函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ϕ，1x 、2x 为相邻的取得函数最大值与 函数最小值的自变量的取值，则()max min 12y y A =-，()21122x x x x T

=-<

<3>诱导公式

A 、()()Z k x k x ∈=+cos 2cos π：函数x cos 图像周期性

B 、()x x cos cos -=+π：函数x cos 图像在任意相距π的 两个自变量所对应 的函数值相反

C 、()ααcos cos =-：函数x cos 图像关于y 轴对称，或函数x cos 图像在互为 相反数的两个自变量所对应的函数值相等