6 第6章 近独立粒子的最概然分布

q
q1 qr p1 pr hr
如果将 空间划分为若干个体 积元 Δωl （ l =1 ， 2… ），则在体 积元 Δωl 中粒子可能的状态数为 Δωl/hr 。
16
qi pi h
q1 qr p1 pr hr
四. 自由粒子的量子态数
根据粒子的状态与空间体积元的对应关系 三维自由粒子的一个状态对应于 空间中体积为 h3 的一 个体积元，以V表示容器的体积，在体积V内，在px到px+dpx， py到py+dpy, pz到pz+dpz内，对应空间中体积元Vdpxdpydpz, 三 维自由粒子可能的状态数为： ；
2
一. 经典描述 设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒 子的 r 个广义坐标 q1 、 q2 、 …qr 和相应的 r 个广义动量 p1 、 p2 、 …pr 在该时刻的数值确定，粒子能量 ε 是其广义坐标和 广义动量的函数，即
(q1 ,, qr ; p1 ,, pr )
2V 3 / 2 1/ 2 D d 3 2m d h
(6.2.17 )
D(ε)表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。 以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零， 18 还要考虑自旋的贡献。
§6.3 系统微观运动状态的描述
全同的粒子系统就是由具有完全相同的属性（相同 的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统，如 自由电子组成的自由电子气体是全同的粒子组成的系统。
2. 玻色子(bose)和费米子(fermi)
玻色子：即自旋量子数是整数的。 如光子自旋量子数为1、π介子自旋量子数为0，是玻 色子。 费米子：即自旋量子数为半整数的。 如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2，是费米子。
M z m,
l 0,1,2
m l ,l 1,, l 1, l
l, m 自由度为2，等于量子数个数： 转子能量： M 2 l (l 1) 2
E 2I 2I
(6.2.8)
14
基态能级非简并，激发态简并，简并度为2l+1
4. 自由粒子
根据周期性边界条件
2 px nx L 2 py ny L 2 pz nz L
/ 2, p 0
M2 2I 2I
2 p
(6.1.9)
10
§6.2 粒子运动状态的量子描述
一. 量子描述
1. 微观粒子具有波粒二象性
法国物理学家德布罗意于1924年提出一个假说，认为一 切微观粒子都具有波粒二象性，并把标志波动性质的量ω 和k通过一个普适常数用标志粒子性质的ε和p联系起来。
p
任意交换一对粒子的不 同运动状态得到新的系 统微观状态。 确定系统的微观状态必 须指出各粒子占据的相 格。


q
21
二. 系统微观运动状态的量子描述 1. 微观粒子全同性原理 全同粒子是不可分辨的
2 2
t0
1
t0
1
经典 图6.5
量子
对于不可分辨的全同粒子，确定系统的微观状态归结为确定 22 每一个体量子态上的粒子数。
m1m2 m1 m2
双原子分子转轴过质心且垂直于二原 子核连线 。
m2

m1
质心
根据经典力学，在没有外力作用的情况下，转子的总角动 量 M r p 是一个守恒量，其大小和方向都不随时间改变。 由于 r垂直于 M，质点的运动是在垂直于 M的平面内的运动。 如果选M的方向为z轴，则必在xy平面内运动。这时
approximate non-interaction particles system
§6.1 粒子运动状态的经典描述
粒子是指组成宏观物质系统的基本单元。粒子的运动 状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态 的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态 的描述称为量子描述。
,
p k
德布罗意关系
(6.2.1)
h 6.6261034 J s
普朗克常数称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采 用经典描述或量子描述的判据。
11
2. 测不准关系
继德布罗意之后， 1927 年，海森堡在研究粒子和波动的二象性时， 得到一个重要的结果：微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。即用 Δq表示粒子坐标的不确定值和Δp表示粒子动量不确定值，在量子力学所 容许的最精确的描述，Δq与Δp的乘积满足 测不准关系
近独立粒子体系，是指粒子之间的相互作用很弱， 相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而 可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达 为单个粒子的能量之和：
E i
i 1
N
理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。
19
相依粒子体系又称为非独立粒子体系，体系中粒子 之间的相互作用不能忽略，体系的总能量除了包括各个 粒子的能量之和外，还包括粒子之间的相互作用的位能， 即：
2 , 广义动量： p1 p mr
动能：
1 1 2 ( p 2 p2 ) 2I sin
(6.1.8)
9
双原子分子的力学模型 将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为 m1和m2的 两个质点绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题。 即将公式里的m换成约化质量：
r
y
x
o
r cos cos r sin cos r sin sin x r cos sin r sin sin r sin cos y cos r sin r z
1 2 r 2 sin 2 2 )8 2 r 2 m( r 2
12
二. 几个例子
1. 自旋(spin)
质量: 电荷： e
m
自旋角动量量子数：1/2
自旋磁矩：
自旋角动量：S

S

e m
沿z方向加外磁场B，角动量S在z方向上有两个独立分量
S z ms
自旋磁矩和势能为
ms
1 2
e e z ms B m 2m
描述自旋状态只要一个量子数 ms
E i U
i 1
N
一. 系统微观运动状态的经典描述 系统微观状态由所有粒子的微观运动状态决定。
qiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , pi
1, 2,
, r ; i 1, 2,
,N
2Nr个变量来确定。 全同粒子是可以分辨的（经典中）。如果在含有多个全 同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前 20 后，系统的力学运动状态是不同的。如图6.4
更一般表述为
(6.1.1)
(qi , pi )
(i 1,2,r )
在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能 量函数写成H（哈密顿）函数，即 H (qi , pi ) (i 1,2,, r ) 粒子的运动满足正则运动方程
H i q p i
H i p q i
质量为m 的粒子在弹性力f=-Ax作用下，将在原点附近做圆频率为 的简谐振动，称为线性谐振子
A/ m
自由度：r=1 广义坐标：
qx
μ空间维数：2
广义动量：
能量：
p px mx
(6.1.4)
p2 A 2 p2 1 x m 2 x 2 2m 2 2m 2
相迹：以x,p为直角坐标，可构成二维的μ空间。若给定能量， 代表点的轨道是如下椭圆： p2 x2
17
在体积V内，动量在p到p+dp,θ到θ+dθ,φ到φ+dφ,自由粒子可 能的状态数为： 2
Vp sin dpdd h3

在体积V内，动量绝对值在p到p+dp的范围内，自由粒子可能 的状态数为：
Vp dp d sin d
2 0 0 2
h3
4Vp 2 dp h3
以能量形式表示，即 p / 2m,因此在V内，在 d 的范围内，自由粒子可能的状态数为：
Vdpx dpy dpz h
3
(6.2.13)
一般常用动量空间中的球极坐标p,θ,φ，来描写自由粒子的动量, p,θ,φ与px、py、pz的关系为：
px p sin cos
py p sin sin
用球极坐标，动量空间的体积元为：
pz p cos
p 2 sin dpdd
3
当某一初始时刻t0给定了qi、pi 的初值qi0、pi0 之后，由正则运动 方程可确定在任何相继时刻t， qi、pi 的数值，因而这个力学系统的 运动状态就完全确定了。所以一组qi、pi数值确定这个系统的一个运 动状态，这样所确定的运动状态把每个粒子的运动状态都完全确定 了。这就是微观运动状态。
因为r不变
0 r
1 2 r 2 sin 2 2 ) m(r 2 2
转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴 的空间方位角 , 确定。
自由度：r=2 广义坐标： μ空间维数：4
q1 (0 ~ ), q2 (0 ~ 2 )
p2 p mr2 sin 2
eB e E ms B m 2m
13
2. 线性谐振子
1 n (n ), 2 n 0,1,2 (6.2.4)
能级非简并
What about 3D? Degenerate!
3. 转子 量子理论要求角动量平方和角动量z分量是量子化的
M 2 l (l 1) 2 ,
and
qp h
tE h
ˆ A)2 A A2 ( A
方差(涨落)的概念见附录B.12
（严格的 qp / 2)
这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，微观粒子的运动状态 不是用坐标和动量来描述的，而是用量子态（波函数）或量子数来描述 的。 量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度 数。
μ空间: 用q1、q2、…qr ，p1、p2、…pr 为直角坐标构成一 个2r维空间，这个空间称为μ空间。 μ空间任何一点代表力 学体系一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状 态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一 条轨迹称为相迹。
4
二. 几个例子 1. 自由粒子 自由度：r=3 μ空间维数：6
第六章
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6 §6.7 §6.8
近独立粒子的最概然分布
粒子运动状态的经典描述 粒子运动状态的量子描述 系统微观运动状态的描述 等概率原理 分布和微观状态 玻耳兹曼分布 玻色分布和费米分布 三种分布的关系
1
The most probability distribution of
广义坐标： q1 x, q2 y, q3 z
, p2 py my , p3 pz mz , 广义动量： p1 px mx
动能：

1 2 2 ( px py p z2 ) 2m px (6.1.3)
相迹：以一维为例
Lx
x
5
2. 一维线性谐振子 one dimension linear harmonic oscillator
nx 0,1,2
ny 0,1,2
nz 0,1,2
(6.2.12)
2 2 2 2 2 2 nx n y nz 2 mL nx , ny , nz 3维3个量子数：


基态能级非简并，激发态简并
15
三. 粒子的状态与空间体积元的对应关系
p
h
r
由测不准关系可知，坐标和动 量不能同时取确定的值，所以量 子态不能用 空间的一点来描述， 而应用一个体积元，称为相格。 自由度为 r 的粒子，相格大小为：
2 m 2 m2 1
6
2m
q
2 m 2
经典力学中： 量子力学中：

可取任何正值 量子化，取分立值，由量子数n决定，见图6.2

7
3. 转子 rotator
考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O时所作 的运动。
直角坐标下，能量
z
A

1 2 y 2 z 2 ) m( x 2 用球坐标表示 x r sin cos y r sin sin z r cos