高中数学《圆与圆的位置关系》课件
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高中数学课件-2 2圆与圆的位置关系(共25张PPT)
解法一：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : (x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
r O2
R
r
O
O
1
2
外离 O1O2>R+r
外切 O1O2=R+r
相交 │R-r│<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
R
O
1
Or
2
R
O Or
12
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=│R-r│ 0≤O1O2<│R-r│ O1O2=0
圆与圆的位置关系转化为圆心距d与R+r、|R-r|关系
圆与圆的位置关系的判定方法二（代数法）：
弦长公式为| AB | 2 r2 d2
例题(变式）：已知圆 C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 与圆 C2 : x2 y 2 4x 4 y 2 0
试求两圆公共弦长
解：联立两圆方程得方程组源自x2 y2 2x 8y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4
y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入① x2 2x 3 0 解得x1 1, x2 3
x1 y1
1 ,
1
x2 y2
3 1
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
思考3:
已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 52 C1的圆心(1,4), 半径为r1 5 C2 : (x 2)2 ( y 2)2 ( 10)2 C2的圆心(2, 2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
r O2
R
r
O
O
1
2
外离 O1O2>R+r
外切 O1O2=R+r
相交 │R-r│<O1O2<R+r
O
1
R
Or
2
R
O
1
Or
2
R
O Or
12
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=│R-r│ 0≤O1O2<│R-r│ O1O2=0
圆与圆的位置关系转化为圆心距d与R+r、|R-r|关系
圆与圆的位置关系的判定方法二（代数法）：
弦长公式为| AB | 2 r2 d2
例题(变式）：已知圆 C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 与圆 C2 : x2 y 2 4x 4 y 2 0
试求两圆公共弦长
解：联立两圆方程得方程组源自x2 y2 2x 8y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4
y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入① x2 2x 3 0 解得x1 1, x2 3
x1 y1
1 ,
1
x2 y2
3 1
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
思考3:
已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，
圆与圆的位置关系ppt课件
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x²+y²-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为
,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得
(1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时，两圆外切；当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时，两圆内切。
(2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时，两圆相交.
(3)当|C₁C₂I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时，两圆内含.
12 U
典型例题
例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1).
圆与圆的位置关系ppt课件
解法一：联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二：化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ，则 a＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋ y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB
y
X
问题：两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题：两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r •O2
d （c） 两圆外切: d=R+r（R>r）
O1• O• 2
r R
（d） 两圆内切： d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
圆与圆的位置关系ppt课件
－14y＋k＝0相交、相切、相离？
5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程
6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.
解法一 : 参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y 2 k ( x 1)(k存在时), P ( x, y ),
O
A
x
例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程.
变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝
0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值.
巩固练习
1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（
2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 (也就是两圆方程相减所得)
例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
x
思考
观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？
0个
•
•
C1
外离
C2
1个
2个
•
1个
•
C1
外切
C2
0个
1个
2个
•
1个
•
C1
相交
C2
0个
•
C1
•
C2
内切
••
C1 C2
内含
知识点1、圆与圆的位置关系
5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程
6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.
解法一 : 参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y 2 k ( x 1)(k存在时), P ( x, y ),
O
A
x
例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程.
变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝
0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值.
巩固练习
1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（
2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 (也就是两圆方程相减所得)
例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
x
思考
观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？
0个
•
•
C1
外离
C2
1个
2个
•
1个
•
C1
外切
C2
0个
1个
2个
•
1个
•
C1
相交
C2
0个
•
C1
•
C2
内切
••
C1 C2
内含
知识点1、圆与圆的位置关系
《圆与圆位置关系》课件
《圆与圆位置关系》ppt课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
人教版新课标高中数学圆和圆的位置关系 (共30张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
线是两圆公共弦 AB所在的直线
①-②得
y
x2y10 ③
探究：画出圆C1与圆 C2以及直线方程③ ， 你发现了什么？
A
O
C2 Bx
C1
题型 与两圆公共弦有关的问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-
4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长.
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
《圆与圆的位置关》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
追问1：什么是轨迹？
举例1
—满足一定条件的点，运动变化过程 中组成的几何图形.
平面内动点M到点C的距离等于 10 ，点M的 轨迹是什么图形？
以点C为圆心，10 为半径的圆.
C
知识应用
例2 已知圆O的直径AB=4,动点M与点A的距离是它与点B的距离的 2
倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 追问2：怎么求轨迹？
试判断圆C1 与圆 C2的位置关系. 追问4：公共弦所在直线方程与方程 ③为何一致？ 答案：公共弦可以由圆上两点确定，这两点既满足圆的方程，又满足公共 弦方程，在代数方法上，公共弦方程与两圆方程联立组成的方程组（其几何 意义即两圆交点坐标）同解.因此如果两圆相交，公共弦所在直线方程与方程 (3)一定一致.从代数角度看，满足方程(1)、(2)的方程组的解，必满足方程(3) 我们确定方程组有两个解，即两圆有两个公共点，那么两个点坐标满足方程 (3).两点确定一直线，因此方程(3)表示的就是两圆公共弦所在直线方程.
探究新知
问题2
如何用方程判断圆与圆的位置关系？ 追问：你能比较两种方法的特征吗?
圆与圆公共点个数
外离 0
外切 1
相交 2
内切 1
圆与圆方程联立消 0
元后得到的方程
d 与 R、r
d＞R+r
0
d=R+r
0
|R-r|＜d＜R+r
0
d=|R-r|
内含 0
0
d＜|R-r|
知识应用
例1 已知圆 C1 : x2 y2 2x 8 y 8 0 ,圆 C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0，
倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
圆与圆的位置关系课件PPT
A.d＜6 B. 4＜ d ＜6 C.4≤d≤6 D.1＜d＜5
2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的位置关系为( )
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是 ( )
拓展迁移
如图,建筑工地的地面上有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离为______m.
．
O1
．
O3
．
O2
P
B
实际应用会使学生体会到学习数学的价值，提高学习兴趣。
5.已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
02
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为 .
7.两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点, ⊙O1经过点O2,则 ∠O1AB的度数为 .
8.已知两圆的圆心距为5,⊙O1和⊙O2 的半径分别是方程 的两根,则两圆的关系为 .
思想方法：类比方法与分类讨论
小 结
性质
判定
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
02
T
01
02
01
.
T
.
.
.
.
.
小结
外离
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围： （1）外离 ________ （2）外切 ________ （3）相交 ____________（4）内切 ________ （5）内含___________
外离
外切
相交
内切
内含
2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的位置关系为( )
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是 ( )
拓展迁移
如图,建筑工地的地面上有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离为______m.
．
O1
．
O3
．
O2
P
B
实际应用会使学生体会到学习数学的价值，提高学习兴趣。
5.已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
02
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为 .
7.两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点, ⊙O1经过点O2,则 ∠O1AB的度数为 .
8.已知两圆的圆心距为5,⊙O1和⊙O2 的半径分别是方程 的两根,则两圆的关系为 .
思想方法：类比方法与分类讨论
小 结
性质
判定
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
02
T
01
02
01
.
T
.
.
.
.
.
小结
外离
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围： （1）外离 ________ （2）外切 ________ （3）相交 ____________（4）内切 ________ （5）内含___________
外离
外切
相交
内切
内含
圆与圆的位置关系ppt课件
1.公共弦的定义：两圆相交时两个交点的连线；
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
O2
B
法2：两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得
圆心到直线的距离d
（点到直线距离公式）
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二：两圆方程相减, 得 : x
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
O2
B
法2：两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得
圆心到直线的距离d
（点到直线距离公式）
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二：两圆方程相减, 得 : x
高中数学必修二教学课件圆与圆的位置关系共9张PPT
两圆五种位置关系中 两圆半径与圆心距的数量关系
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
圆与圆的位置关系ppt课件
1个 2个 1个 0个 0个
0
16
圆与圆的 五 种 位置关系 圆心距为d
r1
r2
O1
O2
r1
r2
O1
O2
rr1 1
r2
O1 O2
相交
外离 d>r1 +r2
无公共点 4条公切线
外切 d=r1 +r2 | r1 -r2|<d<r1 +r2
唯一公共点
两个公共点
3条公切线
2条公切线
r1 r2
O1 O2
r1 r2
x 12 y 42 25.
圆把C圆1的C2圆的x 心方2是程2 点化 y（为 2-标12准，1方-04.程），,半得径长r1=5.求标两及圆半心径坐 圆C1的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10（. 配方法）
圆C1与圆C2的连心线长为
圆C1与圆C2的半径之和是 1 22 4 22 3 5,
几何方法 代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？
内含或相离
几何方法直观，但不能求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断 圆的位置关系。
26
小结：
1、研究两圆的位置关系可以有两种方法:
y
（-1,1） A
. （2，2）C2
O
. （-1，-4）
x
B（3,-1）
x+2y-1=0
C1
20
判断C1和C2的位置关系
解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
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第二课时 圆与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆 的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
课前自主学习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
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课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
课堂互动探究
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课堂合作研究
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例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆 C2：x2＋y2＋2x－2my ＋m2－3＝0，则 m 为何值时，
(1)圆 C1 与圆 C2 外切？ (2)圆 C1 与圆 C2 内切？
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答案
(2)如果 C1 与 C2 内切，则有 m＋12＋m＋22＝3－2，即(m＋1)2＋(m ＋2)2＝1，
∴m2＋3m＋2＝0，解得 m＝－2 或 m＝－1. ∴当 m＝－5 或 m＝2 时，圆 C1 与圆 C2 外切； 当 m＝－2 或 m＝－1 时，圆 C1 与圆 C2 内切．
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答案
(3)解法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. ②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝0－4， 或xy22＝＝20.， 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
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[解] 圆 C1，圆 C2 的方程经配方后为 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9； C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其中 C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果 C1 与 C2 外切，则有 m＋12＋m＋22＝3＋2，即(m＋1)2＋(m ＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得 m＝－5 或 m＝2.
提示：有 3 种．
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提示
(2)从两圆具体位置来看，两圆的位置关系应有几种？相交时两圆圆心距 与两圆半径有什么关系？
提示：5 种．相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2.
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提示
2．圆 C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1 与圆 C2：(x－3)2＋y2＝16 的位置关系是 ()
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提示
3．圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：(x－3)2＋y2＝m 相离，则实数 m 的取值范
围是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,4)
D．(0,4]
提示：C 由条件知 C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)，∵两圆相 离，∴|C1C2|>r1＋r2，即 3>1＋ m，∴m<4.又 m>0，∴0<m<4.
设两圆的圆心距为 d，则 d＝|C1C2|＝ 3－02＋0＋42＝5，所以 d＝r1 ＋r2，因此两圆外切.
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随堂巩固训练－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
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解法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， x2＋y2＋2x＋2y－8＝0， 两式相减得 x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
＝__□0_1_____x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2_.
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则两圆 C1，C2 有以下位置关系：
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)从两圆的交点个数上看，两圆有几种位置关系？
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[解] (1)将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆 C1 的圆心为(1，－5)，半径 r1＝5 2； 圆 C2 的圆心为(－1，－1)，半径 r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10，r1－r2＝5 2－ 10， ∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0.
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[变式训练1] 判断圆 C1：x2＋y2－6x＝0 与 C2：x2＋y2＋8y＋12＝0 的 位置关系．
解 两圆方程可变形为 C1：(x－3)2＋y2＝9，C2：x2＋(y＋4)2＝4，由此 可知圆 C1 的圆心坐标为(3,0)，半径 r1＝3，圆 C2 的圆心坐标为(0，－4)，半 径 r2＝2.
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答案
类题通法 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种方法，几何法比代数法简便， 解题时一般用几何法.,用几何法判断两圆位置关系的操作步骤： 1将两圆的方程化为标准方程. 2求两圆的圆心坐标和半径 R，r. 3求两圆的圆心距 d.,4比较 d 与|R－r|，R＋r 的大小关系.
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
提示：D 圆 C1 的圆心为点 C1(－1，－3)，半径 r1＝1，圆 C2 的圆心为 点 C2(3,0)，半径 r2＝4.两圆圆心的距离|C1C2|＝5，所以|C1C2|＝r1＋r2，故圆 C1 与圆 C2 外切，故选 D.
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[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆 的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
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【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
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例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆 C2：x2＋y2＋2x－2my ＋m2－3＝0，则 m 为何值时，
(1)圆 C1 与圆 C2 外切？ (2)圆 C1 与圆 C2 内切？
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(2)如果 C1 与 C2 内切，则有 m＋12＋m＋22＝3－2，即(m＋1)2＋(m ＋2)2＝1，
∴m2＋3m＋2＝0，解得 m＝－2 或 m＝－1. ∴当 m＝－5 或 m＝2 时，圆 C1 与圆 C2 外切； 当 m＝－2 或 m＝－1 时，圆 C1 与圆 C2 内切．
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答案
(3)解法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. ②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝0－4， 或xy22＝＝20.， 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
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[解] 圆 C1，圆 C2 的方程经配方后为 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9； C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其中 C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果 C1 与 C2 外切，则有 m＋12＋m＋22＝3＋2，即(m＋1)2＋(m ＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得 m＝－5 或 m＝2.
提示：有 3 种．
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提示
(2)从两圆具体位置来看，两圆的位置关系应有几种？相交时两圆圆心距 与两圆半径有什么关系？
提示：5 种．相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2.
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提示
2．圆 C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1 与圆 C2：(x－3)2＋y2＝16 的位置关系是 ()
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提示
3．圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：(x－3)2＋y2＝m 相离，则实数 m 的取值范
围是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,4)
D．(0,4]
提示：C 由条件知 C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)，∵两圆相 离，∴|C1C2|>r1＋r2，即 3>1＋ m，∴m<4.又 m>0，∴0<m<4.
设两圆的圆心距为 d，则 d＝|C1C2|＝ 3－02＋0＋42＝5，所以 d＝r1 ＋r2，因此两圆外切.
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随堂巩固训练－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
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答案
解法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， x2＋y2＋2x＋2y－8＝0， 两式相减得 x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
＝__□0_1_____x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2_.
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则两圆 C1，C2 有以下位置关系：
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)从两圆的交点个数上看，两圆有几种位置关系？
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[解] (1)将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆 C1 的圆心为(1，－5)，半径 r1＝5 2； 圆 C2 的圆心为(－1，－1)，半径 r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10，r1－r2＝5 2－ 10， ∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0.
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[变式训练1] 判断圆 C1：x2＋y2－6x＝0 与 C2：x2＋y2＋8y＋12＝0 的 位置关系．
解 两圆方程可变形为 C1：(x－3)2＋y2＝9，C2：x2＋(y＋4)2＝4，由此 可知圆 C1 的圆心坐标为(3,0)，半径 r1＝3，圆 C2 的圆心坐标为(0，－4)，半 径 r2＝2.
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答案
类题通法 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种方法，几何法比代数法简便， 解题时一般用几何法.,用几何法判断两圆位置关系的操作步骤： 1将两圆的方程化为标准方程. 2求两圆的圆心坐标和半径 R，r. 3求两圆的圆心距 d.,4比较 d 与|R－r|，R＋r 的大小关系.
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
提示：D 圆 C1 的圆心为点 C1(－1，－3)，半径 r1＝1，圆 C2 的圆心为 点 C2(3,0)，半径 r2＝4.两圆圆心的距离|C1C2|＝5，所以|C1C2|＝r1＋r2，故圆 C1 与圆 C2 外切，故选 D.
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练