函数单调性的应用

函数单调性的应用

一、比较大小

例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小.

解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，

∴f (－1)＝f (5).

∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，

∴f (2)

评注 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；

(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.

二、解不等式

例2 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)

解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧

－1

t －1<1－2t ，解得0

(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错.

三、求参数的值或取值范围

例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围.

解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1

则Δx＝x2－x1>0.

Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x32－ax2)－(x31－ax1)

＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22－a).

∵1≤x13.

显然不存在常数a，使(x21＋x1x2＋x22－a)恒为负值.

又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，

∴必有一个常数a，使x21＋x1x2＋x22－a恒为正数，

即x21＋x1x2＋x22>a.

当x1，x2∈[1，＋∞)时，x21＋x1x2＋x22>3，

∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，

即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴a的取值范围是(0,3].

四、利用函数单调性求函数的最值

例4 已知函数f(x)＝x2＋2x＋a

x，x∈[1，＋∞).

(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；

(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；

(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值.

解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x ＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在

[2，＋∞)上是增函数，

∴f (x )min ＝f (2)＝6.

(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2.

易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数.

∴f (x )min ＝f (1)＝72.

(3)函数f (x )＝x ＋a x ＋2在(0，a ]上是减函数，

在[a ，＋∞)上是增函数. 当a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，

∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 当a ≤1，即0