中小学优质课件汽车行驶的路程课件.ppt
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人教版小学五年级数学上册第五单元《行程问题》PPT课件
相遇
小云骑的路程
小林骑的路程
4.5km
小林
等量关系式 小云骑的路程＋小林骑的路程＝总路程
10 小云家和小林家相距 4.5 km 。周日早上 9：00 两人 分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
我每分钟骑 200 m。
我每分钟骑 250 m。
小云
注意
单位不统一
统一单位
小林
200 m=0.2km 250 m=0.25km
3.甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，两辆车各行驶
了1小时，两车共行驶了( 110 )千米。两辆车各行驶了x小时， 两车共行驶了(（50+60）x )千米。
探究新知 10 小云家和小林家相距 4.5 km 。周日早上 9：00 两人
分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
我每分钟骑 200 m。
我每分钟骑 250 m。
小云
小林
10 小云家和小林家相距 4.5 km 。周日早上 9：00 两人 分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
我每分钟骑 200 m。
我每分钟骑 250 m。
小云
小林
阅读与理解
从题目中你知道了什么数学信息？ 要解决的问题是什么？
分析与解答
先画线段图分析数量关系。
小云
3x = 180 x = 60 答：乙车每小时行驶60千米。
变式训练
3、两个工程队共同修一条长1500 m的路，两队 同时从两端相向施工，15天修完。甲队每天 修40 m，乙队每天修多少米？
甲队修的长度+乙队修的长度=路的总长度
解：设乙队每天修 x m。 15×40+15×x = 1500 600+15x = 900 x = பைடு நூலகம்0
汽车行使的路程 PPT课件
n
nn
n
…，[- (n- 1)2 +2]? 1
n
n
思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路 程的近似值如何计算？其结果是什么？
(n- 1)n(2n- 1)
sn =-
6n3
+2
思考5：利用极限逼近思想，汽车在 0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？
11 1 5 s= n lim s n= -n lim 6 ( 1 -n ) ( 2 -n )+ 2 = 3 ( k m )
思考6：若汽车在时刻t的速度为v(t)＝ t2＋2，那么汽车在0≤t≤1时段内行驶 的路程为多少？
11 1 7 s= n lim s n= n lim 6 ( 1 -n ) ( 2 -n )+ 2 = 3 ( k m )
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
探究（二）：汽车行驶路程的拓展探究
作业： P45练习：2 .
1.5.2 汽车行驶的路程
问题提出 1.用极限逼近思想求曲边梯形面积
的基本步骤是什么？
分割→近似代替→求和→取极限.
， 2.若已知物体的运动路程s与时间t 的函数关系：s＝f(t)，如何求物体在某 时刻t0的瞬时速度？
v＝f ′(t0)
3.若已知物体运动速度v与时间t 的函数关系：v＝f(t)，那么f ′(t0)的含 义是什么？如何求物体在某时段内经过 的路程呢？
行驶的路程. s＝3
y
6
v = t2
O12 t
小结作业
1.求变速直线运动的物体在某时段内 所走过的路程，可以用“以匀代变”和 “极限逼近”的数学思想求解，其操作 步骤仍然是：分割→近似代替→求和→ 取极限.
高二数学汽车行使的路程课件1数学课件PPT
2.在平面直角坐标系中，若横轴表示 时间，纵轴表示速度，那么求变速直线 运动的物体在某时段内所走过的路程， 可转化为求曲边梯形的面积，二者对立 统一.
作业： P45练习：2 .
98.让明天有梦做，让故事有然后。 99.目标不是都能达到的，但它可以作为瞄准点。 42.天才绝不应鄙视勤奋。——小普林尼 66.当世界给草籽重压时，它总会用自己的方法破土而出。 93.哪有那么多的一夜成名，其实都是百炼成钢。 54.你得先感动自己，才能感动别人。 28.人，穷时简单，富了复杂；落魄时简单，得势了复杂。 9.贫穷是不需要计划的，致富才需要一个周密的计划，并去实践它。 35.如果你能成功地选择劳动，并把自己的全部精神灌注到它里面去，那么幸福本身就会找到你。 32.人生那就是一场永不落幕的演出，我们每一个人也都是演员，只不过，有的人顺从自己，有的人取悦观众。人生，就是一步一步走，一点一点扔，生活本来很不易，不必事事渴求别人的理解 和认同，静静的过自己的生活。心若不动，风又奈何。
f ′(t0)表示加速度
探究（一）：汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动， 经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽 车作变速直线运动，那么在相同时间内 所行驶的路程相等吗？
s＝vt
不相等
思考2：已知汽车作变速直线运动，在时 刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1 时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分 成n个小区间，那么各个小区间对应的时 段分别是什么？
2] 1 n
思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路 程的近似值如何计算？其结果是什么？
sn
(n 1)n(2n 1) 6n3
2
思考5：利用极限逼近思想，汽车在 0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？
作业： P45练习：2 .
98.让明天有梦做，让故事有然后。 99.目标不是都能达到的，但它可以作为瞄准点。 42.天才绝不应鄙视勤奋。——小普林尼 66.当世界给草籽重压时，它总会用自己的方法破土而出。 93.哪有那么多的一夜成名，其实都是百炼成钢。 54.你得先感动自己，才能感动别人。 28.人，穷时简单，富了复杂；落魄时简单，得势了复杂。 9.贫穷是不需要计划的，致富才需要一个周密的计划，并去实践它。 35.如果你能成功地选择劳动，并把自己的全部精神灌注到它里面去，那么幸福本身就会找到你。 32.人生那就是一场永不落幕的演出，我们每一个人也都是演员，只不过，有的人顺从自己，有的人取悦观众。人生，就是一步一步走，一点一点扔，生活本来很不易，不必事事渴求别人的理解 和认同，静静的过自己的生活。心若不动，风又奈何。
f ′(t0)表示加速度
探究（一）：汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动， 经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽 车作变速直线运动，那么在相同时间内 所行驶的路程相等吗？
s＝vt
不相等
思考2：已知汽车作变速直线运动，在时 刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1 时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分 成n个小区间，那么各个小区间对应的时 段分别是什么？
2] 1 n
思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路 程的近似值如何计算？其结果是什么？
sn
(n 1)n(2n 1) 6n3
2
思考5：利用极限逼近思想，汽车在 0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？
1.5.2汽车行驶的路程
1 2n
2
5 3
检查自学效果
结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路
程s与由直线t=0,t=1,v=0和曲线v=-t2+2所围成的曲边梯形
的面积有什么关系?
n
v
sn s'i i 1
2
s
lim
n
sn
汽车路程与曲边梯形 的面积数值上相等
•••
v=－t2+2
O △S1i
t
当堂训练
1.在上面的第二步" 近似代替"中, 如果我们认为在每个小时间间隔 i
曲边梯形的面积有何关系？
思考
汽车以速度v作匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路 程为S=vt.如果汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为 v(t)=-t2+2(单位:km/h),那么它在0≤x≤1(单位:h)这段时间 内行驶的路程s(单位:km)是多少?
检查自学效果
y
y=x2
以直代曲
O
1x
在小区间内可以认为汽车 近似于作匀速直线运动
1 n
,
i n
i
1,2,, n上,汽车近似地以时刻i
处的速度v
i
i
2
2作匀速行驶,
n
n n
从而得到汽车行驶的总路程s的近似值, 用这种方法能求出s的值吗?若能求
出,这个值是5 吗? 3
当堂训练
2.一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻t的 速度为v(t)=－t2＋5(单位:km/h),度计算这辆汽车在 0≤t≤2(单位:h)这段时间内汽车行驶的路程s(单位:km).
汽车行驶的路程
复习回顾
曲边梯形的面积求法 ①分割 ②近似代替 ③求和 ④取极限的方法
《汽车行驶的路程》课件
《汽车行驶的路程》PPT 课件
汽车行驶的路程介绍了汽车作为人们日常生活中必不可少的交通工具之一， 以及行驶过程中涉及到的关键知识点。
汽车的运动学
位移
汽车在行驶中的位置变化
速度
汽车行驶的快慢程度
加速度
汽车速度的变车以恒定速度行驶
3
起步
汽车从静止到开始运动的过程
减速停车
汽车减速并停下来的过程
汽车行驶的安全
安全性
学习汽车安全知识，确保行 驶安全
交通规则
注意力
遵守交通规则，减少事故风险 保持专注，避免驾驶分心
总结
学习汽车行驶的知识可以让我们更好地掌握汽车的使用方法，提升行驶技能， 确保安全出行。
汽车行驶的路程介绍了汽车作为人们日常生活中必不可少的交通工具之一， 以及行驶过程中涉及到的关键知识点。
汽车的运动学
位移
汽车在行驶中的位置变化
速度
汽车行驶的快慢程度
加速度
汽车速度的变车以恒定速度行驶
3
起步
汽车从静止到开始运动的过程
减速停车
汽车减速并停下来的过程
汽车行驶的安全
安全性
学习汽车安全知识，确保行 驶安全
交通规则
注意力
遵守交通规则，减少事故风险 保持专注，避免驾驶分心
总结
学习汽车行驶的知识可以让我们更好地掌握汽车的使用方法，提升行驶技能， 确保安全出行。
【精品课件】汽车行驶的路程课件
y y=x2
以直代曲
O
1x
在小区间内可以认为汽车 近似于作匀速直线运动
以不变代变
(1)分割 在[0,1]间插入n-1个分点：
分成n个小区间：0,1 n,1 n,n 2,nn1,1 记第i个区间为 i n 1,n i i 1 ,2 , ,n 其长 tn i度 i n 1 为 1 n
(3)求和
n
Sn S'i
i1
n
vi1t
i1 n
n i1212
i1 n n n
01 1 21 n1 212 nn n n n
11 222 n 1 22 n3
对应的路程为△Si
n
S Si i 1
(2)近似代替
△t→0
在区间 in1,ni 上
vtvi 1
n
局部小围范内“以匀速代变速”
S i S 'i v i n 1 t i n 1 2 2 1 n i n 1 2 1 n n 2 i 1 ,2 , ,n
探究 结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路
程s与由直线t=0,t=1,v=0和曲线v=-t2+2所围成的曲边梯 形的面积有什么关系?
n
v
sn s'i i 1
2
s lni msn
汽车路程与曲边梯形的 面积数值上相等
v=－t2+2
O △S1i
t
堂上练习
1.在上面的第 "近二似步代"中 替 ,如果我们认为在 时每 间个 间小 i隔 n1, ni
汽车行驶的路程
汽车行驶的路程 课件
0，nb，nb，2nb，…，（n－n1）b，b. 记第 i 个区间为（i－n1）b，inb(i＝1，2，…，n)，其 长度为Δx＝inb－（i－n1）b＝nb.
把在每段0，nb，nb，2nb，…，（n－n1）b，b上所 做的功分别记作：Δw1，Δw2，…，Δwn.
(2)近似代替：取各小区间的左端点函数值作为小矩 形的高，
每个小区间所表示的时间Δt＝int－i－n1t＝nt .
在各个小区间物体下落的距离记为Δs1，Δs2，…，Δ sn.
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近
似代替变速运动的路程． 在小区间i－n 1t，ni t上任取一时刻 ξi(i＝1，2，…，n)，
为计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用时刻 ξi 的速度 （i－1）
(3)求和：在整个区间[a，b]上变力 F 所做的功就近似 地表示为 W≈ (ξi)Δxi.
1．用极限逼近原理求汽车变速行驶的路程，是一种 “以直代曲”的思想，它体现了对立统一、量变与质变 的辩证关系.
2．求汽车行驶的路程(或变力所做的功)的基本思想 是用曲边梯形的面积表示路程(或所做的功)，基本思路 是：把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形→用小矩形近似 替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形 面积之和的极限.
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．某物体沿直线运动，其速度 v(t)＝t，这个物体在
t＝0 到 t＝1 这段时间内所走的路程为( )
1 A.3
1 B.2
3 C.4
D．1
解析：直线 t＝0，t＝1，与曲线 v(t)＝t 以及横轴围成
的三角形面积为12，即为所求路程．
答案：B
3．已知某物体运动的速度为 v＝t3，t∈[0，1]，若把 区间 4 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩 形的高，则物体运动的近似值为( )
把在每段0，nb，nb，2nb，…，（n－n1）b，b上所 做的功分别记作：Δw1，Δw2，…，Δwn.
(2)近似代替：取各小区间的左端点函数值作为小矩 形的高，
每个小区间所表示的时间Δt＝int－i－n1t＝nt .
在各个小区间物体下落的距离记为Δs1，Δs2，…，Δ sn.
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近
似代替变速运动的路程． 在小区间i－n 1t，ni t上任取一时刻 ξi(i＝1，2，…，n)，
为计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用时刻 ξi 的速度 （i－1）
(3)求和：在整个区间[a，b]上变力 F 所做的功就近似 地表示为 W≈ (ξi)Δxi.
1．用极限逼近原理求汽车变速行驶的路程，是一种 “以直代曲”的思想，它体现了对立统一、量变与质变 的辩证关系.
2．求汽车行驶的路程(或变力所做的功)的基本思想 是用曲边梯形的面积表示路程(或所做的功)，基本思路 是：把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形→用小矩形近似 替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形 面积之和的极限.
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．某物体沿直线运动，其速度 v(t)＝t，这个物体在
t＝0 到 t＝1 这段时间内所走的路程为( )
1 A.3
1 B.2
3 C.4
D．1
解析：直线 t＝0，t＝1，与曲线 v(t)＝t 以及横轴围成
的三角形面积为12，即为所求路程．
答案：B
3．已知某物体运动的速度为 v＝t3，t∈[0，1]，若把 区间 4 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩 形的高，则物体运动的近似值为( )
汽车行驶的路程 课件
题型2 定积分在物理中的应用
例2 弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉 长b所做的功．
解析：将物体用常力 F 沿力的方向拖动距离 x，则所 做的功 W＝F·x.
(1)分割： 在区间[0，b]上等间隔地插入 n－1 个点， 将区间 [0，b]等分成 n 个小区间：
t＝1 这段时间内所走的路程为( )
1
1
A.3
B.2
C．1
3 D.2
解析：曲线 v(t)＝t 与直线 t＝0，t＝1，横轴围成的三角形 面积 S＝12，即为这段时间内物体所走的路程．x)＝x2，直线 x＝1 以及 x 轴所围成的平面图 形的面积时，若将区间[0,1]五等分(如图所示)，以小区间中点的纵 坐标为高，则所有小矩形的面积之和为____________．
它们都有
跟踪 训练
1．某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体 在时刻 t 的速度为 v(t)＝7－t2，试计算这个物体在 0≤t≤1 这段时间内运动的路程 s.
解析：将区间[0,1]等分，得到 n 个小区间0，n1，n1，n2，…， i－n 1，ni ，…，n－n 1，1.则每个小区间长度为 Δt＝n1，取右端点的 函数值作为小矩形的高，则物体在每个时间段内运动的路程
例：物体以 v＝20 km/h 的速度做匀速直线运动，经过 3 小时物体经过的路程为________．
答案：60 km
基础 梳理
3．当物体做匀加速直线运动时，速度 v 关于时间 t 的关系
式为 v＝v0＋kt，此时在 0＜t＜a 时段中物体经过的路程为
s_＝__v__0a_＋___k2_a_2＝___v_0＋_．v20＋kaa
曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？ (归纳主要步骤)
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 分割 、 近似代替 、求和、 取极限 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积.
类型二 求变速运动的路程 例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋ 2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？
Hale Waihona Puke 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
知识点一 曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟 悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯 形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.
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求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功
练习
n
解 W Wn Wi ' i 1
n i 1 b n i 1 b
F( b) k b
i 1
n n i1 n n
kb2 n2
n i 1
(i
1)
kb2 n2
(n 1)n 2
kb2 2
(1 1) n
W
lim
n
Wn
kb2 2
所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： kb2 2
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
（4）取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 即 t 趋 向 于 0 时 ，
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
趋向于
S
，
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
v
i
1 n
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
i 1
i 1
n
n
=
kb2 n2
0
1
2
n 1
kb2 n2
n n 1
2
kb2 2
1
1 n
从而得到W 的近似值
W
Wn
kb2 2
1
1 n
（4）取极限
W
lim
n
Wn
lim n
n i 1
Wi
' lim kb2 n 2
1
1 n
kb2 2
所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： kb2 2
解： 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ，则所 作的功为W F x ．
（1）．分割 在区间 0 , b 上等间隔地插入 n 1个点，
将区间 0 ,1 等分成 n 个小区间：
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1
n
b
,
b
记第 i
个区间为
i
1 b
n
,
ib
n
(i
1,
2
,
, n) ，
作业 P50 A组 2
其长度为
x
i
b n
i
1
n
b
b n
把在分段
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1
n
b
,
b
上所作的
功分别记作：
W1 ， W2 ，…， Wn
（2）近似代替
有
条
件
知
：
Wi
'
F
i
1
n
b
x
k
i
1
n
b
b n
(i 1, 2 , , n)
（3）求和
n
n i 1b b
Wn Wi ' k
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
g
v(t )
DSj
t2 2
gD Sn - 1
O
123
j1
t
nnn n
上图中:所有小矩形的面积之和,其极
限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2
所围成的曲边梯形的面积.即路程S.
解：1．分割
在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n 1 n
, 1
记第 i 个区间为
i
1 n
,
i n
(i
1, 2,
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
n
1
,
i n
上，可以认为函数 v t t2
2 的值变化很
小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
上看，即使汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
vi1 n Nhomakorabeai
1
2
n
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
Si
Si
v
i
1 n
t
i
1 2 n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
i
n 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
1 n
2
1 n
2
=
1 n3
12
22
n
12
2
=
1 n3
n
1 n 2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
2
5 3
思考
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 与由直线 t 0,t 1,v 0 和曲线 v t2 2 所围成的曲边梯形的面积有什 么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程
S
lim
n
Sn
在数据上等于由直线
t
0
,
t
1
,v
0
和曲线 v t2 2 所围成的曲边梯形的面积．
那么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代 变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归 为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1] 分成 n 个小 区间，在每个小区间上，由于 v(t) 的变化很小，可以 近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位： km）的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单 位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程）．
结论
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函
数为 v v t ，那么我们也可以采用分割、近似代
替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”
的方法及无限逼近的思想，求出它在 a≤ t ≤b 内
所作的位移 S ．
练习
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量
成正比，即力 F x kx（ k 为常数，x 是伸长量），
引入
利用导数我们解决了“已知物体运 动路程与时间的关系，求物体运动速度” 的问题．
反之，如果已知物体的速度与时间的 关系，如何求其在一定时间内经过的路程 呢？
1.5.2 汽车行驶的路程
问题：汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过 时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果汽车作变速直线
运动，在时刻t 的速度为 v t t2 2（单位：km/h），
练习
n
解 W Wn Wi ' i 1
n i 1 b n i 1 b
F( b) k b
i 1
n n i1 n n
kb2 n2
n i 1
(i
1)
kb2 n2
(n 1)n 2
kb2 2
(1 1) n
W
lim
n
Wn
kb2 2
所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： kb2 2
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
（4）取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 即 t 趋 向 于 0 时 ，
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
趋向于
S
，
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
v
i
1 n
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
i 1
i 1
n
n
=
kb2 n2
0
1
2
n 1
kb2 n2
n n 1
2
kb2 2
1
1 n
从而得到W 的近似值
W
Wn
kb2 2
1
1 n
（4）取极限
W
lim
n
Wn
lim n
n i 1
Wi
' lim kb2 n 2
1
1 n
kb2 2
所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： kb2 2
解： 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ，则所 作的功为W F x ．
（1）．分割 在区间 0 , b 上等间隔地插入 n 1个点，
将区间 0 ,1 等分成 n 个小区间：
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1
n
b
,
b
记第 i
个区间为
i
1 b
n
,
ib
n
(i
1,
2
,
, n) ，
作业 P50 A组 2
其长度为
x
i
b n
i
1
n
b
b n
把在分段
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1
n
b
,
b
上所作的
功分别记作：
W1 ， W2 ，…， Wn
（2）近似代替
有
条
件
知
：
Wi
'
F
i
1
n
b
x
k
i
1
n
b
b n
(i 1, 2 , , n)
（3）求和
n
n i 1b b
Wn Wi ' k
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
g
v(t )
DSj
t2 2
gD Sn - 1
O
123
j1
t
nnn n
上图中:所有小矩形的面积之和,其极
限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2
所围成的曲边梯形的面积.即路程S.
解：1．分割
在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n 1 n
, 1
记第 i 个区间为
i
1 n
,
i n
(i
1, 2,
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
n
1
,
i n
上，可以认为函数 v t t2
2 的值变化很
小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
上看，即使汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
vi1 n Nhomakorabeai
1
2
n
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
Si
Si
v
i
1 n
t
i
1 2 n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
i
n 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
1 n
2
1 n
2
=
1 n3
12
22
n
12
2
=
1 n3
n
1 n 2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
2
5 3
思考
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 与由直线 t 0,t 1,v 0 和曲线 v t2 2 所围成的曲边梯形的面积有什 么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程
S
lim
n
Sn
在数据上等于由直线
t
0
,
t
1
,v
0
和曲线 v t2 2 所围成的曲边梯形的面积．
那么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代 变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归 为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1] 分成 n 个小 区间，在每个小区间上，由于 v(t) 的变化很小，可以 近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位： km）的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单 位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程）．
结论
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函
数为 v v t ，那么我们也可以采用分割、近似代
替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”
的方法及无限逼近的思想，求出它在 a≤ t ≤b 内
所作的位移 S ．
练习
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量
成正比，即力 F x kx（ k 为常数，x 是伸长量），
引入
利用导数我们解决了“已知物体运 动路程与时间的关系，求物体运动速度” 的问题．
反之，如果已知物体的速度与时间的 关系，如何求其在一定时间内经过的路程 呢？
1.5.2 汽车行驶的路程
问题：汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过 时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果汽车作变速直线
运动，在时刻t 的速度为 v t t2 2（单位：km/h），