函数的奇、偶性

函数的奇、偶性 一、奇、偶函数的定义

二、奇、偶函数的图象特征 三、常见函数的奇、偶性：

1、常函数的奇、偶性。()3f x =（偶函数） ()0f x =（即奇又偶）

2、函数()x x f x a a -=+为偶函数，()x x f x a a -=-为奇函数

3、函数221

()(0,1)1

x x x x x x a a a f x a a a a a ----=

=>≠++为奇函数 4、函数1()log 1a x

f x x

-=+为奇函数

5

、函数()log (a f x x =+为奇函数

四、奇、偶函数的判断方法：（先求定义域，结果有：奇函数、偶函数、非奇非偶函数）

1、定义法：5y x = 1t a n ()5y x = 241y x =+ s i n (2)

3y x π

=+ 51y x =+ |1||1|

y x x =-++ 2、求商法：

()

1()f x f x -=±（含有指数时用） 21()21x x f x x +=- s i n s i n 21

()21

x x f x -=+

3、做差法：（当含有对数时）

4、规律：奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯奇=奇 A ⨯奇=奇 A ⨯偶=偶 （奇±偶的奇偶性不确定）

5、图象法：（根据图象可知道函数的奇偶性）

6、取特殊值法：（选择、填空可用，解答题不可用）

7、分段函数：(1),0()(1),0x x x f x x x x +>⎧=⎨-<⎩ 2,1

()0,11

2,1

x x f x x x x +>-⎧⎪

=-≤≤⎨⎪-+>⎩

五、其他性质：

1、如果奇函数的定义域中包括0，则(0)0f =；反之，不成立。

2、定义在R 的函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。 六、复合函数的奇偶性：同奇则奇，一偶则偶。

函数奇、偶性练习题

1、如果奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，求证：()f x 在[,]b a --上也是减函数。

2、已知定义在R 上的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则 (6)f 与(9)f 的大小关系是

3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，当0m >时，()()f x m f x +<，则不等式

2()()0f x f x +<的解集是

4、设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，不等式

()()

0f x f x x

--<的解集是

5、函数3

()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -= 6、设函数()f x 是连续的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数，则满足3

()()4

x f x f x +=+ 的所有x 的和（积）为

7、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则()0f x >的解集为 8、设2

()lg(

)1f x a x

=+-是奇函数，则使()0f x <的解集是 9、定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将方程()0f x =在闭区间[-T ，T]上的根的个数记为n ，则n 为 （奇、偶）数个

10、若函数2

()()x u f x e

--=的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m u +=

11、设()()f x x R ∈为偶函数，且31()()22

f x f x -=+恒成立，[2,3]x ∈时，()f x x =，则

[2,0]x ∈-时，()f x =

12、如果奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，求证：()f x 在[,]b a --上也是减函数。

13、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0,)+∞上是增函数，则

该函数有 个零点，这几个零点的和等于 14、函数1sin cos 1sin cos x x

y x x

+-=

++的奇偶性为 非奇非偶（如果不判断定义域，容易

错填为奇函数）