江苏省南师附中2020年高三考前模拟最后一卷数学试卷含答案
2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题(解析版)
点 N 在线段 OA 的延长线上，设 N (a, 2a), a 1 ，
当 a = 4 时， N (4,8), S = 16 ，
当 a 1，且 a 4 时，直线 MN 方程为
y − 2 = 2a − 2 (x − 4) ，令 y = 0, x = 4 − a − 4 = 3 + 3 ，
a−4
a −1 a −1
an = 3n−1, S3 = 1+ 3 + 9 = 13 .
故答案为:13. 【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.
9．已知 F1, F2
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左，右焦点， A
是C
的左顶点，点 P
在过 A 且斜率为 3 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2 P = 1200 ，则 C 的离心 6
____________. 【答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】12
【解析】求出直线 OA 方程，设点 N 坐标，求出直线 MN 的方程，进而求出直线 MN 与 x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积 S 表示成 N 点坐标的函数，根据函数特征，利
用基本不等式求出最小值. 【详解】
点 A(1, 2) ，直线 OA 方程为 y = 2x ，
所以 sin C 的最大值为 34 . 6
故答案为: 34 . 6
【点睛】
本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于
中档题.
4x −1 , x 1
14．已知函数
f
(x)
=
6
，若方程 f ( f ( x)) = a 恰有 5 个不同的实数根，
江苏省南师附中2020年高三考前模拟最后一卷数学试卷含答案
南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学.观注意事项:1. 本试卷共4页，包括填空题(第1题〜第14题)、解答题(第15题〜第20题)两部分・本 试卷滚分为160分，考试时间为120分钟.2. 答题前•请务必将口己的姓名■学校、班级、学号写在答题卡的相应位置•试题的答案 写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后.交回答题卡.• • •参考公式：1 n 一 一 1 丿样本数据x/2,£的方差疋=丄》(兀yr,其中“一乂兀.n /-I n/=i锥体的体积V^-Sh,其中S 是锥体的底面积，力是锥体的髙.3球体的表面积S=4寸2,其中，•是球体的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 爾卡相轆單上.1. 已知集合 A={x^x\ < L xeZ}, B={—l,0,l,6},则 AQB= A .2. 已知复数z=(l - 2i)(a + i),其中i 是虚数单位.若z 的实部为0,则实数a 的值为 ▲•3・样本数据6, 7, 10, 14, 8, 9的方差是 ▲ •4. 下图是•一个算法流程图.若输入的x 的值为1,则输出S 的值为第4题图5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是▲.6. 己知函数尸sin(2x+^)(--<^<-)的图象关于点(丝，0)对称，则。
的值是▲•2 2 37. 已躲P-ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16兀，且ZAPO = ZBPO = ZCPO = 30° ,则该三棱锥的体积为▲ •8. 若双曲线C ： 4-4 = ,(^>0^ b>®的离心率为3,则抛物线y = ^x 2的焦点到双曲线a 2b 2 4C 的渐近线距离为▲・2020.06/输出S /9. 己知函数/(;c)=sin兀+2卄兀'，若/(a-6) + /(2«2) <0 ,贝I】实数a的取值范围是▲ 一.10. 设等差数列｛a”｝的前n项和为S“，已知4+42+他=47, ©+©=28.若存在正整数使得对任意的"6 N-都有S” <&恒成立，则k的值为▲.11. 已知圆O ： x2 + > 0),直线/：x+2y = 10当x轴，y轴分别交于％, 3两点,若圆。
江苏省南京师大附中2020届高三数学5月最后一卷试题
江苏省南京师大附中2020届高三数学5月最后一卷试题(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x||x|≤1，x∈Z}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝(1＋2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部与虚部相等，则实数a 的值为________．3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________．4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是________．5. 函数f(x)＝x＋log2(1－x)的定义域为________．6. 如图是一个算法流程图，则输出k的值为________．(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点P 为侧棱AA 1上任意一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则实数b 的值为________．9. 已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)－cos(2x ＋φ)(0<φ<π)是定义在R 上的奇函数，则f(－π8)的值为________．10. 如果函数f(x)＝(m －2)x 2＋2(n －8)x ＋1(m ，n ∈R 且m≥2，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，那么mn 的最大值为________．11. 已知椭圆x 22＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，5)，点B 是直线l ：y ＝12x 上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标为________．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n ＝2k －1，k ∈N *，2a n ，n ＝2k ，k ∈N *，则满足2 019≤S m ≤3 000的正整数m 的所有取值为________．14. 已知等边三角形ABC 的边长为2，AM →＝2MB →，点N ，T 分别为线段BC ，CA 上的动点，则AB →·NT →＋BC →·TM →＋CA →·MN →取值的集合为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010. (1) 求cos (α－3π4)的值；(2) 若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为－55，求α＋β的值．16. (本小题满分14分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1) AM∥平面BDE；(2) AM⊥平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设∠BOP为2θ.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交于点M ，N.试判断NF 1MF 1是否为定值，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1·a 2·…·a n ＝2n （n ＋1）2(n∈N *)，数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2(n∈N *)，且b 1＝1，b 2＝2.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1，记T n 是数列{c n }的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的n∈N*均有T m ≥T n .设a为实数，已知函数f(x)＝axe x，g(x)＝x＋ln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)≥2x2＋bx对任意的a≥1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f(x)＋g(x)(x>0，x∈R)有两个相异的零点，求a的取值范围．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1，二阶矩阵B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.(1) 求矩阵B ；(2) 求矩阵B 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)设a 为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos (θ＋π4)＝1相切，求a 的值．C. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，点M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，－1)这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O 出发、行进n 步后落在y 轴上的不同走法的种数为L(n)．(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值； (2) 求L(n)的表达式．2020届高三模拟考试试卷(南师附中)数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －33. 184. 135. [0，1)6. 37. 433 8. －13 9. － 2 10.18 11. 2＋2212. (6，3) 13. 20，21 14. {－6}15. 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝1010. 从而cos α＝1－sin 2α＝31010.(3分)(1) cos(α－3π4)＝cos αcos 3π4＋sin αsin 3π4＝31010×(－22)＋1010×22＝－55.(6分) (2) 因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是－55， 所以cos β＝－55，从而sin β＝1－cos 2β＝255.(8分) 于是sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22.(10分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，(12分)从而α＋β＝3π4.(14分)16. 证明：(1) 设AC∩BD＝O ，连结OE ， ∵四边形ACEF 是矩形，∴ EF ∥AC ，EF ＝AC. ∵ O 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴ O 是AC 的中点．又点M 是EF 的中点，∴ EM ∥AO ，EM ＝AO. ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴ AM ∥OE.(4分)∵ OE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(7分)(2) ∵ 正方形ABCD ，∴ BD ⊥AC.∵平面ABCD∩平面ACEF ＝AC ，平面ABCD⊥平面ACEF ，BD 平面ABCD ，∴ BD ⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM平面ACEF ，∴ BD ⊥AM.(10分)∵正方形ABCD ，AD ＝2，∴ OA ＝1.由(1)可知点M ，O 分别是EF ，AC 的中点，且四边形ACEF 是矩形． ∵ AF ＝1，∴四边形AOMF 是正方形，(11分) ∴ AM ⊥OF.(12分)又AM⊥BD，且OF∩BD＝O ，OF 平面BDF ，BD 平面BDF ，∴ AM ⊥平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，π2)．在△P OC 中，OC ＝10，OP ＝20，∠POC ＝π－2θ，由余弦定理，得 PC 2＝OC 2＋OP 2－2OC·OP cos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ 与半圆C 相切于点Q ，所以CQ⊥PQ，所以PQ 2＝PC 2－CQ 2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ ＝202cos θ.(4分) 所以四边形COPQ 的周长为f(θ)＝CO ＋OP ＋PQ ＋QC ＝40＋202cos θ，即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，π2)．(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ 的面积为S(θ)，则S (θ)＝S △OCP ＋S △QCP ＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，π2)．(10分)所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos 2θ－2sin 2θ)＝100(－4sin 2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，π2)．(12分)令S′(t)＝0，得sin θ＝34－28. 列表：18. 解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分) ②设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2②，(12分)由①式，得3＝m 2－4k 2③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|， ∴NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 19. 解：(1) ① a 1＝21×22＝2；(2分)②当n ≥2时，a n ＝a 1a 2·…·a n －1a n a 1a 2·…·a n －1＝2n （n ＋1）22（n －1）n2＝2n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n∈N *)．(4分) (2) 由S n ＝n （b 1＋b n ）2，得2S n ＝n(b 1＋b n ) ①，所以2S n －1＝(n －1)(b 1＋b n －1)(n≥2) ②.由②－①，得2b n ＝b 1＋nb n －(n －1)b n －1，n ≥2， 即b 1＋(n －2)b n －(n －1)b n －1＝0(n≥2) ③， 所以b 1＋(n －3)b n －(n －2)b n －1＝0(n≥3) ④.由④－③，得(n －2)b n －2(n －2)b n －1＋(n －2)b n －2＝0，n ≥3，(6分) 因为n≥3，所以n －2>0，上式同除以(n －2)，得 b n －2b n －1＋b n －2＝0，n ≥3，即b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，故b n ＝n ，n ∈N *.(8分)(3) 因为c n ＝1a n －1b n ·b n ＋1＝12n －1n （n ＋1）＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]，(10分) 所以c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，c 5<0. 记f(n)＝n （n ＋1）2n， 当n≥5时，f(n ＋1)－f(n)＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n ＝－（n ＋1）（n －2）2n ＋1<0， 所以当n≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n≥5时，f(n)<f(5)<5×625<1.从而，当n≥5时，c n ＝1n （n ＋1）[n （n ＋1）2n－1]<0.(14分) 因此T 1<T 2<T 3<T 4，T 4>T 5>T 6>… 所以对任意的n∈N *，T 4≥T n . 综上，m ＝4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)(2) 由f(x)≥2x 2＋bx ，得axe x ≥2x 2＋bx ，由于x>0，所以ae x≥2x ＋b 对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．由于e x >0，所以ae x ≥e x ，所以e x－2x≥b 对任意的x>0恒成立．(4分)设φ(x)＝e x －2x ，x>0，则φ′(x)＝e x－2，所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以φ(x)min ＝φ(ln 2)＝2－2ln 2， 所以b≤2－2ln 2.(6分)(3) 由h(x)＝axe x＋x ＋ln x ，得h′(x)＝a(x ＋1)e x＋1＋1x ＝（x ＋1）（axe x＋1）x，其中x>0.①若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)②若a<0时，令h′(x)＝0，得xe x＝－1a>0.由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e x－2x≥2－2ln 2>0，所以e x>2x ，所以xe x>2x 2，所以当x>0时，函数xe x的值域为(0，＋∞)．所以存在x 0>0，使得ax 0ex 0＋1＝0，即ax 0ex 0＝－1 ①，且当x<x 0时，h ′(x)>0，所以函数h(x)在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． 因为函数有两个零点x 1，x 2，所以h(x)max ＝h(x 0)＝ax 0ex 0＋x 0＋ln x 0＝－1＋x 0＋ln x 0>0 ②.设φ(x)＝－1＋x ＋ln x ，x>0，则φ′(x)＝1＋1x >0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x 0>1.又由①式，得x 0ex 0＝－1a.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－1a >e ，即a∈(－1e ，0)．(11分)当a∈(－1e，0)时，(i) 由于h(1e )＝ae 1e e ＋(1e －1)<0，所以h(1e)·h(x 0)<0.因为1e <1<x 0，且函数h(x)在(0，x 0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x 0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x 0)上恰有一个零点；(13分) (ii) 由于h(－1a )＝－e －1a －1a ＋ln(－1a )，令t ＝－1a >e ，设F(t)＝－e t＋t ＋ln t ，t>e ，由于t>e 时，ln t<t ，e t>2t ，所以设F(t)<0，即h(－1a )<0.由①式，得当x 0>1时，－1a ＝x 0ex 0>x 0，且h(－1a )·h(x 0)<0，同理可得函数h(x)在(x 0，＋∞)上也恰有一个零点． 综上，a ∈(－1e，0)．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B ＝A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.(5分) (2) 矩阵B 的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f (λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B 的特征值为1或－1.(10分)B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝2ay ，整理得x 2＋(y －a)2＝a 2.(3分) 将直线ρcos (θ＋π4)＝1化成普通方程为x －y －2＝0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|a ＋2|2＝a ，(9分)解得a ＝2＋ 2.(10分)C. 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)22. 解：(1) 因为PA⊥平面ABCD ，且AB ，AD 平面ABCD ， 所以PA⊥AB，PA ⊥AD.因为∠BAD＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为点M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)．所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，(4分)所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分) 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]， 所以λ的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)(2) 设m 为沿x 轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上，所以m ＝0，1，2，……，[n 2](其中[n 2]为不超过n2的最大整数)，总共走n 步，首先任选m 步沿x 轴正方向走，再在剩下的n －m 步中选m 步沿x 轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C m n ·C m n －m ·2n －2m，。
2020年江苏省南京师大附中高考数学押题试卷（6月份）（含答案解析）
2020年江苏省南京师大附中高考数学押题试卷（6月份）一、填空题（本大题共U小题，共70.0分）1.己知集合A={12，9},B={L7},则Ar\B=・2.设i为虚数单位，则+1）=.3.已知祥本数据为7,8,10,12,13,则其方差的值为.4.如图所示流程图中，若输入'的值为-4,则输出。
的值为/输出/5.将一枚质地均匀的股子（各个而上分别标有1, 2. 3.4. 5.6的正方形玩具）先后连续抛掷两次.则这两次向上的点数之积为奇数的概率6.己知f（x）=2si/i（x+9（x€R）,函龄=，（乂+伊）（切IM：）的图象关于直线x=0对称，则@的值为_______7.正四棱^P-ABC D中，P4=4B=2,则该四棱锥外接球的表面枳为.8.抛物线尹=8%的焦点到双曲线丈一《=1渐近线的距离为______.1699.已知函=sinx+3x.如果，（1一。
）+了（1一。
2）vO,则a的取值范围______.10.已知&是等差数列{%}的前，项和，若。
3+%+。
12=9.则S】3=-11.己知圆x2+y2-2%=0的圆心为C,直线x+y-2=0与该圆相交于A,8两点，则AHBC的面枳为.12.已知4ABC是边长为2的等边三角形，点Q、£•分别是边AB、8C的中点，点F为。
£•中点，则AF-BC=------•!x+2-°，若关于x的方程f（x）=kx+2有且只有4个不同的解，\lnx\9x>0则实数A的取值集合为14.己知f（x）=Jl一％，若cosa=:,则f{cos2a）=:当x€乌?）时，尸（sin2x）-r（-sin2x）=.二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)15.已知△/4BC中，(sin/1—sinB)(sinA+sinB)=sinAsinC—sin'C.(1) 求sin8的值:(2) 若△砧C的面枳S mbc=20V5・I1AB+BC=13v2,求AC的值.16.如图，在三如柱ABC-AWi中,AA1=BC f D.E分别是AC,■的中点.R(1) 求证：DE〃平面BCC1B1(2) 若4BJ.DE,求证：平面ABCx1平面BCCiB\・17.己知函(x)=thx-Inx-l(m为常数).(1) 若函数fix)恰有I个零点，求实数的取值范围；(2) 若不等式mx-e^<f(x)+a对正数x恒成立，求实数。
南京师大附中2020届高三年级一模前测试卷 数学
南京师大附中2020届高三年级一模前测试卷数学 2019.12参考公式： 球体的体积334r V π=，其中r 是球体的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．函数()f x =的定义域为 ▲ .2．已知复数z 满足i i z +=-1)2(，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ . 3．某算法的流程图如图所示，则输出的n 的值为 ▲ .4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100],则图中x 的值为 ▲ .5．有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同兴趣小组的概率为 ▲ .6．把一个底面半径为3cm ，高为4cm 的钢制实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．若函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π，则当]2,0[π∈x 时，)(x f 的值域为▲ .9．若锐角α满足1tan 3)4tan(+=+απα，则α2tan 的值为 ▲ .10．已知函数∈++=x x x x f ,22)(R ，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是 ▲ . 11．等差数列{}n a 的前n 项的和记为n S ，已知93,99852741=++=++a a a a a a ，若存在正整数k ，使得任意*N ∈n ，都有k n S S ≤，恒成立，则k 的值为 ▲ .12．在△ABC 中，已知CA =4，CP =3，ACB ∠=32π，点P 是边AB 的中点，则CP CA 的值为 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆4)2()(:22=-+-a y a x M ，圆4)1()2(:22=++-y x N .若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ .14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=+-=.0,41;0,112)(,13)(222x x x x x x g x x x f 若函数a x f g y -=)]([有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量(1,2),(2sin ,cos )a b θθ==-，且a b ⊥，求: （1）b ；（2）)42sin(πθ+．16．（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111-C B A ABC 中，所有棱长都相等，D ，E 分别是1AA 和C B 1的中点，求证：（1）DE ∥平面ABC ； （2）BE ⊥平面CD B 1．17．（本小题满分14分）如图，现有一直径AB =2百米的半圆形广场，AB 所在直线上存在两点C ，D ，满足OC=OD=2百米（O 为AB 的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB 上选取一点E ,各修建一条地下管道EC 和ED 通往C 、D 两点．（1）设θ=∠EOB ，试将管道总长（即线段EC+ED ）表示为变量θ的函数； （2）求管道总长的最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆)0,0(12222>>=-b a by a x 的长轴为24，且点A (-2,1)在椭圆C 上，．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知)1,2('-A ，若点）00,(y x P 为椭圆C 上一动点（不同于',A A ），直线1:2020=+byy a x x l .设直线L 的方程为kx y =，直线L 与直线AP 、l P A 、'分别交于M F E 、、三点，试问：是否存在实数k ，使得EM MF =恒成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列{}{}{}n n n c b a ,,的前n 项和分别为n n n C B A ,,，且对任意的都有n n n C B A +=，已知))(1(2*∈+=N n a nA n n ，数列{}n b 和{}n c 是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数． （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n a 的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{}n a ； （3）若42=a ，且*∈>N ,n C B n n ，求数列{}{}n n c b ,的通项公式．20．（本小满分16分）设函数∈-=a x a x x f ,ln )()(2R . （1）若0)('=e f ； ①求实数a 的值；②若e a 21<<，证明e x =为()x f 的极值点．（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈恒有()24e x f ≤成立．（注：e 为自然对数的底数）南京师大附中2020届高三年级一模前测试卷数学附加题21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a ，b ∈R ，向量-2=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵a A b ⎡=⎢⎣ ⎥⎦⎤12的属于特征值-3的一个特征向量. （1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1-A .B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=ty t x 531541（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为）（4-cos 22πθρ=.求直线l 被曲线C 所截得的弦长.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，已知面积为4的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B ，C ，D ，E 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形面积为ξ（三点共线时，规定0=ξ）.（1）求概率)1(≤ξp ；（2）求的概率分布列，并求其数学期望. （第22题图）23.（本小题满分10分）.已知数列的项n a a a 621,,,⋅⋅⋅的项{}2,1∈i a ，其中i =1，2，3，…，6n ，n ∈*N ，求前6n 项和为n S 6，记n S 6除以3余数为1的数列n a a a 621,,,⋅⋅⋅的个数构成的数列为{}*N ,∈n b n .（1）求1b 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式，并化简.。
江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析
(2）求立柱 和立柱 总造价的最小值．
【答案】（1） 万元；（2) 万元．
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元．
（1）过C作 的垂线分别交 ， 于 ， ，根据题中数据,求出 ，即可得出结果；
（2）过B作 的垂线，垂足为F，过C作 的垂线，垂足为G，设 ，
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知 与 共线反向，令 ,然后由 和 列方程求解即可。
【详解】解：因为平面向量 与 的夹角是 ,
所以设 ，即 ，
因为 ，所以 ,得 ,
因为 ，所以 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算，属于基础题.
10. 已知 是椭圆 的长轴的两个端点， 是椭圆 上的动点,且 的最大值为 ，则椭圆 的离心率为______．
试题解析：（1）在直三棱柱 中， , ，所以 ,因为 ，所以 ,又 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为在平面 中， ，所以四边形 为正方形，因为点 分别为 的中点，所以 ∽ ，所以 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 。
（2）连接 交 于点 ,连接 交 于点 ，连接 ，
在正方形 中利用 及平面几何知识可得 ，在正方形 中利用 ∥ 且 可得 ，所以在 中, ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
12. 在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是．
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理 得: 又 即 ．
又 ∴ ， ，
由余弦定理得 ，
当且仅当 时，等号成立；
所以，
江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期六月押题数学试卷含附加题
江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷(2020．6)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x)2，其中x ＝1nx i .锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球体的表面积S ＝4πr 2，其中r 是球体的半径．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|－1，0，1，6}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1－2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部为0，则实数a 的值为________．3. 样本数据6，7，10，14，8，9的方差是________．4. 右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为________．5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛郑2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是________．6. 已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于点(2π3，0)对称，则φ的值是________．7. 已知PABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16 π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则该三棱锥的体积为________．8. 若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线C 的渐近线距离为________．9. 已知函数f(x)＝sin x ＋2x ＋x 3.若f(a －6)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＋a 2＋a 5＝47，a 3＋a 4＝28.若存在正整数k ，使得对任意的n ∈N *都有S n ≤ S k 恒成立，则k 的值为________．11. 已知圆O ：x 2＋y 2＝m(m ＞0)，直线l ：x ＋2y ＝10与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若圆O 上存在点P 使得△PAB 的面积为252，则实数m 的最小值为________．12. 已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若AB →·GD →＝6，AC →·GF →＝32，则BC →·GE →＝________．13. 已知函数f(x)＝a |x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－x ＋116，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝g(x)有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知cos 2B ＋cos 2Asin 2B ＝4cos 2Acos 2B ，则sin 2Asin 2B4cos 2C ＋2sin 2Asin 2B的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C.(1) 求cos(B ＋π3)的值；(2) 若D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．16.(本小题满分14分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为菱形，且AB ＝BC 1，点E ，F 分别为BB 1，A 1C 1的中点．求证：(1) 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC ； (2) EF ∥平面A 1BC.某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧AB ︵和两条线段AC ，BC构成．已知圆心O 在线段AC 上，现测得圆O 半径为2百米，∠AOB ＝2π3，BC ⊥AC.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC ，上底为MN ，点M 在圆弧AD ︵(点D 在圆弧AB ︵上，且OD ⊥OA)上，点N 在圆弧BD ︵上或线段BC 上．设∠AOM ＝θ.(1) 将梯形ACNM 的面积表示为θ的函数；(2) 当θ为何值时，梯形ACNM 的面积最大？求出最大面积．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q.(1) 求椭圆Γ的标准方程；(2) 当CD ＝852时，求直线l 的方程；(3) 求证：OP →·OQ →为定值．设f(x)＝a(x －1)2－e x ＋ex ，g(x)＝e x (x －1)＋12ax 2－(a ＋e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底数(e ＝2.718 2…)．(1) 当a ＝e 时，求g(x)在(1，g(1))处的切线方程； (2) 设F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间； (3) 当≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，且满足a1＝a，a n＋1－a n＝d（a n＋1＋a n）.(1) 若d＝1，a3＝6，求a的值；(2) 设数列{b n}满足b n＝a n＋1－a n，其前n项的和为S n.①求证：{b n}是等差数列；②若对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得S n＝b m成立．求证：S n≤(2n－1)b1.江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b ，点P(3，－1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3，5)． (1) 求a 和b 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(θ－π6)＝a ，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ.若直线l与曲线C 相切，求实数a 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋2ca ＋b的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校举办的体育节设有投篮项目．该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分．(1) 若甲同学每次投篮命中的概率为25，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分为X ，求随机变量X 的概率分布列；(2) 若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为12，且相互不影响，甲、乙两人之间互不干扰．求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率．23.在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O 出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进1个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O 出发行进到点P(x ，y ，z)(x ，y ，z ∈N )经过最短路径的不同走法的总数为f(x ，y ，z)．(1) 求f(1，1，1)，f(2，2，2)和f(n ，n ，n)(n ∈N *)；(2) 当n ∈N *，试比较f(n ，n ，n)与（4n ＋1）2n4n ·（n ！）2的大小，并说明理由．江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1}2. －23. 2034. 1005. 166. －π37. 9438. 139. ⎣⎡⎦⎤－2，32 10. 1011. 5 12. －92 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2e 14. [613，12)15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C ，所以由正弦定理可知BC 2－2BC ·AB ＝AC 2－AB 2，BC 2＋AB 2－AC 2＝2BC ·AB ，(2分)cos B ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB＝22.因为在△ABC 中，B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(5分)所以cos(B ＋π3)＝cos Bcos π3－sin Bsin π3＝22×12－22×32＝2－64.(7分)(2) 由余弦定理可知，在△ACD 中，cos C ＝DC 2＋AC 2－AD 22AC ·DC ＝32＋72－522×7×3＝114，(9分)因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，sin C ＝1－cos 2C ＝1－（114）2＝5314.(11分)由正弦定理可知，在△ABC 中，AB sin C ＝AC sin B ，所以AB 5314＝722，所以AB ＝562.(14分)16. 证明：(1) 连结AC 1交A 1C 于O 点，连结BO. 在△ABC 1中，因为AB ＝BC 1，所以BO ⊥AC 1.(2分) 因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线A 1C ⊥AC 1.(4分)因为BO ∩A 1C ＝O ，BO ，A 1C ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥平面A 1BC.(6分) 因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC.(7分)(2) 连结FO ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线互相平分，点O 为A 1C 的中点．因为点F 为A 1C 1的中点，所以在△A 1CC 1中，FO ∥CC 1，FO 綊12CC 1，(9分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱BB 1綊CC 1，又点E 为BB 1的中点，所以BE 綊12CC 1.又FO 綊12CC 1，所以BE 綊FO ，四边形BEFO 是平行四边形，(12分)所以EF ∥BO.因为EF ⊄平面A 1BC ，BO ⊂平面A 1BC ，所以EF ∥平面A 1BC.(14分)17. 解：(1) 因为点M 在圆弧AD ︵上，OD ⊥OA ，当点M 分别与点A ，D 重合时，梯形不存在，所以θ∈(0，π2)．过点B 作BB′∥CA ，且BB′交圆弧AD ︵于点B′，连结B′O ，因为OD ⊥OA ，所以BB′⊥OD. 由垂径定理可知OD 垂直平分BB′，因此∠B′OD ＝∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝2π3－π2＝π6，∠AOB ′＝∠AOD －∠B′OD＝π2－π6＝π3，因此，当θ∈(π3，π2)时，点N 在圆弧BD ︵上，当θ∈(0，π3]上时，点N 在线段BC 上．设OD ∩MN ＝H ，① 当θ∈(π3，π2)时，因为MN ∥CA ，所以∠HMO ＝∠AOM ＝θ.又OD ⊥OA ，所以MN ⊥OD.由垂径定理可知HM ＝HN ，在Rt △OHM 中，HM ＝OMcos ∠OMH ＝2cos θ， HO ＝OMsin ∠OMH ＝2sin θ，BC ⊥AC ，所以在Rt △OBC 中，∠COB ＝π－∠AOB ＝π－2π3＝π3，CO ＝OBcos ∠BOC ＝2cosπ3＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(2MH ＋AO ＋OC)＝sin θ(4cos θ＋3)，(4分)② 当θ∈(0，π3]时，因为BC ⊥AC ，OD ⊥OC ，MN ⊥OD ，所以四边形OCNH 为矩形，故NH ＝OC ＝1， 所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(MH ＋NH ＋AO ＋OC)＝2sin θ(cos θ＋2)．(6分)综上，S(θ)＝⎩⎨⎧2sin θ（cos θ＋2），θ∈（0，π3]，sin θ（4cos θ＋3），θ∈（π3，π2）.(7分)(2) ① 当θ∈(π3，π2)时，S(θ)＝sin θ(4cos θ＋3)，S ′(θ)＝cos θ(4cos θ＋3)＋sin θ(－4sin θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4.因为θ∈(π3，π2)时，cos θ∈(0，12)，cos 2θ＜14，所以S′(θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4＜8×14＋3×12－4＝－12＜0，故S(θ)在(π3，π2)上单调递减，S(θ)＜S(π3)＝sin π3·(4cos π3＋3)＝532.(10分)② 当θ∈(0，π3]时，S(θ)＝2sin θ(cos θ＋2)，S ′(θ)＝2cos θ(cos θ＋2)＋2sin θ(－sin θ)＝4cos 2θ＋4cos θ－2.因为θ∈(0，π3]时，cos θ∈[12，1)，cos 2θ≥14，。
南师附中2020届高三年级模拟考试答案
t 1 et
t2 et
，即
3 e
t2
t et
1（*），
原命题等价于存在正数 t 使得方程（*）成立.
……11 分
记
g(t)
t2
t et
1
，则
g ' (t )
(2t
1)
(t 2 et
t
1)
t(t 1) et
，
令 g' (t) 0 ，则 t 1，
因此当 0 t 1 时 g' (t) 0 ， g(t) 单调递增， g(t) g(1) 3 ； e
……4 分 ……6 分
（2）连结 C1A、C1B，因为 ABC A1B1C1 是三棱柱
所以 AA1 // CC1 ， AA1 CC1 ，所以四边形 AA1C1C 是平行四边形
……8 分
1
点 E 为 A1C 的中点，故 A1C AC1 E ，所以点 E 为 AC1 的中点，
又点 D 为 AB 的中点，所以在△ABC1 中，有 DE // BC1
ρ2＝4ρcosθ，圆 C 的直角坐标方程是 x2 y2 4x (x 2)2 y2 4
……2 分 ……4 分
圆心为(2,0)，半径为 2，所以圆心到直线 l 的距离为 d 2 0 4 2 11
所以弦长为 l 2 r 2 d 2 2 4 2 2 2
……10 分
22.解：因为侧面 PAD⊥底面 ABCD，PO⊥AD， PO 平面PAD
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.选修 4-2：矩阵变换
解：设直线 x－y－1＝0 上一点 P(x, y) 在变换 TA 作用下得到点 P'(x', y') ，
x'
江苏省南京师范大学附属中学2020届高三6月押题卷数学试题含附加题
C 的渐近线距离为________．
9. 已知函数 f(x)＝sin x＋2x＋x3.若 f(a－6)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________．
10. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＋a2＋a5＝47，a3＋a4＝28.若存在正整数 k，
使得对任意的 n∈N*都有 Sn≤ Sk 恒成立，则 k 的值为________． 11. 已知圆 O：x2＋y2＝m(m＞0)，直线 l：x＋2y＝10 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点．若
6
江苏省南师附中 2020 届高三模拟考试试卷
︵
︵
︵
点 M 在圆弧 AD(点 D 在圆弧 AB上，且 OD⊥OA)上，点 N 在圆弧 BD上或线段 BC 上．设∠AOM
＝θ.
(1) 将梯形 ACNM 的面积表示为 θ 的函数；
(2) 当 θ 为何值时，梯形 ACNM 的面积最大？求出最大面积．
3
18. (本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 Γ：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)，其右焦点 F 到其右 准线的距离为 1，离心率为 22，A，B 分别为椭圆 Γ 的上、下顶点，过点 F 且不与 x 轴重合 的直线 l 与椭圆 Γ 交于 C，D 两点，与 y 轴交于点 P，直线 AC 与 BD 交于点 Q. (1) 求椭圆 Γ 的标准方程； (2) 当 CD＝85 2时，求直线 l 的方程； (3) 求证：O→P·O→Q为定值．
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20. (本小题满分 16 分) 已知{an}是各项均为正数的无穷数列，且满足 a1＝a，an＋1－an＝ d（an＋1＋an）. (1) 若 d＝1，a3＝6，求 a 的值； (2) 设数列{bn}满足 bn＝an＋1－an，其前 n 项的和为 Sn. ① 求证：{bn}是等差数列；
江苏省2020年高三数学最后一卷试题(含解析)
高三数学最后一卷试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2) 考点：集合的运算 解析：∵02x <<，1x >∴12x <<∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为 ． 答案：3 考点：虚数 解析：i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1， 所以21144a +=，求得a ＝3． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．答案：48考点：频率分布直方图解析：15(0.03750.0125)0.75-⨯+= 212(0.75)6÷⨯＝484．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．答案：7考点：算法初步解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣8π 考点：几何概型解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝88π-＝1﹣8π． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝ ． 答案：2π考点：三角函数与解三角形 解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosCsin A sin B=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π．7．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ． 答案：8考点：等比中项 解析：∵2434(1)a a a =-∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．答案：2 考点：分段函数解析：∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =，解得a ＝2．9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm ．答案：4考点：圆柱、球的体积解析：设此圆柱底面的半径是r cm ． 得：32243863r r r r πππ⨯+=⋅ 解得：r ＝410．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为 ． 答案：13考点：椭圆的离心率解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝12BQ∴AM AFBQ BF=，则12a ca c-=+求得a＝3c，即e＝13．11．设函数()sin(2)3f x xπ=+，若12x x<，且12()()0f x f x+=，则21x x-的取值范围是．答案：(3π，+∞)考点：三角函数的图像与性质解析：不妨设12x x<<，则2121x x x x-=-，由图可知210()33x xππ->--=．12．已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是．答案：[2，6]考点：圆的方程解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥2，即CACP≥22，设点P(5，y)，则21016(4)y+-≥22，解得2≤y≤6．13．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，AB2BC=u u u r u u u r，则PC PA⋅u u u r u u u r 的最小值为．答案：5﹣考点：平面向量数量积解析：取AC 中点M ，由极化恒等式得22219PC PA PM AC PM 44⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣14．已知实数a ，b ，c 满足2121a cb c ee a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是 ． 答案：15考点：函数与导数解析：设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1xe x ≥+； 可知211221a cb c ee a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 即2121a cb c ee a b +--+=++，210a c b c +=--=．解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =r r，0＜θ＜π，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA ⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△P F1F23．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，18)，求直线PQ的斜率．18．（本小题满分16分）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝1()2n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围．附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足MN*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。
2020年南师附中最后一卷数学试卷及答案
BC AC ，所以在 Rt△OBC 中， COB AOB 2 ， 33
CO OB cos BOC 2cos 1，所以梯形 ACNM 的面积 3
S 1 OH MN AC 1 OH 2MH AO OC sin 4cos 3 ，
2
2
②当
0,
3
时，因为
4．下图是一个算法流程图，若输入的 x 的值为 1，则输出 S 的值为________．
5．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，
则出现向上的点数之和为 6 的倍数的概率是________．
6．已知函数
y
sin
2x
2
2
的图象关于点
n N* 都有 Sm Sk 恒成立，则 k 的值为________．
【答案】
1． 1, 0 ,1 ；
6． ； 3
2． 2 ； 7． 9 3 ；
4
3． 20 3
8． 1 ； 3
4．100 ；
9．
2
,3 2；5． 1 ； 610．10 .
11．已知圆 O : x2 y2 mm 0 ，直线 l : x 2 y 0 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，若圆 O 上存在点 P
在△ABC 中，因为 AB BC1 ，所以 BO AC1 ，
因为侧面 AA1C1C 为菱形，所以对角线 A1C AC1 ， 又因为 BO A1C O ， BO, A1C 平面 A1BC ，所以 AC1 平面 A1BC
又因为 AC1 平面 AA1C1C ，所以平面 AA1C1C 平面 A1BC
C
的渐近线距离为
________．
9．已知函数 f x sin x 2x x3 ，若 f a 6 f 2a2 0 ，则实数 a 的取值范围是_______．
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南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学.观注意事项:1. 本试卷共4页，包括填空题(第1题〜第14题)、解答题(第15题〜第20题)两部分・本 试卷滚分为160分，考试时间为120分钟.2. 答题前•请务必将口己的姓名■学校、班级、学号写在答题卡的相应位置•试题的答案 写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后.交回答题卡.• • •参考公式：1 n 一 一 1 丿样本数据x/2,£的方差疋=丄》(兀yr,其中“一乂兀.n /-I n/=i锥体的体积V^-Sh,其中S 是锥体的底面积，力是锥体的髙.3球体的表面积S=4寸2,其中，•是球体的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 爾卡相轆單上.1. 已知集合 A={x^x\ < L xeZ}, B={—l,0,l,6},则 AQB= A .2. 已知复数z=(l - 2i)(a + i),其中i 是虚数单位.若z 的实部为0,则实数a 的值为 ▲•3・样本数据6, 7, 10, 14, 8, 9的方差是 ▲ •4. 下图是•一个算法流程图.若输入的x 的值为1,则输出S 的值为第4题图5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是▲.6. 己知函数尸sin(2x+^)(--<^<-)的图象关于点(丝，0)对称，则。
的值是▲•2 2 37. 已躲P-ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16兀，且ZAPO = ZBPO = ZCPO = 30° ,则该三棱锥的体积为▲ •8. 若双曲线C ： 4-4 = ,(^>0^ b>®的离心率为3,则抛物线y = ^x 2的焦点到双曲线a 2b 2 4C 的渐近线距离为▲・2020.06/输出S /9. 己知函数/(;c)=sin兀+2卄兀'，若/(a-6) + /(2«2) <0 ,贝I】实数a的取值范围是▲ 一.10. 设等差数列｛a”｝的前n项和为S“，已知4+42+他=47, ©+©=28.若存在正整数使得对任意的"6 N-都有S” <&恒成立，则k的值为▲.11. 已知圆O ： x2 + > 0),直线/：x+2y = 10当x轴，y轴分别交于％, 3两点,若圆。
上存在点P使得'PAB的面积为兰,则实数加的最小值为▲•212. 已知点G为zMBC的重心，点D, E, F分别为AB , BC , C4的中点.若ABGD=6, AC GF^-9则貳•更=▲・2In匕x> 0,13. 己知函数/(x) = aj同，g(x) =< _x +丄兀<0关于x的方程/(x) = g(x)有3个不同的r x+i6,2 ‘实数根，则实数a的取值集合为▲•14. 在锐角M.BC中，已知cos'B + cos?/sirP 3=4cos2 zlcos? E ,则----- :占丫血］・ c °4cos C +2sin2Xsin28 的取值范围是▲•二、網答题：本大题共6小题，共计90分.请在弩輕卡指底冬寧内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在A/1BC 中，已知sin2/l-J5sinM sinC = sin2(.4 + C)-sin2c ・(1) 求cos(B + y)的值；(2) 若2)是BC 边上~ 点，AD = 5, AC = 7 , DC =3 ,求的长.A16. (本小题满分14分)在三棱柱ABC — AB.C.中，侧面AA.C.C为菱形，且AB = BC「点E, F分别为BB、, 4G 的中点・求证：(1) 平面AAfi.C丄平ffi A.BC；(2) EF〃平面ABC •第16题图某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一•段圆和两条线段AC, BC%构成.已知圆心0在线段AC k.现测得圆O 半径为2百米，ZAOB = —9 BC 丄AC •现 3 规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC,上 底为问，点M 在圆弧助9 （点D 在圆弧％上，且OD 丄0力）上，点N 在圆弧劝）上 或线段BC 上.设ZAOM = 0 .■ 1）将梯形ACNM 的面积表示为&的函数：12）当0为何值时，梯形ACNM 的而积最大？求出最大面积.18・（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOp 中，已知椭圆卩：手■+召=1 （a">0）,其右焦点F 到 其右准线的距离为1,离心率为#, A. B 分别为椭圆「的上，下顶点，过F 且不与 x 轴遠合的直线/与椭圆「交于C, Z ）两点•与y 轴交于点几直线与交于点0.（1） 求椭圆厂的标准方程；（2） 当CD = |V2时，求直线/的方程; （3） 求证：可宛为定值.高三数学试题第3页（共4页）第18题图设/W = a(x-1)2 -e x + ex , g(x) = e x(x-l) + —ax2 -(a + e>» ae R ,其中 e 为自然对2数的底数(e =2.7182……). '(1) 当a=e时，求g(x)在(l,g⑴)处的切线方程；(2) 设F(x) = /(x) + g(x),求F(x)的单调区间；(3) 当xhl时，/(x)<0恒成立，求a的取值范围.20. (本小题满分16分)已知S”｝是各项均为正数的无穷数列，且满足q=a，如(伽+色)•(1) 若<7=1, a3=6 ,求 a 的值；(2) 设数列｛»｝满足b“=%-a”,其前"项的和为①证明：｛»｝是等差数列；②若对于任意的neK,都存在加wM,使得S”6,”成立•证明S“S(2”-l)b,.南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学附加题2020.06 注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分，考试时间30分钟.3. 答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡上相应位置.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.• • •21. 【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在容暮统想是底域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4一2：矩阵与变换已知矩阵/二2点尸(3厂1)在矩阵/对应的变换作用卞得到点F(3,5).2 b(1) 求a和b的值；(2) 求矩阵力的特征值.B.选修—h坐标系与参数方程在极坐标系中，直线/的方程为psin(&-= s曲线C的方程为严4cos&,若直线/与6曲线C相切，求实数a的值.C-选修4一5：不等式选讲已知宀b, c为正实数.求磐_ +丄+二的最小值. b + c c + a a + o【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解• •答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.%22. (本小题满分10分)某校举办的体育节设有投篮项目.该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分.【1)若甲同学每次投篮命中的概率为？，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分5为X,求随机变量X的概率分布列；(2)若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为二，且相互不影响，甲乙两人之间互不干扰.求甲同学的总分低于乙同学的2总分的概率.23. (本小题满分10分)在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进I个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O出发行进到点(x,y,zwN)经过最短路径的不同走法的总数为(1)求/(1,1,1), /(2,2,2)和(xN・)；(2)当试比较/ (”/")与的大小,并说明理由.4 ・(”!)南京师大附中2020届高三年级模拟考试一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分・不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上)1. ｛一 1, 0,1｝ 2. -23. 04. 1005. i366.丿7. -x/3 8. i 9. [一2, 3]10- 103 4 3211. 59 12-飞13-阮｝】W)二解答题(本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15・(本小题满分14分)解：(1)因为 M+B+C=?t, sin 2^sinJ • sinC=sin 2(J+C)—sin 2C.所以由正弦定理可知，BC 2-蚯BC ・AB=AC 2-AB 2, Ba+ABZ-M^n^BC • AB,・・・2分 cosB=眈2+肋$ _上0 =匝,因为在心肚中，BE(0,龙)，所以B=£.................... 5分24所以 cos(B+5)=cosBcos 匹一sinBsing^ * 半=也亍迴333^2224(2)由余弦定理可知，在△XCD 中，cosC=^M 匕空二竺7?二巧=特・ 2ACDC ________ 2x7x3 14因为 Ce (0,龙)，所以 sinC>0, sinC=Jl-cos2C=\jl 一(护='咅,由正弦定理可知，在△力〃c 中，誥二盏，所以曬=金~，所以皿=字•…M 分、 17 ~216.(本小题满分14分)证明：(1)连结力6交£(?于0点，连结B0,在AJBC 冲，因为AB = BC,,所以B0丄 因为侧面AA.C.C 为菱形，所以对角线4C 丄川?「 又因为Bon 件0, BO.Afi u 平面4BC,所以Ml 丄平面人BC 又因为JC,c 平面曲CC ，所以平面AA.C.C 丄平面4BC (2)连结F0,因为侧面AA.C.C 为菱形，所以对角线互相平分，点0为4C 的中点 又因为点F 为人q 的中点，所以在中，FO//CC,, F0苗CG ..................................................... 9分 在三棱柱4BC - ABG 中，侧棱也CC|,又因为点E 为BB ］的中点,数学参考答案及评分标准2020.062BCMB2x7x311分.............. 4分(2)①当冷)时，S(0) = sin0(4cos0 + 3),S ‘⑹=cos0(4 cos 0 + 3) + sin 0(-4 sin 0) = 8 cos 2 & + 3 cos 0 - 4 ,又因为处点洛）时，cos&w （0,丄），cos 2^<-,$ 2 2 4所以BE’*CC \,又FOU^CC.,所以BE’FO,四边形PEFO 是平行四边形12分所以EF//BO,又因为EF （z 平面&BC , BOu 平面A.BC ,所以肪〃平面&BC .…14分 17.（本小题满分14分）解：（1）因为点M 在圆弧乔上，OD 丄O/,当点M 分别与点/、D 重合时，梯形不存在, 所以6>e （0,~）・过点B 作BBFC4,且交圆弧乔于点0,连结B'O,因为OD 丄％, 所以BB' 1OD ,由垂径定理可知OQ 垂直平分$夕，因此 ZB'°D = ZBOD = /LAOB- Z.AOD = — - — = — , ZA0B' = Z.AOD - Z.B'0D - =—326因此'当（扌冷）时，点N 在圆弧丽上， 当0G （O 申时，点N 在线段8C 上.设0Df ）MN = H ①当处（扌冷）时，因为MV//C4,所以ZHM0 = ^AOM = ODLOA,所以MV 丄0£）,由垂径定理可知 HM = HN ,在 RtAOHM 中，HM = 0McosZ0MH = 2cos8 , HO =OM sin Z.OMH = 2 sin & ,BC 丄 4C ,所以在 RtAOBC 中，ZCOB =兀-Z4OB = n-生=巴,33CO = OBcoszlBOC = 2cos^ = 1,所以梯形 ACNM 的面积 S(0) = YO//(J^N + AC) = LoH(2MH + AO + OC) = sin0(4cos0 + 3), ②当6>e(0,y ］时，因为BC 丄AC, ODJ.OC ,伽丄仞， 所以四边形607/为矩形，故NH=OC = \, 所以梯形彳CNM 的面积 S(0)-^OH + &C) = #OH - (MH + NH + AO + OC)= 2sin0(cos& + 2)综上，S 如2sin0(cos0 + 2),sin&(4cos& + 3), 处（0申I .其中处（0冷）. 处（兰匸）・ 23 274分yi ）>风切yi ）9则必+刃=三7丁，刃刃=宁二，则€1/>2=（加2+1矽］-必）2=（加2+1）［5 + m+2 m +2旷师］=（卄）［（諜I （箱）］=韶因为4莎,所以常= 竽，得加2=3,所以加=±也・所以直线/的方程为：尸±心+1........................ 8分⑶ 在x=my+l 中令x=0得尸- —,AP （0, -丄），而直线加）的方程为：夕一 1 = 心^, m m 直线CB 的方程为：y+l = A±l x ・由此得到：y Q =x \（力必+1）必+（加必+1）+（秒| + 1）72一（加必+1）二2加丿山+丁】+必+加（丁2一/） （加必+1）必+（加必+1）-（切+】）必+（加必+1） 加（必+必）+（必一必）+2所以 S 〔0) = 8COS 2 0 + 3COS &-4V 8・丄+ 3 •丄一4 二一丄 <0,422故 S ⑹在(晁)上单调递减，S(e)< 5(y) = sin. (4coSy + 3) = .②当 &w(0,扌］时，S(&) = 2sin0(cos0 + 2),10分S '(0) = 2 cos 0(cos 0 + 2) + 2 sin 0(-sin &) = 4 cos 2 0 + 4cos 0 - 2 ,又因为处（0白时，cos 处［丄,1）, cos?处丄，32 4所以 SW ） = 4cos2& + 4cos0-2n4・1 + 4・丄_2 = 1>0,42故S （0）在（0,扌］上单调递增,S （0）<S§） = 2siny-（cos 扌 + 2）=学. 综上，当且仅当时，梯形ACNM 的面积取得最大值也平方百米.3218.（本小题满分16分）13分 14分解:⑴由题意可知,「1C c 41'—=■・ a 2 a>0所以Q =込，c=】，所以b 2=a 2—c 2=\9所以椭圆的标准方程为：兰+尸=1................ 4分2（2）因直线/不与兀轴重合，所以斜率不为0.因为｛过只1, 0）,所以设直线/的方程为：x=my+\.由设 C(xi,勺必+召+旺必一齐;兀2必+耳一兀』2十州 得（加2+2）护+2秒一1=0.48以下不变）19・（本小题满分16分）解答：（1）当 a=e 时，g （x ）=e x （x-l ）+^ex 2-2ex, g'（x ）=e （x- O+e^+ex-Ze, g r (l)=e+e —2e=0,戎l)=f_2e=_3e,2 2所以g(x)在(1, g ⑴)处的切线方程为：y+|e=o,即尸一中......(2) F7x)=/r W+g r (x)=2a(x--l)~e r +e+e x +ax-(a+e)=(x-lXe x +3a)① 当aMO 时，廿+才4>0,・・・当x>l 时，F(x)>0；当xVl 时，F(x)V0；:.F(x)单调增区间为(1，+8),单调减区间为(一8, 1). ..........② 当aVO 时，令 F(x)=0 得 x=l, x=ln(-3a)Vl>若 In(—3a)=l 时，即时，则 F(x)N0恒成立，3所以F(x)单调增区间为(一8, +°°)....<2>若 ln(-3a)< 1 时，即一^<a<0 时，F(x)>0 即 x>l 或x<ln(-3a)；3F(x)V0 贝ijln(—3a) <x<l,所以F(x)单调增区间为(一8, In(—3a))和(1, +«>),单调减区间为(ln(-3a), 1)・<3>若 ln(-3a)>l 时，即 aV-空时,F(x)>0 则x>ln(-3a)或xVl,F(x)V° 则 l<x<ln(- 33a),所以F(x)单调增区间为(一8,1)和(In(—3°),+ 8),单调减区间为(l,ln(—3°))・・・・8分 ⑶ /3=2心一1)一 J+e①若穴0时，则厂（x ）W0在xNl 恒成立，所以/⑴在⑴+8）单调递减，所以当Q1时, /（力今（1）=0,所以Q1时，/（x ）W0恒成立• ....... 10分不妨设y\>yif 则/= _加+£_；十丄①'刃=加2十2 —加一② ・・・刃_旳=迤应1③，将①②®代入（*）式:m +22m yQ-—m .—2m _ 2yj2y[rn^ +1 厂__m 2 +2 力加$+ 2 _ _4m-2逅mJ 卅 +1 __ _ ------------- - -- ---------- = ------- _ ; -r-' = ------ m. -2m14分+2所以3?•宛=（0, -丄）・（切，兀）=-生=-凹 =1为定值•.....m m m （另解：从（*）式开始，将韦达定理代入（*）式，得亠-1 . -2m *加叶必）三％_也_必）----- = -------------- =-m R +（E2加・— .2砒必+必+必+加02 一X )_ 加2 + 2 加2 + 2-2m ・-・ 加（刃+%+0厂必）+2 "齐+2+(E16分②若a>0 时，令0(刃=/仅)，贝t(p,(x)=2a-e,<1>当aW£时，则Q1时，0(x)WO,所以卩⑴单调递减，所以0(x00 (1)=0,即厂(x)W0, 所以/'⑴单调递减.所以当x>\时，/(X)今(1)=0恒成立. ....... 12分<2>当□>«时，令0(x)=O,则x=ln(2a)>l,当x>ln(2a)时，0(x)VO, 0(x)单调递减；当xVln(2a)时，0(x)>O,卩(x)单调递増.因为卩⑴在(一〜ln(2a))单调递增H^(l)=0.所以0(ln(2a))>®(l)=O,所以在(1, ln(2a))上卩⑴>0,所以广(x)>0,所以/⑴单调递增，所以当xe(l, ln(2a))时，/(x)>/(l)=0,不满足条件.所以a的取值范围是(-co,勻. ....... 16分20.(本小题满分16分)解答：解答(1)因为a n+x-a…=y[a~¥a^, a3=6所以令n=2,得a3 -a2 =yja3 +a2 ,即6-a2 = ^6 + (a2 < 6)»平方整理得，(a2-10)(a2-3) = 0,因为a2 <6,所以a2 =3；同理令n=l,得a2-a｝= yja2 >即3-坷=j3 + q(q v3),平方整理得，(aj-1)(0,-7) = 0,因为a, <3,所以q=l 因此 a = l ......................................................... 4 分(2)①由题意，得MAO当d = 0时，陽+]-爲=0,所以｛®｝是公差为0的等差数列....... 5分当"0时，因为也一乞=“(％+%)所以(a”+i -a n)2=J(a n+I +%)①从而有(a n -a n_y = d(a n+ %)②GMD得,(。