典型例题探究(随机事件的概率)
【高考数学】概率典型例题整合
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm 。
理解这里m 、ｎ的意义。
如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：38）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①215；②1021；③44125；④1021） 3、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）。
计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。
如（1）有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个黑球，从A 、B 袋中各取两个球交换后，求A 袋中仍装有4个白球的概率。
（答：821）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P （n ），且P （n ）与时刻t 无关，统计得到 ()()10,1520,6nP n P n n ⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P （0）的值是 （答：3263） 4、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）。
计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；5、独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B) 。
31随机事件的概率
一:事件的关系与运算
(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生， 那么事件B一定发生，则称事件B包含事 件A，（或称事件A包含于事件B）
记 为 :B A 或 A B
B
A
注: 1） 不 可 能 事 件 记 作 2 ） 任 何 事 件 都 包 含 不 可 能 事 件
一、必然事件不可能事件随机事件的定义
①②它是必然会发生的事情,我们称为必然事件
在条件s下，一定会发生的事情，叫做相对于
条件s下的必然事件(certain event)
确
定
③④它们是一定不会发生的事情,我们称为不可能事件 事 件
在条件s下，一定不会发生的事情，叫做相对于条 件s下的不可能事件(impossible event)
▪ 练习：下列哪些是随机事件，哪些 是必然事件，哪些是不可能事件？
是必然事件
（2）在标准大气压下且温度低于 0°时，冰融化。
是不可能事件
是随机事件
是随机事件
是必然事件
(7) 从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签 中任取一张
得到4号签
是随机事件
是随机事件
是不可能事件
(10) 在常温下，焊锡熔
Ex3.天气预报说昨天的降水概率为 90％， 结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预 报不准确？
不能，概率为90％的事件发生的可能性很大， 但“明天下雨”是随机事件，也有可能不发生.
5.试验与发现
孟德尔把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获 的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一年收获的 黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有 绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年 收获的豌豆都是圆形的.第二年，他把第一年收 获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形 豌豆，又有皱皮豌豆.类似地，他把长茎的豌豆 与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎 的豌豆. 第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种 下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试 验的具体数据如下：
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
概率,知识点,典型例题,详解
第三章概率3.1随机事件的概率3.1.1基本概念：（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
3.1.2 概率的基本性质3.1.2.1基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)3.1.2.2概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；【典型例题】已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[基础巩固]1．下列叙述错误的是（ ）A ． 频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B ． 若随机事件A 发生的概率为()A p ，则()10≤≤A pC ． 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同2．从装有５只红球、５只白球的袋中任意取出３只球，有事件：① “取出２只红球和１只白球”与“取出１只红球和２只白球”；② “取出２只红球和１只白球”与“取出３只红球”；③ “取出３只红球”与“取出３只球中至少有１只白球”；④ “取出３只红球”与“取出３只白球”．其中是对立事件的有（ ）A ．①、④B ．②、③C ．③、④D ．③3．下列说法中正确的是（ ）A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件[综合提高]4．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶5．在一对事件A 、B 中，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，那么事件A 和B （ ）A ．是互斥事件，但不是对立事件B ．是对立事件，但不是互斥事件C ．是互斥事件，也是对立事件D ．既不是是互斥事件，也不是对立事件6．从5名礼仪小姐、4名翻译中任意选5人参加一次经贸洽谈活动，其中礼仪小姐、翻译均不少于2人的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若()1P A B +=，则事件A 与B 的关系是（ ）A ．A 、B 是互斥事件 B ．A 、B 是对立事件C ．A 、B 不是互斥事件D ．以上都不对8．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是37和14. 试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率为_____________ ．9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率_____________ ．10．一个口袋装有3个红球和n 个绿球，从中任意取出3个球中至少有1个是绿球的概率是，则n=______________ ．[能力提高]11．圆周上有2n 个等分点（n ＞１），以其中任三点为顶点作三角形，其中可构成直角三角形的概率为 ____________ ．12．某高校有5名学生报名参加义务献血活动，这5人中血型为A 型、O 型的学生各2名，血型为B 型的学生1 名，已知这5名学生中每人符合献血条件的概率均是23.(1)若从这5名学生中选出2名学生，求 所选2人的血型为O 型或A 型的概率；(2)求这5名学生中至少有2名学生符合献血条件的概率．(注：答案均用分数表示).13．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率； (3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.14．在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.15．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果 选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名?3.2古典概率3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
3.1.1随机事件的概率
析
提示：不能断定.因为周一下雨是随机事件,不是必然事件.
3.必然事件、不可能事件、随机事件概念中的“在条件S下” 能否去掉?
知
能 巩 固 提 升
提示：不能，事件的结果是相对于“一定条件”而言的，随着
条件的改变，其结果也会不同.
目 录 典 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学 型 例 题 精
析
（D）在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的
【解析】选C.A项错误，虽然随机事件的结果事先不确定，但 不等于没有结果；B项错误，随机事件的频率与概率有时会相 等；D项错误，试验已结束，频率便可算出，不会再变化.
知
能 巩 固 提 升
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二、填空题（每题5分，共10分）
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析
知
能 巩 固 提 升
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析
知
能 巩 固 提 升
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析
知
能 巩 固 提 升
2.某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，
典
若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(
（A）概率为 3 5 （C）频率为6 （B）频率为 3 5
)
型 例 题 精
（D）概率接近0.6
析
【解析】选B.在相同条件下，做n次实验，事件A出现的次数为
m m,则事件A出现的频率为 . n
知
能 巩 固 提 升
高中数学《随机事件的概率》典型例题
高中数学《随机事件的概率》典型例题例1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件。
（1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；（2）一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；（3）如果，那么；（4）某人购买福利彩票中奖。
答案：（1）（4）是随机事件，（2）是不可能事件，（3）是必然事件例2、在下列试验中，哪些试验给出的随机事件是等可能的？（1）投掷一枚均匀的硬币，“出现正面”与“出现反面”；（2）一个盘子中有三个大小完全相同的球，其中红球、黄球、黑球各一个，从中任取一球，“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”；（3）一个盒子中有四个大小完全相同的球，其中红球、黄球各一个，黑球两个，从中任取一球，“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”。
解：（1）中给出的随机事件“出现正面”与“出现反面”是等可能的。
（2）中给出的三个随机事件：“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”，由于球的大小、个数相同，因此这三个事件是等可能的。
（3）中给出的随机事件：“取出的是红球”“取出的是黄球”“取出的是黑球”，由于三种球的数量不同，因此这三个事件不是等可能的。
例3、有5副不同的手套，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再取一只，求下列事件的概率：（1）A={甲正好取到2只配对手套}；（2）B={乙正好取到2只配对手套}。
解：（1）A含基本事件数：① 先取一双，方法数为；② 将取到的一双放到第一、三位，分法数为2；③ 在余下的8只手套中，任取2只放到二、四位，分法数为，由分步计数原理，A含基本事件数为，故；（2）B含基本事件数：① 先取一双，放到二、四位，分法数为；② 在余下的8只手套中任取2只放到一、三位，分法数为。
由分步计数原理，B含基本事件数为，故。
例4、从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率。
（1）三个数字完全不同；（2）三个数字中不含1和5；（3）三个数字中5恰好出现两次。
随机事件的概率
随机事件的概率一、知识概述1、随机事件的概率（1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件：在一定条件下必然要发生的事件．不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．（2）概率的定义及其理解事件A的概率的定义：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的出现的次数nA频率．在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近≤n，0≤≤1，摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)，由定义知，0≤nA0≤P(A)≤1．显然，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．注：①注意频率与概率的区别：频率总是在P（A）附近摆动，当n越大时，摆动幅度越小．②0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件概率为1，随机事件的概率大于0而小于1．③大量重复进行同一试验时，随机事件呈现出规律性．2、概率的基本性质事件Ｂ包含事件A：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，记作（或）．并事件：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，记作．交事件：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，记作．互斥事件：若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，如果事件A与事件B互斥，那么．对立事件：若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件通常用表示．3、古典概型古典概型需要满足的两个条件：①所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等．如果一次试验的等可能的基本事件的个数为n，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为．4、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：．二、重难点知识归纳重点：1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义．2、理解古典概型及其概率计算公式．3、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：1、理解频率与概率的关系.2、设计和运用模拟方法近似计算概率．3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．三、典型例题剖析例1、（1）计算表中优等品的各个频率？（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？分析：（1）将值逐个代入公式进行计算.（2）观察各频率能否与一常数接近，且在它附近摆动.解答：（1）各次优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.954.（2）由以上数据可得优等品的概率为0.95.例2、将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？分析：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A发生的结果数，当n较小时，这种求事件概率的方法是常用的.解答：将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例3、如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM<AC的概率？分析：点M随机的落在线段AB上，故线段AB为构成试验的全部结果所构成的区域长度，当点M位于如图的内时AM<AC，故线段即为构成事件A的区域长度．解：在AB上截取=AC ，于是．答：AM<AC的概率为．例4、袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率．（2）3只颜色全相同的概率．（3）3只颜色不全相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为33，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果：全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．解析：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为27，3只全是红球的概率为，3只颜色全相同的概率为，“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”，故“3只颜色不全相同”的概率为.例5、在50件产品中，有35件一级品，15件二级品．从中任取5件，设“取得的产品都是一级品”为事件A，试问：表示什么事件？解析：事件表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品中至少有1件不是一级品”．首先，“取得的产品都是一级品”发生了，“取得的产品不都是一级品”这个事件就不发生，它们是互斥的；其次，“取得的产品都是一级品”和“取得的产品不都是一级品”必然有一个发生．所以“取得的产品不都是一级品”这一事件表示．。
高中数学随机事件的概率-例题解析
随机事件的概率-例题解析1.有了概率的统计定义,我们可以通过频率与概率,估计不同事件发生的可能性的大小. 【例1】 为了确定某类种子的发芽率,从一大批种子中抽出若干批做发芽试验,其结果如下.从以上的数据可以看出,这类种子的发芽率约为0.9.比较本例和教科书中的“掷图钉试验”的结果,我们可以说,这类种子的发芽率比“钉尖朝上”的概率(约为0.6)要大得多.2.对随机事件和基本事件的理解既是一个重点,也是一个难点.我们可以把随机事件理解为基本事件空间的子集.下面通过一个例子来说明什么是基本事件、基本事件空间和怎样用基本事件来表示一个事件.【例2】连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面. (1)写出这个试验的基本事件空间;解：用(正,反,正)来表示连续掷3次硬币,第一次出现正面,第二次出现反面,第三次出现正面. 这个试验的基本事件空间用Ω表示.Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};(2)求这个试验的基本事件的总数; 解：基本事件的总数是8;(3)“恰有两枚正面朝上”这一事件包含哪几个基本事件?解:“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).典型例题规律发现【例题】掷一枚硬币，出现“正面朝上”的概率是21，是指一枚硬币掷两次恰好出现1次“正面朝上”吗?如果不是，应如何理解?分析：前提是掷一枚硬币，出现“正面朝上”的概率是21，后面的解释偷换概念，误解了概率的意义.解：不是.掷一枚硬币，出现“正面朝上”的概率为21，是指抛掷一次的话，其可能性是21；若抛掷多次，出现“正面朝上”的可能性是21.也就是说，重复多次这样的试验，“正面朝上”的次数接近一半.概率是对一件事是否发生而言的，是一种预测，不是一种结果.【例1】甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布).求:(1)平局的概率; (2)甲赢的概率; (3)乙赢的概率.解:甲有3种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果,可以认为这9种结果是等可能的,所以一次游戏(试验)是古典概型,它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同.例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲出剪且乙出布,甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A ,甲赢为事件B ,乙赢为事件C.甲布剪锤※※※☉☉☉△△△ 由上图容易得到:(1)平局含3个基本事件(图中的△); (2)甲赢含3个基本事件(图中的☉); (3)乙赢含3个基本事件(图中的※). 由古典概率的计算公式,可得P (A )=93=31;P (B )=93=31;P (C )=93=31.【例2】 抛掷两枚骰子,求: (1)点数之和出现7点的概率;解：作图,从图中容易看出基本事件空间与点集S ={(x ,y )|x ∈N ,y ∈N ,1≤x ≤6,1≤y ≤6}中的元素一一对应.因为S 中点的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n =36.Ox123456记“点数之和出现7点”的事件为A ,6个:(6,1)、(5,2)、(4,3)、(3,4)、(2,5)、(1,6),所以P (A )=366(2)出现两个4点的概率.解:记“出现两个4点”的事件为B ,则从图中可看到事件B 包含的基本事件数只有1个:(4,4).所以P (B )=361.。
随机事件的概率
例：抛硬币出现的正面的频率
试验 序号 n =5 nH fn(H) nH n =50 fn(H) nH n =500 fn(H)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2、设A和B为两随机事件，A和B至少有一个发生的概 1 1 率为 4 ，A发生B不发生的概率为12 ，求 P ( B )
3、设A、B、C是三个随机事件，且 P( A) 0.3，P( B) 0.4，
P(C)=0.6，P( AC) P( BC) P( AB) 0.25，P(ABC)=0.2
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
实验者
德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
nH
fn(H)
2048
4040 12000 24000
1061
2048 6019 12012
0.5181
0.5069 0.5016 0.5005
2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6
22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
(1)P( AB)
(2)P( A B)
(3) P( A B)
(4) P( AB)
高二数学随机事件的概率例题解析 人教版
高二数学随机事件的概率例题解析一. 本周教学内容随机事件的概率二. 重点、难点 1. ]1,0[∈=nm P n ：事件的所有可能性的个数m ：其中满足条件的可能性的个数2. 0=P ：不可能事件1=P ：必然事件3. m 、n 由排列组合算出，注意其等可能性。
【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。
211322)(4104454104102522415=⋅-=+⋅=C C C C C C C A P[例2] 4封不同的信，随机投入3个信箱，试求三个信箱均不空的概率。
943)(43324=⋅=A C A P[例3] 某袋中有大小相同的红球2个，白球4个。
（1）甲每次取一个不放回，恰在第k 次取得红球的概率。
3162)(665512===A A C k P （2）甲一次取两个同色的概率。
1572622242=+=C C C P （3）甲每次取一个不放回，在第三次首次取到红球的概率。
513612243=⋅=A C A P[例4] 四名男生，四名女生，分别在四辆公交车上劳动，每车一男一女，男甲，女乙恰在同一辆车上的概率。
4444143333)(A A C A A A P ⋅⋅⋅=41= 41)(4433==A A A P[例5] 从52张扑克牌中任取5张。
（1）5张同花的概率；（2）5张顺子的概率；（3）5张同花顺的概率；（4）5张中有四张点数相同的概率；（5）5张中有花色齐全的概率。
解：（1）55251314)(C C C A P = （2）552594)(C A P ⋅= （3）552149)(C C A P ⋅= （4）552148113)(C C C A P ⋅= （5）552311321314)()(C C C C A P ⋅⋅=[例6]（1）掷一枚骰子三次之和为10的概率。
解：有序，所有可能36满足条件)1,4,5()2,4,4()1,3,6()2,3,5()3,3,4()2,2,6(∴ 27918333333333=+=+++++A A A ∴ 81627)(3==A P （2）掷三枚骰子，三枚骰子之和为10的概率。
随机事件的概率典型例题
1.3典型例题解析【例1】一盒装有2个伍分，3个贰分，5个壹分的硬币，求取出硬币的总值超过壹角的概率。
〖解析〗设A={取出硬币总值超过壹角}。
此题可以看成组合问题，故其样本空间含样本点个数为C 105。
对于事件A ，一是可以从2个伍分中任意取1个，另外4个可以先从3个贰分中任意取2个，再从5个壹分中任意取2个。
或者从3个贰分中任意取3个，再从5个壹分中任意取一个，所有的取法为C 21(C 32C 52+C 33C 51)。
二是也可以将2个伍分的全部取出，再从8个贰分、壹分的硬币中任取3个。
所有的取法为C 22C 83。
所以P(A)=C 21C 21(C 32C 52+C 33C 51)+C 22C 83C 105=12此题也可以用逆事件方法做。
A 的逆事件就是取出硬币总值不超过壹角，即P(A)=1-C 21C 54+C 32C 53+C 33C 52+C 55+C 21C31C 53C 105=12【例2】从0至9这10个数码中任意取4个数码，求索取的4个数码能排成四位偶数的概率。
〖解析〗设A={取到的4个号码排成四位偶数}此题可以看成排列问题，故其样本空间所含样本点个数为A 104，对于事件A ，先从0、2、4、6、8这5个数码中任取1个排在个位数上，然后从剩下的9个数码中任取3个排列在其他3个位置上，可能排列法为A 51A 93。
但应注意到0不能放在千位数上，应去掉此种情况的样本点数A 11A 41A 82。
所以符合事件A 的样本点为 A 51A 93−A 11A 41A 82。
因此P(A)= A 51A 93−A 11A 41A 82A 104=4190或 P(A)=A 11A 93+C 41(A 93−A 82)A 104=4190【例3】从1到100的100个整数中任取1个数，问取出的数能被3或4整除的概率。
〖解析〗设A={取到的数能被3整除}，B={取出的数能被4整除}, C={取到的数能被3或者4整除} 在1,2,3······，100中，能被3整除的数的个数[1003]=33；1,2，·······，100中能被4整除的数的个数[1004]=25。
1-2随机事件的概率
2
n
C
2 53
事件A表示取到两个白球，基本事件数
m
C
2 5
C 5 0 .3 5 7 故 14 C 另解：若认为取出的两个球有先后次序，
P(A )
5 2 8
2 则基本事件总数为 P 82 8 7 , A 的 事 件 数 为 P 5 5 4
P ( B A ) P ( B ) P ( A )， P ( B ) P ( A )
推论
对 任 意 两 个 事 件 A , B， 有 P (B A) P (B ) P ( AB )
性质4
对 任 一 事 件 A, P ( A) 1
性 质 5(逆 事 件 的 概 率 ) 对 任 一 事 件 A ,有 P ( A ) 1 P ( A )
A的几何度量 P(A)= Ω的几何度量 其中几何度量指长度、面积或体积等。
几何概率应用
例1.设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车 站等车不超过1分钟的概率。
书P16例8例2.（会面问题）甲、乙两人相约于8
时至9时之间在某地会面，先到者等候另一个 人15分钟后即可离开，求两人能够会面的概 率。
例3.设在一个5万平方公里的区域内的 40平方公里内储藏石油,若在此区域中 任取一点钻探,问能钻到石油(事件A) 的概率是多少?
在 某 一 数 值 p附 近 摆 动 ， 则 称 数 值 p 为 事 件 A 的 概 率 .记 作 ： P
A
p fn ( A)
m n
(m n)
举例
偶然中的必然
统计概率的性质 非负性：0≤P(A)≤1 规范性：P(Ω)=1
有限可加性：若 A1，A2，…， An是一组
随机事件及其概率习题及解答
第一章 随机事件及其概率习题及解答习题1．个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．n 2．从一付扑克牌（52张）中任意抽取两张，求下列各事件的概率（1）恰好两张同一花色；（2）恰好两张都是红色牌；（3）其中恰好有一张A；（4）其中至少有一张A.3．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷1n +次，乙掷次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率．n 4. 袋中装有号的球各一只，采用（1）有放回；（2）无放回式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。
N ,,2,1 5．有两个形状相同的罐，第一个中有球2白1黑，第二个中有球2白2黑，某人从任一罐中任取1个球，已知取出的是白球，求是从第一个中取出的概率。
6．假设每个人的生日在任何月份内是等可能的。
已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于0.96，问该单位有多少人？7．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到。
问这个人迟到的概率是多少？如果他迟到了，问他乘轮船的概率是多少？8．10个零件中有3个次品，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。
9．某人投篮，命中率为0.8，现独立投五次，求最多命中两次的概率。
10．某班有个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率．N 11．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为13，击伤的概率为12，击不中的概率为16．并设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率．12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为．问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立．,1/p p ≥2习题解答1．解 令A ={甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有1,这个位置，由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么2,,n n A 发生当且仅当乙坐2号或号位置，从而n1,2,()2,21n P A n n =⎧⎪=⎨>⎪−⎩. 2．解（1）235.025221314=C C C （2）245.0252226=C C （3）145.025214814=C C C （4）149.01252248=−C C 3．解 令A ={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，B ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，由硬币的均匀性知，，容易看出，()()P A P B =,A B S AB ==∅∪，由此可知1()2P A =． 4．解：设}1{号球次摸到第i A i =（1）)|()|()|()()(1212211121121−−−−=k k k k k k A A A A P A A A A P A A P A P A A A A PNN N N N N N N N N k 1111111⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅−−⋅−=− （2）)|()|()|()()(1212211121121−−−−=k k k k k k A A A A P A A A A P A A P A P A A A A PNk N k N k N N N N N 1)1(1)2()1(121=−−⋅−−−−−−⋅−= 5．设=“取到第i 个罐中的球”，i A 2,1=i ，B =“取到白球”，则21)()(21==A P A P ，32)|(1=A B P ，2142)|(2==A B P 则全概率公式)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P = 12721213221=×+×= 由bayes 公式有741273221)()|()()|(111=×==B P A B P A P B A P 6．解：设该单位有个人，=“第个人生日在一月份”，则n i A i ),,2,1(n i =121)(=i A P ),,2,1(n i =。
(整理版)随机事件的概率的典例分析
随机事件的概率的典例分析在实际生产、生活中经常会遇到一些与概率相关的问题，如何运用概率知识解释在实际生产、生活中的问题，以及解决概率问题，下面通过具体例子进行说明。
一．随机事件的判断例1．在以下试验中，哪些试验给出的随机事件是等可能的？〔1〕投掷一枚均匀的硬币，“出现正面〞与“出现反面〞；〔2〕一个盘子中有三个大小完全相同的球，其中红球、黄球、黑球各一个，从中任取一球，“取出的是红球〞，“取出的是黄球〞，“取出的是黑球〞；〔3〕一个盒子中有四个大小完全相同的球，其中红球、黄球各一个，黑球两个，从中任取一球，“取出的是红球〞，“取出的是黄球〞，“取出的是黑球〞；分析：随机事件是否等可能，要看这一事件在此试验中的所有可能结果中地位是否平等. 解：〔1〕中给出的随机事件“出现正面〞与“出现反面〞是等可能的.〔2〕中给出的三个随机事件：“取出的是红球〞，“取出的是黄球〞，“取出的是黑球〞，由于球的大小、个数相同，因此这三个事件是等可能的.〔3〕中给出的随机事件：“取出的是红球〞，“取出的是黄球〞，“取出的是黑球〞，由于三种球的数量不同，因此这三个事件不是等可能的.点评：此题是关于随机试验结果出现的等可能性的探讨，在试验过程中，由于某种对称性条件，使得假设干个随机事件中每个事件发生的可能性在客观上是完全相同的，那么称它们是等可能事件. 在一次试验中出现的随机事件是否等可能的关键是看这一试验中所有可能出现的结果中各种结果出现的时机是否均等二．随机试验中条件和结果的判断例2 做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对〔x,y 〕,x 为第一次取到的小球上的数字，y 为第二次取到的小球上的数字〞. 〔1〕求这个试验结果的个数；〔2〕写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.分析：首先弄清试验的结果是由两次取出小球的标号构成有序实数对构成，利用枚举列出即可.解：〔1〕当x=1时有，〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕；当x=2时有，〔2，1〕，〔2，3〕，〔2，4〕，当x=3时有〔3，1〕，〔3，2〕，〔3，4〕当x=4时有〔4，1〕，〔4，2〕，〔4，3〕，所以共有12个不同的有序实数对.故这个试验结果个数为12.〔2〕记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A ，那么A={〔2，1〕，〔2，3〕，〔2，4〕}. 点评：准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并会用其表示一些事件.在写试验结果时，一般都采用列举法写出，通常按从左向右由小到大的顺序来写，注意要做到不复不漏.例3为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数. 分析：借助于样本估计与总体的关系可以直接得出.解：设水库中鱼的尾数为n ，n 是未知的，现在要估计n 值，将n 的估计值记作n.假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾，设事件A 为“带有记号的鱼〞，易知，P 〔A 〕=2000n. 第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数n a =40，由概率的统计定义知P 〔A 〕 40500≈所以 200040500n ≈. 解得n ≈25000,即n ∧=25000.故可以估计水库中约有鱼25000尾.点评：随着试验次数主变化，对于同一试验的频率也可能发生变化，但总体来看趋于一个稳定值，所以我们也可借助于频率来对一些实际问题作出判断.4．决策中的概率问题【例4】深夜，一辆出租车涉及一起交通事故，该市有两家出租车公司，红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中红色出租车公司和蓝色出租车公司分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对现场目击证人的区分能力作了测试，测得他识别的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.你觉得警察这样认定公平吗？分析：警察的认定是否公平，必须以科学为依据，就是要计算出红色出租车和蓝色出租车的概率，并比拟它们的大小.从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，它确定是红色的概率为1200.41290≈，而它是蓝色的概率为1700.59290≈，在实际数据面前，作为交警以证人的证词为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.点评：根据概率的大小对一些实际问题作出判断或预测时要注意其具有不准确的一面，只能在理论上作为一个参与.最后的判断必须以事实为依据.。
随机事件的概率(解答题)
随机事件的概率（解答题）1. 一个袋中装有6个大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从袋中同时摸出2个球，以ξ表示所摸出的2个球中最大的号码． （Ⅰ）写出随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）求出随机变量ξ的均值．2. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。
(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望；3.ξ. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求ξ分布列； (Ⅲ) 求ξ的数学希望.4. 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13, 25 , 12.(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ.5. 某同学参加法律知识竞赛，共有4道试题,他答对每道题的概率都是,32且回答各题相互独立. 竞赛规定: 参赛者未答题前有底分300分,每答对一题得100分,答错扣100分,一开始即连答错3道题就失去资格自动下场.(1 ) 求此同学答题数目ξ的分布列和数学期望; (2 ) 求此同学最后得分η的分布列和数学期望;(3 ) 若另有5名同学都与此名同学水平相当,求他们6人中到最后能留在场上的人数ζ的期望和方差.6. 甲、乙、丙、丁四人独立回答同一道数学问题，其中任何一人答对与否，对其它人答题结果无影响。
已知甲答对的概率为31，乙、丙、丁答对的概率均为21，设有ξ人答对此题，请写出随机变量ξ的概率分布及期望。
7. 盒中有10张卡中，卡片上有2张标有数字1，有3张标有数字2，还有5张标有数字3。
取出一张记下标号后放回，再取一张记下标号，共取两次，记两次取出的卡片的标号和为ξ. （I ）求随机变量ξ的分布列； （Ⅱ）求随机变量ξ的期望E ξ.8. 如图，一辆车要直行通过某十字路口，这时前方刚好由绿灯转为红灯.该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率为32，左转行驶的概率31.该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求： （1）前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率为多少？（2）该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）.（3）假设每次由红灯转为绿灯的瞬间，所有排队等候的车辆都同时向前行驶，求该车在这十字路口候车．．时间的数学期望. 9. 某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：（1）求至少一路电话不能一次接通的概率；（2）在一周五个工作日内，如果有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路 电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表 示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”；（Ⅱ）求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望。
随机事件的概率典型例题
随机事件的概率典型例题例1说明下列事件的可能性，并标在图中：（1）青岛市与北京市联合举办2022年奥运会；（2）一个三角形的内角和为181°；（3）现将10名同学随机分成两组进行劳动，同学甲被分到第一组。
例2如图所示，一个可以自由转动的转盘被分成8个相等的扇形，利用这个转盘，甲、乙两人做下列的游戏：（1）甲自由转动转盘，指针指向大于4的数，则甲获胜，否则乙获胜．（2）甲自由转动转盘，指针指向质数，则甲获胜，否则乙获胜．（3）乙自由转动转盘，指针指向大于2的偶数，则乙获胜，否则甲获胜．（4）乙自由转动转盘，指针指向3的倍数时，则甲获胜，否则乙获胜．在以上4个游戏中，对甲、乙双方都公平的游戏为________（写出序号即可）；对甲、乙双方不公平的游戏为_________，其中对甲有利的游戏为________，而对乙有利的游戏为_________。
例3下面两排数是一种游戏，游戏的方法是：甲、乙分别扔骰子，如果骰子上面的数是几就从他们对立的格中的那个数后面的数开始向后数几个数，（如甲扔骰子上面是3，甲从4开始数三个数对应的数就是6）如果对应的数是偶数就和1分，如果对应的数是奇数就不得分．问这种游戏对甲、乙二人是否公平为什么甲：1乙：1例4小明和小刚在玩摸球游戏，从一个共装有10个球，其中有3个白球，3个红球，4个黑球的袋子里往外摸球，摸到后再放回去，另一个人再摸，两人各摸一次．现有两个规则，请问哪一个规则对双方公平哪一个不公平为什么规则（1）：摸到白球小明赢，摸到红球小刚赢．（2）摸到白球小明赢，摸到黑球小刚赢．例5街头有两个摆一种游戏，自为白方，游戏的方法是投两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2，3，4，10，11，12这六种情况红方胜，而当两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9时，白方胜，问这种游戏对双方公平吗如不公平哪方占便宜．参考答案例1分析：（1）是必然事件，可能性为100％即1；（2）是不可能事件，可能性为0；（3）同学甲有可能被分到第一组也有可能被分到第二组，1．这两种可能性相同均为50％即21解：（1）1（2）0（3）2如图：例2分析：在解决此题时，必须明确游戏的规则．因为8个扇形都相等就确保了游戏的随机性，所以只要知道游戏中指针指向相关扇形数的多少，便可以判断游戏对甲、乙双方是否公平．解：（1）∵在1～8这8个数中，大于4的数有5、6、7、8这4个数，∴指针落在大于4的扇形的可能性与落在其他扇形的可能性一样大，即对甲、乙双方是公平的．（2）∵在1～8这8个数中，质数只有2、3、5、7这4个数，∴指针落在质数的扇形可能性与落在其他扇形的可能性一样大，即对甲、乙双方是公平的．（3）∵在1～8这8个数中，大于2的偶数有4、6、8这3个数，∴指针落在大于2的偶数扇形可能性小于落在其他扇形的可能性，因此游戏时双方不公平，并且对乙不利，对甲有利．（4）在1～8这8个数中，是3的倍数有3、6这2个数，“．指针落在3的倍数扇形可能性小于落在其他扇形的可能性，因此游戏对双方不公平，并且对甲不利，对乙有利．由上可知：对甲、乙双方公平的游戏为（1）（2）；对甲、乙双方不公平的游戏为（3）（4）；其中对甲有利的游戏为（3）；而对乙有利的游戏为（4）．例3分析：观察甲乙各自的一排数可以看出当甲投出的骰子，不论上面的数是几，他得到的数都是偶数即甲P （偶数）＝1；而乙投出的骰子，不论上面的数是几，他得到的数都是奇数，即乙P （偶数）＝0，所以乙甲PP >．不公平． 解：对甲乙二人是不公平的；因为甲P （偶数）＝1，乙P （偶数）＝0；所以乙甲P P >．说明：几个人玩的一种游戏，对所有人是否公平，关键就看这几个人赢得概率是否相等．例4分析：游戏公不公平，关键是看摸到不同颜色的球的可能性是否一样，在规则（1）中，摸到白球和红球的可能性均为103是相等的，故游戏对对方公平．在规则（2）中摸到白球的可能性是103，摸到黑球的可能性是104即52，10352>，所以小刚赢的可能性大于小明赢的可能性，故而游戏对双方不公平．解：规则（1）对双方公平，规则（2）对比方不公平．原因是规则（1）中双方获胜的可能性均为103，是相等的，规则（2）中双方获胜的可能性一个是103，另一个是52，二者不等．例5分析：两枚骰子掷出后的点数和有下面11种情况，：2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．为了说明是否公平就必须计算出这11种情况，每种情况出现的概率．（1）投掷后出现2点，只能两枚骰子都出现一点，每个骰子出现一点的概率是61，所以两枚骰子同时出现一点的概率是3616161)2(=⨯=P ． （2）投掷后出现3点，有两种情况：①第一枚骰子出现1，第二枚骰子出现2，这时概率为361；②第二枚骰子出现1，第一枚骰子出现2，这时概率为361，故181361361)3(=+=P ； 同理可得121)4(=P ，91)5(=P ，365)6(=P ，61)7(=P ，365)8(=P ，91)9(=P ，121)10(=P ，181)11(=P ，311)12(=P ． 因此，白方获胜的概率32913656136591)9()8()7()6()5(=++++=++++=P P P P P P 而红方获胜的概率)12()11()10()4()3()2(P P P P P P P +++++=31361181121121181351=+++++= 由计算可以看出红方吃亏，白方占便宜．解：（计算略） 因为白方获胜的概率是32=P ，而红方获胜的概率是31=P ，所以这个游戏对双方是不公平的，红方吃亏，白方占便宜．说明：在计算概率时要把发生的可能性考虑全面．。
随机事件的概率及计算
随机事件的概率及计算随机事件的概率及计算随机事件的概率、古典概型、⼏何概型及随机模拟⼆. 课标要求：1、在具体情境中，了解随机事件发⽣的不确定性和频率的稳定性，进⼀步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会⽤列举法计算⼀些随机事件所含的基本事件数及事件发⽣的概率。
4、了解随机数的意义，能运⽤模拟⽅法（包括计算器产⽣随机数来进⾏模拟）估计概率，初步体会⼏何概型的意义；5、通过阅读材料，了解⼈类认识随机现象的过程。
三、命题⾛向本讲内容在⾼考中所占⽐重不⼤，纵观近⼏年的⾼考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有⼀定的灵活性、机动性。
纵观近⼏年的⾼考对概率要求降低，⼏何概型是新加内容，考试涉及的可能性较⼤。
预测⾼考：对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、⼏何概型的概率事件的计算为主，⽽以实际应⽤题出现的形式多以选择题、填空题为主。
四、教学过程（⼀）基本知识要点回顾1、随机事件的概念在⼀定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在⼀定条件下可能发⽣也可能不发⽣的事件；（2）必然事件：在⼀定条件下必然要发⽣的事件；（3）不可能事件：在⼀定条件下不可能发⽣的事件。
2、随机事件的概率事件A的概率：在⼤量重复进⾏同⼀试验时，事件A发⽣的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3、事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发⽣的两个事件叫做互斥事件；（2）对⽴事件：不能同时发⽣，但必有⼀个发⽣的两个事件叫做互斥事件；4、事件间的运算+）（）=；个，即此试验由所有结果出现的可能性都相等，那么每⼀基本事件的概率都是。
如果某个事件=。
=。
（1）“抛⼀⽯块，下落”.（2）“在标准⼤⽓压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某⼈射击⼀次，中靶”；（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”;（5）“掷⼀枚硬币，出现正⾯”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取⼀张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有⽔分，种⼦能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。
典型例题_概率论
第一部分 随机事件及其概率例 1 设A B C 、、为三个随机事件，试用A B C 、、表示下列事件。
1）“A B 与发生，而C 不发生”（表示为A B C ）； 2）“三个事件都发生”（表示为A B C ）； 3）“三个事件至少有一个发生”（表示为A B C⋃⋃）；4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为A B C A B C A B C++）；5）“三个事件至少有两个发生”（表示为A B B C A C ⋃⋃或A B CA B C A B C A B C+++）6）“三个事件至多有两个发生”（表示为A B C 或A B C⋃⋃）。
例2 将n 只球随机地放入N （N ≥n ）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。
解： 设事件A =“N 个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件B=“指定其中一个盒子装一只球”。
1）一个球放入N 个盒子中的放法有N 种，n 个球放入N 个盒子中的放法有nN 种。
假设固定前n 个盒子各装一球，其分配方法有!n 种，从N 个盒子中任取n 个盒子各装一球，取法有nN C 种，所以，事件A 的样本点数为nNC !n ，即事件A 的概率为nn NNn CA P !)(=2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有1nC 种，其次，剩余的1N-个盒子中，1n -只球的放法有1(1)n N --种，所以事件B 的样本点数为1n C 1(1)n N --，即事件B 的概率为11(1)()n n nC N P B N--=注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“n 个人中至少有两人的生日相同”的概率。
设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，n 个人好比‘n 只球’，考虑事件A 的对立事件A =“n 个人在一年中生日全不相同”，它等价于“n 个球装入365个盒子中各装一球”，由前面的计算知：nnn C A P 365!)(365=，所以nnn C A P 365!1)(365-=。
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［典型例题探究］
规律发现
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件. （1）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化； （2）在常温下，焊锡熔化； （3）掷一枚硬币，出现正面； （4）某地12月12日下雨； （5）如果a >b ，那么a －b >0； （6）导体通电后发热； （7）没有水分，种子发芽；
（8）函数y =log a x （a >0，a ≠1）在其定义域内是增函数.
分析：判定事件是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生. 解：（5）、（6）是必然事件，（1）、（2）、（7）是不可能事件，（3）、（4）、（8）是随机事件.
（2）这名射击运动员射击一次，击中10环的概率是多少？ 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
分析：（1）逐个将n 、m 的值代入公式
n
m
进行计算. （2）观察各频率能否与一常数接近，且在它附近摆动.
（2）这名射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.
频率f n （A ）=
n
m
，其中n 为试验的总次数，m 为在这n
次试验中事件A 发生的次数.
概率是频率的抽象，频率是概率的近似值，频率在概率附近波动.。