2009模拟泛函试题
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10. 设 M 是 Hilbert 空间 X 的闭子空间，P : X → M 为投影算子，则 || P || = ．
三、叙述题(每小题 4 分) 叙述题 每小题 11. 内积空间；12. 逆算子定理；13. Riesz 表示定理； 14. 弱收敛；15. 全有界；16. 算子的剩余谱． （10 分） 四、求以下有界线性泛函范数。 1． 2． 在 L2 [0,2] 上定义 f ( x (t )) = ∫0 t x (t )dt ∫ x (t )dt ；
5. 若 C 是以θ为内点的闭凸子集，则 C 的 Minkowski 泛函是连续 的．( ) ) )
6. 设 X 是无穷维 Banach 空间， T∈L ( X )， ρ ( T )是开集． 若 则 ( 7. 设 X, Y 是 Banach 空间， T∈L ( X, Y ) T *∈L ( Y *, X * )． 则 ( 二、填空题(每小题 3 分) 填空题 每小题 8. 设 f : L2[0, 1] → R 为 f (x) = ∫[0, 1] x(t) dt．则|| f || = 9. 设 X 是 Banach 空间， T∈L(X)， λ | > || T ||， Rλ (T) = 若| 则 ．
≥ x . （10 分）
→ 七、 设 x n = nte nt 。证明在 C[0,1] 中 x n w x, 但 {xn } 不依范数收
敛。 （10 分） 八、设 X 与 Y 为 Banach 空间，且 T : D(T ) X → Y 为有界线性算子。 1．证明 T 能唯一地延拓到 D(T) 上的成为 D(T) 上的有界线性算子； （5 分） 2．若 N（T）=0 且 D(T ) 为闭子空间。证明 R（T）为闭子空间的充要 条件为： a > 0, Tx ≥ a x . （5 分）
1 1 2
在 C[0,2] 上定义 f ( x (t )) = ∫0tx(t )dt x (1) 。
2
（6 五、叙述并证明 Lax-Milgram 定理。 分） 设 证明{ xn }依范数收敛到 x 的充要条件为： 六、 X 为 Hilbert 空间。
x n w x, 且 lim x n →
n →∞
西 安 交 通 大 学 考 试 题 模拟
课 程
系 别
Hale Waihona Puke Baidu
成绩
泛函分析
理学院
考 试 日 期 年 月 日
专业班号 姓 名 学 号 期中 期末
一、判断题(每小题 3 分) 判断题 每小题 1. 有限维线性赋范空间一定是 Banach 空间。( ) ) )
2. 设 X 是有限维线性赋范空间，则 X 上的范数都是等价的．( 3. 线性赋范空间中的完备线性子空间是闭线性子空间．( 4. 闭线性算子总是连续线性算子．( )
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10. 设 M 是 Hilbert 空间 X 的闭子空间，P : X → M 为投影算子，则 || P || = ．
三、叙述题(每小题 4 分) 叙述题 每小题 11. 内积空间；12. 逆算子定理；13. Riesz 表示定理； 14. 弱收敛；15. 全有界；16. 算子的剩余谱． （10 分） 四、求以下有界线性泛函范数。 1． 2． 在 L2 [0,2] 上定义 f ( x (t )) = ∫0 t x (t )dt ∫ x (t )dt ；
5. 若 C 是以θ为内点的闭凸子集，则 C 的 Minkowski 泛函是连续 的．( ) ) )
6. 设 X 是无穷维 Banach 空间， T∈L ( X )， ρ ( T )是开集． 若 则 ( 7. 设 X, Y 是 Banach 空间， T∈L ( X, Y ) T *∈L ( Y *, X * )． 则 ( 二、填空题(每小题 3 分) 填空题 每小题 8. 设 f : L2[0, 1] → R 为 f (x) = ∫[0, 1] x(t) dt．则|| f || = 9. 设 X 是 Banach 空间， T∈L(X)， λ | > || T ||， Rλ (T) = 若| 则 ．
≥ x . （10 分）
→ 七、 设 x n = nte nt 。证明在 C[0,1] 中 x n w x, 但 {xn } 不依范数收
敛。 （10 分） 八、设 X 与 Y 为 Banach 空间，且 T : D(T ) X → Y 为有界线性算子。 1．证明 T 能唯一地延拓到 D(T) 上的成为 D(T) 上的有界线性算子； （5 分） 2．若 N（T）=0 且 D(T ) 为闭子空间。证明 R（T）为闭子空间的充要 条件为： a > 0, Tx ≥ a x . （5 分）
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在 C[0,2] 上定义 f ( x (t )) = ∫0tx(t )dt x (1) 。
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（6 五、叙述并证明 Lax-Milgram 定理。 分） 设 证明{ xn }依范数收敛到 x 的充要条件为： 六、 X 为 Hilbert 空间。
x n w x, 且 lim x n →
n →∞
西 安 交 通 大 学 考 试 题 模拟
课 程
系 别
Hale Waihona Puke Baidu
成绩
泛函分析
理学院
考 试 日 期 年 月 日
专业班号 姓 名 学 号 期中 期末
一、判断题(每小题 3 分) 判断题 每小题 1. 有限维线性赋范空间一定是 Banach 空间。( ) ) )
2. 设 X 是有限维线性赋范空间，则 X 上的范数都是等价的．( 3. 线性赋范空间中的完备线性子空间是闭线性子空间．( 4. 闭线性算子总是连续线性算子．( )