2017年秋北师大版九年级数学上典中点习题2.6.3建立一元二次方程解一般问题(PDF版)
北师大版九年级数学上册 2.1 认识一元二次方程 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章 2.1 认识一元二次方程 同步练习题第1课时 一元二次方程1．下列方程中是一元二次方程的是(D)A ．x 2＋1x ＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．3x 2－2xy －5y 2＝0 D ．(x －1)(x ＋2)＝22．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(C) A ．5，－1 B ．5，4 C ．5，－4 D ．5，1 4．已知关于x 的方程(a －3)x|a －1|＋x －1＝0是一元二次方程，则a 的值是(A)A ．－1B ．2C ．－1或3D ．35．下列方程中：(1)3(x ＋1)2＝2(x ＋1)；(2)1x 2＋1x －2＝0；(3)ax 2＋bx ＋c ＝0；(4)x2＋2x ＝x 2－1中，关于x 的一元二次方程是(1)．6．若方程mx 2＋3x －4＝2x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是m ≠2． 7．把一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是2x 2－x －7＝0．8．若将关于x 的一元二次方程3x 2＋x －2＝ax(x －2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为5．9．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(a 2－4)x ＋a －8＝0没有一次项，则a 的值为－2.10．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x(x －2)＝4x －1； (2)(y －3)(2y ＋5)＝2－y.解：(1)整理，得3x 2－10x ＋1＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，－10，1.(2)整理，得2y 2－17＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，－17.11．已知关于x 的方程(k ＋1)xk 2＋1＋(k －3)x －1＝0. (1)当k 取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k 取何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝0，k －3≠0或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝1，k ＋1＋k －3≠0. 解得k ＝－1或k ＝0.∴当k ＝－1或0时，它是一元一次方程． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝2，k ＋1≠0，解得k ＝1. ∴当k ＝1时，它是一元二次方程．12．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，上述记法叫做二阶行列式．那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 2x ＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．解：根据题意，得(x ＋1)·2x－(x ＋2)(x －2)＝22， 整理，得x 2＋2x －18＝0，它是一元二次方程，一般形式为x 2＋2x －18＝0.13．观察下列一元二次方程：①x 2＋2x －3＝0；②x 2－7x ＋6＝0；③3x 2－2x －1＝0；④5x 2＋3x －8＝0.(1)上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征； (2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程．解：(1)在①中，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，则a ＋b ＋c ＝0； 在②中，a ＝1，b ＝－7，c ＝6，则a ＋b ＋c ＝0； 在③中，a ＝3，b ＝－2，c ＝－1，则a ＋b ＋c ＝0； 在④中，a ＝5，b ＝3，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝0， 由上可得方程的系数公共特征为a ＋b ＋c ＝0. (2)x 2－x ＝0(答案不唯一)．第2课时 一元二次方程的解及其估算1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是(B) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．(成都青羊区月考)若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)必有一个根是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－b a3．如果关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋3x ＋m 2－9＝0有一个解是0，那么m 的值是(B) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0或－34．先填表，再探索一元二次方程x 2＋x －12＝0的解的取值范围．从表中看出方程有一个解应介于2和4之间． 5．已知a 2－5a ＋1＝0，则a ＋1a－3的值为2．6．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2a 2－4a －1的值为1． 7．已知a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，则2a 2－1－1a 2－a的值为1． 8．若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是1．9．已知a 是方程x 2－3x －2＝0的根，则代数式a 3－2a 2－5a ＋2 019的值为2_021．10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为(35－2x)(20－x)＝600(或2x 2－75x ＋100＝0)．11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足b ＝a －3＋3－a ＋3，求c.解：将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b.∵a ，b 满足等式b ＝a －3＋3－a ＋3， ∴a －3≥0，3－a≥0，即a ＝3.∴b＝3. ∴c ＝－a －b ＝－6.12．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式x －33x 2－6x ÷(x＋2－5x －2)的值．解：∵x 2＋3x －1＝0， ∴x 2＋3x ＝1，即x(x ＋3)＝1.∴原式＝x －33x （x －2）÷（x ＋3）（x －3）x －2＝13x （x ＋3）＝13.13．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图．若设人行走道宽为x m.(1)请列出相应的方程；(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由；(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：(1)由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程为(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理，得x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.。
北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习题 含答案
第二章一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习题1. 小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是( )A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝02．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和23．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )A．配方法 B．公式法 C．分解因式法 D．直接开平方法4. 方程x2－5x－6＝0的两根为( )A．6和－1 B．－6和1 C．－2和－3 D．2和35. 下列方程适合用分解因式法求解的( )A．x2－x－1＝0 B．2x2－3x＋5＝0C．x2＋5x－3＝0 D．(x－1)2＝1－x6. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的两根，则该三角形的周长为( )A．13 B．15 C．18 D．13或187. 解方程：①9(x－3)2＝25；②6x2－x＝1；③x2＋4x－3596＝0；④x(x－1)＝1.较简便的方法依次是( )A．直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C ．配方法、因式分解法、配方法、公式法D ．直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法8. 方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是 .9. 方程a 2－16＝0可化成两个一次方程是 和 ；则x 1＝ ，x 2＝ .10. 若多项式x 2＋px ＋q 分解因式的结果是(x ＋m)(x ＋n)，则方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为 .11. 解下列方程时，请你从公式法、分解因式法中选出最佳方法．(1)x 2－6x －10＝0选用 ；(2)3x 2－3x ＝0选用 .12. 已知y ＝x 2－3x ＋2，当x ＝ 时，y 值为零．13. 已知最简二次根式3x 2－2x 与－5x ＋4可以合并，则x ＝ .14. 如果12x 2＋1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为 . 15. 用分解因式法解方程：(3x －4)2＝(4x －3)216. 解下列方程：3(x －5)2＝x 2－2517. 已知实数x 满足(x 2－x)2－4x 2＋4x －12＝0，求代数式x 2－x ＋2019的值．18. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2?参考答案;1---7 DDCAD AD8. x 1＝2，x 2＝－39. a ＋4＝0 a －4＝0 4 －410. x 1＝－m ，x 2＝－n11. (1) 公式法(2) 因式分解法12. 1或213. －114. －23或4315. 解：x 1＝1，x 2＝－116. 解：3(x －5)2＝(x ＋5)(x －5)，3(x －5)2－(x ＋5)(x －5)＝0，(x －5)[3(x －5)－x －5]＝0，∴x 1＝5，x 2＝1017. 解：由(x 2－x )2－4x 2＋4x －12＝0得(x 2－x )2－4(x 2－x )－12＝0，∴(x 2－x ＋2)(x 2－x －6)＝0，∴x 2－x ＋2＝0或x 2－x －6＝0，当x 2－x ＋2＝0时，Δ＝－7＜0，此方程无解，当x 2－x －6＝0时，Δ＝25＞0，∴x 2－x ＝6，∴x 2－x ＋2019＝6＋2019＝2021.18. 解：设矩形温室的宽为xm ，则长为2xm ，根据题意得(x －2)(2x －4)＝288，解这个方程得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14，所以x ＝14,2x ＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28m ，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m 2.。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析含习题练习
第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。
北师大版初中数学九上一元二次方程分节练习含应用题和解方程带问题详解解析汇报
实用标准文档第二章一元一次方程分节练习第1节认识一元一次方程1、【基础题】下列方程中，一元二次方程共有（）．1x222220?3xy?4?2x120?x3x?x????4x3??0x⑤①②③④x3A．2个B．3个C．4个D．5个x的方程中，一定是一元二次方程的为（【基础题】下列关于）1.1、32222205x＝＋－0＝（x＋3）＝－xaxx＋bx＋c＝01－2 D. A. B. C. x22xmx3x－4mx＝＋3的取值范围是_________.是关于1.2、【基础题】若方程的一元二次方程，则22（3x＋2）＝（x－3）4化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和、【基础题】把方程2常数项.3、【综合Ⅰ】根据题意，列出一元二次方程：（1）已知直角三角形三边长为连续整数，求它的三边长；2m的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 120 苗圃的长和宽各是多少？（2）一个面积为2m的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个正方形，这个正方形的（3）有一面积为54边长是多少？第2节用配方法求解一元二次方程4、【基础题】用配方法解下列方程：2222－2x－4＝010x＝x11－6x＝xx＝＋12x＋250x＋4）（3）（14 （）2 ；（）；；4.1、【基础题】用配方法解下列方程：2222＝4－2x5x9x－3x＝52x45x18＝6x7－x＋10－＝. 4）（；3 （））（1 ）（； 2 ；5、【综合Ⅱ】列方程解决问题：（1）体操方阵有8行12列，后又增加了69人，使得方阵增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？（2）印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？文案大全．实用标准文档（3）如左下图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的2m，道路的宽应为多少？850 一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为的速/s从点A出发，以3 cmcm，BC＝6 cm. 动点P4（）如右上图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16之间的和点Q的速度向点D运动，何时点P为止；动点Q同时从点C出发，以2 cm/s运动，直到点度向点BB 10 cm？距离是用公式法求解一元二次方程第3节、【基础题】用公式法求下列一元二次方程的解：622x4＋1＝4－7x－18＝0xx. ）（2 ；（1）220＝4x＋4＝02x1＋x－5x＋. 4）；（3）（【基础题】用公式法解下列方程：6.1、220＝x＋＝09x1＋2x6－9x＋8（1）（2）；；220－12x＝－416xx＋8x＝3. ）（（3）4 ；、【基础题】运用公式法解下列方程:6.22279＝＋6x＋5xx＋2x－1＝0；(2) ；(1)2x3x＋2＝51＝x－5)(x－2)(3. 3（）（4）；2c、a、b x5－6x8＝）的值分别是、【基础题】用公式法解方程时，（6.38、5、－ D. 6、－6、－8 C. 56、8 、－、－ A. 5、68 B. 522aa bb53＋－3?ab －3a＋3. ，都有5★＝、＝，如3【综合Ⅱ】定义新运算“★”6.4、：对于任意实数★xx62，则实数若______.★＝的值是【基础题】不解方程，判断下列方程的根的情况：7、22x4y.09）＝2.4＋（y001）＋3＝－（x x7x2＋5＝4）. （3 ；（2）（1）；2x0?m02＋＝2mx－（m＋）x. ）（、7.1【综合Ⅲ】已知关于的方程1）求证：方程总有两个实数根；（m. 的值）若方程的两个实数根都是整数，求正整数（ 2文案大全．实用标准文档8、【综合Ⅱ】列方程解决问题（1）一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.?2200cm，3dm，求这个木箱的长和宽528 . 8 dm，长比宽多5 dm，体积是（2）长方体木箱的高是那么圆柱底面半径是多少？，全面积（也称表面积）是）圆柱的高为（315 cm（4）在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？（5）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m），另三边用木栏围成，木栏长40 m.222mmm吗？请问，鸡场的面积能达到180 吗？能达到210 吗？能达到200 （6）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（注：“尺”、“寸”、“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸.）aaa的值，求. PAB的面积是，18）（a1）、A（是正数）确定的△，0）、B（0（7）如图，由点P （14，第4节用因式分解法求解一元二次方程9、【基础题】用因式分解法解下列方程22（x＋2）（x－4）＝0x（x－2）＝x－2x＝x3x＝5x4. ）；；）（2（3）（1）（4；9.1、【综合Ⅰ】用分解因式法解下列方程：2＋6x＋9x1＝03x(x－1)＝2－2x；（2）；1（）2229＝x－23)(x－3))(2x＋3＝4(2x＋.；（3）（4）07)＝x－5)(x－(的根，则该三角形的周长为4，第三边的长是方程______.、9.2【综合Ⅰ】三角形两边的长是3和、【综合Ⅱ】解下列方程：9.3222235）3＝（2x＋＋x）（x－2（x）－x）＝x（12＝－－(x2)(x3)）；3；）（1 ；（2）（222＋y＝y2y＋43＋＝（x62）x＋.5）；）（4 （10、【综合Ⅰ】列方程解决问题：（1）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.（2）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，2m.2 m，剩余空地面积为12 ，求原正方形空地的边长另一边减少了一元二次方程的根与系数的关系节* 第5【基础题】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：11、2202－＝xx2－306xx＋7＋＝. ）（）1 （；2文案大全．实用标准文档2x＝10－3x＝＋kx，则另一个根是______.11.1、【综合Ⅰ】一元二次方程的一个根是2xx－3x－1x＝0的两个实数根，【综合Ⅲ】设和是一元二次方程11.2、121122＋x＋x＝______. 则＝______，21xx21第6节应用一元二次方程12、【综合Ⅱ】列方程解决问题（面积和体积问题）：（1）一块长方形草地的长和宽分别为20 m和15 m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积2m，求小路的宽度.为246（2）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如左下图所示，它的长为8 m，宽为5 m. 如果地毯中央长方形图案的2m，那么花边有多宽？面积为18，把耕地分成的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直））、如右上图所示，在宽为20 m，长为32 m（32，道路应为多宽？大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m已知盒子的容积）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.（43cm. 400 ，求原铁皮的边长是【综合Ⅱ】列方程解决问题：12.1、2m）有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？（1要使这两个正方形的. 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形2（）将一条长为20cm2212cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 两个正方形的面积之和可能等于cm面积之和等于17. ? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由吗文案大全．实用标准文档2m，上口比渠底宽0.6 m0.78 已知断面的面积为，渠深比渠底少0.4 m，（3）如左下图，一条水渠的断面为梯形，求渠深.BCAC、A、B两点出发分别沿BC＝6 m，点P、Q同时由，（4）如右上图，Rt△ACB中，∠C ＝90°，AC＝8 m 面积的一半？ACBPCQ的面积是Rt△（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△方向向点C匀速移动★★★13、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题）元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少401）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利（若商.1元，商场平均每天可多售出2件库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价元，每件衬衫应降价多少元？场平均每天要赢利1200元时，平均每天能售2900元. 市场调研表明：当销售价为（2）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到. 平均每天就能多售出4台出8台；而当销售价每降低50元时，元，每台冰箱的定价应为多少元？5000千克，经市场调查发现，在进500）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出（3元，同时又20千克。
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程练习题含答案
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1.1 一元二次方程同步练习题1．(3分)下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2－1＝yB ．6x 2＝5C ．x 2＝1xD ．3x 3－4x 2－1＝0 2．若关于x 的方程(k ＋1)x 2＋2kx －3＝0是一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．任意实数B ．k ≠－1C ．k ＞－1D ．k ＞03. 将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )A ．4x 2－4x ＋5＝0B ．3x 2－8x －10＝0C ．4x 2＋4x －5＝0D ．3x 2＋8x ＋10＝04. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A ．x(5＋x)＝6B ．x(5－x)＝6C ．x(10－x)＝6D ．x(10－2x)＝65. 下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是( )A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．x －1x ＝0 C ．2x ＋3＝2x(x －1) D ．x 2＋2x ＝x 2－1 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是( )A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．100(1－x%)2＝81D ．100x 2＝817．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为( )A ．x(x ＋1)＝253B ．x(x －1)＝253C ．2x(x －1)＝253D ．x(x －1)＝253×28. 若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．9. 若一元二次方程2x2＋mx＝3x＋2中不含x的一次项，则m＝________．10. 方程x2＋1＝－2(1－3x)化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．11. 两个连续奇数的平方和为2890.设这两个奇数中较小的一个数为x，则可列方程为．12. 若ax2－5x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6＞0的解集是______________．13．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为零，则m的值为________．14．现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意可列出方程为．15. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)3x2＝5x－1；(2)(x＋2)(x－1)＝6；(3)4－7x2＝0.16. 关于x的方程(m2－9)x2＋(m－3)x＋2m＝0.(1)当m为何值时，它是一元一次方程？并求出一元一次方程的解；(2)当m为何值时，它是一元二次方程？17. 如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，请列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．18. 某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为加快资金周转，超市采取降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？(列方程，并化为一般形式，不解答)19. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．(1) 如果一个直角三角形的两条直角边边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长；(2) 有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数；(3) 如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽．答案：1—7 BBBBC BD8. 29. 310. 1 －6 311. x 2＋(x ＋2)2＝289012. a>－2且a≠013. －114. (80－2x)(60－2x)＝150015. (1)化成一般形式为3x 2－5x ＋1＝0，二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为1(2)化成一般形式为x 2＋x －8＝0，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为－8(3)化成一般形式为－7x 2＋4＝0，二次项系数为－7，一次项系数为0，常数项为416. (1)当m ＝－3时，原方程是一元一次方程，方程的解为x ＝－1；(2)当m≠±3时，原方程是一元二次方程．17. 解：根据题意，可以列出方程(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为： x 2－39x ＋74＝0.18. 解：设每件童装应降价x 元，则每天销售童装的件数为(30＋3x)件，每件利润为(40－x)元．则有(30＋3x)(40－x)＝1 000，化成一般形式为3x 2－90x －200＝0.19. (1)设其中一条直角边的长为x cm ，另一条直角边的长为(14－x) cm ，则12x(14－x)＝24，化成一般形式为x2－14x＋48＝0；(2)设十位数字为x，个位数字为x＋3，百位数字为x＋2，则9[x2＋(x＋3)2＋(x ＋2)2]＝100(x＋2)＋10x＋(x＋3)－20，化成一般形式为9x2－7x－22＝0；(3)设金色纸边的宽为x cm，则挂图的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，则(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化成一般形式为x2＋65x－350＝0.。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程-知识点总结含中考真题试题解析
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程☞解读考点知识点名师点晴一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念会识别一元二次方程。
2.一元二次方程的解会识别一个数是不是一元二次方程的解。
解法步骤能灵活选择适当的方法解一元二次方程。
根的判别式b2－4ac 是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式会判断一元二次方程根的情况。
根与系数的关系x1＋x2＝b a -，x1x2＝ca会灵活运用根与系数的关系解决问题。
一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系．最后要检验结果是不是合理.☞2年中考【2015年题组】1．（2015来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-=D ．27120x x --=【答案】A ．【解析】试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．考点：根与系数的关系．2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（）A ．2+10x x +=B ．24210x x ++=C ．212360x x ++=D ．220x x +-=【答案】C．考点：根的判别式．3．（2015贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】B ．【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．4．（2015钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x +=【答案】A ．【解析】试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．考点：解一元二次方程-配方法．5．（2015成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D ．【解析】试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．考点：根的判别式．6．（2015攀枝花）关于x 的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．34m >B ．34m >且2m ≠C ．122m -<<D ．324m <<【答案】D．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．10【答案】B ．【解析】试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．8．（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（）A ．2560(1)315x +=B ．2560(1)315x -=C ．2560(12)315x -=D ．2560(1)315x -=【答案】B．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．9．（2015达州）方程21(2)04m x --+=有两个实数根，则m 的取值范围（）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠C ．3m ≥D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．10．（2015泸州）若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）A．B．C．D ．【答案】B ．【解析】试题分析：∵2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0，A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确；故选B ．考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．11．（2015南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题．12．（2015佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．13．（2015怀化）设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则2221x x +的值是（）A ．19B ．25C ．31D ．30【答案】C ．考点：根与系数的关系．14．（2015安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（）象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D ．【解析】试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．15．（2015山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．【解析】试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．考点：解一元二次方程-因式分解法．16．（2015枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2【答案】A．考点：根与系数的关系．17．（2015淄博）若a 满足不等式组211122a a-≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于x 的方程21(2)(21)02a x a x a ---++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能【答案】C ．【解析】试题分析：解不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，得a ＜﹣3，∵△=21(21)4(2)()2a a a ---+=2a+2，∵a ＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程21(2)(21)02a x a x a ---++=没有实数根，故选C ．考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．18．（2015烟台）如果201(1)x x x --=+，那么x 的值为（）A ．2或﹣1B ．0或1C ．2D ．﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：∵201(1)x x x --=+，∴211x x --=，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：12x =，21x =-，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．19．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10【答案】B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．20．（2015大庆）方程)5(2)5(32-=-x x 的根是．【答案】15x =，2173x =．【解析】试题分析：方程变形得：23(5)2(5)0x x ---=，分解因式得：(5)[3(5)2]x x ---，可得50x -=或3170x -=，解得：15x =，2173x =．故答案为：15x =，2173x =．考点：解一元二次方程-因式分解法．21．（2015甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为．【答案】5．【解析】试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD 2234+=5．故答案为：5．考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．22．（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为．【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．23．（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x=-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________．【答案】2-．【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根；将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根．故m=2-．故答案为：2-．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．24．（2015凉山州）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n mm n +=．【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程23650x x --=的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-．∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-．考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．25．（2015泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为．【答案】27．考点：根与系数的关系．26．（2015绵阳）关于m 的一元二次方程2220n m --=的一个根为2，则22n n -+=．【答案】26．【解析】试题分析：把m=2代入2220n m --=得022742=--n n ，整理得：n n 7212=+，所以721=+n n ，所以原式=21()2n n +-=22-=26．故答案为：26．考点：一元二次方程的解．27．（2015内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是．【答案】2．【解析】试题分析：∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k ++===，解得：k=2，故答案为：2．考点：根与系数的关系．28．（2015咸宁）将263x x ++配方成2()x m n ++的形式，则m=．【答案】3．考点：配方法的应用．29．（2015荆州）若m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为．【答案】0．【解析】试题分析：∵m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，∴1m n +=-，21m m +=，则原式=2()()m m m n +++=1﹣1=0，故答案为：0．考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．30．（2015曲靖）一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=．（只需填一个）．【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．【解析】试题分析：∵一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根，∴△=2(5)40c -->，解得254c <，∵125x x +=，120x x c =>，c 是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型．31．（2015呼和浩特）若实数a 、b 满足(44)(442)80a b a b ++--=，则a b +=__________．【答案】12-或1．【解析】试题分析：设a b +=x ，则由原方程，得：4(42)80x x --=，整理，得：(21)(1)0x x +-=，解得112x =-，21x =．则a b +的值是12-或1．故答案为：12-或1．考点：换元法解一元二次方程．32．（2015吉林省）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，只要14m <即可，如：0．考点：1．根的判别式；2．开放型．33．（2015毕节）关于x 的方程2430x x -+=与121x x a =-+有一个解相同，则a=．【答案】1．【解析】试题分析：由关于x 的方程2430x x -+=，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x ﹣1=0，或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a =-+无意义；当x=3时，12313a =-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．34．（2015毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是L ．【答案】20．【解析】试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．考点：一元二次方程的应用．35．（2015日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++=．【答案】2026．考点：根与系数的关系．36．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54．【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac=-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①，29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误．故答案为：②③．考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．37．（2015黄石）解方程组：224 4 2 2 x y y ⎧+=⎪+=①②．【答案】111xy=⎧⎨=⎩，2212xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩．考点：高次方程．38．（2015自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．【解析】试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．39．（2015巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．40．（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482cm．你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）12cm和28cm；（2）正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．41．（2015崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．【解析】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府投资平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：2015年建设了18万平方米廉租房．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．42．（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．43．（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x；（2）1．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．44．（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++．令111234t++=，则原式=11 (1)()(1)55 t t t t -+---=22 114 555t t t t t +---+=1 5问题：（1）计算1111111111111111111 (1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014 -----⨯+++++--------⨯++++；（2）解方程22(51)(57)7 x x x x++++=．【答案】（1）12015；（2）10x=，25x=-．考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5．综合题．45．（2015十堰）已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．【答案】（1）112m ≥-；（2）2．【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-；（2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．46．（2015潜江）已知关于x 的一元二次方程042=+-m x x ．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为1x ，2x ，且满足22521=+x x ，求实数m 的值．【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．47．（2015鄂州）关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求k 的值．【答案】（1）k ＞34；（2）k=2．【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=430k ->，求出k 的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2211k k +=+，结合k 的取值范围解方程即可．试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22(21)4(1)k k +-+=2244144k k k ++--=430k ->，解得：k ＞34；（2）∵k ＞34，∴12(21)0x x k +=-+<，又∵21210x x k =+>，∴10x <，20x <，∵1212x x x x +=，∴1212x x x x --=，∴2211k k +=+，∴10k =，22k =，又∵k ＞34，∴k=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．【2014年题组】1．（2014年甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac 满足的条件是（）A.b2﹣4ac=0B.b2﹣4ac ＞0C.b2﹣4ac ＜0D.b2﹣4ac≥0【答案】B ．【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac ＞0．故选B ．考点：一元二次方程根的判别式．2.（2014年广西贵港中考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．﹣1【答案】A．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．3.（2014年内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x ﹣2=0的解是（）A.x1=2，x2=1 B.x1=﹣2，x2=1 C.x1=2，x2=﹣1 D.x1=﹣2，x2=﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C ．考点：因式分解法解一元二次方程．4.（2014年山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ B.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ C.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c ，两边同除以a ，得2b c x x a a +=-，两边同加上一次项一半的平方，得222b bc b x x a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭．故选A ．考点：配方法解一元二次方程．5.（2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．【答案】1．考点：一元二次方程和解的定义．6.（2014年广西桂林中考）已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，且()()112x 2x x 0--=，则k 的值是．【答案】2-或94-．【解析】试题分析：∵()()112x 2x x 0--=，∴1x 2=或12x x =．∵关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，∴若1x 2=，则()22222k 1k 20k 2+++-=⇒=-；若12x x =，则方程()22x 2k 1x k 20+++-=有两相等的实数根，∴()()2292k 141k 20k 4∆=+-⋅⋅-=⇒=-．∴k 2=-或9k 4=-．考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用．7.（2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为．【答案】x1=0或x2=2．【解析】试题分析：把方程的左边分解因式得x （x ﹣2）=0，得到x=0或x ﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0或x2=2．考点：因式分解法解一元二次方程．8.（2014年江西省中考）若,a b 是方程2x 2x 30--=的两个实数根，则22a +b =．【答案】10．【解析】试题分析：∵,a b 是方程2x 2x 30--=的两根，∴2,3a +b =a b =- ．∴()222222610a +b =a +b -a b =+=．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．9.（2014年江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x ﹣1=0．【答案】12x x == ．考点：公式法解一元二次方程．10.（2014年四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x 的关系式，求出即可．解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x ﹣40）[180﹣10（x ﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x ﹣52）=200个，不符合题意舍去．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．考点：一元二次方程的应用（销售问题）．☞考点归纳归纳1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2.一般形式:ax2+bx+c=0（其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中ax2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x=﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（）A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
北师大版九年级上数学 第2章 一元二次方程整理与复习练习
一元二次方程第一课：一元二次方程的解法（1）一元二次方程的概念:只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 是已知数且a ≠0），其中ax 2叫做 ，bx 叫做 ，a 叫做 系数，b 叫做 系数，c 叫做 。
(2)一元二次方程的常用解法( 形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，可用 方法. 配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项,使方程左边．．为二次项和一次项,右边．．为常数项； ③方程两边都加上一次项系数一半．．．．．．．的平方．．； ④把原方程变为2()x m n +=的形式；⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解. (3)公式法：求根公式为=x （ ≥0） (4)因式分解法：因式分解法的步骤： ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到并解出这两个一元一次方程。
3、根的判别式:一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的情况（ac b 42-=∆） (1)当Δ＞0时，方程有 实数根； (2)当 时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程 . 例1：关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程，则m =________.变式练习1：已知关于x 的一元二次方程()22110k x x k -++-=的一个根是0，则k = .另外一根为例2：用适当的方法解下列方程()081)2(412=--x ()015222=--x x()012532=-+x x ())3(6)3(24+=+x x x变式练习2：用适当的方法解下列方程()()5212=-x ()034222=--x x()03232=--x x ()24 3-7=0x x例题3：已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ，求实数m 的取值范围变式练习3：如果关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）. A ．1>4k - B ．1>4k -且0≠k C ．1<4k - D ．14≥k -且0≠k过关检测（一）选择题1、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）.A ．()()12132+=+x xB ．02112=-+xx C ．02=++c bx ax D ．1222-=+x x x2、方程5)3)(1(=-+x x 的解是 （ ）.A. 3,121-==x xB. 2,421-==x xC. 3,121=-=x xD. 2,421=-=x x 3、用配方法解一元二次方程245-=x x 的过程中，配方正确的是（ ）.A ．()221+=xB ．()221x -=C ．()229x += D ．()229x -=★4、方程x 2-4│x │+3=0的解是 ( )A.x=±1或x=±3B.x=1和x=3C.x=-1或x=-3D.无实数根5、使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是 ( )A.6B.-1或6C.-1D.-6 ★6、若()0n n ≠是关于x 的方程220++=x mx n 的根，则m +n 的值为（ ）.A ．1B ．2C ．-1D ．-2★7、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A.有两个不相等的同号实数根B.有两个不相等的异号实数C.有两个相等的实数根D.没有实数根 8、下列一元二次方程中,有实数根是( ).A.2-+1=0x x B. 2-2+3=0x x C. 2+-1=0x x D. 2+4=0x ★9、关于x 的一元二次方程kx 2+3x －1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ≤49-B 、k ≥49-且k ≠0C 、k ≥49-D 、k ＞49-且k ≠0 10、解下面方程：（1）()225x -=（2）2320x x --=（3）260x x +-=，较适当的方法分别为（ ）（A ）（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法 （B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法 （D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法 (二)填空题11、若一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 有一个根为1,则++a b c = ;若有一个根为－1,则b 与a c 、之间的关系为 ;若有一个根为零,则c = 12、已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程 . 13、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为14、关于x 的一元二次方程2+3-1=0kx x 有实数根，则k 的取值范围是 15、若x 2－6x －a 满足完全平方公式，则a = .（三）解答题16、用适当的方法解下列方程：(1) x 2+2x －2=0 (2) ()()214140x x -+-+=(3) x 2=4x （4）)2(222x x x -=+★17、阅读下面的例题： 解方程：022=--x x解：（1）当x ≥0时，得,022=--x x （2）当x ＜0时，得,022=-+x x 解得x 1 = 2 , x 2 = －1＜0（舍去）。
北师大版九年级数学上典中点第二章阶段强化专训二
专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在详细的解题过程中，联合方程的特色选择适合的方法，常常会达到事半功倍的成效．限制方法解一元二次方程方法 1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为()25A．x＝5B． x＝252C． x＝±D． x＝±252．用直接开平方法解以下一元二次方程，此中无解的方程为()A．x2－ 5＝ 5B．－ 3x2＝0C． x2＋ 4＝ 0 D ． (x＋1) 2＝ 0方法 2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋ 3＝ 4x，配方后的方程变成()A．(x－ 2)2＝7B． (x ＋2)2＝ 1C． (x－ 2)2＝ 1D． (x＋ 2)2＝ 24．解方程：x2＋4x－2＝0.22x5．已知x－10x＋y－16y＋89＝0，求的值．方法 3能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(改编·宁夏)一元二次方程x(x － 2)＝ 2－ x 的根是 ()A．x＝－ 1B． x＝ 0C． x1＝ 1， x2＝ 2D ．x1＝－ 1， x2＝27．解以下一元二次方程：(1)x2－ 2x＝ 0；(2)16x 2－ 9＝ 0；(3)4x 2＝ 4x－ 1.方法 4假如一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－14＝ 2x，方程的解应是()A．x＝－2± 5B． x＝2± 5 22C． x＝1± 5D ． x＝1± 3 229．用公式法解以下方程．(1)3(x 2＋ 1)－ 7x＝ 0；(2)4x 2－3x－ 5＝x－ 2.选择适合的方法解一元二次方程10．方程 4x 2－ 49＝0 的解为()27A ．x ＝ 7B ． x ＝ 2C ． x 1＝ 7， x 2＝－ 7D ． x 1＝ 2， x2＝－ 22 2 7711．一元二次方程 x 2－ 9＝ 3－ x 的根是 ()A ．x ＝ 3B ． x ＝－ 4C ． x 1＝ 3， x 2＝－ 4D ． x 1＝ 3， x 2＝4 12．方程 (x ＋ 1)(x － 3)＝ 5 的解是 ()A ．x 1＝ 1， x 2＝－ 3B ． x 1＝4， x 2＝－ 2C ． x 1＝－ 1， x 2＝ 3D ． x 1＝－ 4，x 2＝ 2 13．解以下方程．(1)3y 2－ 3y －6＝ 0； (2)2x 2－ 3x ＋1＝ 0.用特别方法解一元二次方程方法 1结构法14．解方程： 6x 2＋19x ＋ 10＝0.15．若 m ， n ， p 知足 m － n ＝ 8， mn ＋ p 2＋ 16＝ 0，求 m ＋ n ＋ p 的值．方法 2换元法a．整体换元16．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是() A．－2或3B．2 或－ 3C．－1或6D．1或－ 617．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.b．降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒数换元19．解方程x－2－3x＝2. x x－ 2方法 3特别值法20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2016.专训二1．C 2.C 3.C4．解：x2＋ 4x－2＝ 0，x2＋ 4x＝2，(x＋ 2)2＝6，x＋2＝± 6，x1＝－ 2＋6， x2＝－ 2－ 6.5．解：x2－10x ＋ y2－ 16y＋ 89＝ 0，(x2－ 10x＋ 25)＋ (y2－ 16y ＋ 64)＝0，(x－ 5)2＋ (y－ 8)2＝0，x 5∴ x ＝5， y ＝8，∴ y ＝ 8.6． D7．解： (1)x 2－2x ＝ 0， x(x －2) ＝0，x 1＝ 0，x 2＝2.20，x 1 ＝－3 3(2)16x － 9＝ 0， (4x ＋ 3)(4x － 3)＝ 4， x 2＝ .4(3)4x2＝ 4x － 1， 4x 2－ 4x ＋ 1＝ 0， 2＝ 0， x 1＝ x 2 1(2x － 1) ＝ .28． B9．解： (1)3(x 2＋ 1)－ 7x ＝ 0， 3x 2－7x ＋ 3＝ 0，∴ b 2－ 4ac ＝ (－7)2－ 4×3×3＝13.∴ x ＝7± 13＝7± 13.2×3 6 ∴ x 1＝7＋ 13， x 2＝ 7－ 13 .6 6 (2)4x 2－ 3x － 5＝ x － 2，4x 2－ 4x － 3＝ 0，224± 64∴ b － 4ac ＝ (－4) － 4×4×(－ 3)＝ 64.∴ x ＝ 2×4.3 1∴ x 1＝ ， x 2＝－ .2 2 10． C 11.C 12.B13．解： (1)3y2221 9 12 91 3 － 3y － 6＝0， y － y － 2＝ 0， y－ y ＋－ ＝ 0， y －2＝， y － ＝ ± ，44422∴ y 1＝ 2， y 2＝－ 1.2223±1(2)2x － 3x ＋ 1＝ 0，∴ b － 4ac ＝ (－ 3) － 4×2×1＝1.∴ x ＝.1∴ x 1＝ 1， x 2＝ 2.14．解：将原方程两边同乘 6，得 (6x) 2＋ 19×(6x) ＋ 60＝0.解得 6x ＝－ 15 或 6x ＝－ 4.∴ x 1＝－ 5， x 2＝－ 2.2 315．解：由于 m － n ＝ 8，因此 m ＝ n ＋ 8.将 m ＝ n ＋ 8 代入 mn ＋ p 2＋ 16＝ 0 中，得 n(n ＋ 8)＋ p 2＋ 16＝ 0，因此 n 2 ＋8n ＋ 16＋p 2＝ 0，即 (n ＋ 4)2＋ p 2＝ 0.又由于 (n ＋ 4)2 ≥0， p 2≥0，因此n ＋ 4＝0，p ＝ 0，解得n ＝－ 4， p ＝ 0.因此 m ＝n ＋ 8＝ 4，因此 m ＋n ＋ p ＝ 4＋( －4)＋ 0＝ 0.16． B17．解：原方程即 [(x －1)(x －4)][(x － 2)(x － 3)] ＝ 48，即 (x 2－ 5x ＋4)(x 2－ 5x ＋ 6)＝ 48.设 y ＝ x 2－ 5x ＋ 5，则原方程变成 (y － 1)(y ＋ 1)＝ 48.解得 y 1＝ 7， y 2＝－ 7.当 x 2－ 5x ＋ 5＝ 7 时，解得 x 1＝5＋ 33， x 2＝ 5－ 33；22当 x 2－ 5x ＋ 5＝－ 7 时， ＝ (－ 5)2－ 4×1×12＝－ 23<0，无实数根． ∴原方程的根为 x 1＝5＋33， x 2＝5－ 33 .2 218．解：经考证， x ＝ 0 不是方程的根， 原方程两边同除以x 2，得 6x 2－ 35x ＋ 62－35＋ 62x x＝ 0，211即 6 x＋x 2－ 35 x ＋x ＋ 62＝0.设 y ＝ x ＋ 1，则 x 2＋ 12＝ y 2－ 2，x x 原方程可变成6(y 2－ 2)－ 35y ＋ 62＝ 0.5 10解得 y 1＝ 2， y 2＝3 .当 x ＋1x ＝ 52时，解得 x ＝2 或 x ＝12；当 x ＋1＝ 10时，解得x ＝3 或 x ＝1.x 33经查验，均切合题意．∴原方程的解为 x 1＝ 2， x 2＝ 1， x 3＝ 3， x 4＝1.23 19．解：设 x － 2＝ y ，则原方程化为 y － 3＝ 2，整理，得 y 2－ 2y －3＝ 0，∴ y 1 ＝3， y 2＝x y－ 1.当 y ＝ 3 时，x － 2＝3，∴ x ＝－ 1.当 y ＝－ 1 时，x － 2＝－ 1，∴ x ＝ 1.经查验， x ＝ ±1 都是xx原方程的根，∴原方程的根为x1＝ 1， x2＝－ 1.x－ 2 013＝ 2 016，20．解：方程组的解必定是原方程的解，解得x＝4 029.x－ 2 014＝ 2 015x－ 2 013＝－ 2 015，方程组的解也必定是原方程的解，解得x＝－ 2.x－ 2 014＝－ 2 016∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝ 4 029， x2＝－ 2.点拨：解此题也可采纳换元法．设x－ 2 014＝ t，则 x－ 2 013＝ t＋ 1，原方程可化为t(t ＋ 1)＝ 2 015 ×2 016，先求出t，从而求出x.。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程4用因式分解法解一元二次方程
2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次
出现，可以用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变
形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方
程，从而达到降次的目的.
典例精讲
【题型一】用因式分解法解一元二次方程
例 1： 用因式分解法解下列方程：
所拼的图形画在虚线方框内.
a=0或b=0
总结:1.如果 ab=0,那么________.
等于0
2.因式分解法：当一元二次方程的一边________，而另一边易于分解
成 两个一次因式的积
时，令每个因式分别为就是原方程的解，这种解方程的
方法称为因式分解法.
等于0
3.一般步骤如下：(1)整理方程使其右边________；
力，学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提
高学生解决问题的能力.
旧知回顾
1.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法？
（直接开平方法、配方法、公式法）
2.分解因式的方法有哪些？
（提公因式法、公式法）
对于方程x2-2x=0，除了可以用配方法或公式法求解，还
可以怎样求解呢?观察和分析小亮的思考及解法，你认为
解: 设t=x+y,则原方程变形为(t-3)(t+4)=-10,
整理得t²+t-2=0,(t+2)(t-1)=0,
解得t₁=-2,t₂=1,
∴x+y=-2或x+y=1.
典例精讲
【题型二】用换元法解方程
变式 1: 解方程:²+ + +
²
= .
北师大版九年级数学上第2章一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程(2)(包含答案)
2.2 用配方法求解一元二次方程（2）（含答案）一、选择题：1、把方程04242=++-x x 的二次项系数化为1，方程可变为（ ）A 、01212=++x xB 、01212=+-x xC 、01212=--x xD 、01212=-+x x 2、把方程02322=--x x 配方成n m x =+2)(的形式，则n m 、的值分别是（ ）A 、1625,43=-=n mB 、1625,23=-=n mC 、1627,43=-=n mD 、425,43=-=n m 3、用配方法解方程0122=--x x ，变形结果正确正确的是（ ）A 、169)41(2=-x B 、1625)41(2=-x C 、1617)41(2=-x D 、43)41(2=-x 4、用配方法解下列方程，配方有误的是（ ）A 、09922=--x x 化为100)1(2=-xB 、04722=--x x 化为1681)47(2=-x C 、0982=++x x 化为25)4(2=+x D 、02432=--x x 化为910)32(2=-x 5、用配方法解方程0622=--x x ，开始出现错误的一步是（ ）①622=-x x ；②3212=-x x ；③41341212+=+-x x ；④413)21(2=-x ； A 、① B 、② C 、③ D 、④6、用配方法解方程01632=+-x x ，方程可变形为（ ）A 、31)3(2=-xB 、32)1(2=-xC 、31)1(32=-x D 、1)13(2=-x 7、用配方法解方程x x 7322=+时，方程可变形为（ ）A 、437)27(2=-x B 、443)27(2=-x C 、161)47(2=-x D 、1625)47(2=-x 8、在解方程01422=++x x 时，下列两种配方方法：方法①：1422-=+x x ，2122-=+x x ，121122+-=++x x ，21)1(2=+x ； 方法②：1422-=+x x ，2842-=+x x ，424842+-=++x x ，2)22(2=+x ；其中正确的说法是（ ）A 、方法①正确，方法②不正确B 、方法②正确，方法①不正确C 、两种方法都不正确D 、两种方法都正确二、填空题：9、把方程01422=--x x 化为23)(2=+m x 的形式，则____=m ； 10、方程01432=-+x x 可以配方成n m x =+2)(，则________==n m ，；11、用配方法解方程3852=+x x ，二次项系数化为1后，方程两边都加上的数是_______；12、（1）将一元二次方程01422=+-x x 配方后，得：=-2)1(x _____； （2）将一元二次方程x x 5322=-配方后，得：=-2)45(x _____；13、（1）_____)____(275222+-=+-x x x ；（2）_____)____(231212322-+=-+x x x ； 三、解答题：14、用配方法解下列方程：（1）09632=--x x ； （2）0242=++-x x ；案）15、用配方法解下列方程：（1）91222=-x x ；（2）x x 6132=-；（3）1)53()1(2-+=-x x x ；16、把一根长40厘米的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连分别围成正方形；（1）要使这两个正方形的面积之和为58平方厘米，应该怎样剪这根铁丝？（2）有人认为这两个正方形的面积之和不可能为48平方厘米，这个想法正确吗？请说明理由；17、在用配方法解一元二次方程时，一般先把二次项系数化为1，再进行配方；请阅读方程（1）的解法，再按这种方法解方程（2）：方程（1）：032222=--x x ； 解：由原方程得：13122)2(2+=+-x x 即：4)12(2=-x ∴212±=-x ∴223,2221=-=x x解方程（2）：26232=-x x ；参考答案：1~8 CDACC BDD9、1； 10、9732，； 11、2516； 12、（1）21；（2）1649； 13、（1）83145，；（2）242561，； 14、（1）1321-==x x ，；（2）626221-=+=x x ，；15、（1）2633263321-=+=x x ，；（2）3321332121-=+=x x ，；（3）465474654721-=+=x x ，； 16、（1）设剪成两段铁丝的长分别为x 厘米，（40-x ）厘米， 依题意得：58)440()4(22=-+x x整理得：0336402=+-x x解得：122821==x x ，∵28+12=40∴剪成两段铁丝的长分别为28厘米，12厘米；（2）设剪成两段铁丝的长分别为y 厘米，（40-y ）厘米， 由48)440()4(22=-+y y整理得：0416402=+-x x配方得：16)20(2-=-x上面方程无解，所以两个正方形的面积之和不可能为48平方厘米；17、由原方程得：222)2(2)2(232)3(+=+⋅-x x 即：4)23(2=-x ∴223±=-x ∴2326,332621-=+=x x ；。