第七章 电子自旋

照相片PP上的2条分立的线对应于
和
。
由于氢原子处于S态, 角量子数 ,因此磁量子数
,
没有轨道角动量,也没有轨道磁矩(见习题3.4).因此氢原子所具
有的磁矩是电子的固有磁矩,即自旋磁矩.
其他实验证明:光谱线也有精细结构，
例如钠原子光谱中2p 1s的谱线由两条靠得很近的谱线组成。
1925乌伦贝克和哥德斯密脱提出以下假设:
不仅与主量子数有关,而且与角量子数也有关。
由（7.3-6）、（7.3-7）和（7.3-4）以及
(7.3-6) (7.3-7)
（7.3-4）
（7.3-8）
（7.3-8） 讨论: (1)由上式可知,在外磁场中,能级与磁量子数m和自旋状态都有
而
由此可知, 的本征值为
同理可得 ， 的本征值也是±1
故有 ：
（7.2-10）
可以证明算符各分量之间满足反对易关系 ：
的本征值都是
（7.2-11）
（7.2-12）
（7.2-11）
考虑到自旋角动量与轨道角动量无关,为了完整地描写电子 的状态,电子的波函数应当为：
（7.2-14）
由于
,因此式可以写为两个分量 ：
其分量式为：
（7.2-1）
（7.2-2）
由于自旋角动量在空间任意方向的投影只能取两个数值
的本征值都是
所以算符 , , 的本征值都是 ,故有：
因此算符 的本征值是
（7.2-3） （7.2-4）
（7.2-4）
令： 则有 征值
（7.2-5） . 称 为自旋量子数.与轨道角动量平方算符的本
比较 ： 但是S 只能取一个数值
由此可得 有非零解的条件
由此得 对应
即 的本征值为 得
利用归一化条件
取 所以
（实际取
得
中的相角
）
（7.2-26）
同理可得：
（7.2-27）
二者正交
自旋算符的任一个函数 构成一个算符,可以表示为二行二 列的矩阵:
（7.2-28） 算符 在 态中,对自旋求平均的结果是
（7.2-29）
算符 在 态中,对坐标和自旋同时求平均得到平均值为 （7.2-30）
于电子轨道的回转磁比率
的2倍。
§7.wk.baidu.com 电子的自旋算符和自旋函数 1. 电子的自旋角动量 (1)电子具有自旋角动量是一个纯量子特性,不能用经典力学解释,
自旋角动量算符也不能通过坐标算符与动量算符构造出来。
如果把自旋看作与经典力学的自转角动量, 则可以证明电子表 面的线速度将为光速的67倍! (2)自旋角动量是电子内部状态的表征,是描写电子状态的第4 个变量。 (3)对比轨道角动量算符的对易关系：
第七章 自旋与全同粒子
从历史上看，电子自旋先由实验上发现，然后才由狄 拉克（Dirac）方程从理论上导出的。进一步研究表明，不 但电子存在自旋，中子、质子、光子等所有微观粒子都存 在自旋，只不过取值不同。自旋和静质量、电荷等物理量 一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。
在电子自旋的学习中，首先要了解电子自旋的实验 依据及自旋假设，重点掌握电子自旋的描述，同时能应 用电子自旋的理论解释原子光谱现象。
因电子自旋有两个取向, 完整地描写电子的状态需要4个量子数: 主量子数n, 角量子数 l , 磁量子数 , 自旋量子数 ,
代表电子自旋的两个取向
2. 电子的自旋算符 (泡利矩阵) 为了表述方便, 定义算符 如下
（7.2-6）
或
写成分量：
（7.2-7）
将上代入 得到：
（7.2-8）
（7.2-9）
因为算符 , , 的本征值都是 ,故有：
（7.2-19）
亦即 故有
（7.2-20）
（7.2-21）
最后得到的表达式为：
因为：
（7.2-22）
利用厄密矩阵的性质及反 对易关系式得到(见附录IV)
所以：
（7.2-23）
（7.2-24）
此3 个矩 阵称为泡 利矩阵。
3. 电子波函数的归一化及几率密度
由
由波函数 定义的几率
密度为
表示的电子波函数的归 一化除了对空间坐标积 分之外,还要对自旋求和, 即：
（7.3-2）
（7.3-3）
将上两式代入得(7.3-1)式得到 和 所满足的方程: （7.3-4）
（7.3-5）
在外磁场不存在时, 方程(7.3-4)和(7.3-5)的解是: (7.3-6)
故有:
(7.3-7)
其中 为碱金属原子情况下哈密顿算符的能量本征值, 因为在碱金属原子的哈密顿算符中的静电势能项要考虑其 它电子的屏蔽效应。
证明电子具有自旋的实验—斯特恩-革拉赫实验
实验装置 :
现象:发射源K射出的处于S态(即
角量子数
)的氢原子束,通
过非均匀磁场发生偏转,在照相片
PP上出现2条分立的线。
分析: 2条分立的线说明氢原子
的磁矩在磁场中只有两种取向,
即它们是空间量子化的。
假设原子的磁矩为 ,则它在
沿 方向外磁场中的势能为：
氢原子在Z方向受到的力为：
(1) 每个电子均具有自旋角动量 只能取
,它在空间任何方向的投影 （7.1-1）
(2)每个电子具有自旋磁矩 ,它和自旋角动量 的关系为：
(SI) （7.1-2）
在空间任意方向上的投影只能取两个数值:
其中 为玻尔磁子。
(SI) （7.1-3）
(SI) （7.1-3）
这个比值称为电子自旋的回转磁比率,它等
例题: 在σz 的表象中,求σ·n 的本征态,n=(sinθcosφ,sinθ sinφ,cosθ) 是(θ,φ)方向上的单位矢。
§ 7.3 简单塞曼效应 氢原子和类氢原子的电子由于受到外磁场的作用而引起的附加 能量为:
哈密顿算符为: 其中: 则体系的定态薛定谔方程为:
（7.3-1）
方程中含有自旋算符 ,但是由于外部磁场很强,没有考虑自 旋与轨道的相互作用能,因此 的形式为:
这两个分量可以排成一个二行一列的矩阵: （7.2-15）
如果电子处于
的自旋态,则其波函数表示为:
（7.2-16）
如果电子处于的
自旋态,则其波函数表示为 （7.2-17）
由矩阵的乘法规则可知,自旋算符应当是二行二列的矩阵。
设 （7.2-18）
对应于本征值为 本征值方程为：
的
同样, 对应于本征值为
的本征值方程为：
其中
物理意义？
式中 是 的共轭矩阵。
4. 电子的自旋函数 在忽略电子的自旋和轨道运动的相互作用的情况下,电子的波 函数可以表示为 ：
（7.2-25） 其中 是描写电子的自旋状态的自旋函数(自旋波函数) 一般应表示为二分量形式
的具体形式要在具体表象中确定。
令 的本征函数为 则本征方程为：
，对应的本征值为