第七章 电子自旋
物理学中的电子自旋
物理学中的电子自旋电子在物理学研究中扮演着重要的角色，而电子自旋则是电子的一个特殊属性，对于电子自旋的研究与应用具有重要意义。
本文将介绍电子自旋的概念、性质以及在实际应用中的重要作用。
一、电子自旋的概念与性质电子自旋是描述电子特性的量子数之一，表示电子围绕自身轴旋转的角动量。
电子自旋值可以取正值或负值，且其单位是普朗克常数的一半。
根据量子力学的理论，电子自旋只能取两个值，即“自旋向上”和“自旋向下”。
电子自旋的正负值代表了电子旋转方向的不同，而自旋向上和自旋向下则分别表示电子自旋在自旋量子数z方向上的投影为正和负。
通过自旋量子数的表示，我们可以区分具有不同自旋方向的电子。
电子自旋还具有与空间角动量垂直且大小固定的特性，这使得电子自旋在许多领域的研究和应用中具有重要价值。
二、电子自旋的研究与应用1. 量子力学与自旋理论量子力学中的自旋理论为我们深入了解电子自旋的性质和行为提供了基础。
通过研究自旋态和自旋概率密度，我们可以更好地理解电子在原子和分子中的行为，以及它们对于化学反应和物质性质的影响。
2. 磁性材料与磁存储技术电子自旋直接与磁性材料和磁存储技术相关。
在磁记录中，例如硬盘驱动器和磁带，信息是通过读写头产生磁场来写入或读取的，而读写头中的电子自旋在此过程中起着关键作用。
研究电子自旋和磁性材料之间的相互作用，有助于提高磁存储技术的性能和稳定性。
3. 电子自旋共振电子自旋共振是通过外部磁场作用下，使电子自旋状态发生变化的一种技术。
它被广泛应用于核磁共振成像（MRI）中，用于观测和诊断人体组织和器官的结构和功能。
电子自旋共振在医学、生物学和材料科学领域有着重要的应用和研究价值。
4. 自旋电子学自旋电子学是一种新兴的领域，利用电子自旋操控和传输信息。
与传统的电子学不同，自旋电子学在信息处理和存储中利用电子自旋来替代电荷。
这一领域的发展有望在信息技术中带来更高的速度、更低的功耗和更大的容量。
5. 自旋量子计算自旋量子计算是以电子自旋状态作为计算基本单元的一种量子计算方法。
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋原子是构成物质的基本单位，其结构包括核和围绕核运动的电子。
在原子结构中，电子自旋和核自旋是两个非常重要的物理概念，它们对原子的性质和行为都有重要影响。
一、电子自旋1.电子自旋的概念电子自旋是电子固有的一种内禀性质，它并不是电子真正的旋转运动，而是描述电子的一种量子性质。
电子自旋可以用两种态来描述，即上自旋态和下自旋态，分别用↑和↓表示。
这两种态是对应于电子自旋在空间中的两个方向，它们之间没有中间态。
2.电子自旋的测量电子自旋的测量是基于量子力学的原理，它具有不确定性。
当进行电子自旋的测量时，不可能同时测量出电子的位置和自旋方向。
根据量子力学的测不准原理，测量电子的自旋方向会使得其位置的不确定性增加，反之亦然。
3.电子自旋的性质电子自旋在原子结构中具有重要的作用。
它决定了原子在外加磁场下的行为，从而影响了原子的磁性。
电子自旋还与化学键的形成和原子光谱的性质有关。
由于电子自旋的存在，原子的能级结构会呈现出一些特殊的规律，如Pauli不相容原理等。
4.康普顿散射电子自旋还与康普顿散射现象相关。
康普顿散射是指X射线与物质中的自由电子相互作用而发生散射的现象。
在康普顿散射中，X射线会与电子的自旋磁矩相互作用，使得散射角度发生变化，从而可以用来测量电子的自旋。
二、核自旋1.核自旋的概念核自旋是核子固有的自旋角动量，通常用I来表示。
与电子自旋类似，核子的自旋也具有量子性质，即其自旋角动量只能取离散的数值。
在自然界中，存在很多核素，它们的核自旋可以是整数或半整数。
2.核自旋的性质核自旋是核物理研究的重要参数之一，它与原子核的稳定性、核衰变、核磁共振等现象密切相关。
核自旋还可以影响原子的磁性和核荷分布，从而影响原子的化学性质。
3.核自旋共振核自旋可以通过核磁共振技术来研究。
核磁共振是一种利用核自旋的方法来研究物质结构和性质的技术。
在核磁共振中，外加磁场使得具有核自旋的原子核产生共振吸收信号，从而可以得到有关原子核的信息。
电子自旋
举例
自由基测量
自由基测量
生物氧化与还原反应都是以单电子转移方 式进行的。 由于自由基中间体活性高 、 式进行的 。 由于自由基中间体活性高、 寿 命短， 因而需要有一些特殊的技术和装置。 命短 ， 因而需要有一些特殊的技术和装置 。 例如快速反应技术、 快速流动装置 、 例如快速反应技术 、 快速流动装置、 光辐 照系统等才能对其进行EPR检测， 照系统等才能对其进行EPR检测，或者用一 些自由基捕捉剂捕捉瞬间自由基，再 对其进行EPR研究。 对其进行EPR研究。
分析与展望
用此技术可以检测大分子和像膜一类的分 子聚集态中心的细微变化，特别是它们的 溶液构象等问题。 随着仪器的不断的改善和技术的创新，EPR 随着仪器的不断的改善和技术的创新，EPR 在化学、物理、生物、医学等领域将会获 得越来越广泛的应用。
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概述
物理学家最先用EPR技术研究某些复杂原子 物理学家最先用EPR技术研究某些复杂原子 的电子结构、物质的晶体结构、偶极矩、 分子结构、金属与半导体中的自由电子、 色心与发光中心等。 随后有机化学家用它来研究电化学、光化 学、辐射化学、高分子化学及高温分解中 出现的自由基等。
概述
EPR是目前检测未成对电子的唯一直接的方 EPR是目前检测未成对电子的唯一直接的方 法 ， 它具有检测灵敏度高、 样品不受破坏 它具有检测灵敏度高 、 和对化学反应无干扰等优点。 因此， 和对化学反应无干扰等优点 。 因此 ， 通过 追踪反应过程中未成对电子的形成、 消失 、 追踪反应过程中未成对电子的形成 、 消失、 再生和转移， 再生和转移 ， 对研究反应机制和了解物质 的结构与性能的关系有重要的作用。
概述
在生物大分子中有许多含有未成对电子， 如酶促反应中的中间体，含有顺磁性的过 渡金属离子的酶，细胞代谢过程中出现的 中间体等，这些物质最适宜于用EPR来研究。 中间体等，这些物质最适宜于用EPR来研究。 此外某些药物的作用也跟自由基中间体有 关，如最近对光合作用、衰老与致癌作用 的研究，都涉及到自由基。
电子自旋的性质
电子自旋的性质电子自旋是指电子在自身轨道运动中产生的一种内禀旋转运动，它是量子力学研究中的一个重要概念。
1. 引言电子自旋是描述电子运动状态的一个量子数，它被用来解释一系列现象和性质。
本文将详细探讨电子自旋的性质，包括不同自旋态的表示方式，自旋的测量和量子叠加原理。
2. 不同自旋态的表示方式电子自旋有两种可能的态，分别称为自旋上态和自旋下态。
通常用符号|↑⟩和|↓⟩表示这两种态。
这两个态可以看作是垂直于某个轴的两个矢量，它们构成了自旋空间的基矢。
3. 自旋的测量在实验中，我们可以对电子进行自旋的测量。
测量的结果只能是自旋上态或自旋下态，无法得到中间态或其他类似连续谱的结果。
这是因为自旋是量子态，只能测量其离散的性质。
4. 自旋的量子叠加原理根据量子叠加原理，电子的自旋可以处于上态和下态的叠加态，即|ψ⟩= α|↑⟩+ β|↓⟩。
其中，α 和β 是复数，满足|α|^2 + |β|^2 = 1。
这种量子叠加使得电子可以处于多个自旋态的叠加态中，具有更复杂的性质和行为。
5. 自旋的应用电子自旋在实际应用中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在核磁共振成像（MRI）中，利用电子自旋的性质来获取人体内部组织的图像。
此外，电子自旋还被应用于量子计算、量子通信等领域，为科学和技术的发展做出了重要贡献。
6. 结论电子自旋是描述电子状态的一个重要概念，它具有离散的性质，可以处于自旋上态、自旋下态或它们的叠加态中。
电子自旋的研究不仅推动了量子力学的发展，还为现代科学和技术的进步提供了新的思路和方法。
7. 参考文献- Griffiths, D. J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.).- Sakurai, J. J., & Napolitano, J. (2017). Modern Quantum Mechanics (2nd ed.).注意：以上内容全部为虚构，仅用于演示目的。
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自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
Bohr 磁子
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（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
（2）轨道回转磁比率 我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
则，轨道回转磁比率为：
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的 自旋态，则波函数可分别写为：
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（四）含自旋波函数的归一化和几率密度
（1）归一化
电子波函 数表示成
矩阵形 式后，
波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即
（2）几率密度
表示 t 时刻在 r 点附近 单位体积内找到电子的几率
利用反对易 关系
σX 简化为：
得：b = c* (或c = b*)
令：c = exp[iα] (α为实），则
σx2 = I
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求σy 的矩阵形式
写成矩阵形式
这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：
从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：
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（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐 标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
写成列矩阵
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = -/2。
第七章1 电子自旋
S
Sz 2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量 的关系为：
e MS S c
7
（三）回转磁比率
1 自旋回转磁比率 2 轨道回转磁比率
MSz Sz
e c
轨道角动量与轨道磁矩的关系是： ML
则，轨道回转磁比率为：
e 2 c
L
Mz e Lz 2 c
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 /2，即有：
Sz 1 2 1
2
矩阵形式
a 1 1 0 c 1
2
a b ( r , t ) ( r 1 , t ) 1 2c d 0 2 0
8
可见自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符
（二）含自旋的状态波函数
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
（四）含自旋波函数的归一化和概率密度
（五）自旋波函数 （六）力学量平均值
9
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解 释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有 着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
2
§1 电子的自旋
（一）电子自旋的引入 (二）Stern-Gerlach 实验 （三）回转磁比率
3
（一）电子自旋的引入
除了轨道角动量外，电子还具有自旋角动量，简称自旋。 自旋是电子的内禀角动量，与通常的坐标空间没有关系， 因此没有经典对应。自旋是一种相对论效应，不能被 Schrodinger方程自动包括，只能依据实验事实和角动量 的一般性质，对自旋和自旋磁矩的形式作出假定。 目前，对自旋的物理本质了解得还不十分透彻。 早期揭示电子具有自旋的实验事实是 :
技能高考之中科院量子力学超详细笔记第七章电子自旋角动量
σ x ，再进一步约定位相α = 0 ，于是有
01 σ x= 1 0
接着由（7.6b）式，求得σ y 为
0 σ y = −iσ zσ x = i
−i 0
总之，在规定σ z 为对角形式并约定σ x 的位相之后，就得到下面这组 2 × 2 的自逆、反对易、零迹的厄米矩阵 ——Pauli 矩阵，用它们就可 以具体地实现自旋角动量的对易规则，
利用例3 结果，可得
（7。12）
e σ e = −i
α 2
σ
x
iα 2
σ
x
y
cos
α 2
−
iσ
x
sin
α 2
σy
cos
α 2
+
iσ
x
sin
α 2
=
σ
y
cos
2
α 2
−
i
sin
α 2
cos
α2[σ
x,σ
y]+ σ
xσ
yσ
xsin
2α 2
= σ y cosα + σ z sinα
由 x → y → z → x 的循环置换，可以得到其余四个公式。顺便指出，由
反对易关系，
[ ] 0 = [σ 0 ,σ j ]= σ i 2 ,σ j = σ i [σ i ,σ j ]+ [σ i ,σ ]σ ji = 2iε ijk (σ iσ k + σ kσ i ) = 2iε ijk {σ i ,σ }. k
对任一给定的 j ，总可以取i,k ，使i ≠ k ≠ j ，于是得到σ i之间的反对
以 137 倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，
第七章-自旋和全同粒子
第七章自旋和全同粒子§7 - 1 电子自旋一电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。
实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。
描述电子自旋运动的两个物理量：1 、自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值21±=z s ；(7. 1)2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是：S es m e-=μ,(7. 2)B es 2μμ±=±=m e z,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，B μ：玻尔磁子。
3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） es e s 2m e g m e s zz=-=μ,(7. 4)g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数,是对于轨道运动的g 因数的两倍。
强调两点：● 相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程−−狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。
●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。
实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。
特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。
电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：● 若已知电子处于/2z s =，波函数写为 (,/2)(,) 0zs ψψ⎛⎫=⎪⎝⎭r r● 若已知电子处于/2z s =-，波函数写为0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭r r ● 概率密度2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且位置在r 处的概率密度；2)2/,( -r ψ：电子自旋向下()2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。
量子力学第七章自旋
第七章自旋与角动量7．1电子的自旋许多实验事实都证明电子具有自旋。
下面叙述的斯特恩革拉赫（Stern —Gertach ）实验就是其中的一个，实验示意图如下：在上图中，K 为基态氢原子源，氢原子自K 射受狭缝BB 的控制而成为扁平细束，然后通过不均匀磁场而射到照相底片PP 上，实验结果是照相底片上出现两条分列的线。
这说明了两个问题：（a ）氢原子具有磁矩。
由于实验中的氢原子处于基态（IS 态），角量子数 =0,即轨道角动量为零。
而由第二章习题15可知，轨道磁矩为：L e M Lμ2-= （7.1-1）所以轨道磁矩也为零；同时原子核（质子）的固有磁矩应很小，所以氢原子中的电子具有固有磁矩，即自旋磁矩。
（6）电子的自旋矩在磁场中只有两种取向，也就是说是空间取向量子化的。
如果没电子的自旋磁矩为 ，处磁场 同子轴正方向，则基态氢在处磁场中的势能为：θcos B M B M U s S -=⋅-=风基态氢原子在沿子轴方向所受的力为：θξξcos ∂∂=∂∂-=BM U F s y 如果s M可取任何方向，则cos θ应当可能从+1到-1到连续变化，在照相底片上应该得到一条连续的带，但实验结果只有两条分立的线，时京应于cos θ=+1和-1，可见s M的空间取向是量子化的。
应用分辨率较高的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中2P →1S 的谱线是由两条靠得很近的谱线组成的;其他原子光谱中也存在双重线或多重线结构，这种结构称为光谱线的精细结构，只有考虑了电子 的自旋，光谱线的精细结构才能得到解释。
鸟伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱（Goudsmit ）为了解释上述现象，在1925年提出了下面的假设：（1）每个电子具有旋角动量S，它在任何方向（z 轴）上的投影只能取两个值：2hS z = （7.1-2）（2）每个电子具有自旋磁矩s M，它和S 的关系是：s M =—S me（7.1-3）其中-e 为电子的电荷，m 为电子的质量。
电子自旋
ˆ 则 S zΨ1 = Ψ1 2
ˆ S zΨ 2 = − Ψ 2 2
ˆ S z 的本征态只有 Ψ1 ,Ψ。 2
把两个分量排成一个二行一列的矩阵为：
⎛Ψ1 ( x, y, z, t ) ⎞ Ψ =⎜ ⎟ ⎜Ψ ( x, y, z, t )⎟ ⎠ ⎝ 2
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = - /2。
Ψ = Ψ ( x, y, z, S z , t )
⎧ ⎪Ψ 1 ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , + 2 , t ) ⎪ ⎨ ⎪Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , − , t ) ⎪ 2 2 ⎩
由于 SZ 只取 ± /2 两个值，所以上式可 写为两个分量：
0 ⎞ ⎛ ⎛ 0⎞ ⎟ =Ψ 2 ( x, y, z , t )⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎜1⎟ Ψ 2 ( x, y , z , t ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛1⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 2
ˆ Sz χ 1 =
2
2
χ1
2
Ψ −1/ 2
⎛0⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ − ⎝ ⎠ 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧σ x σ y + σ y σ x = 0 ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨σ y σ z + σ z σ y = 0 ⎪ˆ ˆ ˆ ˆ ⎩σ z σ x + σ x σ z = 0
从 反 对 易 关 系 式 出 发
证明（法一）：（以第一个式子为例）
ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y + σ yσ x
说明：
1. 若已知电子处于 S z =
2
电子自旋
2．GMR在各种逻辑元件和全金属计算机中的应用 GMR在各种逻辑元件和全金属计算机中的应用
12
二. 半导体自旋电子学（Semiconductor Spintronics） 半导体自旋电子学（ Spintronics）
半导体自旋电子学将“自旋”极化载流 子引入到半导体中，利用电子电荷流动和 自旋的相互影响，将可能直接发展微电子 学的新的功能，使其更加丰富多样。改变 现代信息处理技术的模式，操作半导体中 的电子自旋自由度或同时操作半导体中的 电子自旋和电子电荷两个自由度同时进行 进行信息的传输、处理和存储。
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一、起源——巨磁阻效应 一、起源——巨磁阻效应
所谓巨磁阻效应，是指磁性材料的电阻 率在有外磁场作用时较之无外磁场作用时 存在巨大变化的现象，是在1988年，由费 存在巨大变化的现象，是在1988年，由费 尔和格林贝格尔就各自独立的。
4
巨磁电阻效应（Giant 巨磁电阻效应（Giant 磁电子学 Fe/Cr超晶格by MBE Magnetoresistance，GMR） Magnetoresistance，GMR） Fe
GMR的发现的重要性： GMR的发现的重要性： 的发现的重要性
产生了很多新兴学科，并引起人们对已经研究过的 学科的再研究的兴趣。 磁电子学 自旋电子学 （半导体自旋电子学）
广泛的应用性和巨大的应用价值
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一. 硬盘
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1988 Discovery of GMR by Peter Grünberg and Albert Fert Grü (Nobel Prize 2007) 2007) 2000 IBM and Infineon establish joint research program 2003 First MRAM chips sold by Cypress, 128KBit 128KBit July 2006 Freescale starts selling 4MBit chips August 2007 IBM and TDK to start researching spin-momentum-transfer spin-momentumfor 65nm – MRAM - chips 65nm
电子自旋知识点
电子自旋知识点自旋是微观粒子的一种内禀性质，描述了粒子围绕自身轴心旋转的特性。
自旋具有两种取向：向上的自旋（通常表示为↑）和向下的自旋（通常表示为↓）。
在物理学中，电子自旋是一种重要的概念，对于理解电子在原子、分子以及固体中的性质和行为具有重要意义。
本文将介绍一些与电子自旋相关的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 自旋的基本特性自旋是电子的一种内禀性质，类似于电荷和质量。
自旋与电子的角动量密切相关，可以被理解为电子围绕自身轴心旋转所产生的一种运动。
自旋的取值只能为正负1/2，表示两种自旋态：向上的自旋（↑）和向下的自旋（↓）。
2. 自旋磁矩自旋具有磁矩，这是由于电子带有电荷以及自旋运动所产生的。
电子的磁矩大小与其自旋有关，自旋向上的电子具有一定的磁矩，自旋向下的电子也具有相同大小但相反方向的磁矩。
自旋磁矩对于电子在磁场中的行为起着重要作用。
3. 自旋角动量自旋角动量是描述自旋的物理量。
自旋角动量的大小与自旋的取向有关，可以用自旋量子数s来表示。
对于电子而言，其自旋量子数为1/2，即具有两个自旋态：+1/2和-1/2。
自旋角动量的量子化使得电子在磁场中具有离散的能级。
4. 自旋与磁性自旋与磁性之间存在密切的关系。
通过研究自旋及其与周围磁场的相互作用，可以解释物质的磁性行为。
对于铁磁材料而言，其自旋在宏观上相互排列形成磁性区域，导致整个材料具有宏观磁矩。
而对于顺磁材料，其自旋在外加磁场作用下会定向，使得材料具有磁性。
5. 自旋共振自旋共振是一种基于自旋的物理现象，利用外加磁场对物质中的自旋进行激励。
通过调节磁场强度和频率，可以达到共振条件，使得自旋状态发生变化。
自旋共振在核磁共振（NMR）和电子顺磁共振（EPR）等领域有广泛的应用。
6. 自旋轨道耦合自旋轨道耦合描述了自旋与电子轨道运动之间的相互作用。
在原子和分子中，自旋轨道耦合会导致能级的分裂和能带结构的形成。
自旋轨道耦合也对材料的电输运性质产生重要影响。
电子自旋是怎么回事
电子自旋是怎么回事
根据量子力学解得氢原子的（H,L^2,Lz ）的波函数方程，得到了描述氢原子的四个量子数：
主量子数，角量子数，磁量子数，自旋磁量子数。
电子自旋首先由乌仑贝克和古兹米特提出：说明电子不是点电荷，除了给到角动量外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S，自旋量子数在Z方向的分量只能取+1/2和-1/2。
如果把电子看作一个带有电荷-e的小球，半径为10^(-14)cm,就像陀螺一样绕自身旋转，可以通过计算得到角动量为的电子，在表面的切向线速度将大大超过光速！
下面从量子力学角度讨论一下电子自旋角动量的一些性质。
根据角动量空间量子化的性质，设电子自旋量子数为s，则电子的自旋角动量沿空间特定方向的分量个数为2S+1=2(S=1/2),因而算符本征值为3/4 2,Sx=Ms .及任何电子都有相同的自旋角动量。
S2^在各个分量的本征值都是唯一的，且^S及其各个分量在其表象的两个态上平均值为零。
且它们的平均值等于它们的本征值。
量子力学_陈洪_电子教案第7章自旋与角动量
σx, σy, σz 称为泡利矩阵
0 1 0 i 1 0 x 1 0 ; y i 0 ; z 0 1
7.3 电子自旋波函数
电子波函数写 成矩阵形式
1 ( x , y , z , t ) ( x, y, z, t ) 2
讨论: 1. 对波函数归一化时必须同时对自旋求 和和对空间坐标积分
2 1 2 2 d x r , S , t ( *, *) ( z 1 2 2 )d 1 1 Sz 2 2 2 1 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 2 2 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 3
2. 两个粒子的自旋-自旋耦合或轨道-轨道耦合
二. 两个角动量的耦合后的对易关系
J 1 , J 2 表示体系的两个角动量 算符, 且J 1与J 2 相互独立 则 [ J 1 x , J 1 y ] iJ 1 z [ J 2 x , J 2 y ] iJ 2 z [ J 1 y , J 1 z ] iJ 1 x [ J 2 y , J 2 z ] iJ 2 x [ J 1 z , J 1 x ] iJ 1 y [ J 2 z , J 2 x ] iJ 2 y 因为两角动量独立则 [ J 1 , J 2 ] 0 令 J J1 J 2
(1) 则 [ J x , J y ] iJ z [ J y , J z ] iJ x [ J z , J x ] iJ y
证 : [J x , J y ] [J1 x J 2 x , J1 y J 2 y ] ( J 1 x J 2 x )( J 1 y J 2 y ) ( J 1 y J 2 y )( J 1 x J 2 x ) J1 x J1 y J1 x J 2 y J 2 x J1 y J 2 x J 2 y J1 y J1 x J1 y J 2 x J 2 y J1 x J 2 y J 2 x (J1 x J1 y J1 y J1 x ) (J 2 x J 2 y J 2 y J 2 x ) i( J 1z J 2z ) iJ z
电子自旋
电子自旋摘 要：量子力学是20世纪最成功的理论之一，其是对微观世界一个态的认识，与过去对宏观状态的描述是很大不相同的，最能显示这一特色的体系是电子的自旋【1】。
本文将从电子自旋的发现，电子自旋本身的性质，自旋角动量与轨道角动量的关系，自旋的实验解释与利用等方面介绍。
关键词：自旋，波函数，角动量，碱金属光谱，磁共振，Stern-Gerlach 实验，精细结构 1引言自旋是基本粒子的固有内禀属性，其来源尚不清楚，但性质类似于轨道角动量与轨道磁矩，【2】 并可以相互耦合，在研究电子的运动状态时，应该将自旋作为一种内禀自由度，质子和中子也都有自旋，它们的自旋角动量在任何方向的投影，与电子一样，只取量子化数值±ħ/2，本文将着重从其具有的性质从发讨论各种实验现象及其相关的应用。
2自旋的发现自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。
电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。
Stern-Gerlach 实验说明了量子力学中的测量是必定要改变微观客体的状态的。
【3】关于自旋已经有下列实验事实，（i ）自旋在任何方向的投影只能取量子化数值±ħ/2；（ii ）电子的轨道磁矩与轨道角动量的比值为cm e 2ee -=γ。
他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。
当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。
3.1自旋的性质 3.1.1 泡利矩阵我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。
电子自旋
电子自旋
电子有1/2的自旋，所以在外加磁场下能级二分。当外加具有与此 能量差相等的频率电磁波时，便会引起能级间的跃迁。此现象称为 电子自旋共振。缩写为ESR。对相伴而产生的电磁波吸收称ESR吸 收。产生ESR的条件为νo（MHz）=1.4·g·Ho（高斯）。式中νo为电磁 波的频率，Ho为外部磁场强度，g为g因子（g factor）或g值。一个 分子中有多数电子，一般说每二个其自旋反相，因此互相抵消，净 自旋常为0。但自由基有奇数的电子，存在着不成对的电子（其无 与之相消的电子自旋）。也有的分子虽然具有偶数的电子，但二个 电子自旋同向，净自旋为一（例如氧分子）。原子和离子也有具有 净自旋的，Cu2+、Fe3+、和Mn2+等常磁性离子即是。这些原子和分 子为ESR研究的对象。由于电子自旋与原子核的自旋相互作用， ESR可具有几条线的结构，将此称为超微结构（hyperfine structure）。 g因子及超微结构都有助于了解原子和分子的电子详细状态。也可 鉴定自由基。另外，从ESR吸收的强度可进行自由基等的定量。因 为电子自旋的缓和依赖于原子及分子的旋转运动，所以通过对ESR 的线宽测定，可以了解原子及分子的动的状态。
电子自旋--理论物理导论
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（3）对称波函数和反对称波函数： 对称波函数和反对称波函数：
设：两全同粒子q、q´在一维坐标下运动，某状态下， 两全同粒子 、 ´在一维坐标下运动，某状态下， 粒子q在 坐标、 ´ 粒子 在x 坐标、q´在x´坐标
波函数为： 波函数为：
Ψ ( xx ′t )
Ψ 粒子出现在空间各点的几率密度： 粒子出现在空间各点的几率密度： ( xx ′t )
ψ n ,l ,m ,m (r , θ , φ , µ ) = ψ 'n ,l ,m (r , θ , φ )ψ m ( µ )
s s
完全波函数
空间波函数
自旋波函数
计入自旋后，氢原子波函数要用四个量子数 计入自旋后， n,l,m,ms来表征，才能完整描述其电子的状态。能 来表征，才能完整描述其电子的状态。 量算符和能量本征值的表达式都与原来一样， 量算符和能量本征值的表达式都与原来一样，但是
实验中， 两束。 在Stern-Gerlach实验中，原子束分裂成两束。 实验中 原子束分裂成两束
(2s + 1) = 2
1 1 1 s = ; ms = + , − 2 2 2
7
根据上述假设，可以说明原子、分子和物质的许 根据上述假设，可以说明原子、 多性质，所以自旋是一个重要的物理量 自旋是一个重要的物理量。 多性质，所以自旋是一个重要的物理量。但上述 假设有人为规定的性质，从理论上阐明自旋， 假设有人为规定的性质，从理论上阐明自旋，需 相对论量子力学。 要相对论量子力学。
5
★ 自旋假设： 自旋假设：
1925年 两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据史特 1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据史特 乌仑贝克 恩-盖拉赫实验等许多实验事实，发展了原子的行星模 盖拉赫实验等许多实验事实， 型，提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具 提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运动， 有固有的自旋角动量S。 有固有的自旋角动量S
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（7.2-19）
亦即 故有
（7.2-20）
（7.2-21）
最后得到的表达式为：
因为：
（7.2-22）
利用厄密矩阵的性质及反 对易关系式得到(见附录IV)
所以：
（7.2-23）
（7.2-24）
此3 个矩 阵称为泡 利矩阵。
3. 电子波函数的归一化及几率密度
由
由波函数 定义的几率
密度为
表示的电子波函数的归 一化除了对空间坐标积 分之外,还要对自旋求和, 即：
这两个分量可以排成一个二行一列的矩阵: （7.2-15）
如果电子处于
的自旋态,则其波函数表示为:
（7.2-16）
如果电子处于的
自旋态,则其波函数表示为 （7.2-17）
由矩阵的乘法规则可知,自旋算符应当是二行二列的矩阵。
设 （7.2-18）
对应于本征值为 本征值方程为：
的
同样, 对应于本征值为
的本征值方程为：
(1) 每个电子均具有自旋角动量 只能取
,它在空间任何方向的投影 （7.1-1）
(2)每个电子具有自旋磁矩 ,它和自旋角动量 的关系为：
(SI) （7.1-2）
在空间任意方向上的投影只能取两个数值:
其中 为玻尔磁子。
(SI) （7.1-3）
(SI) （7.1-3）
这个比值称为电子自旋的回转磁比率,它等
例题: 在σz 的表象中,求σ·n 的本征态,n=(sinθcosφ,sinθ sinφ,cosθ) 是(θ,φ)方向上的单位矢。
§ 7.3 简单塞曼效应 氢原子和类氢原子的电子由于受到外磁场的作用而引起的附加 能量为:
哈密顿算符为: 其中: 则体系的定态薛定谔方程为:
（7.3-1）
方程中含有自旋算符 ,但是由于外部磁场很强,没有考虑自 旋与轨道的相互作用能,因此 的形式为:
照相片PP上的2条分立的线对应于
和
。
由于氢原子处于S态, 角量子数 ,因此磁量子数
,
没有轨道角动量,也没有轨道磁矩(见习题3.4).因此氢原子所具
有的磁矩是电子的固有磁矩,即自旋磁矩.
其他实验证明:光谱线也有精细结构，
例如钠原子光谱中2p 1s的谱线由两条靠得很近的谱线组成。
1925乌伦贝克和哥德斯密脱提出以下假设:
因电子自旋有两个取向, 完整地描写电子的状态需要4个量子数: 主量子数n, 角量子数 l , 磁量子数 , 自旋量子数 ,
代表电子自旋的两个取向
2. 电子的自旋算符 (泡利矩阵) 为了表述方便, 定义算符 如下
（7.2-6）
或
写成分量：
（7.2-7）
将上代入 得到：
（7.2-8）
（7.2-9）
因为算符 , , 的本征值都是 ,故有：
其分量式为：
（7.2-1）
（7.2-2）
由于自旋角动量在பைடு நூலகம்间任意方向的投影只能取两个数值
的本征值都是
所以算符 , , 的本征值都是 ,故有：
因此算符 的本征值是
（7.2-3） （7.2-4）
（7.2-4）
令： 则有 征值
（7.2-5） . 称 为自旋量子数.与轨道角动量平方算符的本
比较 ： 但是S 只能取一个数值
第七章 自旋与全同粒子
从历史上看，电子自旋先由实验上发现，然后才由狄 拉克（Dirac）方程从理论上导出的。进一步研究表明，不 但电子存在自旋，中子、质子、光子等所有微观粒子都存 在自旋，只不过取值不同。自旋和静质量、电荷等物理量 一样，也是描述微观粒子固有属性的物理量。
在电子自旋的学习中，首先要了解电子自旋的实验 依据及自旋假设，重点掌握电子自旋的描述，同时能应 用电子自旋的理论解释原子光谱现象。
（7.3-2）
（7.3-3）
将上两式代入得(7.3-1)式得到 和 所满足的方程: （7.3-4）
（7.3-5）
在外磁场不存在时, 方程(7.3-4)和(7.3-5)的解是: (7.3-6)
故有:
(7.3-7)
其中 为碱金属原子情况下哈密顿算符的能量本征值, 因为在碱金属原子的哈密顿算符中的静电势能项要考虑其 它电子的屏蔽效应。
由此可得 有非零解的条件
由此得 对应
即 的本征值为 得
利用归一化条件
取 所以
（实际取
得
中的相角
）
（7.2-26）
同理可得：
（7.2-27）
二者正交
自旋算符的任一个函数 构成一个算符,可以表示为二行二 列的矩阵:
（7.2-28） 算符 在 态中,对自旋求平均的结果是
（7.2-29）
算符 在 态中,对坐标和自旋同时求平均得到平均值为 （7.2-30）
于电子轨道的回转磁比率
的2倍。
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数 1. 电子的自旋角动量 (1)电子具有自旋角动量是一个纯量子特性,不能用经典力学解释,
自旋角动量算符也不能通过坐标算符与动量算符构造出来。
如果把自旋看作与经典力学的自转角动量, 则可以证明电子表 面的线速度将为光速的67倍! (2)自旋角动量是电子内部状态的表征,是描写电子状态的第4 个变量。 (3)对比轨道角动量算符的对易关系：
证明电子具有自旋的实验—斯特恩-革拉赫实验
实验装置 :
现象:发射源K射出的处于S态(即
角量子数
)的氢原子束,通
过非均匀磁场发生偏转,在照相片
PP上出现2条分立的线。
分析: 2条分立的线说明氢原子
的磁矩在磁场中只有两种取向,
即它们是空间量子化的。
假设原子的磁矩为 ,则它在
沿 方向外磁场中的势能为：
氢原子在Z方向受到的力为：
而
由此可知, 的本征值为
同理可得 ， 的本征值也是±1
故有 ：
（7.2-10）
可以证明算符各分量之间满足反对易关系 ：
的本征值都是
（7.2-11）
（7.2-12）
（7.2-11）
考虑到自旋角动量与轨道角动量无关,为了完整地描写电子 的状态,电子的波函数应当为：
（7.2-14）
由于
,因此式可以写为两个分量 ：
不仅与主量子数有关,而且与角量子数也有关。
由（7.3-6）、（7.3-7）和（7.3-4）以及
(7.3-6) (7.3-7)
（7.3-4）
（7.3-8）
（7.3-8） 讨论: (1)由上式可知,在外磁场中,能级与磁量子数m和自旋状态都有
其中
物理意义？
式中 是 的共轭矩阵。
4. 电子的自旋函数 在忽略电子的自旋和轨道运动的相互作用的情况下,电子的波 函数可以表示为 ：
（7.2-25） 其中 是描写电子的自旋状态的自旋函数(自旋波函数) 一般应表示为二分量形式
的具体形式要在具体表象中确定。
令 的本征函数为 则本征方程为：
，对应的本征值为