力学中的泛函分析和变分原理第四讲
泛函分析在力学和工程中的应用
泛函分析在力学和工程中的应用陆章基(复旦大学应用力学系)摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用,包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。
并介绍当前非线性分析中部分动态。
$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支,研究各类泛函空间及算子理论。
所谓泛函空间是带有某类数学结构(主要是拓扑和代数结构)的抽象集。
其元(或点)可以是数、向量、函数、张量场,甚至各种物理状态等。
根据不同拓扑和代数结构,泛函空间划分为各个类别。
力学和工程中常见的有①:(i)度量(距离)空间。
对任意两抽象元引入距离,由此自然地引入开集等拓扑结构。
从而,度量空间是一特殊拓扑空间,但尚未赋予代数结构;(ii)线性拓扑空间(拓扑向量空间。
同时带有拓扑和代数结构。
所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集),他们满足开集的基本公理。
有了拓扑后,即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。
这里所述的代数结构指的是线性结构(加法和数乘运算)。
由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。
泛函分析的空间(尤其各类函数空间)绝大部分是无限维的。
线性空间(带有线性结构的度量空间)是线性拓扑空间的一例。
但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间;(iii)线性赋范空间。
每个元(常称向量)配有番薯||x||(是普通向量长度的推广)。
线性空间配上范数后,能自然地诱导出度量和拓扑。
就这个意义而言,它是特殊的线性拓扑和度量空间。
于是,具有这两个空间中所有概念。
例如可以讨论该空间(或其子集)是否完备。
即任何柯西序列是否为收敛序列。
(iv)Banach空间。
它是完备的线性赋范空间。
完备性使该空间具有十分良好的性质。
例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。
(v)内积空间。
内积的引入使该空间更直观形象,内容格外丰富。
内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。
泛函和变分法
四】
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式
欧拉J [ 方y 1 , 程y 2 , ,y m ]= x x 0 1 F ( x ,y 1 ,y 2 , ,y m ,y 1 ,y 2 , ,y m ) d x
F-d(F)=0, i=1,2, ,m yi dxyi
例:求解以下泛函的极值问题
J[y,z]=/2(y2z22y)zdx 0
L y = l r 【x】 y
本征值:l一 l二 l三 …
本征函数:y一【x】!! y二【x】!! y三【x】!! … 构成完备正
lr r d 交系L n ( x ) y = n( x ) y n ( x ),a b y m ( x ) y n ( x )( x ) d x = mn
任意函数 f【x】 【要求一阶导数连续、二阶导数分段连
√
泛函和变分的基本概念【四/四】
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分!!d 二J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零:d J = 0
√
最简泛函的极值问题【一/九】
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数!!不关心泛函的大小
解:
√
四】
依赖于多元函数的泛函
泛函的一般形式
J[u1(x,y)u ,2(x,y)]=DF(x,y,u1,u2,p1,p2,q1,q2)dxdy
p1= u x1,
q1= u y1,
p2= u x2,
q=u2 y
欧拉方程
F - ( F ) - ( F )= 0 , F - ( F ) - ( F )= 0 u 1 x p 1 y q 1 u 2 x p 2 y q 2
变分原理-第4章
(g)
和精确解 w x =l =
1 ql 4 相比,小 4.5%,已达到工程精度。但如果进一步算应力, 8 EJ
则误差达 41%。
π πx 近似解: M (x ) = EJw = EJa cos ,最大值在 x = 0 处,有 2l 2l
2、 出弹性系统总位能表达式 Π (u i ) ,把式(3)所设的位移试验函数代入, 即得到由 3N 各参数 ain 表示的总位能表达式 Π (ain ) 。 3、 应用最小位能原理 δΠ = 0 ,求得以 ain 为参数的 3N 个代数方程-由于
u i0 、 u in 函数形式度已事先选定,变分时只有它们的幅值 ain 能发生变
二、 辽金法求解过程 为了导出伽辽金法,线对最小位能原理作一变换。由式(1)取变分得
δΠ = ∫∫∫
V
∂A δeij dV − ∫∫∫ Fi δu i dV − ∫∫ p i δu i dS ∂eij V Sp 1 (δui, j + δu j ,i )dV − ∫∫∫ Fiδui dV − ∫∫ p iδui dS 2 V Sp
(
)
(3)
上式中
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 ∂ ∂w ∂ 2 w ∂ ∂w ∂ 2 w − = dxdy ∫∫ ∫∫ ∂x ∂y 2 − ∂y ∂x ∂x∂y dxdy ∂x∂y ∂ x ∂x 2 ∂y 2 S S
(1)
应力应变用挠度表示
Ez σx = − 1− µ 2 ∂2w ∂2w ∂x 2 + µ ∂y 2 ∂2w ∂2w µ + ∂y 2 ∂x 2
泛函
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用。
泛函分析的起源
泛函分析的源头之一是变分法。18世纪形成的变分法的核心课题是研究形如
连续线性泛函
泛函分析的一个基本概念。围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一。对它的研究最早可追溯到C.博莱特(1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射T:E→F。1903年阿达马在E是C[α,b]([α,b]上连续函数的全体),F是实数域,当{?n}一致收敛于? 时,T?n→T?的情况下,将T 表示成一列积分的极限的形式。但这种表示不惟一,并且有极大任意性。后来在实l2空间上,弗雷歇和里斯独立地在T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示,即希尔伯特空间l2上的连续线性泛函表示定理。里斯在1909~1910年又相继给出C[α,b]、Lp[α,b]、lp(p>1)上的表示定理。在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间(又称向量子空间)上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实。E.黑利从1912年开始(中间经过第一次世界大战的中断),直到1921年用“赋范数列空间”(他并未用这个名称)代替具体的C[α,b]、Lp[α,b]、lp等而考虑较抽象形态的延拓问题。他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为H.闵科夫斯基用过的术语,如支撑超平面等。
巴拿赫空间
在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后,抽象形态的线性空间(向量空间)以及按范数收敛的出现就成为自然的了。1922~1923年,E.哈恩和巴拿赫(同时还有N.维纳)独立地引入赋范线性空间。当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间。1922年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓“滑动峰”证明方法,给出现今常见的证明。1922~1923年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明,并第一次引入赋范线性空间E的对偶空间(共轭空间)K(当时称为极空间)。两年后,巴拿赫用同样方法也得到同样结果(后来,他承认哈恩的优先权),并看到这个定理可以推广。这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年巴拿赫将他1923~1929年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书,书中大部分讨论他1929年开始研究的弱收敛,这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果。这时,作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成,它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具。人们为纪念他的功绩,把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。近年来,人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学。
2+弹性力学、泛函、变分等基本知识
2013-7-31 有限元法预备知识
σ
来表
7
2.1 弹性力学基本知识 [ 位 移 ]
z
z
x
x
x
E
(6)
y
y
式中,E为弹性模量。弹性体在x方 向的伸长还伴随有侧向收缩,即在y 和z方向的单位缩短可表示为:
x
z
0 x
图 1-7
y
x x y , z (7) E E
式中,μ 为泊松比。 上述两个方程可用于简单和压缩。
2013-7-31
有限元法预备知识
x y z xy yz zx 0
有 u 0,v 0,w 0,u v 0,v w 0,w u 0 x y z y z z x x y
积分得
式中,u0、v0、w0、 x、 y、 z、为积分常数,即刚体位移。
2013-7-31
有限元法预备知识
4
2.1 弹性力学基本知识 [ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和 作用方向,加上一个角码,例如, 正应力σx是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码,前一个角 码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴,后一个角码表明作用方 向沿着哪一个坐标轴。例如, 剪应力τxy是作用在垂直于x轴 的面上而沿着y轴方向作用的。
由
F 0 ,得
x
x
xy
Gx
x
Gy
yx
实变函数与泛函分析基础(课堂PPT)
i 1
Ei
,{Ei
}两两不交的闭集族
.若f k
:
Ek
R为连续函数,
n
令f (x)
fk (x) : x Ek,则f
(
x): k 1
Ek
R上的连续函数。
n
证明:取x0
k 1
Ek
,
0,
由于k0
N
,
使得:x0
k0,而f
k0
在Ek
上为连续的,
0
对此,1 0,
使
得:x
U
(
x0
,
1)
Ek
,必有
0
|
fk0 (x)
第四章 可测函数
第三节 可测函数的构造
1
可测函数 可测集E上的连续函数为可测函数。 简单函数是可测函数。 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。
问:可测函数是否可表示成一列连续函数的极限?
2
鲁津定理 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,则 0, 闭集F E,
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
x 1处的任意去心邻域(1 ,1)(1,1 ) {x | f (x) g(x)}c {x | f (x) g(x)}
f (1 0) 0 f (1 0) 1。(矛盾)
15
5.设m(E) ,{ fk (x)}为E上可测函数,则
lim
n
fk
(x)
0, a.e.于E
0,有lim j
Ak
,
m( A)
m( k 1
Ak
)
lim
k
m( Ak
)
0, k0, k k0使得:| m( A) m( Ak ) | m( A Ak ) .
变分原理及其应用
4w 4 w 4 w q (x ,y ) 2 2 2 4 4 x x y y D
或
D4w q
5. 变分法 ▲ 把物理或力学基本方程的定解问题变为求泛函的
极值(或驻值)问题;
▲ 在求近似解时,又往往将泛函的极值问题转变为 求函数的极值(或驻值)问题 ▲ 从而把微分方程边值问题的求解归结为代数方程 组的求解。
(2) 几何方程:
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
( x, y , z ) V
x
u v w u v v w w u , y , z , xy , yz , zx x y z y x z y x z
如果函数 w( x, y ) 在边界 上给定,则 w在边界上等于零。 于是由 w 在区域 内的任意性可得欧拉方程:
F F F 0 w x wx y wy
( x, y )
(6)
如果 w( x, y ) 在部分边界未知的,则利用 w 在边界上的任意性得:
--- 结点位移向量。
2. 函数的微分和变分
函数的微分: y B y = y(x)
y y( x x) y( x) y( x)dx
dy y( x)dx
函数的变分: o y C
dy A
y dx
x
D Y= Y(x) B y = y(x) dy
y Y ( x ) y ( x)
▲ 变分法是有限元法等近似解法的理论基础。
二、弹性问题中的能量泛函
1 弹性力学问题的定义
弹性体定义在空间区域: ( x, y, z ) V 体积力为:{ f } { f x , f y , f z }T 任意点在坐标方向的位移分量为:u ( x, y, z ), v( x, y, z ), w( x, y, z )
变分原理
变分原理泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题,根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数,当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此,应变能就是泛函。
在数学分析中,讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值,是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题,请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量,它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中,求满足边界条件的任意曲线y(x)中的最短曲线。
(补充图)设P1(x1,y1)和P2(x2,y2)为平面上给定的两点,y(x)为连接两点的任意曲线。
于是,这一曲线的长度为连接P1,P2两点的曲线有无数条,每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y(x)称为容许函数,问题是要从这些曲线,容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式,L [y]依赖于y(x),而y(x)是x的函数,因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数,称为泛函。
求解最短程线问题,即在满足边界条件在x=x1时,y(x1)=y1,y'(x1)= y'1在x=x2时,y(x2)=y2,y'(x1)= y'2的函数y(x)中,求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1,y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
变分原理1-4节
第七章 变分原理§1 泛函分析中的一些概念在变分原理及有限元等数值方法中,要涉及到泛函分析中的一些概念。
虽然有些概念在应用某些数值方法求解问题时,并非必需,但是掌握它们对于深入研究数值法的理论,阅读有关文献专著,却有很大的益处。
本节将根据需要,对某些概念作一简单介绍。
1.1 Hilbert 空间在引进Hilbert 空间的概念之前,我们先对线性空间等概念作一简单回顾。
1.线性空间定义1 设H 是某些元素的集合,K 是实数(或复数)域。
如果对H 中任何元素,x y ,定义了一种所谓“加法”运算x y +及a K ∈与x H ∈的“数乘”运算ax ,使x y +,ax 属于H ,且具有性质:(1)x y y x +=+;(2)()()x y z x y z ++=++;(3)存在所谓“零元素”,H θ∈使,x x x H θ+=∀∈;(4)对任何x H ∈,都有一个相应的“逆元素”x H -∈,使()x x θ+-=; (5)()(),,,x x K x H αβαβαβ=∈∈; (6)1,x x x H ⋅=∈;(7)(),,,x x x K x H αβαβαβ+=+∈∈; (8)(),,,x y x y K x y H αααα+=+∈∈; 则称H 是实数(或复数)域上的线性空间。
例1 定义在[,]a b 上的一切连续函数的全体记作C ;若对任意两个元素,f g C ∈,定义()()()(),()(),,[,]f g x f x g x x a bf x f x K xa b ααα+=+∈=∈∈则空间C 是实线性空间,记作[,]C a b 。
例2 考虑有限空间[,]a b (或区域Ω)上平方可积函数()f x ,即使2|()|b af x d x <∞⎰(或2|()|f x dx Ω<+∞⎰)(1.1) 成立的函数类,记作2[,]L a b (或2()L Ω),对于2,[,]f g L a b ∈,显然,a f f g +均属于2[,]L a b ,且满足性质(1)-(8),故2[,]L a b (或2()L Ω)可积是线性空间。
弹性力学变分原理
fiuikdv
tiuik ds
s ij
ikj
dv
V
S
V
证明:
因为
s是静力容许的
ij
fiuik dv
s ij
,
juik
dv
V
V
s ij
n
juik
ds
us k
ij i ,
j
dv
S
V
移项后
tiuik ds
s
ij
k ij
dv
S
V
fiuikdv tiuikds isjikj dv
又 I ( b f ( x, y, y )dx) a
与上式比较,可得:
b
b
( f (x, y, y' )dx) f (x, y, y' )dx
a
a
结论:变分运算和积分运算可以交换次序
四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x=x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0),即
三、泛函的变分
一般情况下,泛函可写为:
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则,被积函数 f 的增 量可以写成
f f ( x, y y, y y ) f ( x, y, y )
f y f y ...
y y
上式中,右边的前两项是 f 的增量的主部, 定义为 f 的一阶变分,表示为
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
V
S
ij (ij ij )dv
V
弹性力学广义变分原理
E ( ) f 0 E (n) p
内 B2 上
(2) 自变函数为位移 u 和应变 ,但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成约束条件。这样,把原问题 视为在约束条件(4.1.1) 、(4.1.2) 下,使得下列总势能
( u) U ( )d f T ud pT udB
B1
R 3 , R 3 ,
来构造一个新的泛函
*
内 B2 上
* ( , , ) V ( )d [ E (n) ]T udB
B1
[ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
B2
在新泛函中 , , 都是独立的自变函数。新泛函的变分为
B2
[ E (n) ]T dB [ E (n) ]T dB [ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
T B2 B1 B1
在恒等式(3.2.1)中取 A , u u 得到
T
AE T ( ) ud [ E (n) A ]T udB [ E ( ) A ]T ud
B T
因此有
T * 2 E ( ) u A d E ( ) A f ud
(u - u ) E (n) A dB [ E (n) A p]T udB
B1 B2
U ( ) T ( A )T * 0 2 令 ,根据变分引理得到(用应变表示的应力 )
E T ( )u
E ( ) A f E ( ) f 0 u=u E (n) A E (n)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ p
[理学]泛函与变分原理导引
α β
变分命题 (III)
z
函数:f(x)是变量x的实函数,即在其定义域内,任一x 值都有一个实数f(x)与之对应 泛函:Π(y)是函数y(x)的泛函,即在其定义域内,任 一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应 变分命题:寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值 变分方法:设使泛函取得极值的函数y(x)存在,通过 变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程
z
可取δy,δy’都是同级的微分量
z
当泛函的被积函数是F(x, y, y’,y”)时,函数y要 求有二阶接近度
z
可取δy,δy’, δy’’都是同级的微分量
第一类变分问题
z
设函数y(x)是下式的极值解
∏( y ) = ∫ F ( x, y, y ')dx
α β
z
且满足端点条件 y (α ) = y1 , y ( β ) = y2
z z z z
两点间的最短连线问题 最速下降线问题 短程线问题 …
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”?
y y=y(x)
O
x
两点间的最短连线问题
z
为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”? 问题的假设:
z z z z
z
二维平面空间,一点是坐标原点(0,0),一点在(a,b) 两点间的连接曲线是 y = y(x) 2 d y ⎛ ⎞ 曲线的弧长微元是 ds 2 = dx 2 + dy 2 或 ds = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 曲线的总弧长是
o A
实变函数与泛函分析全套课件
Lebesgue积分思想简介
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续,则
d ((R) x f (t)dt) f (x)
dx
a
导数(切线斜率)
定积分(面积)
若F `(x) 在[a,b]上连续,则
x
(R)a F '(t)dt F (x) F (a)
xi-1 xi
微积分发展的三个阶段
创立(17世纪):Newton(力学)Leibniz(几何) (无穷小)
0
n
分划T,有 ixi 1 i 1
注:D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线
段组成。
(3)Riemann积分的局限性
a.微积分基本定理 定理:若f(x)在 [a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上
Riemann 连续,则 x f ' (t)dt f (x) f (a) a
• 1881年Volterra作出一可微函数,导函数有界但不Riemann可积;
注:推荐大家看看龚升写的 《话说微积分》, 《简明微积分》, 数学历史的启示(《数学教学》,2001.1), 微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3)
b.积分与极限交换次序(一般要求一致收敛)
例:设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集,故可把它排成序 列),作[0,1]上的函数列
第一章 集合, 点集, 第五章 微分与不定积分, 第六章 L^p空间
4.集合论中的一些例子
(1) Achilles追龟
甲的速度为1,乙的速度为1/2
0(甲)
½(乙)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3/4
7/8 15/16 1
1 1 1
泛函与变分
函数在某一点有极值的必要条件是但是,我们这们课程中要讨论的则是另一类极值问题 就是函数的函数,详细见后面)。
例1.1 一个简单的变分问题:最短线问题图1.1最短线问题假设经过A, B 两点距离最短的曲线方程为(X 。
) (X 1) 0显然y y(x) (X)依旧是过固定两点 A, B 的连续曲线,其对应的长度为L( )",r~(7~~~ dxx当 0,y y(x)时 L(dL() d把(,展开后有y''3.1 y'2第1章泛函和变分1.1引言 以前我们在微积分中遇到的都是类似下面的函数极值问题 y f (X i ,X 2,..., X n ),其在区域R n 内任何一点 :一个足够光滑的连续函数(X i , X 2,..., X n )T 都可以作以下的Taylor 展开 f(x X) f(x)f(X )x T f(x) 4 T f x T Df(x) x o(|| x T |2)X2Xny y(x)另有一任意的连续可导函数(X ) ,(X )满足两端固定的边界条件dL()dX1 (V' .1 (y'x%dx|X i-―dx,1 y'_y' |x i1 y'2 X 0X ixy' 1 y'2dxX i X 0y'' .1 y'2y'y'y''dxylX0 ,ry'23dx 由于(对于任意的(x)都成立,根据变分引理(见,我们可以得到一泛函的极值问题(泛函简单地讲, )取到极小值,也就是说意味着y Gx C 2(因此,在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。
下面我们来看几类比较典型的变分问题。
例1.2最速降线问题图1.2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系,以 A 为坐标原点,水平为 x 轴,向下为y 轴。
曲线的方程为y y(x), A 点坐标(X o ,y o ) (0,0) , B 点坐标(X i ,y i )。
泛函变分
若自变量 x 有一增量 Δx ,则函数 y(x) 也有一增量 Δy(x) ,且可写成:
Δy = y(x + Δx) − y(x) = A(x)Δx + o(Δx)
(2.1.2-2)
其中 o(Δx)是比 Δx 高阶的无穷小量,其第一项为 Δx 的线性部分。
泛函与变分
函数
y(x)
泛函
J[y(x)]
因变量
y
因变量
J
自变量
x
自变函数
y(x)
x 的增量
Δx
y(x)的变分
δy
函数的微分
dy
泛函的变分 δJ
§2.1.3 变分的计算
泛函变分与函数的微分在形式上类似,其计算方法也相似: ◆ 微分的运算法则,同样适用于变分(这里特指泛函中被积函数的变分),相当于把微分符
∂y
∂y
∂y '
∂y
= ∂F1 δ y + ∂F1 δ y '+ ∂F2 δ y + ∂F2 δ y '
∂y
∂y
∂y '
∂y
= δ F1 + δ F2
◆ 自变函数的微分、求导与变分运算的次序可以调换,如:
(δ y) ' = δ y ' ,δ (dy) = d (δ y)
(2.1.3-2a)
证
(δ y) ' = [ y1 (x) − y(x)]' = y1 '(x) − y '(x) = δ ( y ')
这就是说:自变函数变分的导数等于函数导数的变分,即自变函数求导与求变分这两种运算的 顺序可以交换。如果自变函数是多元函数,则式中的求导应改为求偏导。
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������ =
������
������ ������
+
������
������′ ������
2 ������������
2.4.2
空间ℍ1 ������, ������ 在范数(2.4.2)意义下的完备化空间记为ℍ1 ������, ������ ,称为Sobolev空间。
ℍ为Hilbert空间,������, ������ ∈ ℍ且 ������, ������ = 0,则称元素������ 与������ 是正交的,记作 ������ ⊥ ������. 设������是ℍ的子集,而元素������ ∈ ℍ与������中的任一元素都正交,则称元素������与集 合������正交,记为������ ⊥ ������. 2
§2.3 Hilbert空间的Fourier级数
正交化方法
设 ������1 , ������2 , … 是Hilbert空间ℍ的一组元素,如果对任意的������ ≠ ������, ������, ������ ∈ ℕ+ , 均有 ������������ , ������������ = 0,则称 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的正交集;如果每个������������ 都是单位元素 (即范数为1),则称之为规范正交集.即ℍ中的规范正交集 ������1 , ������2 , … 满足: ������������ , ������������ = ������������������ = 1, ������ = ������ 0, ������ ≠ ������
索伯列夫空间
将区间 ������, ������ 上一阶连续可微函数全体构成的集合记为ℍ1 ������, ������ .在通常的函数 加法、数乘意义下,ℍ1 ������, ������ 是线性空间.对于任意的������ ������ ,������ ������ ∈ ℍ1 ������, ������ ,定义
正交补
设������为Hilbert空间ℍ中的子集,ℍ中所有正交于������的元素集合称为������的正交补, 记为������⊥ .
定理:设������是Hilbert空间ℍ中的闭子空间,则ℍ = ������⨁������⊥,且 ������⊥
⊥
= ������.
5
§2.4 Sobolev空间
������∈������
如果集合������中存在元素������ , 使������ ������ , ������ = ������ ������ , ������ , 则称元素������ ∈ ������是元素 ������ ∈ ������在集合������中的最佳逼近元,简称最佳元。
正交
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第四讲:希尔伯特空间
授课教师:郭旭教授
大连理工大学工程力学系
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开集、闭集
设 ������, ������ 为距离空间,������是其中一个子集,������0 ∈ ������.如果������的所有元素都是 ������的内点,则������是开集。 令������ ⊂ ������, ������ 的所有聚点所构成的集合为������′ , 则集合������ = ������⋃������′ 称为������的 闭包。如果集合������满足������ ⊇ ������, 则称集合������为闭集。
闭子空间������上的投影。 定理4:设������是Hilbert空间ℍ中的闭凸子集, ������ ∈ ℍ\������,则下列命题等价 (i) ������ ∈ ������是������的最佳元,即对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ ≤ ������ − ������ ; (ii) ������ ∈ ������满足:对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ − ������ ≤ 0; (iii) ������ ∈ ������满足:对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������, ������ − ������ ≥ 0. 3
Hilbert空间
内积可以诱导范数,例如可以定义: ������ = ������, ������ .在此范数定义下,完备的
内积空间称为Hilbert空间,记作ℍ.(今后出现的ℍ均代表Hilbert空间) 1
§2.2 Hilbert空间的最佳逼近
最佳逼近元
设������为距离空间,������是������中一个集合,������ ∈ ������\������. 记������(������ , ������)为点������到集合������的 距离,其中 ������ ������ , ������ = inf ������ ������, ������
≤ ������
1
2
≤ ����� ⋅
~ ⋅
.
等距同构
设������和������是两个线性赋范空间,对应范数分别为 ⋅
������ 和
⋅
������ .
如果������和������存在
一个同构映射������: ������ = ������ ������ ,������ ∈ ������, ������ ∈ ������.它还满足: ������ ������
设 ������������ 是Hilbert空间ℍ的规范正交集,如果对于∀ ������ ∈ ℍ,均有
∞
������ =
������=1
������������ ������������
其中������������ = ������, ������������ ,则称 ������1 , ������2 , … 是完全的。 定理:设 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的规范正交基,则其为完全的充分必要条件是 (i) 对于∀ ������ =
Banach空间
如果线性赋范空间������中的任何基本序列都收敛于������中的元素,则称������为完备
的线性赋范空间,或称为Banach空间。
课 程 章 节
第一章:线性赋范空间 第二章:希尔伯特空间 第三章:有界线性算子 第四章:有界线性泛函与共轭空间
第五章:泛函的极值
第六章:力学中的变分原理
������
= ������
������
则称空间������和������是等距同构的,或等价的。
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基本序列(Cauchy列)
设������为线性赋范空间, ������������
∞ ������=1 是������中的无穷序列,如果对于任给的������
> 0总
存在自然数������, 使得������ > ������时,对于任意自然数������, 均有 ������������+������ − ������������ < ������ 则称序列 ������������ 是������中的基本序列(也称为基本列、Cauchy列)。
则称 ������ 为元素������的范数,������称为按范数 ⋅ 的线性赋范空间。
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范数等价
设 ⋅
1
和 ⋅
2
是线性赋范空间������中的两种范数,如果存在常数������ > 0和
������ > 0使得∀ ������ ∈ ������,均有
������ ������
1
2
= ������
2
+ ������
2.
定理3(投影定理):设������是ℍ的闭子空间,������ ∈ ℍ\������,则������ 是������在������中的最佳元
的充要条件是 ������ − ������ ⊥ ������,即对∀ ������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ = 0. ������ 称为元素������在
§2.1 内积空间
内积空间
设������为实线性空间,如果对������中的任意两个元素������和������,均有一个实数与之对应, 此实数记为(������ , ������),它满足: (i) ������, ������ ≥ 0,当且仅当������ = ������时 ������, ������ = 0; (ii) ������, ������ = ������, ������ ;
线性赋范空间
设������是线性空间,如对������中的任一元素������,都对应于一实数,记为 ������ 且满足: (i) ������ ≥ 0,当且仅当������ = ������时 ������ = 0;
(ii) ������为实数, ������������ = ������ ������ ; (iii) ∀ ������, ������ ∈ ������, ������ + ������ ≤ ������ + ������
6
研究生课程
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它们的内积为
������ ������
������, ������ =
������
������ ������ ������ ������ ������������ +
������
������′ ������ ������ ′ ������ ������������
2.4.1
不难验证它满足内积的四条公理,因而ℍ1 ������, ������ 是内积空间,相应的范数为