数学--山师附中2021届高三第一次模拟考试(整理含答案)
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以 DE 为折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC 2 3 ，则 A. 平面 PDE 平面 EBCD B. PC ED C. 二面角 P DC B 的大小为
4 D. PC 与平面 PED 所成角的正切值为 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，
[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100] ，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方
图如图所示
. （1） 求抽取的 200 名职工中，参加这种技能培训时间不少于 90 小时的人数，并估计从招
聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于 90 小时的概率； （2） 从招聘职工（人数很多）中任意选取 3 人，记 X 为这 3 名职工中参加这种技能培训
D. (−∞, −2) (0, +∞)
8.设函数 f (x) = mx2 − mx −1，若对于 x ∈[1,3]， f (x) > −m + 2 恒成立，则实数 m 的取值
范围
A. (3, +∞)
B.
−∞,
3 7
C. (−∞,3)
D.
3 7
,
+∞
1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有
< 1 ，求实数 a 的取值范围.
21. （本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC − A1B1C1 中，CC1 ⊥ 平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2 ，CC1 = 3 ， 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上，且= AD 1= CE 2, M 为棱 A1B1 的中点． （Ⅰ）求证： C1M ⊥ B1D ； （Ⅱ）求二面角 B − B1E − D 的正弦值； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值．
………4 分
（Ⅱ）依题意， CA = (2, 0, 0) 是平面 BB1E 的一个法向量，
EB1 = (0, 2,1) ，= ED (2, 0, −1) ．设 n = ( x, y, z ) 为平面 DB1E 的法向量，
则
n n
⋅ ⋅
EB1 ED
= 0
，即
= 0
2 2
y x
+ −
z z
=0
，不妨设
D. {x 0 < x < 3}
5.设 f= 1(x) sin x, f= 2 (x) f1′(x), f= 3 (x) f2′(x),⋅⋅⋅, fn+= 1(x) fn′(x), n ∈ N , 则 f2020 (x) =
A. sin x
B. − sin x
C. cos x
D. − cos x
6.某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到
A. 2
9
B.
8
3
C.
2
9
D.
4
{ } 4.若不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 x −1 < x < 2 ，则不等式
a(x2 +1) + b(x −1) + c < 2ax 的解集为
A. {x − 2 < x < 1}
B. {x x < −2或x > 1}
C. {x x < 0或x > 3}
多项符合题目要求。全部选对得 5 分；部分选对的得 3 分；有选错的得 0 分。
2 9. 若复数 z＝1＋iA，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是
E
A. z 的虚部为－1 C. z2 为纯虚数
B. |z|＝ 2
A
E
D. z 的共轭复数为－1－i
10. 下列命题正确的是
A.“ a > 1”是“ 1 < 1 ”的必要不充分条件 a
存在，请说明理由.
6
山东师大附中 2018 级高三 9 月开学考数学检测题答案
一、
答案 C B A C D C A A
二、
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BD
ACD
ACwk.baidu.com
三、13. 2 14. 90°
四、17.(10 分)
15.80
16.
e+ e2
1
,1
18.（12 分）
（1） AD ⊥ AB, 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF, 平面 ABCD 平面 ABEF = AB ，
=0
x
=
1
，可得
=n
(1, −1, 2) ．
cos < C= A, n >
C= A⋅ n
= 2
CA ⋅ n 2× 6
6 6
，∴sin
<
CA, n
>=1− cos2
<
CA, n
>
=30 6
．
所以，二面角 B − B1E − D 的正弦值为 30 ； 6
………8 分
（Ⅲ）依题意， AB = (−2, 2, 0) ．由（Ⅱ）知 =n (1, −1, 2) 为平面 DB1E 的一个法向量，于
5
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f= (x) ex (ln x − ax + a + b) （ e 为自然对数的底数）， a,b ∈ R ，直线 y = e x 是 2
曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切线. （1）求 a, b 的值； （2）是否存在 k ∈ Z ,使得 y = f (x) 在 (k, k +1) 上有唯一零点？若存在，求出 k 的值；若不
时间不少于 90 小时的人数，试求 X 的分布列和数学期望 E(X)和方差 D(X).
4
20. （本小题满分 12 分）
设 f (= x) ax3 + x ln x
（1）
求函数 g(x) =
f (x)
的单调区间；
x
（2）
若 ∀x1, x2
∈ (0, +∞) ，且 x1
>
x2 ,
f
(x1) − f (x2 ) x1 − x2
h(x) ≥ h( e) = − 1 ，所以 a ≤ − 1 .
6e
6e
………12 分
21.
【详解】依题意，以 C
为原点，分别以 CA
、CB
、CC1
的方向为
x
轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得 C (0, 0, 0) 、
A(2, 0, 0) 、 B (0, 2, 0) 、 C1 (0, 0,3) 、
甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的
分配方案有
A.18 种
B.24 种
C.36 种
D. 72 种
7.若幂函数
f (x) 的图象过点 (
2 , 1) ，则函数 g(x) = 22
f (x)
的递增区间为
ex
A. (0, 2)
B. (−∞, 0) (2, +∞) C. (−2, 0)
是 cos < AB, n >=
AB ⋅ n = AB ⋅ n 2
−4 2×
6
=
−
3 3．
所以，直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值为 3 . 3
………12 分
22. ………5 分
………12 分
（1） 地产数据研究发现，3 月至 7 月的各月均价 y （万元/平方米）与月份 x 之间具有较 强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程；
（2） 若政府不调控，依此相关关系预测 12 月份该市新建住宅销售均价.
5
5
5
∑ ∑ ∑ 参考数据及公式： =xi 25, =yi 5.36, (xi − x)( yi −= y) 0.64,
B. 命题“ ∃x0 ∈ (0, +∞), ln x=0 x0 −1”的否定是“ ∀x ∈ (0, +∞), ln x ≠ x −1 ”
C.
b 若 a,b ∈ R ，则
+
a
≥
2
b ⋅ a =2
a b ab
D.
设 a ∈ R ，“ a
= 1”，是“函数
f
(
x)
=
a − ex 1+ aex
在定义域上是奇函数”的充分不必要条件
即 BE ⊥ AF .
…………………………4 分
AD AF = A ,∴ BE ⊥ 平面ADF , DF ⊂ 平面ADF,∴ BE ⊥ DF. ………6 分
（2）
VC− ABE =
1 3
S ABE
⋅
BC
=
22 3
19.
……………………12 分
………4 分
………12 分 20.
…6 分
（2）因为 x1 > x2 > 0, 所以 f (x1) − f (x2 ) < x1 − x2 ，即 f (x1) − x1 < f (x2 ) − x2 恒成立，
∴ AD ⊥ 平面ABEF ，∴ AD ⊥ BE ，
…………………………2 分
取 EF 的中点记为 G，连接 AG， BA EG, BA = EG ,∴四边形ABEG为平行四边形 ，
即 BE AG ，在三角形 AGF 中，AG=AF=2, G=F 2 2, AF 2 + A= G2 GF 2 , 所以 AG ⊥ AF .
x
围
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 据某市地产数据研究显示，2019 年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3 月至 7 月房价上 涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月开始采用宏观调控措施，10 月份开始房价得到 很好的控制.
11．关于 (a − b)11 的说法，正确的是
A. 展开式中的二项式系数之和为 2048 B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大 D. 展开式中第 6 项的系数最小
12. 如图直角梯形 ABCD, AB // CD, AB BC, BC CD 1 AB 2 ，E 为 AB 中点， 2
B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
{ } { } 2.已知集合 =A x =y 2x −1 ，集合=B = y y x2 ，则集合 A B =
A. (1,1)
B. [0, +∞)
C. {(1,1)}
D. (0, +∞)
3. 已知 x, y ∈ (0, +∞), 2x−4 = (1)y , 则 xy 的最大值为 4
A1 (2, 0,3) 、 B1 (0, 2,3) 、 D (2,0,1) 、 E (0, 0, 2) 、 M (1,1,3) .
（Ⅰ）依题意， C1M = (1,1, 0) ， B1D = (2, −2, −2) ，
从而 C1M ⋅ B1D = 2 − 2 + 0 = 0 ，所以 C1M ⊥ B1D ；
2018 级高三第一次模拟考试数学试题
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 z 满足 (2 − i)z =i + i2 ，则 z 在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
=i 1=i 1 =i 1
回归方程 =yˆ bˆx + aˆ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
∑ (xi − x)( yi − y)
bˆ=
i =1 n
, aˆ= y − bˆx.
∑ (xi − x)2
i =1
3
18．（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABEF 为等腰梯形，
且 AB∥ EF,= AF 2,= EF 2= AB 4= AD 4 2, 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF. （1） 求证： BE ⊥ DF ; （2） 求三棱锥 C − ABE 的体积 V.
19. （本小题满分 12 分） 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于 80 小时的某种技能培训才能上班，公司人事部 门 在 招 聘 的 职 工 中 随 机 抽 取 200 名 参 加 这 种 技 能 培 训 的 数 据 ， 按 时 间 段
设 F= (x) f (x) − x 在 (0, +∞) 上为减函数，即 F′(x) ≤ 0 恒成立.
所以 F′(x) = 3ax2 + ln x ≤ 0 ，即 a ≤ −3lxn2= x ，设 h(x)
−= 3lxn2x , h′(x)
−3
+ 6 ln 9x3
x
(
x
>
0)
当 x ∈ (0, e), h′(x) < 0, h(x) 单减，当 x ∈ ( e, +∞), h′(x) > 0, h(x) 单增，
设所选三人中男生人数为ξ ，则数学期望 E(ξ ) =
.
2
14．如图，在正方体 ABCD − A′B′C′D′ 中， BB′ 的中点为 M ， CD 的中点为 N ，
异面直线 AM 与 D′N 所成的角是
.
15. 在 (1− 2x)5 (2 + x) 展开式中， x4 的系数为
.
16.关于 x 的方程 kx − ln x −1 =0 在 (0, e] 上有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范
4 D. PC 与平面 PED 所成角的正切值为 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，
[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100] ，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方
图如图所示
. （1） 求抽取的 200 名职工中，参加这种技能培训时间不少于 90 小时的人数，并估计从招
聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于 90 小时的概率； （2） 从招聘职工（人数很多）中任意选取 3 人，记 X 为这 3 名职工中参加这种技能培训
D. (−∞, −2) (0, +∞)
8.设函数 f (x) = mx2 − mx −1，若对于 x ∈[1,3]， f (x) > −m + 2 恒成立，则实数 m 的取值
范围
A. (3, +∞)
B.
−∞,
3 7
C. (−∞,3)
D.
3 7
,
+∞
1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有
< 1 ，求实数 a 的取值范围.
21. （本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC − A1B1C1 中，CC1 ⊥ 平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2 ，CC1 = 3 ， 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上，且= AD 1= CE 2, M 为棱 A1B1 的中点． （Ⅰ）求证： C1M ⊥ B1D ； （Ⅱ）求二面角 B − B1E − D 的正弦值； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值．
………4 分
（Ⅱ）依题意， CA = (2, 0, 0) 是平面 BB1E 的一个法向量，
EB1 = (0, 2,1) ，= ED (2, 0, −1) ．设 n = ( x, y, z ) 为平面 DB1E 的法向量，
则
n n
⋅ ⋅
EB1 ED
= 0
，即
= 0
2 2
y x
+ −
z z
=0
，不妨设
D. {x 0 < x < 3}
5.设 f= 1(x) sin x, f= 2 (x) f1′(x), f= 3 (x) f2′(x),⋅⋅⋅, fn+= 1(x) fn′(x), n ∈ N , 则 f2020 (x) =
A. sin x
B. − sin x
C. cos x
D. − cos x
6.某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到
A. 2
9
B.
8
3
C.
2
9
D.
4
{ } 4.若不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 x −1 < x < 2 ，则不等式
a(x2 +1) + b(x −1) + c < 2ax 的解集为
A. {x − 2 < x < 1}
B. {x x < −2或x > 1}
C. {x x < 0或x > 3}
多项符合题目要求。全部选对得 5 分；部分选对的得 3 分；有选错的得 0 分。
2 9. 若复数 z＝1＋iA，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是
E
A. z 的虚部为－1 C. z2 为纯虚数
B. |z|＝ 2
A
E
D. z 的共轭复数为－1－i
10. 下列命题正确的是
A.“ a > 1”是“ 1 < 1 ”的必要不充分条件 a
存在，请说明理由.
6
山东师大附中 2018 级高三 9 月开学考数学检测题答案
一、
答案 C B A C D C A A
二、
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BD
ACD
ACwk.baidu.com
三、13. 2 14. 90°
四、17.(10 分)
15.80
16.
e+ e2
1
,1
18.（12 分）
（1） AD ⊥ AB, 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF, 平面 ABCD 平面 ABEF = AB ，
=0
x
=
1
，可得
=n
(1, −1, 2) ．
cos < C= A, n >
C= A⋅ n
= 2
CA ⋅ n 2× 6
6 6
，∴sin
<
CA, n
>=1− cos2
<
CA, n
>
=30 6
．
所以，二面角 B − B1E − D 的正弦值为 30 ； 6
………8 分
（Ⅲ）依题意， AB = (−2, 2, 0) ．由（Ⅱ）知 =n (1, −1, 2) 为平面 DB1E 的一个法向量，于
5
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f= (x) ex (ln x − ax + a + b) （ e 为自然对数的底数）， a,b ∈ R ，直线 y = e x 是 2
曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切线. （1）求 a, b 的值； （2）是否存在 k ∈ Z ,使得 y = f (x) 在 (k, k +1) 上有唯一零点？若存在，求出 k 的值；若不
时间不少于 90 小时的人数，试求 X 的分布列和数学期望 E(X)和方差 D(X).
4
20. （本小题满分 12 分）
设 f (= x) ax3 + x ln x
（1）
求函数 g(x) =
f (x)
的单调区间；
x
（2）
若 ∀x1, x2
∈ (0, +∞) ，且 x1
>
x2 ,
f
(x1) − f (x2 ) x1 − x2
h(x) ≥ h( e) = − 1 ，所以 a ≤ − 1 .
6e
6e
………12 分
21.
【详解】依题意，以 C
为原点，分别以 CA
、CB
、CC1
的方向为
x
轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得 C (0, 0, 0) 、
A(2, 0, 0) 、 B (0, 2, 0) 、 C1 (0, 0,3) 、
甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的
分配方案有
A.18 种
B.24 种
C.36 种
D. 72 种
7.若幂函数
f (x) 的图象过点 (
2 , 1) ，则函数 g(x) = 22
f (x)
的递增区间为
ex
A. (0, 2)
B. (−∞, 0) (2, +∞) C. (−2, 0)
是 cos < AB, n >=
AB ⋅ n = AB ⋅ n 2
−4 2×
6
=
−
3 3．
所以，直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值为 3 . 3
………12 分
22. ………5 分
………12 分
（1） 地产数据研究发现，3 月至 7 月的各月均价 y （万元/平方米）与月份 x 之间具有较 强的线性相关关系，试建立 y 关于 x 的回归方程；
（2） 若政府不调控，依此相关关系预测 12 月份该市新建住宅销售均价.
5
5
5
∑ ∑ ∑ 参考数据及公式： =xi 25, =yi 5.36, (xi − x)( yi −= y) 0.64,
B. 命题“ ∃x0 ∈ (0, +∞), ln x=0 x0 −1”的否定是“ ∀x ∈ (0, +∞), ln x ≠ x −1 ”
C.
b 若 a,b ∈ R ，则
+
a
≥
2
b ⋅ a =2
a b ab
D.
设 a ∈ R ，“ a
= 1”，是“函数
f
(
x)
=
a − ex 1+ aex
在定义域上是奇函数”的充分不必要条件
即 BE ⊥ AF .
…………………………4 分
AD AF = A ,∴ BE ⊥ 平面ADF , DF ⊂ 平面ADF,∴ BE ⊥ DF. ………6 分
（2）
VC− ABE =
1 3
S ABE
⋅
BC
=
22 3
19.
……………………12 分
………4 分
………12 分 20.
…6 分
（2）因为 x1 > x2 > 0, 所以 f (x1) − f (x2 ) < x1 − x2 ，即 f (x1) − x1 < f (x2 ) − x2 恒成立，
∴ AD ⊥ 平面ABEF ，∴ AD ⊥ BE ，
…………………………2 分
取 EF 的中点记为 G，连接 AG， BA EG, BA = EG ,∴四边形ABEG为平行四边形 ，
即 BE AG ，在三角形 AGF 中，AG=AF=2, G=F 2 2, AF 2 + A= G2 GF 2 , 所以 AG ⊥ AF .
x
围
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 据某市地产数据研究显示，2019 年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3 月至 7 月房价上 涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月开始采用宏观调控措施，10 月份开始房价得到 很好的控制.
11．关于 (a − b)11 的说法，正确的是
A. 展开式中的二项式系数之和为 2048 B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大 D. 展开式中第 6 项的系数最小
12. 如图直角梯形 ABCD, AB // CD, AB BC, BC CD 1 AB 2 ，E 为 AB 中点， 2
B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
{ } { } 2.已知集合 =A x =y 2x −1 ，集合=B = y y x2 ，则集合 A B =
A. (1,1)
B. [0, +∞)
C. {(1,1)}
D. (0, +∞)
3. 已知 x, y ∈ (0, +∞), 2x−4 = (1)y , 则 xy 的最大值为 4
A1 (2, 0,3) 、 B1 (0, 2,3) 、 D (2,0,1) 、 E (0, 0, 2) 、 M (1,1,3) .
（Ⅰ）依题意， C1M = (1,1, 0) ， B1D = (2, −2, −2) ，
从而 C1M ⋅ B1D = 2 − 2 + 0 = 0 ，所以 C1M ⊥ B1D ；
2018 级高三第一次模拟考试数学试题
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 z 满足 (2 − i)z =i + i2 ，则 z 在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
=i 1=i 1 =i 1
回归方程 =yˆ bˆx + aˆ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
∑ (xi − x)( yi − y)
bˆ=
i =1 n
, aˆ= y − bˆx.
∑ (xi − x)2
i =1
3
18．（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABEF 为等腰梯形，
且 AB∥ EF,= AF 2,= EF 2= AB 4= AD 4 2, 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF. （1） 求证： BE ⊥ DF ; （2） 求三棱锥 C − ABE 的体积 V.
19. （本小题满分 12 分） 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于 80 小时的某种技能培训才能上班，公司人事部 门 在 招 聘 的 职 工 中 随 机 抽 取 200 名 参 加 这 种 技 能 培 训 的 数 据 ， 按 时 间 段
设 F= (x) f (x) − x 在 (0, +∞) 上为减函数，即 F′(x) ≤ 0 恒成立.
所以 F′(x) = 3ax2 + ln x ≤ 0 ，即 a ≤ −3lxn2= x ，设 h(x)
−= 3lxn2x , h′(x)
−3
+ 6 ln 9x3
x
(
x
>
0)
当 x ∈ (0, e), h′(x) < 0, h(x) 单减，当 x ∈ ( e, +∞), h′(x) > 0, h(x) 单增，
设所选三人中男生人数为ξ ，则数学期望 E(ξ ) =
.
2
14．如图，在正方体 ABCD − A′B′C′D′ 中， BB′ 的中点为 M ， CD 的中点为 N ，
异面直线 AM 与 D′N 所成的角是
.
15. 在 (1− 2x)5 (2 + x) 展开式中， x4 的系数为
.
16.关于 x 的方程 kx − ln x −1 =0 在 (0, e] 上有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范