巧用常数变易法解题
常数变易法解方程两例
常数变易法解方程两例
牛保才
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1996(000)002
【摘要】在高等数学中,我们可以用常数变易法求非齐次线性方程的通解。
在初等数学中,将常数看做变数,有时也会收到异曲同工之妙,这种方法既新颖,又简便,值得一试。
例1 解方程x<sup>3</sup>-
5<sup>1/2</sup>x<sup>2</sup>+(5<sup>1/2</sup>-2)x+2
5<sup>1/2</sup>-5=0 解:令5<sup>1/2</sup>=y,将原方程改写为关于y的一元二次方程:
【总页数】1页(P34-34)
【作者】牛保才
【作者单位】长治师范 046000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.解两类非线性微分方程的常数变易法 [J], 汤光宋;
2.关于常数变易法求一阶线性非齐次微分方程通解的两点思考 [J], 汪维刚
3.一个解方程ut+uux=0满足两个守恒律的有限体积格式 [J], 程晓亮
4.浅析解方程中a-x=b类型的教学——以人教版五年级上册《简易方程》解方程例3为例 [J], 余清辉;
5.两步应用题求解方程化训练的尝试 [J], 祝中录
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常数变易法详细步骤
常数变易法详细步骤
嘿，朋友们！今天咱来唠唠常数变易法的详细步骤。
这玩意儿啊，就像是解开难题的一把神奇钥匙。
咱先说说啥是常数变易法。
简单来讲，就是在面对一些比较棘手的方程或问题时，我们通过巧妙地改变一些常数，来找到解决问题的途径。
就好比走一条陌生的路，得找个特别的标志来指引方向。
那具体咋操作呢？首先得有个基础的方程或表达式吧。
然后呢，咱就大胆地对其中的常数进行一些变动。
这可不是瞎变哦，得有一定的思路和技巧。
就像做菜，调料放对了，味道才好。
比如说，遇到一个微分方程，咱就可以试着把某个常数换成一个未知函数。
这就好像给原本平淡无奇的画面添上一抹鲜艳的色彩，一下子就生动起来了。
然后呢，通过一系列的运算和推导，逐步找到这个未知函数的具体形式。
你想想，这多有意思啊！就像在玩一个解谜游戏，每一步都充满了惊喜和挑战。
而且，这种方法特别灵活，能应对各种不同类型的问题。
再打个比方，常数变易法就像是给一辆汽车换上合适的轮胎，让它能在不同的路况下都跑得稳稳当当。
它不是死板的，而是充满了变化和可能。
在实际运用中，可不能马虎。
得仔细分析问题，找到关键的地方下手。
有时候可能会遇到一些困难，但别怕呀，咱就一步步来，就不信搞不定它！
总之呢，常数变易法是个非常实用的工具，能帮我们解决很多难题。
只要咱认真去学，用心去体会，就一定能掌握它的精髓。
大家加油哦，让我们一起在数学的海洋里畅游，用常数变易法这把钥匙打开更多知识的大门！不用它，那不是太可惜了吗？相信自己，一定能行！。
常数变易法在高中数学中的妙用
H = 1 ,求证:#43;H = 1消元代入化简证明，也
可采用常数变易法. —(% + 0 + z) 0； = % 0< + 0 0= + - 0C得
%(&」&) +0(&—&) +H 0P-0C) =0,
艮卩 % < + y'=； +z~CP =0.
若%=0,则yBP + + & =0,所以；,=,C三点共线，故
{ 二- - + 0 = 1, r = & 1
亠普,即{
时0等号，哙+
壬的最小值为3+2任
羊 或者这样变形—+寻=凹+2("严
--
3+2-b +
例J3 若 ％>0,0>0,h>0,且 % + 0 + h = 1,求函数)=
(T-1)(十一1)(号一1 )的小值.
解 此题的 函数具有对称性，利用常数 法，用
!关键词】"数变易法
常数 法是微分方程中解线性微分方程的方法，就
是将齐次线性微分方程通解中的常数C变换为待定函数
+(%).不仅如此，它在中数学中也有着 的应用，用
量
一个常数,可以巧妙地解
.下
几种题
型加以阐述. 一、在解方程中的应用
例 1 解方程 /% +12% +40 + /% -12% +40 =20.
二、在不等式中的应用
例2
已知两正数-,b满足-+b
=
1,求— 1+2—的最 -
小值. 解 此题方法多,其中比较便捷的方法就是常数变易
常数变易法求解常微分方程
常数变易法求解常微分方程常数变易法是采用求解常微分方程的一种重要方法，被普遍运用于应用数学中。
本文主要就常数变易法求解常微分方程，提出一些观点。
首先，需要明确一点，常数变易法只能用来求解线性微分方程。
线性微分方程即次微分方程为链式型，即满足一阶微分，二阶微分以及高于二阶之外，其中均不存在非线性项。
这一类方程一般被缩写为：$dy/dx+Py=Q$其中$P$ 和$Q$皆为常数，当$P≠0$时，本方程就是一个典型的线性微分方程。
接着，介绍常数变易法的基本思想。
基本思想是把微分方程$$dy/dx+Py=Q$$写成同一个微分方程的齐次方程形式。
齐次方程的解的特点是：将原方程的系数$P$和$Q$分别称为各自齐次方程的非齐次常数，在立解方程时，这两个非齐次常数它们可以看作是被变形了的“常量” 因此，解微分方程就可以把原来问题转换为求解一元一次齐次方程的问题，通过相应的简单数学方法求解，由此，把原来的复杂的微分方程变成了解决较为容易的一元一次齐次方程，因此，求解常微分方程就可以用常数变易法来解决。
最后，围绕常数变易法求解常微分方程，介绍具体求解步骤。
常数变易法求解常微分方程的步骤如下：（1）将原方程化为齐次方程。
（2）把非齐次常数纳入一般解，把两个非齐次常数作为一对参数。
（3）分别代入上述两个参数及所知条件来求得特解。
（4）求全解的思路，即将特解与一般解相加，把它们看成一个解而言。
（5）根据情况简化表达式或者进一步扩大解空间。
本文详细介绍了关于常数变易法求解常微分方程的思想和方法，也介绍了求解步骤。
它能帮助我们准确快速地求解常微分方程，从而达到更有效的结果。
随着计算机技术的进步，微分方程求解及计算的方法也会不断发展，提供更多的求解方法，从而解决困扰我们的难题。
常数变易法
常数变易法
常数变易法是求解复杂问题中经常采用的一种方法，它既可以帮助我们求解复杂问题，又可以帮助我们节省时间，提高效率。
但是，要想有效地使用常数变易法，我们需要对它有全面的认识和理解，并能够熟练掌握运用它的相关技巧。
首先，我们来了解它的定义，常数变易法就是从现有的函数中求解函数变形的方法，它的关键就是利用函数的变易性，将原始的函数变形为一个简单的函数，让求解问题更加容易。
例如，如果我们要求解一个立方函数，我们可以利用常数变易法，将其变形为一个平方函数，这样就可以用更简单的方式来求解。
其次，在掌握常数变易法的时候，我们需要学习它的基本原理，主要是利用二次函数的“常数变易”原理，即一次函数可以表示为一次函数与常数相乘的形式。
换句话说，利用“常数变易”原理，我们可以将复杂的函数变形为更为简单的函数，从而求解复杂的函数。
此外，为了有效地运用常数变易法，我们还需要掌握一些算法，才能够更加高效地求解复杂函数。
比如，我们可以用分治算法来求解复杂的函数，而且分治算法可以从另一个角度来分析函数，从而使函数的求解更加容易。
总的来说，常数变易法是一种解决复杂问题的高效方法，它可以帮助我们通过变易函数的方式节省时间，提高效率。
但是，如果要有效地使用常数变易法，我们还需要学习它的基本原理、熟练掌握它的算法，这样才能够有效地求解复杂的函数。
微分方程常数变易法
微分方程常数变易法是指在求解微分方程时，通过将一些常数变量视为未知函数来解决常数条件不确定的问题。
这种方法主要用于解决常见的微分方程，如欧拉方程、拉普拉斯方程、伯努利方程等。
下面是一个例子，设$y(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的解，其中$p(x)$ 和$g(x)$ 是已知的函数。
假设有一个常数$c$，使得$y(x_0) = c$ 对所有$x_0$ 都成立。
设$y_1(x)$ 为方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的另一解，则$y_1(x)$ 与$y(x)$ 的差值$y(x) - y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ 的解。
因此，可以设$y(x) - y_1(x) = k$，其中$k$ 是一个常数，令$k = c$，得到$y_1(x_0) = y(x_0) - k = y(x_0) - c$。
由此，可以得到方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的通解为$y(x) = y_1(x) + c$，其中$y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的任意一解，$c$ 是任意常数。
综上，微分方程常数变易法的过程如下：解决方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$，求出它的通解设$y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的任意一解设$y(x) - y_1(x) = k$，其中$k$ 是一个常数令$k = c$，得到$y_1(x_0) = y(x_0) - c$，其中$x_0$ 为任意常数由此，可以得到方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = g(x)$ 的通解为$y(x) = y_1(x) + c$注意，在使用常数变易法求解微分方程时，需要满足以下条件：常数变易法适用于有常数条件的微分方程在使用常数变易法时，需要先求出方程$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ 的通解例如，解决方程$\frac{dy}{dx} + y = x^2$，且满足条件$y(0) = 0$ 的方法如下：首先，求出方程$\frac{dy}{dx} + y = 0$ 的通解，可以得到$y = c_1e^{-x}$设$y_1(x)$ 是方程$\frac{dy}{dx} + y = x^2$ 的任意一解，则$y_1(x) = x^2 + c_1e^{-x}$ 设$y(x) - y_1(x) = k$，其中$k$ 是一个常数令$k = 0$，得到$y_1(0) = y(0)$，即$y_1(0) = 0$由此，可以得到方程$\frac{dy}{dx} + y = x^2$，且满足条件$y(0) = 0$ 的通解为$y(x) = x^2$。
常数变易公式例子(一)
常数变易公式例子(一)常数变易公式常数变易公式是数学中常用的一种方法，通过适当引入一个常数，可以使复杂的计算问题变得简单。
在很多应用中，常数变易公式都有非常重要的作用。
本文将通过列举一些例子，并详细解释常数变易公式的作用和原理。
例子一：求和公式假设我们要计算1加到100的和，即求1+2+3+...+100。
由于数字较多，一一相加的方法显然不够高效。
这时，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将1+100写成(1+C)+(100−C)的形式。
这样，我们可以得到(1+C)+(100−C)=101。
接下来，我们将(2+C)+(99−C)写成(2+C)+(99−C)=101，以此类推。
最终，我们得到了1+2+3+...+100=50∗101=5050。
通过引入常数C，我们将复杂的计算问题简化为了一个简单的公式。
例子二：平均数公式假设有一组数1,2,3,...,10，我们要求这组数的平均值。
同样地，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将这组数写成[(1+C)+(10−C)]/2的形式。
这样，我们可以得到[(1+C)+(10−C)]/2=11/2=。
通过引入常数C，我们将求平均值的计算变得更加简单了。
例子三：代数公式常数变易公式在代数中也经常被使用。
例如，要求(x+2)(x+3)的值，我们可以使用常数变易公式来辅助计算。
首先，我们定义一个常数C，并将(x+2)(x+3)写成(x+C+2−C)(x+C+3−C)的形式。
这样，我们可以得到(x+C+2−C)(x+C+3−C)=x2+5x+6−C2。
通过引入常数C，我们将复杂的运算转化为了一个简单的公式。
例子四：几何公式常数变易公式在几何中也有应用。
例如，要求一个矩形的面积，我们可以使用常数变易公式来简化计算。
假设矩形的长为L，宽为W，我们可以定义一个常数C，并将面积LW写成(L+C)(W−C)的形式。
这样，我们可以得到(L+C)(W−C)=LW−C2。
常数变易公式例子
常数变易公式例子常数变易公式简介常数变易公式是数学中的一个重要概念，用于描述在一定条件下常数的变化规律。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将通过列举一些例子，并详细讲解这些例子，来介绍常数变易公式的应用。
例子1：速度与位移的关系当一个物体在直线运动中，速度的大小是常数，但是方向可以变化。
根据常数变易公式，可以得出速度与位移之间的关系式为：位移 = 速度 × 时间例如，一个物体以10 m/s的速度向前运动了5秒，则它的位移为50米。
例子2：密度与体积的关系在物理学中，密度是物质单位体积的质量。
假设一个物质的密度是常数，则密度与体积之间的关系可以用常数变易公式表示为：质量 = 密度 × 体积例如，一个物体的密度为2g/cm³，体积为10cm³，则它的质量为20克。
例子3：光速与频率的关系在光学中，光速是光在真空中传播的速度，约为3×10^8米/秒。
根据常数变易公式，光速与频率之间的关系可以表示为：波长 = 光速 / 频率例如，当光速为3×108米/秒，频率为5×1014赫兹时，对应的波长为600纳米。
例子4：力与加速度的关系在牛顿力学中，力可以通过牛顿第二定律与加速度之间的关系来描述。
根据常数变易公式，力与加速度之间的关系可以表示为：力 = 质量 × 加速度例如，一个质量为2千克的物体受到的力为10牛顿，则它的加速度为5米/秒²。
总结本文中我们通过列举了四个例子来说明常数变易公式的应用。
从速度与位移、密度与体积、光速与频率、力与加速度这四个例子中，我们可以看到在不同的领域中，常数变易公式都有着重要的作用。
它能够帮助我们理解和描述事物之间的关系，同时也为实际问题的解决提供了数学上的支持。
通过学习和应用常数变易公式，我们可以更好地理解和分析各种现象，为科学研究和工程应用提供有力的工具。
用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程
2
x
hw：p319 2,4.
一类特殊变系数非齐次线性微分方程
Euler Equation：
xn y(n) a1 xn1 y(n1) an1 xy an y f ( x)
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
其中 Qm ( x) 和 Rm ( x) 为两个 m 次待定多项 式, m max{l,n};
§9 用常数变易法求解 二阶非齐次方程
基本思想：将 y P( x) y Q( x) y f ( x) 对应齐次方程的通解 y C1 y1( x) C2 y2( x) 中的常数变易成函数 C1( x) 与 C2( x) 然后求出 C1( x) 与 C2( x).
例. 已知 y1( x) x 是齐次方程 x2 y 2xy 2 y 0 的一个解，求非齐次线性方程 x2 y 2xy 2 y 2x3 的通解。
hw：p301 5,8.
§9 欧拉方程
Euler Equation 欧拉方程
xn y(n) p1 xn1 y(n1) pn1 x y pn y f ( x) ( pk为常数) 令 x et , 即 t ln x
hw：p319 2,4.
欧拉方程解法思路
变系数的线 变量代换
常系数的线
性微分方程 x et 或 t ln x 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
令 x et 将方程转化为常系数微分方程。
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法数学物理方程与特殊函数复习资料二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法20XX年-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F表示力，m表示物体的质量，而a表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程y 2y 0如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况y 2y f(x)y(0) ,y(0)两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题y (x) ry(x) f(x),x 0y(0)先求解简化的（源函数为零）的方程：y (x) ry(x) 0由分离变量：dydyrdx ry，ydx积分：lny rx c，y(x) Cexp( rx)应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即y(x) u(x)exp( rx)求导数，得y (x) u (x)exp( rx) ru(x)exp( rx)u (x)exp( rx) ry(x)数学物理方程与特殊函数复习资料将其代入化简前的方程，得等式u (x)exp( rx) f(x)，u (x) exp(rx)f(x)积分，得u(x)xexp(r )f( )d C代入表达式y(x) u(x)exp( rx)，得y(x) [ exp(r )f( )d C]exp( rx)x应用初始条件，得解函数y(x) exp( rx) exp[ r(x )]f( )dx从两部分解读解函数的意义。
常微分方程的常数变易法
常微分方程的常数变易法常微分方程，这听起来是不是有点儿高深莫测？不过别担心，今天咱们就轻松聊聊一个叫“常数变易法”的玩意儿。
想象一下，这就像是给微分方程穿衣服，选择合适的“服装”让它更加好看。
咱们说的常数变易法，实际上是个非常聪明的技巧，它能帮助咱们找到微分方程的解。
哎，别以为这很难，其实你只需要记住几个小窍门，就能把复杂的方程变得简单得多。
首先呢，常数变易法的核心就是“变化”。
就像生活中有时候你得换换口味，试试新的餐馆一样，微分方程的解也需要“变”一变。
一般来说，微分方程的解可以分为两个部分，一个是齐次解，另一个就是特别解。
齐次解就像你每天都喝的白开水，特别解则是你偶尔想喝的果汁。
常数变易法的妙处在于它教会我们如何在这两个解之间找到联系。
你只要把齐次解的常数当成变量来对待，没错，就是这么简单。
咱们得找一个适合的函数来配合齐次解。
想象一下，你去参加一个派对，得选一身合适的衣服。
选择了对的衣服，当然能让你在人群中脱颖而出。
常数变易法就像是在给齐次解挑选一个合适的函数。
你可以通过求导、代入等一系列“魔法”，最终找到一个满足原方程的特别解。
听起来是不是有点儿神奇？别担心，练习一下就能掌握。
说到这里，有个小细节需要注意哦。
当你选择这个函数时，得确保它是齐次解的线性组合。
就像搭配衣服，得注意颜色和风格的协调，选择不当可是会出大乱子的。
通常情况下，我们会把齐次解的每一项都乘以一个未知函数，然后求解这些未知函数。
慢慢地，最终你会发现，特别解就呼之欲出了。
这过程可不是一蹴而就的，有时需要多试几次，才能找到最完美的搭配。
好啦，接下来咱们来个简单的例子，让理论变得更加生动。
假设咱们有一个简单的微分方程，听起来可能有点吓人，但实际上只要按照常数变易法的步骤，照着做就行。
找到齐次解，哎，记得那是最基础的部分。
咱们就可以开始挑选那个未知函数了。
对了，不要忘了用代入法，验证你的选择是否符合方程的要求。
这个过程有点像做一道菜，你得调味、品尝，最后才能上桌。
用常数变易法求解非齐次线性偏微分方程
的解，得特征值问题，
( ) + ( ) = 0, 0 < < (0) = ( ) = 0
(10)2018.8（下） 知识 237知识 第 16 期
求解特征值为
( )=
22
= 2 ( = 1,2,3 … ) ， 特 征 函 数 为
( = 1,2,3 … ) 。利用常数变易法，设
原模型有解形如 常微分方程初值问题, 求解得，
( )+ 2 ( )=
(0) = , (0) =
其中， ， ， 是 ( )， ( )， ( , ) 关于 ( ) 的傅
里叶系数。利用拉普拉斯变换法或常数变易法，求解该常微分
方程得，
( )=
+1
故(6),(2),(7)的解为，
+1
()
0
(−)
∞
( , )= [
+1
=1
3 总结与举例
+1
()
0
(− ) ] ()
变易法，设原模型有解形如
∞
( , )=
()
(2 + 1) 2
。
=1
代入得到常微分方程初值问题, 得，
(
,
)
=
32
3
1
−2
∞ (−1) +1 (2 + 1)3
=1
−(2
+1)2 42
2
2
(2 + 1) 2
（作者单位：中国地质大学（北京）数理学院）
. All Rights Reserved.
。代入得到
( )=
+
+
()
0
故固定的有界弦强迫振动模型的形式解为:
用常数变易法求一类递推数列的通项公式
解：１、 求｛xn｝数列的通项公式，其中 x１＝Ｃ，xｎ＝２xｎ－１ 得
xｎ＝Ｃ·２ｎ．
２、令
an=２ｎCｎ
，代入
a1=1
得
C１＝
１ ２
；将
an=２ｎCｎ，Ｃ１＝
１ ２
代
入
an=２an－１＋ｎ
中，得
２ｎCｎ＝２ｎCｎ－１＋ｎ，即得
Cｎ-Cｎ－１＝
n ２ｎ
，则
ｎ
Σ Cｎ＝ ｋ＝１
ｋ ２ｋ
＝２－ １ ２n-1
n n＋１
．
１、求数列｛xn｝的通项公式，其中
x1=C，xn＝
n２ n２－１
xn－１，
n
仪 得 xn＝C· k=2
k2 k2-1
=
2n n+1
C．
２、令
ｓn＝
2n得
C１＝
１ ２
．将
ｓn＝
2n n+1
Cn，C１＝
１ ２
代入
ｓn＝
n２ n２－１
Ｓｎ－１＋
n n+1
中得：2n n+1
－n ２n
，所以 an=２ｎ+1-n-2．
例3
数 列 ｛an｝ 的 前
n
项和为
sn，已 知
a1＝
１ ２
，ｓn＝n２ａn
－n（n－１），求 ｓn 关于 n 的表达式．（２００６ 年安徽省高考理科卷 ２１ 题问 １）
解：该题显然是求数列｛ｓn｝的通项公式，由题意知道：
ｓ１＝
１ ２
，ｓn＝
n２ n２－１
ｓn－１＋
（２ ３
）n-1，得
Cn＝３－２·（
２ ３
）n-1，故
常数变易法求解一类四阶常系数非齐次线性微分方程
的 解法进 行 了讨论 ，但 该 解法 对 四阶及 四阶 以上 的微 分方 程并 不具 有通 用性 ，以下 对一 类具有实特征根的四阶常 系数非 齐次线性 微分
＜ ＞当 ２ 为复根 时 ，不妨 设
：ａ±ｈ ， ｂ∈Ｒ， ｉａ， ６≠０ ，
方程 ’ ｑ ＋ ： Ｊ＋ Ｊ ／ 进行详细 ＋ ｎ ＋ ， 吼 一． Ｙ ）
＝
若 为特 征方程 ，＋ Ｉ ａ ＋ ａ ＋ ２ ＋ Ｐ ｄ‘
０ 的一 实根 ，３ ０为方 程 ０ ＋ 。 ｂ ） ＝ ３ ６ ＋２ ＋ ０ ｏ ＝ ｒ＋ ４
的 实根 ， 为 ＋（ （ ２＋２ Ｏ的 （ ＋ ｎ＋ ‘＋ ｂ＝ ３ ｏ ３ ｍ ） ｏ
因 为 为 特征 方 程 （ ）的一 个根 ，所 ５ 以 ，＋ Ｉ ＋ ： Ｈ ａ ： ． ａ・ “ ＋ ， ， ４ ０从而有
ｔａ ｓｏｍ ｒ ｎ ｆ ｒ ｍｅ ｈ ｄ。 ｈ ｔ ｐｃ ｌ ｔ ｏ ｆ ｒ ｏｖｎ ｔ ｏ ｔ ｅ ｙ ｉ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｓ ｌｉ ａ ｇ ｄ ｒｎ ｉ ｅ ｕ ｔ ｎ ｆ ｏｄ ｒ ｏ ｅ ｉ ｕｅ ｉ ｏｖ ｇ ｉ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉ ｓ ｏ ｒｅ ｎ ． ｓ ｓｄ ｎ ｌｉ 什ｅ ａ ｏ ｓ ｎ
例验 证 公 式 的适 用性 。
其特征 方程为
ｒ ＋ Ｉ ＋ ？ （ ＋ ４ ａ （， ＋ ａ ：０ （） ， ： ５
则方程的 通解为 ＜１ 为实根 时 ， ＞当
－
设 为特 征方程 （） ５的一 实根 ，则 Ｊ ｅ — “ 是 （４） 一 个 解 ， 这 是 可 设 （ 的 ３）的 解 为 ＝ （） ，将 其带 人 （ ） ，可 得 ｃ ３中
：
（３） ２，ｒ ｋ＋［ ＋ ｐ
常数变易法
常数变易法我们来看下面的式子：y’＋p(x).y＝q(x) (1)对于这个式子最正常的思路就是“拆分变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量拆分再两边分数）。
所以我们的思维就分散在如何将（1）式的x和y拆分上来。
起初的一些尝试和启示先轻易拆分看看一下：dy/dx＋p(x)·y＝q(x)＝>dy＝(q(x)－p(x).y).dx (2)从中窥见y不可能将单独文苑路左边去，所以就是分没法的。
这时想一想以前化解“齐次方程”时用过的招数：设y/x＝u＝>y＝u·x.将y＝u·x代入(1)式:u’·x＋u＋p(x)·u·x＝q(x)＝>u’·x＋u·(1＋p(x)·x)＝q(x)＝>du/dx·x＝q(x)－u(1＋p(x)·x)＝>du＝[q(x)－u.(1＋p(x).x)].(1/x).dx (3)这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。
不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。
因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。
比如说，对于（3）式，如果x＝－1/p(x)，那么那一项就消失了；再比如说道，对于（2）式，如果p(x)＝0，那么那一项也消失了。
当然这些假设都就是不可能将的，因为x和p(x)等同于几就是你无法干涉的。
不过我们可以这么想要：如果我们精妙地结构出来一个函数，并使这一项等于零，那不就万事大吉了。
ok，好戏开场了。
进一步：变量代换法筒子们可能将真的必须结构这么一个函数可以很难。
但结果可以使你跌破眼镜。
y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。
其中u和v都就是关于x的函数。
这样谋y对应于x的函数关系就转变成分别谋u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。
拉格朗日常数变易法
拉格朗日常数变易法
拉格朗日常数变易法是一种在数学中常用的变换方法，它可以将一个复杂的问题转化为一个更简单的问题。
这种方法可以被应用于许多不同的领域，包括微积分、线性代数和动力学系统等。
拉格朗日常数变易法基于拉格朗日乘数法，它利用了一个关键的观察结果：在最优解处，目标函数和约束函数的梯度在相同的方向上。
这种方法可以被用来求解优化问题、微分方程和变分问题等。
拉格朗日常数变易法在数学中有着重要的应用，它可以帮助研究者更好地理解和解决复杂的问题。
- 1 -。
常数变易法的原理
常数变易法的原理
常数变易法是一种数学方法，用于求解特定类型的问题。
它的原理是通过假设一个未知数为常数，并在后续计算中逐步调整这个常数，以便解决问题。
使用常数变易法的关键是找到一个适当的常数，使得问题的解可以用这个常数来表示。
一般来说，常数经过调整后可以使问题简化，或者使得解的形式更加容易处理。
在使用常数变易法时，首先需要假设一个常数，并将其视为未知数，然后将这个常数代入问题的表达式或方程中进行计算。
根据计算结果，通过适当调整常数的值，逐步逼近或找到问题的解。
常数变易法的思想通常用于求解微积分、微分方程和变分问题等数学领域中的一些特殊问题。
它的目的是通过假设一个常数来简化问题，使得求解变得更加容易和直观。
总之，常数变易法是一种使用常数作为未知数，并通过逐步调整常数的值来求解问题的方法。
它可以简化问题，使得计算更加方便，从而得到问题的解。
用常数变易法求解二阶线性非齐次方程
特点 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变 量的方次数相同．
解法 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量 代换可化为常系数微分方程.
作变量变换 x et (或 x et ) , 将自变量换为 t,
dy dy dt dy et ,
dx dt dx dt
d2y dx2
yt
dt dx
1 x2
( yt
yt ),
代入原方程得 yt 4 yt 5 y te2t ,
(1)
和(1)对应的齐次方程为
yt 4 yt 5 y 0,
(2)
(2)的特征方程为 r 2 4r 5 0, 特征根为 r1 5, r2 1,
(2)的通解为 Y C1e5t C2et . 设(1)的特解为 y* (at b)e2t ,
d2y dt 2
dy dt
e2t
,
t ln x,
d3y dx3
d3y dt3
3
d2y dt 2
2
dy dt
e3t
,
dk y dxk
C1
dy dx
C2
d2y dx2
Ck
dk dx
y
k
e
kt
,
k 1, , n
代入原方程 ekt xk 1 k 1, 2, k
化为常系数微分方程
b0
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn
y
0
其中b0 ,b1, ,bn 为确定的常数.
例 求解方程 x2 y 3xy 5 y x2 ln x. 解 这是一个欧拉方程．
令 t ln x, x et ,
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2k
6k +
1
=
-
1. 所以 k = 1 或 k =
1 3
,
所以所求的直线
方程为: y = x + 2 或 y =
1 3
x
+
2.
巧用常数变易法解题
王 辉 (陕西省咸阳市南郊高级中学 712046) 李政谦 (陕西省三原县南郊高级中学 713800)
在求解某些题目的过程中, 善于在几种 知识的交融点处去联想、发散, 并合理地用变 量 去代换常数或分解常数, 使其变成具有实 际 模型意义的常用曲线方程或区域关系, 并 利用其性质来解题, 往往使问题简单化、明了 化, 下面列举几个常见类型加以阐述. 1 在方程中的应用
8y - 6x + 50 + 8y + 6x + 50 的最大值. 分析 仔细观察已知式中的“25”与函
数 式中根号内的“50”的关系, 启发我们将 “50”变换为“25 + 25”, 将其中的一个“25” 用“x 2 + y 2”代替, 就可以得到如下的解法.
解 变换原函数得 t =
8y + 6x + 50 + 8y - 6x + 50
+ (x - 3) 2 + 2 = 10, 将方程中的常数“2”看作变量, 即令 2 =
y 2, 则 (x + 3) 2 + y 2 + (x - 3) 2 + y 2
= 10.
由 椭圆的定义可知, 这个方程表示以
F 1 (- 3, 0) , F 2 (3, 0) 为焦点, 长轴长为 10 的
椭圆,
+
c=
1, 求证: a2 +
b2 +
c2 ≥
1 3
.
证明 利用常数变换的方法并由基本
不等式得:
a2 +
1 3
2
≥
2 3
a,
b2
+
1 3
2
≥
2 3
b,
c2
+
1 3
2
≥
2 3
c.
∴a2 +
b2 +
c2
≥
2 3
(a +
b+
c)
-
1 3
=
13 .
即 a2 +
b2 +
c2 ≥
1 3
(仅当 a
=
b=
c
时取等号).
=
x 2 + y 2 + 8y + 6x + 25 +
x 2 + y 2 + 8y - 6x + 25
=
(x + 3) 2 + (y + 4) 2
+
(x - 3) 2 + (y + 4) 2. 上式表示圆 x 2 + y 2 = 25 上的动点 P (x ,
y ) 到此圆上的定点 A (- 3, - 4) 及 B (3, - 4) 的距离之和. 求 t 的最大值, 转化为求 △A PB 的周长的最大值. 易知当 △A PB 为 等腰三角形时, 其周长最大, 这时 P 点的坐标 为 (0, 5) , 即 x = 0, y = 5 时, tmax = 6 10.
4 在三角中的应用
例 6 设 9co s A + 3sin B + tan C = 0,
(1)
sin2B - 4co s A tan C = 0,
(2)
求证: co s A ≤ 16. 证明 在 (1) 式中, 视“3”为变量 x , 则 (1) 式化为
x 2co s A + x sin B + tan C = 0, (3)
若 co s A = 0, 则不等式 co s A
≤1成 6
立;
若 co s A ≠ 0, 则由 (2) 知 (3) 式 (关于 x
的二次方程) 的判别式为 0,
∴ 关于 x 的方程 x 2co s A + x sin B +
tan C = 0 有两个等根 x 1 = x 2 = 3.
∴x 1x 2 =
4. 将上述两方程均化为关于 x - 1, y - 2 的
方程, 得到
y - 2 = k (x - 1) + k,
(1)
4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1) - (y - 2) 2 - 2 (y
- 2) = 1.
(2)
由 (1) 得 (y -
2) - k (x k
1) = 1,
由 (2) 得 4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1) 1 - (y
例 1 解方程 - x 4 + x 2 - 8x + 16 = 0 (x ∈ R).
解 视“4”为变量 t, 则原方程化为关于 t 的二次方程 t2 - 2x t - (x 4 - x 2) = 0. 根据 求根公式得: t = x ± x 2. 又 ∵ 方程 4 = x +
x 2 的两实根为 x 1, 2 = -
- 2) 2 - 2 (y - 2) 1 = 12. 所 以 4 (x - 1) 2 - 8 (x - 1)
(y -
2) - k (x k
1) -
(y -
2) 2 -
2 (y -
2)
(y - 2) - k (x - 1) k
=
[ (y -
2) - k (x k2
1)
]
2
.
整理, 得
(k2 +
2k +
1)
(y x
-
21) 2 -
(2k 2 -
6k )
yx-
2 1
-
11k 2 = 0.
根 据 韦 达 定 理,
得y 1
x1
-
2 1
+
y2 x2 -
2 1
=
2k 2 k 2 + 2k
6k +
1.
又因为 k PA
+
k PB = -
1, 所以
y1 x1 -
2 1
+
y2 x2 -
2 1
=
-
1,
即
k
2k 2+
2
1± 2
17 , 而方程 4
= x - x 2 无实根, ∴ 原方程的实根为 x 1, 2 =
- 1± 2
17.
例 2 解方程 3x - 4 -
3x - 8 =
2.
分析 去绝对值分类求上述方程的解, 过程较繁, 若根据题目特征另辟蹊径, 构造双 曲线方程, 将会收到事半功倍之效.
解 原方程变形为
x-
4 3
-
x-
8 3
=
2 3
,
x-
4 3
2
+
y2 -
x-
8 3
2
+
y2
=
2 3
(其中 y 2
=
0).
由 双 曲 线 定 义 得: 两 焦 点
4 3
,
0
,
8 3
,
0
之间的距离为 4 3
>
2 3
,
于是方程表示
的双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距的长分别
为a =
1 3
,
b
=
3 3
,
c
=学月刊 2004 年第 4 期
结 构特征,
可联想关于y
x
-
2 的二次方程的 1
两 根之和. 于是可朝构造齐次方程模型的方
向求解.
设直线 l 的方程为 y = k x + 2 (k ≠ 0) ,
双曲线方程变形为 4 (x - 2) 2 - (y - 1) 2 =
其方程为x 2 25
+
y2 16
=
1, 再将 y 2 =
2代
入后, 求得原方程的解为 x
=
±
5 4
14.
2 在解不等式中的应用
例 4 解 不 等 式 x 2 + 4x + 8 +
x 2 - 4x + 8 ≤ 6.
解 原不等式可化为 (x - 2) 2 + 22
+ (x + 2) 2 + 22 ≤ 6, 化静为动, 令 y 2 = 22, 得到一个平面区
所
以双曲线为 (x
1
2) 2
-
y2 1
=
1. 令 y =
0, 解
9
3
2004 年第 4 期 中学数学月刊 · 35 ·
得x =
5 3
或
7 3
.
例 3 解 方 程
x 2 + 6x + 11 +
x 2 - 6x + 11 = 10.
解 将原方程变形为 (x + 3) 2 + 2
tan co s
C A
=
9, 即 tan C =
9co s A .
把 tan C = 9co s A 代入 (2) , 得 36co s2A
= sin2B .
又 ∵sin2B ≤ 1, ∴36co s2A ≤ 1, ∴
co s A
≤
1 6
.
5 函数与解析几何的联合应用
例 7 已知 x 2 + y 2 = 25, 求函数 t =
域 (x - 2) 2 + y 2 + (x + 2) 2 + y 2 ≤