微分几何与伴随着微分几何的发展
几何发展史简要概括
几何发展史简要概括几何学的发展史是一个漫长而丰富多彩的过程，它伴随着人类文明的发展，不断推动着人类对自然界和宇宙的认识。
以下是几何学发展史的简要概括：1. 早期几何学：早在公元前7世纪，古希腊的数学家们就开始研究几何学。
其中，欧几里德被认为是几何学的奠基人，他的《几何原本》一书成为了数学史上的经典之作。
在这个时期，几何学主要关注平面上图形的性质和度量，如长度、角度、面积等。
2. 解析几何学：到了17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将几何图形与代数方程结合起来，从而开创了解析几何学的新纪元。
解析几何学的出现，使得几何学的研究范围从平面扩展到了空间，同时也使得代数和几何在理论上得到了统一。
3. 微分几何学：在19世纪，高斯提出了微分几何学，将几何学的研究重点放在了曲面上。
微分几何学的研究对象包括曲线、曲面以及它们之间的变化和性质。
在这个时期，几何学的研究方法也得到了极大的发展，如微积分、线性代数等数学工具的引入，使得几何学的研究更加深入和广泛。
4. 拓扑学：拓扑学是几何学的一个重要分支，它研究的是图形在连续变形下保持不变的性质。
拓扑学的研究范围非常广泛，包括图形的连通性、紧致性、同胚性等方面。
在20世纪初，随着数学的发展和各学科之间的交叉融合，拓扑学逐渐成为了一个独立的数学分支。
5. 现代几何学：进入20世纪以后，几何学的发展更加多元化和深入。
在这个时期，出现了许多新的几何学分支，如纤维丛几何、黎曼几何、辛几何等。
这些分支的出现，使得几何学的研究范围更加广泛，同时也推动了数学和其他学科的发展。
总的来说，几何学的发展史是一个不断开拓、不断创新的过程。
在这个过程中，许多杰出的数学家们为几何学的发展做出了卓越的贡献。
他们的思想和成果不仅推动了数学的发展，也对其他学科产生了深远的影响。
今天，几何学已经成为一个庞大而复杂的学科体系，它将继续引领着人类对自然界和宇宙的认识和理解。
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾曲面几何是微分几何的重要分支之一，它研究的对象是在三维空间中曲线旋转而成的曲面。
本文将回顾曲面几何理论的发展历程，从最早的欧氏几何到现代微分几何的成果，探讨其对数学和物理学的重要意义。
一、欧氏几何的奠基曲面几何的起源可以追溯到古希腊时代，欧几里得的《几何原本》奠定了欧氏几何的基础。
在欧氏几何中，曲面被定义为一个平面内的曲线绕着某个轴旋转而成，例如旋转椭球面、旋转抛物面等。
欧几里得凭借直观的几何形象和逻辑推理，建立了几何学的基本原则和公理体系，为后来的研究打下了坚实的基础。
二、高斯的曲面理论高斯是19世纪的一位数学家和物理学家，他对曲面的研究做出了重大贡献。
他提出了曲面的内禀几何性质，即与该曲面上的度量有关的性质。
他发现曲面上的任意一点都有两个主曲率，这两个主曲率决定了曲面的弯曲情况。
高斯的曲面理论为后来的微分几何奠定了基础，并对物理学中的引力场和光学等领域产生了重要影响。
三、黎曼的复变函数理论黎曼是19世纪著名的数学家，他的复变函数理论为曲面几何的发展提供了重要的工具。
黎曼引入了复数和复变函数的概念，将复变函数与曲面之间建立了联系。
他发展了复变函数的微分和积分运算，开创了复变函数论的新领域。
这一理论在处理曲面的变换和形状描述时起到了重要作用，进一步推动了曲面几何的研究。
四、黎曼流形和微分几何理论在20世纪初，微分几何作为一门独立的学科开始崭露头角。
希尔伯特和莱布尼茨等数学家们对曲面理论进行了深入研究，提出了黎曼流形的概念。
黎曼流形是一种可以进行微分运算的空间，它将欧氏几何和高斯的曲面理论相统一，为微分几何建立了新的基础。
同时，微分几何也拓展到了更高维度的空间，对广义相对论等物理理论的发展起到了重要作用。
五、现代微分几何的发展随着物理学和数学的深入发展，现代微分几何融合了各个领域的成果，形成了一门完备的学科体系。
在微分几何中，曲面不再局限于三维空间，还可以是多维空间中的对象。
数学分支之八：微分几何
数学分支之八：微分几何数学分支之八：微分几何微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。
微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。
在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。
1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。
微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。
其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。
他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。
9.代数几何现代数学的一个重要分支学科。
它的基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。
这样的集合通常叫做代数簇，而这些方程叫做这个代数簇的定义方程组。
空间的概念对我们来说是熟悉的，我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中的。
如果需要描述我们所处的空间中的某一位置，就需要用三个方向来表示，这个意思也就是说空间是“三维”的。
在数学中经常用到“空间”这个概念，它指的范围很广，一般指某种对象（现象、状况、图形、函数等）的任意集合，只要其中说明了“距离”或“邻域”的概念就可以了。
而所谓“维”的概念，如果我们所谈到的只是简单的几何图形，如点、线、三角形和多边形……，那么理解维的概念并不困难：点的维数是零；一条线段的维数是一；一个三角形的维数是二；一个立方体内所有点的集合的是三维的。
如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候，维的概念就不那么容易理解了。
比如，什么是四维空间呢？关于四维空间，我国古代有一些说法是很有意思的。
微分几何科普
微分几何科普(1):浅谈度规和曲率Shanqin(萍踪浪迹)前言：从现在开始，写一些大学理科生可以轻松看得懂的科普帖子,作出的牺牲就是让其他更高学历的人看起来很平庸.从现在开始,要把看起来要写比较长的文章分开写，不在一个帖子里搞连载。
这样主要是为了避免没有时间续写自己的主题而让自己的帖子变成TJ帖(啥叫TJ呢？就是和DJ有一定联系的)。
正文：初步的微分几何，必须掌握基本的曲线论，必须适应以弧长为参数的方程.Frenet公式是曲线论基本公式,Frenet标架是活动标架在曲线时的特殊情形.两条曲率和挠率都一样的曲线可以通过刚体运动重合在一起,这是曲线论基本定理.曲线的内蕴曲率为零。
所以所有曲线都可以拉直而不改变其上任意两点间弧长.我们知道,曲面论中这一点通常不能成立,除非此曲面可以等距映射为平面,我们称这种可以和平面进行等距映射的曲面为平坦曲面,如柱面.因此,我们必须深入研究曲面的曲率问题,首先要熟悉曲线坐标,在切平面上讨论问题,这个是整个微分几何的基础.因为即使到高维情形，我们仍要讨论切空间及其上的Levi-Civita联络.在切平面上任意点引入切矢量^du,dv),切向量在这个基下的分量则为「—1「—▽定义切向量内积系数：E=<r_u.r_u>=g_11,F=<r_u.r_v>=<r_v.r_u>=g_12,G=<r_v.r_v>=g_22,这三个量就是极其重要的度量(度规)系数.曲面的第一基本形式于是可以写成:I=<dr.dr>=Edudu+2Fdudv+Gdvdv=g_ijdu_idu_j最后一式我们将du,dv写成du_1,du_2,i,j取值为1,2,这里采用了Einstein求和约定:重复指标自动求和.这样的符号约定和求和约定可以让我们轻松将2维情形推广到n维流形的n维切空间，其上切向量内积系数(度量系数)就是g_ij(i,j=1,2,用)若n等于4,就是广义相对论中的度规张量情形.我们开始讨论曲面的第二基本形式.引入曲面上任意点的法向量n,定义两点间法向量的变化：dn=n_udu+n_vdv.其中n_u,n_v为dn在基(du,dv)下的展开系数.则我们可以定义内积：L=-<r_u.n_u>=h_11M=-<r_u.n_v>=<r_v.n_u>h_12N=-<r_v.n_v>=h_22L,M,N(h_11,h_12,h_22)称为第二形式基本量，于是第二基本形式可以写成：II=-<dr.dn>=Ldudu+2Mdudv+Ndvdv=h_ijdu_idu_j.最后一个等式采用的符号和求和约定同上.第一基本形式决定了曲面的内蕴结构，以后我们会发现，联络系数(Christoffel符号)由度规张量和度规张量的一次导数决定，而曲面的Gauss曲率(广而言之,流形的Riemann截面曲率)由联络系数及其一阶导数决定.什么是Gauss曲率和Riemann截面曲率我们可以从曲面的法曲率出发，定义主曲率.我们想象拿着一把刀，贴着曲面上某点(u,v)的法线往下切，在曲面上切出一条曲线，这条曲线的曲率就是曲面在该点(u,v)沿(du,dv)方向的法曲率.如果想象我们切一个椭球面,在同一点贴着法线,沿不同方向切下去,切出的所有曲线(称为法截线,相应的这一刀所在的平面称为法截面)的曲率不一定一样.我们把这些曲线的曲率进行比较，最大和最小的法曲率称为主曲率，记为k_1,k_2.这两个法曲率对应的法截线必定垂直.定义Gauss曲率为k_1,k_2的乘积:K=k_1.k_2.若K=0,则曲面必然平坦.定义平均曲率为k_1,k_2的算术平均：H=(k_1+_2)/2.若H=0,则该曲面就是极小曲面.Gauss绝妙定理指出，Gauss曲率K在曲面的等距变换下保持不变.即曲面的内蕴性质由第一基本形式决定决定,与它在外围空间中的形状无关.而曲面的第二基本形式则决定了曲面在外围空间中的形状.这些结论可以可以推广到高维空间中的超曲面（维数比外围空间低一的曲面称为超曲面）.1854年Riemann推广了Gauss的想法，将抽象曲面研究推广到高维抽象弯曲空间（流形）进行研究.在高维情形，我们将面对切空间.与前面类似，我们定义度规系数g_ij（i,j=1,2,,n）,此时我们可以让其他方向都退化,留下两个方向，用曲面论观点看问题.这样就可以将Gauss曲率搬到这里，由于方向很多,我们将面对不止一个的Gauss曲率,我们将这些曲率称为Riemann截面曲率.显然，当弯曲空间为2维曲面时，Riemann截面曲率就是Gauss曲率.Riemann截面曲率为常数的空间称为常曲率空间，如果这个常曲率空间是单连通的，我们就称为空间形式，最重要的三种空间形式分别是正曲率的球空间,零曲率的欧空间,负曲率的双曲空间.Riemann在世时，并未将这个想法进行详细发展，后世的Christoffel进行了很大的扩充，这个曲率由Christoffel 符号的导数和乘积表示，所以Riemann截面曲率也称为Riemann-Christoffel曲率.将Riemann截面曲率缩并（取迹，即让R_ijkl中的两个字母相同而求和），就得到了Ricci曲率R_ij,W Ricci 曲率缩并，就得到标量曲率（数量曲率，纯量曲率）R.这些概念在后来Einstein创立的引力论（GR）之中都成为核心概念.GR确定了时空曲率和物质分布的关系.其基本方程就是Einstein方程：R_ij-1/2Rg_ij+g_ij=8T_ij其中R_ij为时空的Ricci曲率,R为时空的标量曲率，g_ij为时空的度规张量.为宇宙学常数，T_ij为物质的物质的能-动张量.我们可以记G_ij=R_ij-1/2Rg_ij,G_ij就是通常所说的Einstein张量.因此我们研究四维时空时,只要知道它的度规张量（第一基本形式系数）,就可以直接以这个四维时空为研究对象，而不用考虑将这个时空嵌入更高维数的空间进行研究所以不管是Minkowski空间,deSitter空间还是反deSitter 空间，都是写成度规后进行研究.但是在很多时候，我们要研究时空中的超曲面.即使是deSitter空间和反deSitter空间，我们也可以将它们分别嵌入五维欧氏空间R八5里面的双曲面.而在广义相对论中我们以Lorentz流形作为基本研究框架（尽管我们可以赋予时空其他形式的度规结构，但是我们最经常使用的还是Lorentz度规.）我们通常要研究Lorentz流形中的类空超曲面M八3,为了研究其上的内蕴特征和外在特征在时间演化下的变化，就必须引入初始数据集（M八3,g_ij,h_ij）,此处g_ij,h_ij分别为M 八3上的度规张量和第二基本形式量.g_ij和h_ij必须满足的相容性条件是著名的Gauss-Codazzi方程.因为Gauss-Codazzi方程是（超）曲面存在的充分必要条件.因此可见看似初等的微分几何曲面论中的一些概念在广义相对论的现代研究中实际上是非常重要的.但是在很多时候，我们要研究时空中的超曲面.即使是deSitter空间和反deSitter空间，我们也可以将它们分别嵌入五维欧氏空间R八5里面的双曲面.昌海兄，请将上面这一段替换成下面这一段，然后删除此回帖：但是在很多时候，我们要研究时空中的超曲面.即使是deSitter空间和反deSitter空间，我们也可以将它们分别嵌入五维伪欧氏空间（pseudo-Euclideanspaces）R人5里面的双曲面。
数学中的微分几何理论
数学中的微分几何理论微分几何理论是数学中的一个重要分支，它主要对曲线、曲面及其它通常被称为“几何体”的对象进行研究。
微分几何理论的基本方法是利用微积分和线性代数的知识来分析曲率、切向量、法向量等几何量。
微分几何理论起源于十九世纪初的欧几里德几何学，但真正发展起来要追溯到十九世纪末的黎曼几何学。
黎曼几何学是基于德国数学家伯纳德·黎曼提出的一份关于非欧几里德空间的论文。
这份论文引起了震惊人心的反响，因为它推翻了许多人们一直以来都认为是真理的常识。
黎曼几何学的基本思想是，在一个曲面上任选一点，通过这个点引入一些基本量，如切向量、法向量、曲率等，并定义了一些基础概念，如曲线的弧长、切平面等。
然后用微积分和线性代数的方法考虑这些量的变化率和相互关系，得出了许多奇特的结论。
其中，最为著名的当属“黎曼曲率张量”，它揭示了在非欧几里德空间中直线不一定是最短路径这一惊人事实。
黎曼几何学的思想很快就被应用到曲线及其它几何体的研究中。
其中最为典型的例子就是考虑一个由曲线构成的曲面。
我们可以在曲面上任选一点，引入切向量和法向量，并定义曲率、曲率半径等概念。
接着，利用微积分和线性代数的方法来研究这些概念的变化率和相互关系，从而得到了曲面的许多几何性质。
除了黎曼几何学，微分几何理论还受到了分析几何学和拓扑学的影响。
分析几何学主要研究基本量的微积分性质，如导数、偏导数等。
拓扑学则主要研究几何体的性质，如连通性、欧拉数等。
这些学科的相互融合，为微分几何理论的发展奠定了坚实的基础。
微分几何理论的应用十分广泛，特别是在物理学中。
以广义相对论为例，它描述了引力场的作用，并将引力等效于一个四维的时空几何的曲率。
这种时空曲率是微分几何理论的一个重要应用，它使得广义相对论成为了当代物理学的重要分支。
总之，微分几何理论是数学中一项深奥而重要的研究领域，它主要研究曲线、曲面及其它通常被称为“几何体”的对象，并利用微积分和线性代数的方法来分析它们的几何量。
微分几何的理论与应用
微分几何的理论与应用微分几何（Differential geometry）是研究曲线、曲面以及流形等对象的性质和应用的数学分支学科。
在现代物理学和工程学等领域中，微分几何是一门极为重要的工具性学科。
在该领域已经有许多伟大的学者付出了艰辛的探索和研究，在高维空间和广义相对论等领域中得到了广泛应用。
一、微分几何的概念及发展历程微分几何是研究曲线、曲面以及流形等对象的性质和应用的数学分支学科，起源于高斯等学者的研究。
它发展的主要难点是高维度空间的研究，由于其复杂性很大，所以在目前仍是有待深入研究的领域。
由于其应用价值极高，所以引起了许多研究者的关注和研究。
二、微分几何的重要性微分几何作为一个重要的数学分支，在现代物理学和工程学等领域中发挥着重要作用。
近年来，随着计算能力和计算机技术的提高，微分几何正在得到越来越广泛的应用。
由于其性质复杂且运算高度抽象，所以具有很强的工具性。
在大规模计算、机器学习、自然语言处理、人工智能等领域均得到了应用，尤其是在机器学习和人工智能中的神经网络的架构设计、优化方法中，微分几何学理论成为实现机器学习算法的根本基础。
三、微分几何在物理学中的应用在物理学中，微分几何扮演着非常重要的角色，特别是在空间和时间的相对性理论中。
广义相对论是利用微分几何所建立的一种描述太阳系和宇宙的理论。
在相对论框架中，重力场是动力学和几何的交互作用，可以通过几何工具来描述其性质、演化、变形等，成为广义相对论领域研究的核心。
微分几何的工具在测量、空间定位、物体运动的模拟等方面，均有着广泛的应用。
四、微分几何在工程学中的应用微分几何在工程学中的应用也非常广泛，如在许多科研领域中要求对形态进行描述和分析，用于形状识别、图像处理等领域，并且可以在地质勘查、机械制造、飞行器设计、建筑、船舶设计等领域中得到应用。
例如，在机器人定位和导航、工业机器人中的路径规划和运动装置的控制等方面，都需要用到微分几何的理论。
五、未来发展方向当前，微分几何的研究仍有很大发展空间，随着计算机技术的飞速发展、大数据技术的出现，微分几何将更好地结合实际应用场景，发挥出更大的应用价值。
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾
微分几何中的曲面几何理论发展历程回顾微分几何是研究曲线和曲面等连续几何对象的性质和变换的数学分支。
曲面几何理论是微分几何中的一个重要组成部分，它研究曲面的性质、曲面上的曲线和曲率等关键问题。
本文将回顾微分几何中曲面几何理论的发展历程。
1. 古典时期的曲面几何古希腊数学家欧几里得是曲面几何理论的奠基人之一。
他在其著作《几何原本》中首次提出了曲面的定义和性质，并研究了柱面、圆锥面等特殊曲面的几何特征。
此后，众多数学家如阿波罗尼奥斯、阿基米德等对曲面几何进行了深入研究，为后续的发展奠定了基础。
2. 黎曼几何的兴起19世纪，德国数学家黎曼在其博士论文中首次提出了曲面上的几何的实数化方法，这一方法被称为黎曼几何。
黎曼几何通过引入度量概念，使得曲面的几何性质可以用数学语言来精确描述。
这一理论的建立标志着曲面几何理论从古典时期向现代数学的过度。
3. 向量分析的应用20世纪初，向量分析的概念被引入到微分几何中，为曲面几何理论的进一步发展提供了有力工具。
数学家费尔南德斯、魏尔斯特拉斯等人运用向量分析的方法研究了曲面的曲率、高斯映射等重要概念，进一步深化了对曲面几何的理解。
4. 流形论的出现20世纪中叶，数学家惠尔德布林克和伊辛伯格等人提出了流形的概念，并将其应用于微分几何中的曲面几何理论。
流形论为研究曲面的性质提供了一种整体的、综合性的方法，使得曲面几何理论得到了更为深入的发展。
5. 最小曲面的研究最小曲面是指曲面上的任意一点的曲率等于零的曲面。
19世纪，德国数学家黎曼、意大利数学家威尔德曼等人从几何角度对最小曲面进行了研究，并提出了一系列关于最小曲面的性质和定理。
20世纪，美国数学家康考尔茨继续深化了对最小曲面的研究，并在此基础上发展了现代微分几何中的最小曲面理论。
6. 曲面理论在现代数学中的应用曲面几何理论在现代数学中有着广泛的应用。
它不仅在物理学、工程学等应用科学中发挥着重要作用，还在纯数学领域中产生了许多重要的数学定理和结论。
数学学科中的微分几何理论
数学学科中的微分几何理论微分几何是数学学科中的一个重要分支，它研究的是曲线、曲面以及更高维度的流形上的几何性质。
微分几何理论的发展与应用涉及到许多领域，如物理学、计算机科学以及工程学等。
本文将探讨微分几何理论的一些基本概念和应用。
一、微分几何的基本概念1. 流形：流形是微分几何研究的基本对象。
它是一个具有局部欧几里德空间性质的空间。
流形可以是一维的曲线、二维的曲面，也可以是更高维度的空间。
流形的研究可以通过参数化来描述，通过坐标系来描述流形上的几何性质。
2. 切空间：切空间是流形上的一个重要概念。
在每个点上，切空间是与该点相关联的向量空间。
切空间的维度等于流形的维度。
切向量是切空间中的向量，它描述了流形上的切线方向。
3. 流形上的度量：度量是流形上的一个重要概念，它可以用来测量流形上的距离和角度。
在欧几里德空间中，度量是通过内积来定义的。
但是，在一般的流形上，度量的定义要更加复杂，需要通过切空间和切向量来定义。
二、微分几何的应用1. 物理学中的应用：微分几何在物理学中有着广泛的应用。
例如，广义相对论是基于微分几何的理论。
通过微分几何的方法，可以描述时空的弯曲性，解释引力和物质之间的相互作用。
微分几何还在统计物理学、量子场论等领域中发挥着重要的作用。
2. 计算机科学中的应用：微分几何在计算机科学中也有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，微分几何的方法可以用来建模和渲染曲面。
通过微分几何的理论，可以计算曲面上的法向量、曲率等几何属性，从而实现逼真的图形渲染。
3. 工程学中的应用：微分几何在工程学中也有着重要的应用。
例如，在机器人学中，微分几何的方法可以用来描述和控制机器人的运动。
通过微分几何的理论，可以计算机器人在空间中的姿态、速度等几何属性，从而实现精确的运动控制。
三、微分几何的发展微分几何作为一个独立的数学学科，起源于19世纪。
当时，人们开始研究曲线和曲面的几何性质，发展了曲线和曲面的微分几何理论。
微分几何发展简介.doc
几何学的未来发展丘成桐校长、院长、及各位同学：今天很荣幸能够在这里演讲，尤其今年是交通大学一百年校庆纪念，能到一个比较注重工程的学校来讲数学，表示交通大学也注重理科方面的工作，这是很有意义的。
因为基本科学对于工程学有很重要的启发性。
今天我讲的题目是林松山教授给我的。
但是学术的未来很难猜测，很多布•学问的人都曾经得出错误的结论。
所以我不作任何猜测，我只能够根据以前的历史来做一些建议。
今天要讲的历史主要是从个人的体验来看。
我不是一个历史学家，我讲的很可能是错误的。
E是这不重要，因为我想讲的是我从做学问得出来的观念，希望能够以我自己的经验来做一些建议。
清华大学跟交通大学都曾赠予杨振宁先生荣誉博士，我看过杨先生写的一篇文章，杨先生讲做物理好像画图画一样。
我想做几何也跟画图画差不多，不过我们画的图画更广泛一点。
物理学家要I而的基木上只有一张图冏i,就是自然界的现象。
但是儿何学家可以随意去画，我们司.以画广告画，画工程学需要的画，也町以画印象派的画和写实的画。
广告画可以在商业上有很大的用处，过儿年后可能成为收藏的对象。
但是由于商业气氛浓厚，一般画家不大愿意认同它们的价值。
广告画或工程画却时能对写实派的画和印象派的画产生相当的影响。
不过I而印象派的wi或山水偷，一定要有很深的技术、功力和想法才能偷得好。
出名的画家往往花很多时间在磨练、在猜测，将他的工具不停地推进，在好的气质修养下，才能够州出好的印象派的偷或山水时一般数学家和儿何学家也有同样的经验，有意义的工作即使是个很小的观察(observation),往往花了数学家很大的精力去找寻。
找寻的方法不单是从大自然吸取，也从美学和工程学来吸取。
怎样去寻找有意义的工作，跟我们气质的培养有密切的关系。
现在我想谈几何的历史，看看从前，再预测未来。
因为我没有想到林松山教授给我这么长的时间，所以会讲长一点。
从前我们念中学的时候，念国文、念文学批评，总会说一个时代有…•个时代的感慨。
数学中的微分几何应用
数学中的微分几何应用在数学的众多分支中，微分几何是一门研究曲线、曲面以及它们的性质和变化的学科。
微分几何的应用涵盖了多个领域，包括物理学、工程学、计算机图形学等。
本文将探讨数学中微分几何的应用，并介绍其中几个重要的应用领域。
一、物理学中的微分几何应用微分几何在物理学中有着广泛的应用，特别是在描述空间曲线和曲面的运动轨迹、力学和引力场等方面。
例如，我们知道，质点在空间中运动可以用曲线来描述，而曲线的性质可以通过微分几何的方法进行研究。
此外，天体的运动轨迹、引力场的描述以及曲率等概念都可以借助微分几何来进行分析和计算。
二、工程学中的微分几何应用微分几何在工程学中有着重要的应用价值。
例如，在机械设计中，通过对曲面的曲率和法线方向的计算，可以帮助工程师确定曲面的质量和性能。
此外，微分几何还可以用于图像处理和计算机辅助设计等领域，帮助实现三维模型的建立和分析。
三、计算机图形学中的微分几何应用微分几何在计算机图形学中发挥着重要的作用。
计算机图形学主要研究如何使用计算机生成和处理图形图像，而微分几何提供了描述和操作曲线、曲面等几何对象的数学工具。
通过应用微分几何的方法，可以实现对图形图像的变换、变形和渲染等操作。
例如，在三维模型的绘制和表面光照计算中，微分几何可以帮助计算机实现真实感的效果。
四、人工智能中的微分几何应用微分几何在人工智能领域也有着广泛的应用。
人工智能的核心是模式识别和数据处理，而微分几何提供了一种强大的工具来分析和处理数据的几何结构。
例如，在图像和语音识别中，微分几何的方法可以用来提取和分析特征，并帮助机器学习算法进行模式分类和识别。
总结起来，微分几何作为一门重要的数学学科，在物理学、工程学、计算机图形学和人工智能等领域都有着广泛的应用。
通过对曲线、曲面等几何对象的研究，微分几何提供了一种描述和分析几何结构的数学方法，为这些领域的问题提供了解决思路和工具。
未来随着科学技术的不断发展，微分几何的应用将会愈发广泛，并为更多领域的发展做出贡献。
数学中的微分几何学
数学中的微分几何学微分几何学是数学的一个分支，它研究的是空间中曲线、曲面以及其它高维流形的性质和变化。
微分几何学在数学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将简要介绍微分几何学的基本概念、发展历程以及一些应用。
一、基本概念1. 流形流形是微分几何学中的重要概念，它可以理解为局部与欧几里德空间同胚的空间。
流形可以是曲线、曲面或更高维的空间。
在流形上，我们可以定义切向量、切空间等概念，这些概念是微分几何学中的基础。
2. 测地线测地线是在流形上定义的一种特殊曲线，它的切向量在整个曲线上保持平均性质。
在平直的欧几里德空间中，测地线就是直线。
而在曲率不为零的流形上，测地线将呈现出曲线的性质。
3. 度量和曲率度量是微分几何学中常用的概念，它用于测量流形上的距离和角度。
度量可以通过度量张量来刻画。
而曲率则描述了流形弯曲的程度，它可以通过测地线和曲率张量来定义和计算。
二、发展历程微分几何学的发展可以追溯到18世纪。
19世纪末20世纪初，勒贝格维茨和黎曼等数学家在微分几何学的基础上提出了黎曼几何学，进一步深化了对曲率的研究。
20世纪后期，微分几何学得到了迅猛发展，尤其是在爱因斯坦相对论的研究中扮演了重要角色。
三、应用领域微分几何学在许多领域有着广泛的应用，以下列举其中几个重要的应用：1. 相对论物理学相对论物理学是微分几何学的一个主要应用领域。
爱因斯坦的广义相对论是建立在黎曼几何学的基础上的，通过描述时空的度量和曲率来揭示物质和能量对时空的作用。
2. 计算机图形学计算机图形学中的三维建模和渲染技术，需要运用到微分几何学的知识。
通过对曲面的参数化和曲率的计算，可以实现对三维物体的准确描述和真实感观的渲染。
3. 机器学习机器学习中的各种算法也可以借助微分几何学的工具来实现。
比如，通过定义特征空间中的度量和曲率，可以更好地描述和理解数据的结构和分布。
四、结语微分几何学作为数学的一个重要分支，研究空间中的曲线、曲面以及其它高维流形的性质和变化。
几何学的发展简述
几何学的发展历程几何学是一门历史悠久、源远流长的学科。
因为它与人类的生活密切相关，所以在人类的早期文明里，它凭借丰富的直观形象和深奥的内在本质，成为当之无愧的老大哥。
在人类历史的长河中，无论在思想领域的突破上，还是在科学方法论的创建上，几何学总扮演着“开路先锋”的角色。
下面就来了解一下几何学的发展史。
一、欧几里得与《几何原本》欧几里得是古希腊数学的集大成者, 是古希腊亚历山大学派的创始人。
从公元前7 世纪到公元前4 世纪, 伴随着哲学的发展, 古希腊数学, 特别是几何学获得了充分的发展, 积累了丰富的材料。
要进一步促进数学的发展, 同时满足教学的需要, 如何把这些材料整理成/ 逻辑严密的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要且非常艰巨的一项任务。
欧几里得总结了前人的经验和教训, 巧妙地把亚里士多得的/ 逻辑学和数学结合起来, 精细地选择命题和公理, 合理地安排知识的顺序, 使之能从很少的几个原始命题( 或说公理) 开始逻辑地展开。
于是, 人类历史上的第一部( 我们可以这样认为) 数学理论著作---《几何原本》诞生了, 第一个公理化的逻辑体现出现了。
它共有十三卷, 包含了465 个命题, 所涉及到的知识包含平面几何、立体几何、比例论、初等数论、无理数等知识。
欧几里得几何从此成为经典几何的代名词。
二、非欧几何的诞生直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下.虽然解析几何实现了几何学研究方法的革命，但没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。
然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击。
到1800年时，平行线公理已经成了几何学瑕站的标志。
因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力。
来自不同国家的三位数学家相继独立地发现了非欧几何学.他们是德国的高斯句牙利的J.波尔约和俄国的罗巴切夫斯基。
.从18世纪90年代起，高斯就一直对平行线理论和几何学的基础感兴趣.在1805年的一个笔记本里，高斯考虑到了已知直线距离一定的点的轨迹未必是一条直线.他还曾经证明:非欧假设隐含着绝对长度单位的存在性.但他在生前从未发表过他关于这个问题的观点。
数学中的几何分析
数学中的几何分析几何分析（Geometric Analysis）是数学中的一个重要分支，它旨在将几何和分析两个领域相结合，以解决一系列的几何问题。
在几何分析中，我们运用了微积分、偏微分方程、变分法等分析工具，来研究和解决几何中的问题。
一、几何分析的基本概念几何分析主要研究的对象是曲率和变分。
曲率是描述曲线、曲面等几何体弯曲程度的量，而变分则是描述一类函数的特征性质。
几何分析通过对曲率和变分的深入研究，揭示了几何结构的各种性质和规律。
二、微分几何微分几何是几何分析中的一个重要分支，它主要研究的是欧几里得空间中的曲线和曲面。
微分几何通过引入切向量、法向量、切空间和法空间等概念，并结合微分方程和微分形式等工具，研究了曲线和曲面的性质。
微分几何的重要应用之一是研究流形的拓扑性质和几何结构。
三、偏微分方程的应用几何分析中广泛运用了偏微分方程的理论和方法。
偏微分方程是研究描述多变量函数的各种物理现象和几何问题的重要工具。
通过建立适当的偏微分方程模型，并运用变分法、极值原理和最大值原理等分析方法，我们可以研究和解决各种几何问题，如最小曲面问题、曲率流问题等。
四、变分方法变分方法是几何分析中一种常用的工具。
它通过定义适当的泛函，将几何问题转化为最值问题，并通过极值原理和最大值原理等方法，得到问题的最优解。
变分方法在几何分析中被广泛运用，例如研究曲面的最小性质、形状优化问题等。
五、数学物理中的几何分析几何分析在数学物理中有着广泛的应用。
通过运用几何分析的理论和方法，我们可以研究和解决诸如引力场方程、热方程、波动方程等物理问题。
几何分析在理论物理、计算物理等领域起着重要的作用。
六、几何分析的前沿领域几何分析作为一个活跃的研究领域，不断有新的问题和方法涌现。
在现代几何分析中，研究者们致力于解决一些传统几何问题的猜想和难题，如黎曼猜想、庞加莱猜想等。
同时，几何分析也与其他学科相结合，涌现出了新的跨学科研究领域，如几何拓扑、几何流体力学等。
数学发展史的四个阶段的主要成就
数学发展史的四个阶段的主要成就数学是人类最古老的科学之一，它的起源可以追溯到史前时期。
随着时间的推移，数学逐渐发展成为一门独立的学科，并在不同的历史阶段取得了重要的成就。
本文将介绍数学发展史的四个阶段及其主要成就。
第一阶段：古代数学古代数学起源于人类文明初期，主要研究的是计数、几何、算术和天文等方面的问题。
这个时期的数学成就有：1. 计数系统的发明：人类最早的计数系统是手指计数，后来逐渐发展出了石块计数、结绳计数等。
这些计数系统的发明为数学的发展奠定了基础。
2. 几何学的发展：古埃及人发明了象形文字，并开始使用几何学来测量土地和建造建筑物。
几何学的发展为后来的建筑设计、工程测量等领域提供了重要的工具。
3. 算术的发展：古代印度人发明了阿拉伯数字，并发展出了算术运算的基本规则和方法。
这些成就为后来的数学发展提供了重要的基础。
4. 天文学的发展：古代中国人和希腊人最早开始研究天文学，并使用数学方法来描述天体的运动规律。
天文学的发展为后来的物理学、宇宙探索等领域提供了重要的基础。
第二阶段：中世纪数学中世纪时期，欧洲的学术界开始逐渐复兴，数学也在这个时期取得了重要的成就。
这个时期的数学成就有：1. 代数的发展：阿拉伯数学家开始研究代数，并发明了代数符号和方程求解方法。
这些成就为后来的代数发展提供了重要的基础。
2. 平面几何的进步：欧几里得发表了《几何原本》，总结了当时所有的几何知识，并建立了完整的几何学体系。
这个体系的建立为后来的几何学发展提供了重要的基础。
3. 对数理论的完善：苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，并发展出了对数理论。
对数理论的完善为后来的科学计算、工程学等领域提供了重要的工具。
4. 三角学的兴起：三角学在这个时期逐渐发展成为一门独立的学科，并为后来的航海、天文学等领域提供了重要的工具。
第三阶段：近代数学随着科学技术的不断发展，数学也逐渐发展成为一门更加独立的学科。
这个时期的数学成就有：1. 微积分的发明：牛顿和莱布尼茨分别独立发明了微积分，并建立了微积分的基本理论。
微分几何发展史
微分几何是现代数学的一个重要分支，它研究曲线和曲面在微分意义上的几何性质。
其发展历程可以追溯到十七世纪，经过几代数学家的努力，微分几何不断完善并发展成为一门独立的学科。
在早期的微分几何研究中，欧拉、拉格朗日等数学家对曲线的弧长、曲率、曲率半径等概念进行了深入的研究，并且发展了微分形式的有关理论。
这些工作为微分几何的发展奠定了基础。
在十九世纪，微分几何得到了迅速的发展。
首先，法国数学家柯西和黎曼在曲线论方面做出了重要的贡献，他们引入了正则曲线概念，建立了柯西积分公式和曲率中心的概念。
此外，法国数学家魏尔斯特拉斯提出了曲线的一般理论，对微分几何的发展产生了深远的影响。
进入二十世纪，微分几何继续快速发展。
德国数学家闵可夫斯基引入了“空间”和“联络”等概念，建立了现代微分几何学的基础。
随后，苏联数学家巴甫洛夫斯基于二十世纪初创立了向量场的理论，将向量场推广到任意映射上。
另外，陈省身和卡拉西奥多里对微分几何的研究做出了重要贡献，将复变函数论的概念和方法应用于曲面的整体性质研究，进一步推进了微分几何的发展。
微分几何的研究范围非常广泛，包括光滑曲线和曲面的理论、各种特殊形状（如正曲率、常平均曲率形状）的性质以及它们在物理学、化学、生物学和工程学中的应用等等。
同时，微分几何与代数几何、拓扑学等其他数学分支的联系和交叉也得到了广泛的研究。
微分几何的发展和应用领域不断扩大，它不仅在数学领域中有着重要的地位，而且在物理学、工程学、计算机科学等领域也有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，微分几何用于描述三维物体的形状和表面，而在机器人学中，微分几何的方法也用于分析和控制三维空间中的物体运动。
总之，微分几何的发展历程充满了曲折和辉煌，它从早期的简单概念和理论逐渐发展成为一门独立的学科，并不断拓展其应用领域。
未来，随着数学和其他学科的交叉和融合，微分几何将继续发挥其重要作用。
微分几何发展历程概述
微分几何发展历程概述
微分几何是数学中的一个分支，它研究的是曲线、曲面等几何对象的
性质和变化。
微分几何的发展历程可以追溯到17世纪，但是真正的起点是在19世纪。
19世纪初，高斯和黎曼分别提出了曲面的内在几何性质的概念，这是微分几何的重要里程碑。
高斯提出了曲面的第一基本形式和第二基本
形式的概念，黎曼则提出了黎曼度量的概念。
这些概念为微分几何的
发展奠定了基础。
20世纪初，微分几何的研究逐渐扩展到了更广泛的领域。
爱因斯坦的广义相对论提出了时空的曲率概念，这是微分几何在物理学中的应用。
此外，微分几何还涉及到了拓扑学、代数学等领域。
20世纪中叶，微分几何的研究重点逐渐转向了流形的理论。
流形是一种广义的几何对象，它可以是曲面、高维空间等。
流形的理论为微分
几何的研究提供了更广阔的视野和更深入的理解。
20世纪末，微分几何的研究又迎来了一次重大突破。
佩雷尔曼证明了庞加莱猜想和三维流形拓扑分类定理，这是数学界的重大事件。
这些
成果不仅推动了微分几何的发展，也对整个数学领域产生了深远的影
响。
总的来说，微分几何的发展历程可以分为几个阶段：19世纪初的曲面内在几何性质研究、20世纪初的物理学中的应用、20世纪中叶的流形理论研究和20世纪末的佩雷尔曼成果。
微分几何的研究不断深入，为数学和物理学的发展做出了重要贡献。
几何形的微分几何了解微分几何与几何形的关系
几何形的微分几何了解微分几何与几何形的关系微分几何是研究空间中的曲线、曲面等几何形态的一门学科。
它运用微积分和线性代数的工具，结合数学分析，通过对曲线、曲面等进行微小变化的观察和分析，揭示了它们的内在性质和几何结构。
几何形状在日常生活中无处不在，从我们身边的各种物体形状到建筑、自然景观等，都可以归纳为几何形。
而微分几何则是对这些几何形进行研究和描述的一种方法。
它不仅仅是将几何形状进行分类和分析，更重要的是通过微分方程和曲率等数学方法，揭示了形状变化背后的数学规律和内在结构。
一种常见的几何形状是曲线。
在微分几何中，曲线的研究主要涉及到曲率、切线、曲率半径等概念。
曲线的切线在微分几何中被定义为曲线上某点处的切线是该点切线方向上曲线上一点的极限位置。
而曲率则是衡量曲线弯曲程度的一个重要指标，其定义是曲线上的点在切点处的切线的弯曲程度。
这些几何概念和方法帮助我们理解了曲线形态的特点，比如它们的弯曲性质、整体形状等。
除了曲线，曲面也是微分几何中一个重要的研究对象。
对于曲面的研究，微分几何引入了法向量、高斯曲率、平均曲率等概念。
在微分几何中，曲面的法向量是与曲面上每一点的切平面垂直的一个向量，它的方向与曲面的几何性质密切相关。
而高斯曲率是曲面在某一点上的曲率与其切平面上的切线弯曲程度之乘积，它刻画了曲面形状的关键特征。
相对应的，平均曲率则衡量了曲面表面多个点的整体弯曲性质。
通过这些概念和方法，微分几何可以对曲面的形状进行描述和研究，从而深入理解曲面形态的特点，如褶皱、凹凸等。
微分几何与几何形态的关系在现实世界中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以利用微分几何的方法对曲面进行建模和渲染，从而实现逼真的图像效果。
此外，在机器学习和计算机视觉领域，微分几何也被运用于对图像和模式的分析和处理，提高了算法的效率和准确性。
另外，微分几何还在物理学中发挥着重要作用，比如研究时空的曲率与引力场的关系等。
总结起来，微分几何是研究几何形态与数学规律的重要工具和方法。
数学中的微分几何与流形论
数学中的微分几何与流形论数学中的微分几何与流形论是研究曲线、曲面及高维空间等几何对象性质的学科。
它在研究自然界的物理问题、计算机图形学、机器学习和人工智能等领域中起着重要作用。
本文将介绍微分几何与流形论的基本概念、发展历程以及在现实世界的应用。
一、微分几何的基本概念与发展历程微分几何是研究曲线、曲面以及高维空间等几何对象的性质与变化规律的学科。
它起源于18世纪的欧几里得几何，通过引入微分学的概念，使几何学的研究更加深入和广泛。
微分几何的基本概念包括切向量、曲率、曲率流形等。
微分几何的发展可以追溯到黎曼的非欧几何研究，黎曼提出了黎曼度量和黎曼曲率，打开了研究曲面的新领域。
在黎曼的工作基础上，爱德华兹、李维希、李雅克比等数学家们进一步发展了微分几何的理论，为后来的流形论的建立奠定了基础。
二、流形论的基本概念与发展历程流形论是研究流形的性质与结构的学科。
流形是指局部具有欧几里得空间特征的空间，例如平面、球面等。
流形论的基本概念包括流形、切空间、点的邻域等。
流形论的发展可以追溯到黎曼的黎曼曲面研究，黎曼的工作启发了李维希等数学家们对流形的研究。
20世纪初，惠更斯、惠特纳等数学家们将复流形引入了微分几何研究，奠定了复流形和微分形式理论的基础。
随后，艾尔登等数学家们提出了切空间的概念，并将流形理论与物理学相结合，推动了流形论的发展。
三、微分几何与流形论的应用微分几何与流形论在许多领域中都有广泛的应用。
一方面，在物理学中，微分几何与流形论被用于描述时空的曲率和引力场，是相对论的基础。
另一方面，在计算机图形学中，微分几何与流形论被用于建模、形状分析和渲染等方面，用于生成逼真的图像。
此外，微分几何与流形论也在机器学习和人工智能等领域中发挥着重要作用，用于处理高维数据和建立复杂模型。
总结：数学中的微分几何与流形论是研究曲线、曲面及高维空间等几何对象性质的学科。
它的发展历程可以追溯到18世纪的欧几里得几何，并在黎曼、李维希等数学家的努力下逐渐发展壮大。
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微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。
也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。
从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。
但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。
Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。
Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。
Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean 空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。
1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了Gauss在2维曲面的内蕴几何，从而发展出n 维Riemann几何，随着多复变函数的发展。
一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。
微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。
在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE 都彼此产生深刻的互相影响。
数学在不断的分化，又不断交融。
多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poi ncare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。
Poincare度规是共形不变量。
著名的Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时Poincare度规不变。
应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。
而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。
这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。
在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。
在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。
但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。
多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。
1922年Bergman引进著名的Bergman核函数，那个时代的多复变函数还是Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。
在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的Poincare度量，这注定了Bergman工作的重要性。
代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。
不可约代数簇是其基域的有限次扩域。
我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。
从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。
代数簇的性质和其基域关系极其密切。
对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。
复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。
许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。
例如：Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H? Cartan（E?Cartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。
C hern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。
Hironaka研究代数几何中的奇点消解，但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。
Yau证明了Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。
同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。
Cartan研究对称Riemann空间，得出了重要的分类定理，给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在n维情形也成立。
1959年，Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为Siegel域，以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。
Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。
正如我们知道的，Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究，这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。
当年也正是Cartan发展了Levi-Civita联络的概念，发展出微分几何中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了Klein的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。
同样是Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。
在这里，我们看到了微分几何的浩瀚优美。
正如我们熟知的，测地线联系着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联系着PDE（偏微分方程）。
这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的要求。
单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy- Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异的现象。
这又使得PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。
大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕，被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒，被Chern的示性类理论的博大精深折服，被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。
当年年轻的Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。
但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。
如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话，那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。
微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规？因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规；而n维球都是单连通常曲率空间，因此可以可以建立共形平坦度规。
在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。
一个流形与平坦空间等距时其Riemann截面曲率恒为零。
因为所有球面的曲率都为正的常数，所以n维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。
但是还有局部共形平坦这个概念，对于流形上两个度规G和g，如果G=exp{ρ}?g，则称G与g之间的变换是共形变换。
Weyl共形曲率张量在共形变换下保持不变，它是流形上的（1,3）型张量场。
当Weyl共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示，所以Penro se 总是强调曲率=Ricci+Weyl。
一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。
所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以赋予共形平坦度规。
而所有维数的球面（当然包括三维球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。
反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。
但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：3维以上的共形平坦Einstein流形必定是常曲率流形。
就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形，就必须要求Ric=λg，而这就是Einstein流形的定义。
式中Ric为Ricci曲率张量，g为度规张量，λ为常数。
Einstein流形的数量曲率S=mλ为常数。
而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。
Einstein引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是Hubble就飞黄腾达了；但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了Einstein流形，这为数学家的展现才智提供了新舞台。
对于3维连通Einstei n流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质，我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的，感觉看到这个结果是一种享受。
实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。
全纯截面曲率为常数的Kahler流形，其Ricci曲率必定为常数，所以必定为Einstein流形，称为Kahl er- Einstein流形。
Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。
N维复向量空间，复射影空间，复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。
Kahler-Eins tein流形的研究成为几何学家的智力享受。
再回头讲讲等距映射的一个重要结果。
考虑两个Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射，取M上任意点p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。
在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。
如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。
或者含糊些说就是等距映射不改变截面曲率。
反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。
甚至在三维Euclidean 空间的曲面上都无法成立这个性质。
在局部情形，必须加上测地线的限制，应用Jacobi场的性质才能作到这一点。
这就是著名得Cartan等距定理。
这个定理是Jacobi场的精彩应用。
它的大范围推广是Ambrose和Hicks作出的，称为Cartan-Ambrose-Hicks定理。