线性代数思维导图全及其总结
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向量B可由向量a1,a2,•••,am惟一线性表 示的充要条件是
rank(a1,a2,•••,am)=rank(a1,a2,•••,am, B)=m
当向量组构成的齐次线性方程组 只有惟一解（零解）时，向量组
线性无关
当向量组构成的齐次线性方程组 有无数非零解时，向量组线性相
关
含有零向量的向量组线性相关
先解A的特征多项式det(A-kE)=0，并求出 特征值（可能有多个，也可能有重根） 再将特征值逐个带入，解线性齐次方程组
(A-k1)X=0求出基础解系，其线性组合即为特征 值k1对应的全体特征向量
det(A)的值等于A所有特征值的乘积，矩阵A主对 角线上元素之和(称为矩阵A的迹)等于其所有特征
值之和(重根要计算多次)
有无穷多组解的充要条件是rank(A)=rank(B)<n 有惟一解的充要条件是rank(A)=rank(B)=n
求特征向量 和特征值
注意A必须为方阵
设A为n阶方阵，X为n维非零向量，k为常数 若 AX=kX
则称X为A的特征向量，k为特征向量X对应的特 征值，矩阵A-kE称为A的特征矩阵 det(A-kE)=0称为特征方程
初等变换
第二章
通过行初等变化，可得阶梯形矩阵 通过行初等变换和列初等变换，可得等价标准型
注意：A必须是方阵且只可以进行行初等变换
等价标准型 A是可逆矩阵
A的秩等于n
detA不等于零
对于n阶矩阵A（方阵），下列条件等价
矩阵经初等变换之后秩不变，且称变换之前的矩 阵和变换之后的矩阵等价
A可表示为有限个初等矩阵的积
变为B的相似变换矩阵
施密特正交法
若矩阵A与其转置矩阵的乘 积为单位矩阵，则称A为正 交矩阵，即A的逆矩阵与其
转置矩阵相等
实对称矩阵一定能与对角矩阵相似 （可对角化），并且相似变换矩阵
可取为正交矩阵
相似矩阵秩相同
相似矩阵行列式相等
相似矩阵都可逆或不可逆，当它们都可逆时，它 们的逆矩阵也相似
相似矩阵有相同的特征多项式， 从而特征值也相同
再令x1,x2,x3...在等号左边，c1,c2,c3....按顺序 出现在等号右边 最后写成向量形式
求齐次线性方程组 的一个基础解系
写成向量形式
非齐次方程组的通解是有对应齐次方程组的基础 解系加上其一个特解
先用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形 得同解方程组
再令x1,x2,x3...在等号左边，c1,c2,c3....按顺序 出现在等号右边，其中常数项在最右边
| B)
有向量组A和向量组B
若B可由A线性表示，则 rank(B)小于等于rank(A)
齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的 向量组成
注意这条例题的思想 相册内有清晰版
有n维向量组A，若它的一个部分向量组A1线性 无关，且A1与A等价，称A1是A的最大线性无关
组
第四章
先用行初等变换简化系数矩阵 得到同解方程组
r(A)=n
A
m<n A mXn
n<m
6 8 9
B
A
AB
A
B
A
B
B
C
B
A
A
C
r
ⶽ䰉ⱘ߱ㄝবᤶ.mmap - 2009-11-8 -
+
=
i
j
(
i
j)
i(i)
ik (j k
j i)
ĺ=
1/
i
k
j
RREF 1
~
(1) ~ (2) ~
1
2
A
~ B
(RREF)
~ (1) (2)
~
~
~
=
> -
~
0
0
䞣㒘ⱘ㒓ᗻⳌ݇ .mmap - 2009-11-9 -
将nX2n矩阵(A | E)进行一系 列行初等变换，直到变成( E | A-1)，即得方阵A的逆矩阵
用初等变换逆 矩阵
若A是可逆矩阵则有det(A-1)=(detA)-1
det(A*B)=detA*detB
向量B可由向量a1,a2,•••,am线性表示的 充要条件是
rank(a1,a2,•••,am)=rank(a1,a2,•••,am, B)
注意将其与非齐次线性 方程组联系起来
线性表示
与齐次线性方 程组联系起来
线性相关
相册中有清晰版
A1是A的最大线性无关组的充要条件 rank(A)=rank(A1)=r 任意A1包含r个向量 r同时称为向量组A的秩
B可由A线性表示的充要条 件
rank(A | B)=rank(A)
A与B等价的充要条件是 rank(B)=rank(A)=rank(A
设向量组A是子空间V中的线性无关组，且V中任 意向量是向量组A的线性组合，则称A为子空间
的一组基
注意例4.23
子空间
求已知向量在某组基下 的坐标
例4.29
行列式行与列的地位是对称的，即对 行成立的性质对列也成立，矩阵则不
然
线性代 数
对角矩阵相乘（必须同阶）， 等于各位置元素直接相乘'
(A*B)的转置等于B的转置乘以A的转置，注意B 在前，顺序换了，该性质可以推广到多元
C(A+B)=CA+CB
k
(kA)B=A(kB)
0
AB AB Ak
*A l
E (E+A)(E+A)=E*exp(2)+2A+A*exp(2)
k
=0
|A|=0
AXA=0ĺ|A|X|A|=0|A|=0
En
E
k=
X
A Ak
n-1 A
A
ad-bc=0ĺa/b=c/d
=1 X
A
0
AB=BA=E
|A|
0
r(A)=m
仅含一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 a=0
若n维向量组线性无关，那么把每个向量任意添 加s个分量后，所得向量组也线性无关
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向 量可由向量组织其他向量线性表示
若n维向量组线性相关，那么取这些向量的前r个 分量(r<n)组成的向量组也是线性相关的
向量组线性相关
0 k1=k2=...=ks=0
n n
0 XOY
=
=
8
23
21 22
m,n
n m
A An
m<n
A mxn ~
~
~
RREF r n-r
n-r n-r
~
㒓ᗻᮍ㒘.mmap - 2009-11-11 -
~ Ax=0
......
Cramer m=n
0 b=0 0 E0
~Ax=b Ax=b
~ ~
~
= bA
ⶽ䰉ҷ᭄.mmap - 2009-11-7 -
n
A
A
mn =0
ĺ =0
:A+B=B+A :A+(B+C)=(A+B)+C
A
A+0=0+A=A
A
-A
A+(-A)=0
n
1A=A,0A=0
kl
AB
k(lA)=(kl)A k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
A(BC)=(AB)C
(A+B)C=AC+BC
将其按齐次线性方程组得方法写成向量形式，其 中常数项组成得向量即为X*，c1,c2,c3....等系数
组成得向量组为对应齐次方程组的通解
求非齐次线性方程 组的通解
一组基中向量的个数称为子空间的维数
向量组A与B等价的充要条件是L(A)=L(B), 向量A组可由向量组B线性表示的充要条件
是 L(A)属于L(B) 其中L(A)表示由A生成的子空间
参见P95 例5.8
A为正交矩阵的充要条件是其列（行） 向量组是Rn中的单位正交基
若A为正交矩阵，则A的逆矩阵也为正交矩阵
若A,B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵
若A为正交矩阵，则 det(A)=+-1
实对称矩阵的特征值都是实数
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定正 交
范德蒙行列式德值等于所有的差 （ai－aj）邓乘积（1小于等于j小
于i小于等于n）
要留意转置之后的范德蒙行 列式
n阶矩阵的行列式与其转置矩阵的行列 式相等
上三角矩阵、下三角矩阵和对角矩阵 的行列式的值等于其主对角线上所有
元素的乘积
行列式是对于方阵而言的，不是 方阵的矩阵没有行列式
交换矩阵两行、将矩阵的某行 乘以非零数、将矩阵的某行乘 以数加到矩阵的另一行，称为 行初等变换，类比可以定义列
第五章
若k为A的特征值，X为其对应的特征向量， 设有多项式f(x)=a0+a1x+...+am*x(m)次方， 则方阵f(A)=a0E+a1A+...+amA(m次方)的特
征值为f(k),X仍为其相应的特征向量
注意P的逆矩阵在前 A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使 P-1AP=B则称A与B相似，记作A~B，P被称为A
b
A
1
r(A)=n r(A)<n
+
A
=1
=0
|A|=1
|A|=-1
1 23
4
=1
䞣ぎ䯈.mmap - 2009-11-12 -
~
n n
n+1
n
n
r
V
n+1
若行列式的两行（列）想同,行列式的值为零
若行列式的某两行（列）成比例，行列式的值为 零
交换行列式的两行（列），行列式的值变号
把行列式的某行（列）乘以一个数加到行列式的 另一行（列），行列式的值不变
注意例5.4
若一个矩阵能与对角矩阵相似，则称此矩阵可对 角化
将给定的一组基转化成正交基
将给定的一个向量组变 为单位正交的向量组 先用施密特正交法将其 正交化，再将其单位化
n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件：A的每个 特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等
于该特征值的重数
求齐次方程组的解空间W的正交 基，并将其扩充
第一章
若矩阵A可逆，则其转置矩阵也可逆，若矩阵 A，B可逆，则两者乘积也可逆
对角矩阵的逆矩阵为其 对应位置的各数变成其
倒数
都是针对n阶方阵而言
如何求逆矩阵
第三章
对称矩阵：对称位置的元素相等 反对称矩阵：对称位置元素相反，主对角线上元
素全部为零
有一线性方程组，其系数矩阵为A，增广矩阵为 B，其有n条方程
当系数矩阵为方阵时，要马上联系到行 列式
有一齐次方程组，AX＝0，其含n条方程，其必 定有解
有解的充要条件是rank(A)=rank(B)
无解的充要条件是rank(A)<rank(B) 若系数矩阵为方阵，方程组有唯一
解的充分条件为det(A)不等于0
当rank(A)=n,齐次方程组仅有零解 当rank(A)=r<n,齐次方程组有无穷多解
A=A
N
N
N
ĺ
n
1
2 ()
3 ()
()
4
()
5+ ()
()
()
k
3
0 ()
0
5
0
6
0
7
8
㸠߫ᓣ.mmap - 2009-11-7 -
n nXn
nn
X
X
-
n! n
(Vandermonde)
A1
B
n
mXn
() ()
B
AB=BA=E
A
BA
0 A*XA=|A|XE
A
B
A+B
rank(a1,a2,•••,am)=rank(a1,a2,•••,am, B)=m
当向量组构成的齐次线性方程组 只有惟一解（零解）时，向量组
线性无关
当向量组构成的齐次线性方程组 有无数非零解时，向量组线性相
关
含有零向量的向量组线性相关
先解A的特征多项式det(A-kE)=0，并求出 特征值（可能有多个，也可能有重根） 再将特征值逐个带入，解线性齐次方程组
(A-k1)X=0求出基础解系，其线性组合即为特征 值k1对应的全体特征向量
det(A)的值等于A所有特征值的乘积，矩阵A主对 角线上元素之和(称为矩阵A的迹)等于其所有特征
值之和(重根要计算多次)
有无穷多组解的充要条件是rank(A)=rank(B)<n 有惟一解的充要条件是rank(A)=rank(B)=n
求特征向量 和特征值
注意A必须为方阵
设A为n阶方阵，X为n维非零向量，k为常数 若 AX=kX
则称X为A的特征向量，k为特征向量X对应的特 征值，矩阵A-kE称为A的特征矩阵 det(A-kE)=0称为特征方程
初等变换
第二章
通过行初等变化，可得阶梯形矩阵 通过行初等变换和列初等变换，可得等价标准型
注意：A必须是方阵且只可以进行行初等变换
等价标准型 A是可逆矩阵
A的秩等于n
detA不等于零
对于n阶矩阵A（方阵），下列条件等价
矩阵经初等变换之后秩不变，且称变换之前的矩 阵和变换之后的矩阵等价
A可表示为有限个初等矩阵的积
变为B的相似变换矩阵
施密特正交法
若矩阵A与其转置矩阵的乘 积为单位矩阵，则称A为正 交矩阵，即A的逆矩阵与其
转置矩阵相等
实对称矩阵一定能与对角矩阵相似 （可对角化），并且相似变换矩阵
可取为正交矩阵
相似矩阵秩相同
相似矩阵行列式相等
相似矩阵都可逆或不可逆，当它们都可逆时，它 们的逆矩阵也相似
相似矩阵有相同的特征多项式， 从而特征值也相同
再令x1,x2,x3...在等号左边，c1,c2,c3....按顺序 出现在等号右边 最后写成向量形式
求齐次线性方程组 的一个基础解系
写成向量形式
非齐次方程组的通解是有对应齐次方程组的基础 解系加上其一个特解
先用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形 得同解方程组
再令x1,x2,x3...在等号左边，c1,c2,c3....按顺序 出现在等号右边，其中常数项在最右边
| B)
有向量组A和向量组B
若B可由A线性表示，则 rank(B)小于等于rank(A)
齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的 向量组成
注意这条例题的思想 相册内有清晰版
有n维向量组A，若它的一个部分向量组A1线性 无关，且A1与A等价，称A1是A的最大线性无关
组
第四章
先用行初等变换简化系数矩阵 得到同解方程组
r(A)=n
A
m<n A mXn
n<m
6 8 9
B
A
AB
A
B
A
B
B
C
B
A
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+
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1/
i
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RREF 1
~
(1) ~ (2) ~
1
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A
~ B
(RREF)
~ (1) (2)
~
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=
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将nX2n矩阵(A | E)进行一系 列行初等变换，直到变成( E | A-1)，即得方阵A的逆矩阵
用初等变换逆 矩阵
若A是可逆矩阵则有det(A-1)=(detA)-1
det(A*B)=detA*detB
向量B可由向量a1,a2,•••,am线性表示的 充要条件是
rank(a1,a2,•••,am)=rank(a1,a2,•••,am, B)
注意将其与非齐次线性 方程组联系起来
线性表示
与齐次线性方 程组联系起来
线性相关
相册中有清晰版
A1是A的最大线性无关组的充要条件 rank(A)=rank(A1)=r 任意A1包含r个向量 r同时称为向量组A的秩
B可由A线性表示的充要条 件
rank(A | B)=rank(A)
A与B等价的充要条件是 rank(B)=rank(A)=rank(A
设向量组A是子空间V中的线性无关组，且V中任 意向量是向量组A的线性组合，则称A为子空间
的一组基
注意例4.23
子空间
求已知向量在某组基下 的坐标
例4.29
行列式行与列的地位是对称的，即对 行成立的性质对列也成立，矩阵则不
然
线性代 数
对角矩阵相乘（必须同阶）， 等于各位置元素直接相乘'
(A*B)的转置等于B的转置乘以A的转置，注意B 在前，顺序换了，该性质可以推广到多元
C(A+B)=CA+CB
k
(kA)B=A(kB)
0
AB AB Ak
*A l
E (E+A)(E+A)=E*exp(2)+2A+A*exp(2)
k
=0
|A|=0
AXA=0ĺ|A|X|A|=0|A|=0
En
E
k=
X
A Ak
n-1 A
A
ad-bc=0ĺa/b=c/d
=1 X
A
0
AB=BA=E
|A|
0
r(A)=m
仅含一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 a=0
若n维向量组线性无关，那么把每个向量任意添 加s个分量后，所得向量组也线性无关
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向 量可由向量组织其他向量线性表示
若n维向量组线性相关，那么取这些向量的前r个 分量(r<n)组成的向量组也是线性相关的
向量组线性相关
0 k1=k2=...=ks=0
n n
0 XOY
=
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8
23
21 22
m,n
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A An
m<n
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~
~
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n-r n-r
~
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~ Ax=0
......
Cramer m=n
0 b=0 0 E0
~Ax=b Ax=b
~ ~
~
= bA
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n
A
A
mn =0
ĺ =0
:A+B=B+A :A+(B+C)=(A+B)+C
A
A+0=0+A=A
A
-A
A+(-A)=0
n
1A=A,0A=0
kl
AB
k(lA)=(kl)A k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
A(BC)=(AB)C
(A+B)C=AC+BC
将其按齐次线性方程组得方法写成向量形式，其 中常数项组成得向量即为X*，c1,c2,c3....等系数
组成得向量组为对应齐次方程组的通解
求非齐次线性方程 组的通解
一组基中向量的个数称为子空间的维数
向量组A与B等价的充要条件是L(A)=L(B), 向量A组可由向量组B线性表示的充要条件
是 L(A)属于L(B) 其中L(A)表示由A生成的子空间
参见P95 例5.8
A为正交矩阵的充要条件是其列（行） 向量组是Rn中的单位正交基
若A为正交矩阵，则A的逆矩阵也为正交矩阵
若A,B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵
若A为正交矩阵，则 det(A)=+-1
实对称矩阵的特征值都是实数
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定正 交
范德蒙行列式德值等于所有的差 （ai－aj）邓乘积（1小于等于j小
于i小于等于n）
要留意转置之后的范德蒙行 列式
n阶矩阵的行列式与其转置矩阵的行列 式相等
上三角矩阵、下三角矩阵和对角矩阵 的行列式的值等于其主对角线上所有
元素的乘积
行列式是对于方阵而言的，不是 方阵的矩阵没有行列式
交换矩阵两行、将矩阵的某行 乘以非零数、将矩阵的某行乘 以数加到矩阵的另一行，称为 行初等变换，类比可以定义列
第五章
若k为A的特征值，X为其对应的特征向量， 设有多项式f(x)=a0+a1x+...+am*x(m)次方， 则方阵f(A)=a0E+a1A+...+amA(m次方)的特
征值为f(k),X仍为其相应的特征向量
注意P的逆矩阵在前 A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使 P-1AP=B则称A与B相似，记作A~B，P被称为A
b
A
1
r(A)=n r(A)<n
+
A
=1
=0
|A|=1
|A|=-1
1 23
4
=1
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~
n n
n+1
n
n
r
V
n+1
若行列式的两行（列）想同,行列式的值为零
若行列式的某两行（列）成比例，行列式的值为 零
交换行列式的两行（列），行列式的值变号
把行列式的某行（列）乘以一个数加到行列式的 另一行（列），行列式的值不变
注意例5.4
若一个矩阵能与对角矩阵相似，则称此矩阵可对 角化
将给定的一组基转化成正交基
将给定的一个向量组变 为单位正交的向量组 先用施密特正交法将其 正交化，再将其单位化
n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件：A的每个 特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等
于该特征值的重数
求齐次方程组的解空间W的正交 基，并将其扩充
第一章
若矩阵A可逆，则其转置矩阵也可逆，若矩阵 A，B可逆，则两者乘积也可逆
对角矩阵的逆矩阵为其 对应位置的各数变成其
倒数
都是针对n阶方阵而言
如何求逆矩阵
第三章
对称矩阵：对称位置的元素相等 反对称矩阵：对称位置元素相反，主对角线上元
素全部为零
有一线性方程组，其系数矩阵为A，增广矩阵为 B，其有n条方程
当系数矩阵为方阵时，要马上联系到行 列式
有一齐次方程组，AX＝0，其含n条方程，其必 定有解
有解的充要条件是rank(A)=rank(B)
无解的充要条件是rank(A)<rank(B) 若系数矩阵为方阵，方程组有唯一
解的充分条件为det(A)不等于0
当rank(A)=n,齐次方程组仅有零解 当rank(A)=r<n,齐次方程组有无穷多解
A=A
N
N
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1
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n nXn
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(Vandermonde)
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B
AB=BA=E
A
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0 A*XA=|A|XE
A
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