矢量相加法则
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
矢量的加减运算法则
矢量的加减运算法则矢量是物理学中常用的概念，它具有大小和方向两个特征。
在物理学中，矢量的加减运算是非常重要的，它可以帮助我们描述物体的运动和力的作用。
下面我们来介绍一下矢量的加减运算法则。
首先，我们来看矢量的加法运算。
矢量的加法运算是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在进行矢量的加法运算时，我们需要考虑两个矢量的大小和方向。
对于大小相等的两个矢量相加，其结果的大小等于两个矢量的大小之和。
例如，如果有两个大小相等的矢量A和B，它们的大小都为5，那么它们的和矢量C的大小也为5+5=10。
对于方向相同的两个矢量相加，其结果的方向与原来的矢量相同。
例如，如果有两个方向相同的矢量A和B，它们的方向都为向右，那么它们的和矢量C的方向也为向右。
对于方向相反的两个矢量相加，其结果的方向与两个矢量中较大的矢量的方向相同，并且大小等于两个矢量的大小之差。
例如，如果有两个方向相反的矢量A和B，它们的大小分别为5和3，那么它们的和矢量C的方向与矢量A的方向相同，大小为5-3=2。
接下来，我们来看矢量的减法运算。
矢量的减法运算是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在进行矢量的减法运算时，我们需要考虑两个矢量的大小和方向。
对于大小相等的两个矢量相减，其结果的大小为0。
例如，如果有两个大小相等的矢量A和B，它们的大小都为5，那么它们的差矢量C 的大小为0。
对于方向相同的两个矢量相减，其结果的方向为零矢量。
例如，如果有两个方向相同的矢量A和B，它们的方向都为向右，那么它们的差矢量C的方向为零矢量。
对于方向相反的两个矢量相减，其结果的方向与两个矢量中较大的矢量的方向相同，并且大小等于两个矢量的大小之和。
例如，如果有两个方向相反的矢量A和B，它们的大小分别为5和3，那么它们的差矢量C的方向与矢量A的方向相同，大小为5+3=8。
总结起来，矢量的加减运算法则可以归纳为以下几点：大小相等的矢量相加或相减，结果的大小与原来的矢量相同；方向相同的矢量相加或相减，结果的方向与原来的矢量相同；方向相反的矢量相加，结果的方向与较大的矢量相同，大小等于两个矢量的大小之和；方向相反的矢量相减，结果的方向与较大的矢量相同，大小等于两个矢量的大小之差。
柏氏矢量加法
柏氏矢量加法是一种用于描述晶体中原子排列的方式。
在晶体学中，柏氏矢量（Burgers vector）是一个描述晶格畸变的关键参数，它表示一个晶胞中的原子相对于其周围原子的位置偏移。
通过柏氏矢量，我们可以计算出晶体中的应力、应变等物理量。
柏氏矢量加法的基本思想是将两个或多个柏氏矢量相加，得到一个新的柏氏矢量。
这个新的柏氏矢量可以用来描述一个更大的晶胞结构，或者表示一个更复杂的晶格畸变。
在进行柏氏矢量加法时，需要注意以下几点：
1. 同向性：只有当两个柏氏矢量的方向相同时，它们才能进行加法运算。
如果方向相反，那么它们的和将为零。
2. 单位长度：柏氏矢量的长度应该等于1个晶格常数。
在进行加法运算之前，需要确保两个柏氏矢量的长度相同。
3. 平行四边形法则：在进行加法运算时，可以将两个柏氏矢量看作是平行四边形的两条相邻边。
根据平行四边形法则，这两个平行四边形的对角线就是它们的和。
4. 结果的单位长度：由于进行了加法运算，新得到的柏氏矢量的长度可能会发生变化。
因此，在进行下一步计算之前，需要重新调整其长度，使其等于1个晶格常数。
综上所述，柏氏矢量加法是一种简单而有效的方法，可以帮助我们更好地理解和描述晶体中的结构和性质。
通过掌握这一方法，我们可以更好地研究晶体的生长、变形和断裂等过程，为材料科学和工程领域的发展做出贡献。
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r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ，CBr，则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB
Ar，
则有：dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c
在力学中巧用矢量三角形法则
在力学中巧用矢量三角形法则作者：刘卫东来源：《中学生数理化·教与学》2011年第03期一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法.矢量加减依据平行四边形法则，也可简化为三角形（或多边形）法则.其图解方法如图1.若已知矢量A、B,如图1（a），当求C＝A＋B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段末端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为C，如图1（b）；当求C＝A－B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段末端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为C，如图1（c）.运用这种方法也可以进行多个矢量连续相加或相减.我们可以归纳如下.图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和.图解方法求矢量差：末端共点分别作相减矢量，连接两箭头，方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差.二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较为复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际的分运动.这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法.运动的合成与分解遵循如下原理：1．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律运动进行，不会因有其他运动的存在而发生变化.2．等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.3．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量运算.三、矢量三角形在共点力平衡中的运用物体在三个不彼此平行的力的作用下处于平衡状态，这三个力必在同一平面内共点，其合力为零.这三个力组成一个封闭的三角形，解答此类题目时用矢量三角形法则，分析一些动态变化时定性处理问题简捷、直观、明了.有时定量计算时也简捷、方便，避免大量用三角函数求极值的烦琐过程，能收到事半功倍的效果.1．共点力平衡时力变化的定性讨论例１如图２（a），DAB为半圆支架，两细绳OA、OB接于圆心O，其下悬重力为G的物体.若OA细绳固定不动，将细绳OB的B端沿半圆支架从水平位置逐渐缓慢移至竖直位置C 的过程中，细绳OA和细绳OB对节点O的拉力大小如何变化？解析：选节点O为研究对象，节点在拉力G、TA、TB三个力的作用下始终处于共点力的平衡状态，G的大小和方向都确定；TA的方向确定但大小不定；TB的大小和方向都不定，根据图2（b）中力的封闭矢量三角形可以看出，在OB向上靠近OC的过程中，TA一直减小，TB先减小后增大.2．共点力平衡时力变化的定量计算例２如图３，质量为m的物体放在水平地面上，用水平向右的拉力F拉物体，使物体沿水平向右匀速运动，已知物体和水平面间的动摩擦因数为，μ在保持拉力F大小不变的情况下改变其方向，但仍使物体沿原方向匀速运动，则拉力F′与原拉力F间的夹角θ为多大？解析：略.总之，凡遇到物体受三个共点力作用，处于平衡问题时，若一个力的大小与方向都确定，另一个力的方向也确定，求这个力的大小及第三个力的大小如何变化时，利用矢量三角形定性讨论比较方便.。
矢量相加法则
矢量相加法则
矢量相加法则描述了如何将两个或多个矢量相加以获得其总和或结果矢量。
在物理学和工程学中，矢量相加法则是一个重要的概念，用于描述力、速度、位移等矢量量的组合。
常见的矢量相加法则包括以下几种：
1.平行四边形法则：对于两个矢量，可以将它们的起点放在同一点，然后从第一个矢量的终点开始，画出第二个矢量的方向和长度，从而形成一个平行四边形。
连接起点和终点，新的矢量就是这两个矢量的矢量和。
2.三角法则：对于两个矢量，将它们的起点放在同一点，然后从第一个矢量的终点开始，画出第二个矢量的方向和长度，形成一个三角形。
连接起点和终点，新的矢量就是这两个矢量的矢量和。
3.分量法则：将矢量分解为其在坐标轴上的分量，然后将相应坐标轴上的分量相加，得到结果矢量的各个分量。
4.几何法则：对于多个矢量相加，可以使用几何法则，将每个矢量的起点和终点依次连接起来，结果矢量是连接起点和最后一个矢量终点的线段。
需要注意的是，不同矢量的相加法则可能在几何上有所不同，具体情况取决于矢量的性质和应用背景。
矢量相加法则在计算和分析物理现象中具有重要作用，帮助理解和描述多个矢量的组合效果。
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专题：矢量图解运动问题
专题4矢量图解运动问题文/晨教你一手一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法．矢量加减依据平行四边形定则，也可简化为三角形（多边形）法．其图解方法如图4-1，若已知矢量A、B、（如图4-1(a)），当求R=A+B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段未端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为R（如图4-1(b)）；当求R=A-B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段未端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为R（如图4-1(c)）．运用这种方法可以进行多个矢量的连续相加或相减．我们可归纳如下：图4-1图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和．图解方法求矢量差：末端共点地分别作相减二矢量，连接两箭头、方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差．二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．运动的合成与分解遵循如下原理：１．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其他分运动的存在而发生改变．２．等时性原理合运动是同一物体在同一时间同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．３．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算．将一个复杂运动分解为几个分运动，通常有两种方法：⑴引入中介参照系．例如船过河的运动，是以静止的河岸为参考的一个复杂运动，我们可以取一个动参考物——运动的河水为中介，那么，船的运动可分解为船相对水的运动与水相对岸的运动．若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为v AC，动参考系B对C的速度（牵连速度）为v BC，而A对动参考系B的速度（相对速度）为v AB，则有v AC=v AB+v BC，v AB=v AC－v BC．同样地，我们可以按这种方法进行位移或加速度的合成与分解，例如，a AC=a AB+a BC，a AB=a AC－a BC．注意矢量运算式中下标的规律性．⑵依据实际效果分解运动．例如一架飞机以速度v与水平成θ角斜向上飞行，实际效果是在上升的同时水平向前移动了，我们可将飞机的运动分解为竖直方向与水平方向的两个分运动，若这两个分运动的速度依次为v1和v2，则有v＝v1＋v2．处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，若用矢量图助解常会收到奇效．例1假定某日刮正北风，风速为u，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？分析与解设风相对于人的速度（即运动员感到的风速）为V，根据题给条件，有u=V+v．三个速度矢量中，u大小、方向均确定，v大小一定，V与v两矢量互相垂直（所谓正右侧），故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图4-2，取一点O，先作矢量u，以其矢端为圆心，表示v大小的线段长为半径作一圆，自O点向圆引切线OA，则矢量三角形△ＯＯ′Ａ即为符合题意要求的u、V、v关系．由图显见，当运动员朝南偏西θ＝arccos(v/u)方向以速率v奔跑时会感觉风从自己右侧吹来，并且在v＜u时才可能有这种感觉．若v＞u，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图4-3，在△ＯＯ′Ａ′中运用正弦定理有(ｖ/ｓｉｎβ)＝(ｕ/ｓｉｎα)，可知当β＝(π/2)时，α＝ａｒｃｓｉｎ(ｕ/ｖ)为最大，即在运动员向西偏南ａｒｃｓｉｎ(ｕ/ｖ)方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大．图4-2 图4-3例2一只木筏离开河岸，初速度为v，方向垂直于岸，划行路线如图4-4虚线所示，经过时间T，木筏划到路线上A处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行方向不变．用作图法找到2T、3T……时刻此木筏在航线上的确切位置．图4-4分析与解设木筏相对于水的速度为V，则离岸时，V＝v-u，其矢量关系如图4-5(a)所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速度V方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v大小、方向均有变化．故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线．现如图4-5中(b)所示，连接OA的有向线段是时间T木筏的绝对位移s木，而s木＝s木对水＋s水，其中s水沿x正方向，s木对水平行于V方向．现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x轴上得到Ｂ点，有向线段OB即为s水．由于水速u恒定，则各T时间s水恒定，故可在x轴上得ＯＢ′＝２s水，ＯＢ″＝３s水，过Ｂ′、Ｂ″点……作平行于V的直线交木筏轨迹于Ａ′、Ａ″……各点，即得2T、3T……时刻此木筏的确切位置．质点做变速运动时，若初速度为v0，末速度为v t，则速度增量Δv=v t－v0，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图4-1(c)，利用这种矢量关系图解速度增量问题有其独到之处．图4-5例3某一恒力作用在以恒定速度v运动的物体上，经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t时间后，物体的速度v3t之大小．图4-6分析与解由于物体受恒力作用，故在相同时间，速度增量相同即Δv=v t－v=v2t－v t=v3t －v2t．现作满足题给条件的矢量图如图4-6所示，图中有向线段AB＝BC＝CD＝Δv，ＯＢ＝v t，v t=(v/２)，ＯＣ＝v2t，v2t=(v/４)，ＯＤ为待求量v3t．设恒力方向与v方向成π－α角，由图给几何关系，在△ＯＡＢ、△ＯＡＣ、ＯＡＤ中运用余弦定理，得(ｖ/２)2＝ｖ2＋Δｖ2－２ｖ·Δｖ·ｃｏｓα，(ｖ/４)2＝ｖ2＋（２Δｖ）2－２ｖ·２Δｖ·ｃｏｓα，ｖ3t2＝ｖ2＋（３Δｖ）2－２ｖ·３Δｖ·ｃｏｓα．由此方程组可解得物体在恒力作用3t时间后的速度大小为ｖ3t＝(/4)ｖ．例4从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大．分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的时间t，速度增量Δv恒为竖直向下，大小为gt，落地时速度v的大小为，v0、v t与与Δv构成如图4-7所示矢量三角形关系．图中θ角、α角分别是初速度、落地速度与水平方向的夹角．注意到在矢量三角形的面积Ｓ△＝(１/２)ｇｔ·ｖ0ｃｏｓθ式中，v0tｃｏｓθ即为抛体飞行的水平位移x，则有Ｓ＝(１/２)ｇｘ．这样，我们只须考虑何时矢量三角形有最大面积即可．由于Ｓ△＝(１/２)△ｖ0·ｖtｓｉｎ（θ＋α），而v0、v t大小确定，则当（θ＋α）＝90°，即θ＝ａｒｃｔａｎ(ｖ/)时，S△有最大值：(１/２)ｇｘ＝(１/２)ｖ0·ｖt，亦即物体飞行的水平位移将达到最大，0其值为ｘm＝(ｖ0/ｇ)．图4-7例5网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度vＰ运动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α，速度vＰ和此法线的夹角φ是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．分析与解本题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的隐含条件：第一，重球拍的“重”告诉我们，可以认为拍的速度vＰ在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，则告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量．现取球拍面之法线为x轴，使y轴沿拍面，O为网球入射点，如图4-8所示，从O点沿与x轴成α角方向作有向线段ＯＡ＝v0，作射线OP⊥OA，从A点作x轴平行线交OP于Ｂ，取AB中点C，则有向线段ＯB 即是球离拍时的速度v t，有向线段ＯC则是球拍速度vＰ，而有向线段CＡ、CB则是射入时球对拍速度v0－vＰ和弹回时球对球拍速度v t－vＰ，前面已经分析到，它们是等值、反向且沿球拍法向的．根据所作的矢量图，在直角三角形OAB中，斜边上的中线ＯＣ＝(ＡＢ/２)，ＡＢ＝(ＯＡ/ｃｏｓα)．故ｖP＝(ｖ0/２ｃｏｓθ)，而球拍速度与球拍法线方向夹角为φ＝２（(π/２)－α）＝π－２α．图4-8小试身手1.甲、乙两船在静水中航行速度分别为v和v乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲∶t乙＝_____________．2.骑自行车的人以20km／h的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40km／h的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．3.从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．4.如图4-9所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，船速为v0，一艘速率为v（v＜v0）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．图4-9（1）证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的(/ｖ)·D处．（2）如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？5.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速度之比v1∶v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）6.敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度ω转动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v0竖直下落．试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？7.如图4-10所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v1＝50km／h和v2＝70km／h行驶，行驶方向如图所示．求风速．图4-108.磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r末为初半径ｒ初的３倍．绕带的时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？9.在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t1＝20min减小一半．问此后半径又减小一半需要多少时间t2？10.快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以认为是直线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v0＝2.5km/h沿与湖岸成α＝15°角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v1＝4km/h行走或在水中以速度v2＝2km/h游去，此人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？11.如图4-11所示，在仰角α＝π/６的雪坡上举行跳台滑雪比赛．运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上Ｂ点，坡上O、B两点距离L为此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50m，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角为多大？图4-1112.一条在湖上以恒定速度行驶的船上，有一与船固连的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸，小球速度的大小为v1，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直．问船的速度应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的．参考答案1.甲、乙船速度矢量关系如图答4-1，两船航程相同，由图得(ｔ甲/ｔ乙)＝(ｖ2乙/ｖ2甲)．图答4-1 图答4-22.速度矢量v 风=v 风对人+v 人的关系如图答4-2，由图易得v 风≈28km/h ．3.以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度v 21做匀速直线运动，速度矢量关系如图答4-3，由图知ｖ21＝，两石块最短距离ｄ＝ｌ·ｓｉｎθ＝(ｖ1/)ｌ，这个最短距离适用于另一石块落地之前，即(ｌcosα)/()＝(ｌｖ2)/(ｖ12＋ｖ22)≤时．图答4-3 图答4-44.（1）艇相对船的速度方向不会超过θ，如图答4-4所示，ｃｏｔθ＝(/ｖ)，A 点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过θ，则A 点在港口后面ｓ＝D·ｃｏｔθ＝(/ｖ)D ．（2）当v 相对=时，根据题目要求，此时s 相对(D/sinθ)＝(D ｖ0/ｖ)，ｔ＝(D ｖ0/ｖ0)，截住船的位置在A 前方ｖ0ｔ＝(D ｖ02/)处．5.冰雹落向车的速度与弹离车速度遵守“反射定律”，故汽车以v 1运动时，v 雹近车的方向与车玻璃法线成β1，汽车以v 2运动时，则成β2角，各速度矢量关系如图答4-5，由如图答4-５所示的甲、乙两图分别有ｖ1＝ｖ雹ｃｏｔ３０°，ｖ2＝ｖ雹ｃｏｔ６０°，则(ｖ1/ｖ2)＝(３/１)．图答4-56.v 人=rω，v 雨=v 0，v 雨对人=v 雨－v 人，矢量关系如图答4-6所示，由图可知，相对于人，雨的速度方向为θ＝ａｒｃｔａｎ[(ｒω)/ｖ0]，此即撑伞方向．图答4-6 图答4-77.观察照片，将两车之距离AB按5∶7比例分成左、右两部分，分点C为两车相遇处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点C到照片上位置历时ｔ＝ＡＢ/(ｖ1＋ｖ2)，风速为ＣＯ/ｔ≈３５km/h．8.如图答4-８所示，设磁带的总长l，由题意当带厚为d时有ｌｄ＝π（9ｒ初2－ｒ初2），当带厚为(d/2)时有ｌ(ｄ/２)＝π（Ｒ2－ｒ初2），得绕好后带卷半径R＝ｒ初，因ｔ1＝(２ｒ初/ｄ)(２π/ω)；ｔ2＝(（－１）ｒ初/ｄ／２)·(２π/ω)，得ｔ2＝（－１）ｔ1．9.与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的，ｔ1＝(π（４ｒ2－ｒ2）/ｄｖ)，ｔ2＝(π（ｒ2－(１/４)ｒ2）/ｄｖ)，则ｔ2＝(ｔ1/４)＝５min．图答4-8 图答4-910.作快艇与人运动的位移矢量图，人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形如图答4-9，设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有（２ｙ）2＝（４ｘ）2＋［２．５（ｘ＋ｙ）］2－２×４ｘ×２．５（ｘ＋ｙ）ｃｏｓ１５°，整理得［89-20（＋）］ｘ2＋［５０-２０（＋）］ｘｙ＋９ｙ2＝０，因Δ＝［５０－２０（＋）］2－４×９［８９－２０（＋）］＞０，此式有解，即人能赶上以2.5km/h飘行的快艇；推至一般，只要（2ｙ）2＝（4ｘ）2＋［ｖ（ｘ＋ｙ）］2-2×4ｘ×ｖ（ｘ＋ｙ）cos15°式成立，即，只要Δ＝（－１）ｖ2－２（＋）ｖ＋１６≥０，ｖ≤２ｋｍ／ｈ总可赶上．11.如图答4-10所示．ｘ＝Ｌcosα，ｘ＝ｖ0cosθｔ，ｙ＝Ｌsinα．ｙ＝(１/２)ｇｔ2－ｖ0ｔsinθ．图答4-10 图答4-11ｙ/ｘ＝ｔａｎα＝[(１/２)ｇｔ－ｖ0ｓｉｎθ]/(ｖ0ｃｏｓθ)ｔ＝[2(ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ)]/ｇ，代入ｘ＝ｖ0ｃｏｓθｔ，ｖ0＝１０ｍ／ｓ，α＝(π/６)，ｇ＝１０ｍ·ｓ-2ｘ＝ｖ0ｃｏｓθ(２（ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ）)/ｇ＝２ｖ02(ｔａｎα·ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ/ｇ)．＝１００(/３)＋１００（ｓｉｎ２θ＋(/３)ｃｏｓ２θ）由ａｓｉｎθ＋ｂｓｉｎθ＝ｓｉｎ（２θ＋ａｒｃｔａｎ(ｂ/ａ)），得上式＝１００(/３)＋１００·ｓｉｎ（２θ＋(π/６)）．当２θ＝(π/３)时，Ｌ最大，则θ＝(π/６)，代入得Ｌmax＝１００（ｍ）．12.设船速为v0，因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与反射速度大小相等，速度方向遵守“入射角与反射角”，如同例5作矢量关系图如图答4-11，由图知只要v0沿墙的法线方向分量ｖON＝ｖ1/2即可．。
人教版高一物理必修1《矢量相加的法则》评课稿
人教版高一物理必修1《矢量相加的法则》评课稿一、教学背景及教材分析1.1 教学背景《矢量相加的法则》是人教版高一物理必修1教材中的一篇重要内容，它介绍了矢量的概念以及如何进行矢量的相加与减法运算。
本节内容对于学生理解力学的基本概念、培养独立思考和解决实际问题的能力具有重要意义。
1.2 教材分析这一章主要内容如下：•矢量的概念及表示方法•矢量相加的几何法则•矢量相加的三角法则•矢量相减的法则本章内容既有理论知识，也有实际运用，既包含几何法则又包含三角法则。
要求学生能够理解和掌握矢量概念，正确运用相加的法则进行问题求解。
二、教学目标2.1 知识目标•理解矢量的概念及表示方法•掌握矢量相加的几何法则和三角法则•掌握矢量相减的法则2.2 能力目标•培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力•培养学生独立思考和合作探究的能力•培养学生运用矢量相加法则解决实际问题的能力2.3 情感目标•培养学生对物理学习的兴趣和积极态度•培养学生合作学习和互助精神•培养学生对科学求真精神的认识三、教学重点和难点3.1 教学重点•理解矢量的概念及表示方法•掌握矢量相加的几何法则和三角法则•运用相加法则解决问题3.2 教学难点•矢量相加的三角法则的运用•解决实际问题时的思考和分析能力四、教学内容和教学方法4.1 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.矢量的概念及表示方法2.矢量相加的几何法则3.矢量相加的三角法则4.矢量相减的法则4.2 教学方法本节课的教学方法主要采用以下几种方式：•情境引入法：通过实际生活中的例子引入矢量的概念和表示方法，增加学生对物理知识的实际应用感知。
•示范演示法：通过实际操作和示范演示，解释和展示矢量相加的各种情况，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
•合作探究法：组织学生分组合作进行矢量相加的探究活动，培养学生合作学习和互助精神，激发学生的学习兴趣。
•问题导入法：通过提问的方式引导学生思考，培养学生独立思考和解决问题的能力，促进学生的自主学习。
3.5力的分解(作用效果、正交、矢量相加、三角形)
按照实际的作用效果，确定分力的方向。
按照这两个力的方向做平行四边形。
再根据数学几何关系，求出两个分力。
F 1
F 2
F θ
θ
G
G
θ1
F 2
F
G
1
F 2
F θ
1
F 2F θ
G
F
1
F
2
θ
G
质量为m的木块，在拉力F的作用下在水平地面上做匀速运动，
已知木块与地面间的动摩擦因数为u,则木块受到的滑动摩擦力为？
F
θ
正确选择直角坐标系，以此代表分力的方向按照平行四边形定则，做平行四边形再根据数学几何关系，求出两个分力。
︒
120N
F 1251=N
F 3752=N F 3503=︒
90
重力为G的物体静止在斜面上，求静摩擦力的大小？如果该物体在斜面上匀速向下滑动，
求滑动摩擦力的大小？（动摩擦因数为u）θ
三、矢量相加法则
任何矢量相加时
都满足平行四边形定则
四、三角形定则
把两个矢量首尾连接
从而求出合矢量，叫做三角形定则三角形定则的本质是平行四边形定则3N
1N
5N
2N
1N
2N2N
5N5N
1N
3N。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
矢量相加的法则
矢量相加的法则矢量相加是物理学和工程学中非常重要的概念。
矢量是具有大小和方向的量，而矢量相加则是指将两个或多个矢量相加得到一个新的矢量的过程。
在本文中，我们将探讨矢量相加的法则，包括平行四边形法则、三角形法则和分解法则。
首先，我们来看看平行四边形法则。
平行四边形法则是最简单的矢量相加法则之一。
它指出，如果我们有两个矢量a和b，它们的和可以通过将它们的起点相连，然后用一条平行于这条线的线段连接它们的终点来得到。
这条线段就是它们的和。
这个过程可以用一个简单的几何图形来表示，即一个平行四边形。
这个法则非常直观，容易理解，因此在实际应用中非常常见。
接下来，我们来看看三角形法则。
三角形法则也是一种常用的矢量相加法则。
它指出，如果我们有两个矢量a和b，它们的和可以通过将它们的起点相连，然后用一条线段连接它们的终点来得到。
这个线段就是它们的和。
这个过程可以用一个简单的几何图形来表示，即一个三角形。
三角形法则也非常直观，容易理解，因此在实际应用中也非常常见。
最后，我们来看看分解法则。
分解法则是一种更加抽象的矢量相加法则。
它指出，任何一个矢量都可以被分解为两个或多个矢量的和。
这种分解可以是任意的，只要最终的和等于原始的矢量即可。
这个法则在实际应用中非常有用，因为它可以帮助我们将复杂的矢量运算简化为更简单的步骤。
总的来说，矢量相加的法则是物理学和工程学中非常重要的概念。
平行四边形法则、三角形法则和分解法则是矢量相加的三种常见方法，它们分别适用于不同的情况。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更加灵活地处理矢量运算，从而更好地解决实际问题。
在实际应用中，矢量相加的法则经常被用于求解各种物理问题。
例如，在力学中，我们经常需要计算多个力的合力，这就涉及到矢量相加。
在电磁学中，我们也经常需要计算多个电场或磁场的合场，同样也需要用到矢量相加。
在工程学中，矢量相加的法则也经常被用于计算各种力和位移的合效果。
因此，熟练掌握矢量相加的法则对于物理学和工程学的学习和工作都非常重要。
矢量基础
§1.2 矢量运算1.2.1 矢量加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。
C A B =+(1.4)矢量加法也可以用矢量三角形表示，如图 1.2(b)所示，矢量A 的头和矢量B 的尾相接，得矢量C 。
同理矢量B 的头和矢量A 的尾相接，也得矢量C 。
可见，矢量加法和矢量排列次序无关，即服从交换律A B B A C+=+= (1.5) 矢量加法也服从结合律D B C A D C B A D C B A+++=+++=+++)()()( (1.6)矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解为几个矢量。
例如把矢量A放在直角坐标系中，可以分解为x A ，y A 和z A ，A 为这三个矢量之和，如图1.3所示。
zy x AA A A++= (1.7)在直角坐标系中，三个轴方向上的单位矢量分别为x a ，y a 和z a 。
矢量x A ，y A 和z A 的模分别为矢量A 在x ，y 和z 轴方向上的投影，用x A ，y A 和z A 表示则z z y y x x a A a A a A A ++=可见，A的模为(a) (b)2221/2||()x y z A A A A =++ (1.8) A 的单位矢量a为2221/2||()||||||x x y y z zx y z y x z x y z A a A a A a A a A A A A A A A a a a A A A ++==++=++(1.9)由图1.3可知cos ||x A A α= cos ||yA A β= cos ||z AA γ= (1.10) 其中α，β和γ分别为矢量A 的方向角，即矢量A与三个坐标轴方向的夹角。
αcos ，βcos 和γcos 称为矢量A的方向余弦。
设有三个矢量A ，B和C ，在直角坐标系中分别表示为z z y y x x a A a A a A A ++= z z y y x x a B a B a B B ++= z z y y x x a C a C a C C ++=则三个矢量相加为z z z z y y y y x x x x a C B A a C B A a C B A C B A)()()(++++++++=++(1.11)在矢量的分解中，应注意到分解的不唯一性。
矢量和张量
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
• 矢量及其大小的定义： 矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。 矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方 向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定 是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
定义和符号 矢量v可以用一组分量v1，v2和v3来确定。相似地， 一个二阶张量τ可以用九个分量η11， η12 ，η13 ，η21 等等来确定。为简便起见，这些分量可以写成
不要把这一排列的数组与行列式相混淆；后者 亦可作这种排列，但在此只是一组有序的数， 而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。 两个下标相同的元素称为对角元素，而二下标 不同的元素为非对角元素。如果η12＝η21 ，η13 ＝η31 ， η23＝η32那么η称为对称张量。张量η的 转置是对每个元素的二个下标变换后所得的一 个张量记作η T：
式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”)，它与v和 w组成的平面垂直，其方向是右螺旋的前进方向(矢 量v按最短路径旋转到w)。矢量积的几何表示如图 A．1—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组 成的平行四边形面积。按矢量积定义，我们有
矢量相加法则
矢量相加法则
矢量相加法则是用来计算多个矢量相加的方法。
根据矢量的性质，可以将多个矢量相加得到一个合成矢量。
矢量相加法则有两种形式：几何法和分量法。
1. 几何法：将矢量按照一定的比例和方向绘制在坐标系中，然后用直线连接起来，合成矢量的起点和终点就是矢量相加的结果。
这个方法直观且易于理解，适用于二维矢量相加。
对于三维矢量相加，也可以将矢量按照空间位置绘制出来，然后连接起来。
2. 分量法：将矢量分解为两个或多个分量，然后将相同方向的分量进行相加，得到合成分量。
最后将合成分量再组合起来得到合成矢量。
这个方法适用于二维和三维矢量相加，并且可以很方便地利用向量的性质进行计算。
在分量法中，可以使用平行四边形法则或三角形法则进行矢量的分解和合成。
平行四边形法则是将矢量分解为两个平行的分量，然后将分量相加得到合成矢量；三角形法则是将矢量分解为两个垂直的分量，然后将分量相加得到合成矢量。
无论是几何法还是分量法，都遵循矢量的运算规则，包括矢量的大小、方向和单位等。
矢量相加法则在物理学和工程学等领域中广泛应用，用于求解力、速度、位移等物理量的合成。
矢量相加法则
矢量相加法则一、引言矢量是物理学中重要的概念之一，广泛应用于力学、电磁学、流体力学等领域。
在这些领域中，我们经常需要对不同方向和大小的矢量进行相加。
本文将介绍矢量相加法则，包括平行矢量相加、垂直矢量相加以及一般情况下的矢量相加。
二、平行矢量相加当两个矢量的方向完全一致或完全相反时，它们被称为平行矢量。
平行矢量的相加可以简化为简单的代数运算。
假设有两个平行矢量A⃗和B⃗⃗，它们具有相同的方向。
根据平行四边形法则，我们可以通过将这两个矢量首尾连接来形成一个平行四边形。
然后，我们可以从连接线段的起点到终点画出一个新的矢量C⃗来表示这个平行四边形的对角线。
根据三角形法则，我们知道C⃗等于A⃗和B⃗⃗之和。
因此，我们可以得出以下公式：C⃗=A⃗+B⃗⃗这就是平行矢量相加的法则。
三、垂直矢量相加当两个矢量的方向互相垂直时，它们被称为垂直矢量。
在这种情况下，我们可以使用勾股定理来计算它们的结果矢量。
假设有两个垂直矢量A⃗和B⃗⃗，它们具有互相垂直的方向。
根据勾股定理，我们可以得出以下公式：|C⃗|=√|A⃗|2+|B⃗⃗|2其中|A⃗|表示矢量A⃗的大小（模），|B⃗⃗|表示矢量B⃗⃗的大小（模）。
此外，我们还需要确定结果矢量C⃗的方向。
根据三角函数，我们可以使用以下公式来计算结果矢量的夹角θ：tanθ=|B⃗⃗| |A⃗|换句话说，夹角θ等于两个垂直矢量大小之比的反正切值。
综上所述，在已知两个垂直矢量大小和方向之后，我们可以通过勾股定理和三角函数来计算结果矢量的大小和方向。
四、一般情况下的矢量相加在一般情况下，我们需要对具有不同方向和大小的矢量进行相加。
这时，我们可以将这些矢量分解为平行和垂直于某一参考轴的分量，然后对各个分量进行相加。
假设有两个矢量A⃗和B⃗⃗，它们具有不同的方向。
我们可以选择一个参考轴，并将这两个矢量分解为与该轴平行和垂直的分量。
设A⃗∥和B⃗⃗∥表示与参考轴平行的分量，A⃗⊥和B⃗⃗⊥表示与参考轴垂直的分量。
矢量叠加通用公式
矢量叠加通用公式矢量相加减的公式是设A(X1，Y1)B(X2，Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。
矢量是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。
一般来说，在物理学中称作矢量，例如速度、加速度、力等等就是这样的量。
舍弃实际含义，就抽象为数学中的概念──向量。
矢量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的几何对象，因常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。
直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段。
线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。
向量的加法：ab+bc=ac 设a=（x,y） b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y') 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a 2、向量的减法ab-ac=cba-b=(x-x',y-y') 若a//b则a=eb则xy`-x`y=0 若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=03、向量的乘法设a=（x,x'） b=(y,y')a·b(点积）=x·x'+y·y'矢量与张量常用公式的证明并矢的常用公式有K K K K K K（1）∇⋅(AB ) =(∇⋅A ) B +(A ⋅∇) BK K K K K K（2）∇×(AB ) =(∇×A ) B −(A ×∇) B，有设S 为区域Ω的边界曲面，n 为S 的法向单位矢量（由内指向外）K K K K K（3）v ∫S d S ⋅(AB ) =∫Ωd V ∇⋅(AB )K K K（4）v ∫S d S ×A =∫Ωd V ∇×AK（5）v ∫S d S u =∫Ωd V ∇uK K K K K（6）v ∫S d S ×(AB ) =∫Ωd V ∇×(AB )K K K（7）v ∫d S A =∫d V ∇ASΩ设L 为曲面S 的边界，L 的方向与S 的法线方向成右手螺旋关系，有K K（8）v ∫d l u =∫d S ×∇uLK ∂K，e k 说明：以下的证明都是在直角坐标系下进行的，在直角坐标系下，∇=e k∂x k ∂∂K为常矢量，可放在前或后。
矢量三角形法则解
矢量三角形法则解矢量三角形法则是描述矢量相加的一个重要原理，它可以帮助我们更好地理解和计算矢量的合成。
在物理学、工程学和数学领域，矢量的合成是一个非常常见的问题，而矢量三角形法则可以为我们提供一个简单而有效的解决方案。
在矢量三角形法则中，我们通常会遇到两种不同的情况，平行四边形法则和三角形法则。
在本文中，我们将分别介绍这两种情况，并给出具体的例子来说明如何应用矢量三角形法则来解决实际问题。
平行四边形法则。
首先，让我们来看看平行四边形法则。
当我们需要计算两个矢量的合成时，我们可以利用平行四边形法则来得到结果。
具体来说，如果我们有两个矢量a和b，它们的起点相同，那么它们的合成矢量c可以通过以下公式计算得出：c = a + b。
这个公式的含义非常直观，合成矢量c的大小和方向分别由矢量a和b的大小和方向决定。
如果我们将矢量a和b画在同一起点处，然后按照平行四边形法则将它们相加，我们就可以得到合成矢量c的大小和方向。
三角形法则。
接下来，让我们来看看三角形法则。
当我们需要计算三个矢量的合成时，我们可以利用三角形法则来得到结果。
具体来说，如果我们有三个矢量a、b和c，它们的起点相同，那么它们的合成矢量d可以通过以下公式计算得出：d = a + b + c。
同样地，这个公式的含义也非常直观，合成矢量d的大小和方向分别由矢量a、b和c的大小和方向决定。
如果我们将矢量a、b 和c画在同一起点处，然后按照三角形法则将它们相加，我们就可以得到合成矢量d的大小和方向。
实际应用。
现在让我们来看一个具体的例子，来说明如何应用矢量三角形法则来解决实际问题。
假设我们需要计算一个物体的位移矢量，它先沿着x轴方向移动了5米，然后沿着y轴方向移动了3米。
我们可以用矢量表示这两次移动：a = 5i。
b = 3j。
其中i和j分别是x轴和y轴的单位矢量。
现在我们需要计算这两次移动的合成位移矢量c。
根据平行四边形法则，我们可以得到：c = a + b = 5i + 3j。
平行四边形向量法则
平行四边形向量法则平行四边形的向量法则是矢量的基本运算法则之一，它是描述平行四边形矢量相加关系的重要公式。
对于平行四边形中的两个矢量a和b，它们的和矢量记作a+b。
在平行四边形中，对角线的向量和等于相邻两边向量的和，即a+b=c+d。
在本文中，我们将详细解释平行四边形的向量法则及其相关性质。
首先，我们来了解平行四边形的基本概念。
平行四边形是一个具有两对平行边的四边形，其对应边长相等，对角线相互平分。
我们可以使用向量表示平行四边形的边和对角线，每条边或者对角线都可以看作一个矢量。
接下来，我们可以使用平行四边形的向量法则来描述矢量的相加关系。
设平行四边形的两条对角线的向量分别为a和b，相邻边的向量分别为c和d。
根据平行四边形的性质，我们知道两条对角线的向量和等于相邻边的向量和，即a+b=c+d。
进一步地，我们可以用向量的坐标表示来推导平行四边形的向量法则。
设向量a的坐标为(a1,a2)，向量b的坐标为(b1,b2)，则向量a+b的坐标为(a1+b1,a2+b2)。
同样地，设向量c的坐标为(c1,c2)，向量d的坐标为(d1,d2)，则向量c+d的坐标为(c1+d1,c2+d2)。
根据平行四边形的性质，我们知道(a1+b1,a2+b2)=(c1+d1,c2+d2)。
通过对比坐标，我们可以得到以下结论：a1+b1=c1+d1，a2+b2=c2+d2、这意味着向量法则在向量的坐标表示下也成立。
除了向量的相加关系，平行四边形的向量法则还可以推广到多个矢量的情况。
设平行四边形的n条对角线的向量分别为a1, a2, ..., an，相邻边的向量分别为b1, b2, ..., bn-1、根据平行四边形的性质，我们有a1+a2+...+an-1+an=b1+b2+...+bn-1+bn。
即多个矢量的和等于相邻矢量和的和。
平行四边形的向量法则在物理学、工程学和数学等领域有着广泛的应用。
在物理学中，我们可以用向量法则描述力的合成，即多个力合成为一个力的过程。
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矢量相加法则
师：通过这两节课的学习，我们知道力是矢量，力的合成与分解不能简单地进行力的代数加减，而是根据平行四边形定则来确定合力或者分力的大小和方向．前面我们学过的矢量还有位移，位移的相加也遵循平行四边形定则吗?我们来看教材69页“矢量相加法则”这部分内容，然后回答有关问题．
学生阅读课本有关内容，初步认识平行四边形定则不仅仅适用于力的合成与分解，同样也
适用于其他矢量的合成与分解，通过学生自己总结分析，可以提高学生物理知识的迁移能力、用一种方法解决不同问题的能力．
师：位移的矢量合成是否遵守平行四边形定则?
生：位移的合成也遵守平行四边形定则．
师：什么叫三角形定则?
生：把两个矢量首尾相接从而求出合矢量的方法，叫做三角形定则．平行四边形定则和三角形定则实质上是一样的，只不过是一种规律的不同表现形式．
师：什么叫做矢量，除了位移和力，我们所学的哪些物理量还是矢量?
生：既有大小又有方向，并且在相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)的物理量叫做矢量．除了位移和力之外，我们所学过的速度、加速度等都是矢量．
师：什么是标量，我们以前所学的哪些物理量是标量?
生：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加减的物理量叫做标量．我们以前所学过的质量、体积、距离、密度、时间等物理量都是标量．。