第六章 数学中蕴涵的美学思想

∀, ∃, ∞, lim,
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dy , dx
∫ , ∫∫ , ∫ ,L
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又如，哈密顿微分算子符号
∂ ∂ ∂ ∇ =i + j +k ∂x ∂y ∂z
数量场函数u(x,y,z)时，产生梯度 u
∂u ∂u ∂u ∇u = grad u = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
向量场函数
v = v1i + v2j + v3k,
目标函数( v) max z = yb, 对偶规划问题： yA ≤ c, 约束条件(s, t ) y ≥ 0.
(**)
由对偶定理知，若线性规划问题(*)有最优解，则其对 偶规划问题(**)也有最优解, 且两问题的目标函数最优值 相等。反之也成立。
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3. 对称美方法的运用 对称美方法是数学中的锐利武器, 数学家们利用它揭示 和发现了很多数学中的奥秘，其中最典型的有麦克斯韦方程、 笛沙格定理和伽罗瓦群等，它被著名数学家狄拉克(Dirac)称 为“自然科学时代新方法的精华”。 下面仅以求积分为例， 来说明它的妙用。 (1) 利用积分区间的对称性 利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性，简 化定积分的计算，是积分运算中最常用的一种方法。 若积分区间不关于原点对称，或积分区间虽然关于原点对 称，但被积函数是非奇非偶函数，有时通过适当的换元或拆 项等方法也可转化为对称区间上的积分问题。 返回
n =1
∞
收敛； 返回
l < 1 ⇒ r = +∞ > 1 ⇒ ∑ an
n =1
∞
收敛；
l > 1 ⇒ r = −∞ < 1 ⇒ ∑ an
n =1
∞
发散；
l = 1 ⇒ r = ∞ ⋅ 0 ⇒ ∑ an
n =1
∞
敛散性不确定。
凡是用达氏法能判别的级数敛散性，用拉贝法也能 判别，因此，拉贝法比达氏法更精细。
f ′(a ) = lim
f (a + ∆x ) − f (a ) ∆x → 0 ∆x
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4. 方法简单 数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式， 并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。 例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值法) 与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们都 有一个共同的不足 l = 1 ，就是不能判别当极限值时级数的敛散 性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。 比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法 设
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比拉贝判别法更精细的是库麦尔(Kummer)判别法,
设
an lim{Cn − Cn −1} = k n →∞ an +1
∞
1 其中{Cn}适合条件: 级数 ∑ n =1 C n
发散。
∞
则当k>0时, 级数 事实上，当
∑a
n =1
∞
n
收敛; 当k<0时，级数 ∑ a n 发散。
n =1
Cn = n
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代数中的二项式定理：
(a + b) n = a n + na n −1 b + L + nab n −1 + b n
1 L
对称行列式:
0 M
M
1
0 L 1
对称矩阵 ：
3 1 2 1 5 4 2 4 7
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微积分中空间曲线L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切线方程
3. 语言简单 数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。 如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不 可数”； “角、边、角”；“边、角、边” 等 。 lim an = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N , ∀n > N ⇒ an − a < ε 数列极限
n→∞
函数极限 lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃X > 0, ∀x : x > X ⇒ f ( x ) − A < ε x →∞ 导数概念
f ( n +1) (ξ) R n (x) = ( x − x 0 ) n +1 (n + 1)!
其中
ξ
在x与x0 之间。
拉格朗日型余项简单整齐，易于记忆，使用方便。从 审美度而言拉格朗日型余项是最美的，因此受到人们的青睐。 返回
二、 对称美
对称是指图形或数式的对称，概念、命题、法则或结 构的对偶、对应、对逆等。 1. 形式对称 解析几何中的标准图形
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庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是 否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么 使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部 分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。” 克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是 人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘 画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得 智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一 切。” 高 斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃 是吸引我研究的主要动力。” 返回
AX = B
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在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号
用今天的符号表示即：
2 1 1 x ( + + + 1) = 37. 3 2 7
宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式
412x2－x +136
其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上 画斜线表示“负数”。 返回
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“对偶”关系对称性： 集合中的对偶关系
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
A∩B=A∪B
A∪B=A∩B
线性规划中的对偶关系
目标函数( v) min y = cx, 线性规划问题： Ax ≥ b, 约束条件(s, t ) x ≥ 0.
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导数的运算法则
( u + v) ′ = u ′ + v ′
( uv) ′ = u ′v + uv ′
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2. 关系对称 运算的对称：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对 数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等； 概念的对称：函数与反函数、奇与偶、单增与单减、 连续与间断、收级与发散等； 命题的对称：
(1) ∀x ∈ (a, b)有f ′( x) > 0, 则f ( x)在(a, b)上严格单增;
时，库麦尔判别法即为拉贝判别法。
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又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项，整 体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)─罗赫(Roche)余项，柯西余项 和拉格朗日余项等。 在整体性余项中，后两种余项仅是前一种余项的特例。因而， 从整体性考虑，前一种余项更完美。 然而，人们在应用泰勒公式时，最习惯使用的还是拉格朗 日型余项
16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直 到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用
xxx－9xx +26－24∝0
表示方程
x3－9x2 +26－24 = 0
这个演变过程就是对简单美的追求过程。 返回
有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊 字母π来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无 理常数─欧拉常数
sin β sin γ ∂ ∂ dS ∂y ∂z Q R
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空间解析几何中
球 ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = 1
2 2 2
椭 球
x y z + 2 + 2 =1 2 a b c
x2 y2 z = 2 + 2 a b
2
2
2
椭圆抛物面
它们不仅便于记忆，而且具有形式美。 返回
级数收敛 级数发散 不确定
1 an = r lim n( − 1) = lim n −1 n →∞ an +1 n→∞ an +1 a n
l < 1 ⇒ r = +∞ > 1 ⇒ ∑ an
(vi是x,y,z的函数)
∂ ∂ ∂ ▽v = ( i ∂x + j ∂y + k ∂z )(v1i + v2j + v3k) v
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j k ∂ ∂ ∂ ∂v1 ∂v2 ∂v3 = −( + + )+ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z v1 v 2 v3
i
拉普拉斯方程:
∂u ∂u ∂u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
(2) ∀x ∈(a, b)有f ′(x) > 0,则f (x)在(a, b)上 严格单减。
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“共轭”关系对称性： 共轭无理数 共轭矩阵
a + b c; a − b c
A = (aij ) m×n ; A = (a ij ) m×n
共轭积分
∫α
β
f ( x ) sin α xdx ;
∫
β α
f ( x ) cos α xdx
2 2 2
若用哈密顿算子表示，也十分漂亮、利落:
▽u·▽u = 0 u u
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在线性方程组
a 11 x 1 + a 12 x 2 + L + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b 2 LLLLLLLLLLLL a m1 x 1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = b m
第四节 数学美在中国的源头
一、太极八卦---中国象数学的美 太极八卦---中国象数学的美 --二、河图洛书—数学形式美的雏形 河图洛书 数学形式美的雏形
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美 古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯 (Proelus)断言：“哪里有数，哪里就有美。” 古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有 很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐---这就 是美。”
1 n e = lim(1 + ) = 2.718281828459045L n →∞ n
如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数 学符号却能精确地表示它们。
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2. 形式简单 艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在 渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻， 黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。 数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出了一 个公式 审美度=
秩序 复杂性
即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比， 与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数学的 表现形式越简单就越美。 返回
格林公式
∂ ∂ ∫cPdx + Qdy = ∫∫ ∂x ∂y dxdy D P Q
斯托克斯公式
sin α ∂ ∫cPdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ∂x S P
a 11 a 12 L a 1n a 21 a 22 L a 2 n A= LLLLLL a a m 2 L a mn m1
表示为
x1 x2 X = M x n
b1 b2 B= M b m
则
an lim n( − 1) = r n →∞ an +1 ∞ a 当 r>1时，级数 ∑ n
当
收敛； 发散。 返回
r<1时，级数
∑an
n =1
∞
n= 1
事实上，由达朗贝尔判别法：设级数
∑a
n =1
∞
n
满足
an +1 lim n →∞ a n
< 1, = l > 1, = 1,
二、数学美的涵义
数学美是数学科学的本质力量的 感性和理性的显现，是一种人的本质力 量通过宜人的数学思维结构的呈现。它 是自然美的客观反映，是科学美的核心。
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第二节 数学美的特征
一、 简单美 简单是指数学语言、符号、方法、逻辑结构和理论体系的简单。 1. 符号简单 符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号 常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简单的 符号去表现复杂的数学内容。 例如，微积分学中的常用符号：
x − x0 y − y0 z − z0 = = x ′( t 0 ) y ′( t 0 ) z ′( t 0 )
空间曲面S ：F(x, y, z) = 0的法线方程
z− z−z0 x − x0 y− y− y0 = = Fx ( x 0 , y 0 , z 0 ) Fy (x 0 , y0 , z 0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
第六章
数学中蕴涵的美学思想
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美 二、数学美的涵义
第二节 数学美的特征
一、 简单美 三、和谐美 二、 对称美 四、奇异美 退出
第三节 让学生感受数学美
一、美观---外在的美 美观---外在的美 --二、美好---内在的美 美好---内在的美 --三、美妙---快乐的美 美妙---快乐的美 --四、完美--- 至善至美 完美---