总复习-1矩阵与行列式

I 矩阵、行列式

一、矩阵的概念及其初等变换 矩阵概念

矩阵与行列式的区别：

矩阵（数表）

行列式（数）

记号：1111n m n m a a a a ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

m n A ⨯ ()ij m n a ⨯

1111

n m n

n a a a a n A

ij n

a 化简：1111m n m n a a a a ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪→⎝⎭

1111n

m n

n a a a a =

矩阵的初等变换理论

定义：（看书） 结论一

对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有

1,11,1000000000110r n r r rn m n c c c c A A ++⨯⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

行变

（的行最简形矩阵）

应用1 高斯消元法解线性方程组

增广矩阵A −−−→行变

行最简形矩阵（可直接写出解）

应用2 列摆行变法判定向量组的线性相关性及求最大无关组、秩和线性表示式

1,1111,12100(,,,)(,,,)0000000011,,r n r r r n r n r n c c c c J J εαααε+++⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

−−−→=

⎪ ⎪

⎪

⎪

⎪⎝⎭

行变

设

则12,,,n ααα 与11,,,,,r r n J J εε+ 有相同的线性相关性。

应用3 行初等变换法求逆矩阵A -1、A -1B

1(,)(,)A E E A -−−−→行变

1(,)(,)A B E A B -−−−→行变

结论二

对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有

000r m n E A A ⨯⎛⎫

−−−−→ ⎪

⎝⎭

列行变和变

（的相抵标准形）

应用1 初等变换法求矩阵的秩（可作列变）

应用2 标准形思路：,,0

00r

E

A P Q P Q ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

其中是可逆矩阵. 结论三 初等变换与初等矩阵的转化关系：箭号等号关系（“左行右列”）

二、矩阵的运算

加法、数乘、乘法、转置 关于矩阵乘法，注意：

（1） 矩阵乘法与数的乘法不同之处

不满足交换律

AB BA ≠

222()2A B A AB B +≠++ 22()()A B A B A B -≠+- ()k k k AB A B ≠

注意：,A B 设均为方阵，则

错误！未找到引用源。,AB E BA E AB ===若则 错误！未找到引用源。AB BA A B ==

⏹ 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.

000AB A B =≠== 或

0,00AB A B =≠≠= ,0)0(0A AB B =≠⇒=但 200

(A A A =≠= 实对称矩阵可对角化但当是或时成立?）

2.A E A E =≠>=± 20A A A A E =≠>==或

⏹ 不满足消去律

,0AB AC A B C =≠≠>=A ≠0（但当时成立） ,0BA CA A B C =≠≠>=A ≠0（但当时成立）

（2） 矩阵乘法的应用

线性方程组的矩阵形式 AX =b 二次型的矩阵形式 T X AX

线性替换的矩阵形式 X CY =

列向量组线性表示式的矩阵形式 1212(,,,)(,,,)l m K βββααα= （P110:作业10,11）

三、可逆矩阵

1. 可逆矩阵（伴随矩阵）的概念与性质（看书） 1(A A A A *-=当可逆时)

A A A A A E

*

*

==

2. 矩阵可逆的充要条件

n A n B AB E ⇔=定义

阶可逆存在阶方阵，使得方阵

0A ⇔≠

12,s i A PP P P ⇔= 其中为初等矩阵 0A ≠注： ()R A n ⇔=

A ⇔的行（列）向量组线性无关

0AX ⇔=只有零解

A ⇔的特征值全不为0

3. 逆矩阵的求法

定义法：化出?A E =或?A E =（一“式”二鸟）（P54: 作业13，12） 伴随矩阵法：11A A A

-*

=

（只用于2阶矩阵：

“两调一除法”） 初等变换法：1

(,)(,)A E E A

-−−−→行变 分块矩阵法：

1

11A A B B ---⎛⎫⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ ， 1

11B B A A

---⎛

⎫

⎛

⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

00A B ≠≠（以上均要求，）

四、矩阵的秩

矩阵秩的概念、定理

()010m n m n A r A r r ⨯⨯=⇔≠+=义

秩中有一个阶子式，所有阶子式定

特别：()0n n n n n A A ⨯⨯=⇔≠秩

()A A A ==定理

秩的的列行秩三秩（秩相等）

常用秩公式

1.()()()A B A B +≤+秩秩秩

2.()(),()m n n s A B A B ⨯⨯≤秩秩秩.

特别：(()()()()())A A B B B B A A ==当可逆时；秩秩当秩可逆时秩 3.()(),0.kA A k =≠秩秩其中 4.()()T A A =秩秩

5.= 0()+()m n n s A n B A B ⨯⨯≤若，则秩秩

五、方阵的行列式