高中数学第讲几种常见平面变换的解题技巧素材人教版

c o s sin x xc o sysin x sin c o s y xsin yc o s y
11
cos sin
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1
1 0
x
y
y x
x x y T:yyx
12
1 0 x x
1
0
y
x
1 0 1 0 0 0 1 0,0 0,1 0
x
y
既可以表示点
( x，y)
，也可以表示以 O(0
，
0)
为起点
以 P(x，y)为终点的向量 OP ．
矩阵通常用大写黑体字母表示．如：矩阵A，行矩阵和列矩阵通常用希腊字母α、β等表示．
两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.
二阶矩阵与列向量的乘法法则为： a11 a21
即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵
M
作用变换为(x，2x)，则有
a 0
b 0
x y
x 2 x
，
∴
a b
1 2
，∴T＝
1 2
0 0
．
21
陷阱规避
22
23
aa1222xy00aa1211xx00aa1222yy00
5
矩阵是向量集合到向量集合的映射
2 0
0 1
x
y
2x
y
T:xyxy2yx
表示的几何变换为：纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍．
ax by
二元一次方程组
c
x
dy
e f
可以表示为
a c
b x e
d
y
f
系数矩阵
6
1．恒等变换矩阵（单位矩阵）为E：
10
P(x, y)
r r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r c o s () r c o sc o s r s ins in x c o s y s in y r s in () r s inc o s r c o ss in y c o s x s in
几种常见平面变换的解题技巧
1
知识要点
2
变换的复 合和矩阵 的乘法
二阶矩阵 与向量的
关系
几种常见 的平面变
换
Βιβλιοθήκη Baidu矩阵
特征值特 征向量
逆矩阵逆 变换
矩阵的应 用
3
变换的复 合和矩阵 的乘法
二阶矩阵 与向量的
关系
几种常见 的平面变
换
矩阵
特征值特 征向量
逆矩阵逆 变换
矩阵的应 用
4
点和向量不加区分．如：
x x x T:yyx
13
设 A (a,b )， A (am ,b )， 则 T: a b a bm 变换矩阵为10 1k,km b
14
移
k
9．切变变换矩阵
y 个单位．
1 0
k 1
把平面上的点P(x，y)沿x轴方向平
15
典题剖析
16
命题题源二 已知变换 T 是将平面内图形投影到直线 y＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．
17
技巧传播
18
1
【解析】
0
－1
1 2
36＝01××33＋＋12（×－6 1）×6＝－33，点
A(3，6)在矩阵
1 0
－1 1 对应的变换作 2
用下得到的点为(－3，3)．
19
【解析】
m 0
0 1
1
k
2 4
，
m k
2 4
，
解得
m 2 k 4
．
20
【解析】将平面内图形投影到直线 y＝2x 上，
x y
x y 2
1 0 2 0
0
2 , 0
1
8
1 0
0 1
x
y
x
y
T:xyxyyx
1 0 1 0 -10 01 0 1,0-1,0-1,10
9
或点
5．一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线．
A (1 2 ) 1 A 2 A
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换．
2．恒等变换是指对平面上任何一点（向量）或图形施以矩阵
1 0
0 1
对应的
变换，都把自己变为自己．
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T:yyy
7
伸压变换不是简单地把平面上的点（向量） “向下”压，而是向x轴或y轴方 向压缩.
1
0
0 1 2
x y
x
y
2
T
:
x
y