2.1.1-3无理数指数幂
无理数指数幂及其运算性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
1
令( ) ＜ ，
2
10
证得n≥4，
∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
作者编号：32101
1
) ，
2
练4.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，
那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成____个.
64
作者编号：32101
(3)a－a-1
1
2
12 2
1
2
12 2
1
1
2
(a a ) a a 2 3, a a
a 2 a 2 ( a a 1 )( a a 1 ) 5 21
12
3.
1
2
练2.已知 x x
1
2
解析：将 x x
1
2
7
5，则x2＋x－2＝____.
1
2
5 ，两边平方得x＋x
－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，
两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
作者编号：32101
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−2
练3.已知x＋x－1＝7，求值：① + ；②x2－x－2；③求x3＋x－3的值.
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−2
解：①设m＝ + ，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
(1)a2+a-2
1
2
(2) +
1
2
−
1
2
(4) －
1
2
12
7.
20§2.1.1指数与指数幂的运算(第3课时)
班级：高一 班 姓名： 编号：20§2.1.1 指数与指数幂的运算第3课时 无理指数幂山东省淄博四中·高一数学组课时学习目标与重难点：☆学习目标：理解无理指数幂的含义；掌握无理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简。
★重难点：无理指数幂的含义的理解、无理指数幂的运算性质的掌握是本节的重点；无理指数幂的含义的理解、实数指数幂的运算与化简是本节的难点。
课时学案：一、新知探究与知能训练1．无理指数幂的意义一般地，无理指数幂αa (0>a ，α是无理数)是一个确定的 。
※合作探究：在规定无理指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？试举例说明之。
★2．实数指数幂的运算性质规定了无理指数幂的意义之后，指数幂的概念就从有理指数推广到实数指数。
对于有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂。
请同学们总结一下它们的共同运算性质：对于任意的实数r 、s ，均有下面的运算性质：① ；② ；③ 。
3．例题讲解例1 写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)5)5()25)(5(2+-=--x x x x ； (2)31)31(33-=-x x 。
课堂训练1：要使式子504253)2(341---+++x x x x 有意义，则实数x 的取值范围是 。
例2 化简下列各式(式中字母都表示正数)：(1)a b ba b a b a b a b a 11))((1122221111-++-+--+----------；(2)xy xy xy ⋅⋅-312。
例3 已知22121=+-a a ，求(1)1-+a a ；(2)22-+a a ；(3)33-+a a 的值，比较以上结论，你还可以得到什么？(不必证明)课堂训练2：已知32121=+-a a ，求(1)1-+a a ；(2)22-+a a ；(3)21212323--++aa a a 的值。
例4 计算下列各式：(1)31213125.01041.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯-+⋅⨯------；(2)433333391624337+--。
2019A新高中数学必修第一册：2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式
高中数学：第二章 2.1.1 指数与指数幂的运算 (1)
指数函数2．1.1指数与指数幂的运算预习课本P48～53，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？[新知初探]1．n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0 x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±n aa＜0x不存在*.2．根式(1)定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(na)n＝a.②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|，n为偶数.[点睛](n a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而n a n中a∈R.3．分数指数幂的意义分数指幂正分数指数幂规定：amn＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义[点睛]分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．4．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)(π－4)2＝4－π.()(4)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．()(5)0的任何指数幂都等于0.()-=答案=-：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2.5a－2可化为()A．a2-5B．a52C．a25D．.－a 52-=答案=-：A3．化简2532的结果是()A．5 B．15 C．25 D．.125 -=答案=-：D4．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________.-=答案=-：118[例1] 化简： (1)n(x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. [解] (1)∵x ＜π，∴x －π＜0. 当n 为偶数时， n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ；当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.根式的化简与求值综上可知，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a .根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．[活学活用]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0解析：选B ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 解析：(2a －1)2＝|2a －1|，3(1－2a )3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤12.-=答案=-：⎝⎛⎦⎤－∞，12根式与分数指数幂的互化[例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2. [解] (1)13a2＝12123a ＝a2-3. (2)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a113.(3) 3b －a 2＝⎝⎛⎭⎫b －a 213＝b 13·⎝⎛⎭⎫－1a 213＝b 13·(－a －2) 13＝－b 13a2-3根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[活学活用]3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x ＞0) B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)解析：选C －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；x －34＝(x －3)14＝ 4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)； x 1-3＝⎝⎛⎭⎫1x —13＝31x(x ≠0)． 4．将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a4-3；②3a a (a ＞0)；③a 3a ·5a 4(a ＞0)．解：①a4-3＝14a 3.②3a a ＝a 13·a 16＝a 12.③原式＝a 3·a1-2·a4-5＝a143--25＝a1710.[例3] 计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－0.010.5； (2)0.0641-3－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] 4-3＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫141-223320.1()a b -- (a >0，b >0)．3-2指数幂的运算[解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝g 132244100·a 32·a 123-2·b3-2·b 32＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 5．计算：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3.解：(1)原式＝(0.33) 13－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52212＋(44) 34＋(223)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)·(3b 32) ＝12a 11-36b1-6·3b 32＝32a 16b 43.[例4]已知a 12＋a1-2＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解](1)将a 12＋a1-2＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.[一题多变]1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y ＝±35，即a2－a－2＝±3 5.-=答案=-：±3 52．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求112211 22-a b a b+值．解：11221122-a ba b+＝1122211112222--a ba b a b+（）（）（）＝12+-2-a b aba b（）（）. ①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6 3. ③条件求值问题将②③代入①，得11221122-a ba b+＝129＝－33.条件求值的步骤层级一 学业水平达标1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A ．(－1)13和(－1)26B ．0－2和012C ．212和414D ． 43-2和⎝⎛⎭⎫ 1 2 －3解析：选C 选项A 中，(－1) 13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1) 13＝3－1－1，(－1)26＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负分数指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中，43-2和⎝⎛⎭⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C.2．已知：n ∈N ，n ＞1，那么2n(－5)2n 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－5或5D ．不能确定解析：选A2n(－5)2n ＝2n52n ＝5.3．计算⎝⎛⎭⎫8116－14的结果为( )A.23B.32 C ．－23 D ．－32解析：选A ⎝⎛⎭⎫8116－14＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫324－14＝⎝⎛⎭⎫32－1＝23.4．化简[3(－5)2]34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．.－5解析：选B [3(－5)2]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5.5．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73 D.32b 73解析：选A 原式＝-4-464a b a b-133-5＝－32b 2.6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 解析：∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.-=答案=-：1 7．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 019)y ＝___________________.解析：因为 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x ＋1)2＋ (y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3.所以(x 2 019)y ＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1. -=答案=-：－1 8.614－ 3338＋30.125 的值为________． 解析：原式＝ ⎝⎛⎭⎫522－ 3⎝⎛⎭⎫323＋ 3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. -=答案=-：329．计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56 ； (2)(m 14n －38)8.解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a . (2)原式＝(m 14)8(n3-8)8＝m 2n －3＝m 2n3.10．已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4(a ＋b )4＋3(a ＋b )3的值． 解：因为4a 4＋4b 4＝－a －B. 所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ， 所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.层级二 应试能力达标1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D.⎝⎛⎭⎫122n －7解析：选D 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 2.1⎛⎫ ⎪⎝⎭12 0－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( )A ．－13 B.13 C.43 D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 23B ．a 55C ．a 76D ．.a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝2＝212a a ⨯53＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76.4．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19B.43 C ．1 D.39解析：选B ∵x 9x ＝(9x )x ，(x 9)x ＝(9x )x ，∴x 9＝9x . ∴x 8＝9.∴x ＝89＝43.5．如果a ＝3，b ＝384，那么a [()]b a17n －3＝________.解析：a [()]b a 17n －3＝3384[()]317n －3＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3. -=答案=-：3×2n －36．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.-=答案=-：14 2157．化简求值：(1)⎛⎫ ⎪⎝⎭792 0.5＋0.1－2＋⎛⎫ ⎪⎝⎭10272－23－3π0＋3748；(2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4；(3)⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫64272-3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3243-4＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎫32－3＝4－8＋27×827＝4. (3)原式＝(－1)－23×⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.8．已知a ＝3，求11+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a的值． 解：11+a14＋11-a14＋11+a 12＋41＋a ＝2(1+)(1-)a a 1144＋21+a12＋41＋a＝21-a12＋21+a12＋41＋a＝4(1-)(1+)a a 1122＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。
学案7： 2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.1 指数及指数幂的运算学习目标1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．分数指数幂的意义思考：(1)分数指数幂a mn能否理解为m n个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 2．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[基础自测]1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)523＝53.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a 2＝a 12.( ) 2．425等于( )A ．25B.516C.415D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3B ．13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.[合 作 探 究·攻 重 难]将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x5x 22；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0).[跟踪训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解[跟踪训练]2．(1)计算：0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a 92a －3)÷3a －7·3a 13(a >0)．指数幂运算中的条件求值 [探究问题]1.⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？2．已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a－2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2 C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 62．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．－a 32D ．a 324．若10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 所以103m －n ＝103m 10n ＝83.]【参考答案】 [自 主 预 习·探 新 知]1．na m 1n am 没有意义思考：[提示] (1)不能．a mn不可以理解为m n 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法．(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即n a m ＝a mn＝0，无研究价值． ②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.2．(2) a rs (3) a r b r 3．实数[基础自测]1． (1)× (2)× (3)× 2．B【解析】425＝542＝516，故选B. 3．B【解析】a －23＝1a 23＝13a 2.4．m 2＋1【解析】(m 12)4＋(－1)0＝m 2＋1.[合 作 探 究·攻 重 难][跟踪训练]1．例2[跟踪训练][探究问题]1. 提示：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4. 2．提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 解 (1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝1[当 堂 达 标·固 双 基]1． A【解析】 [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A. 2． D【解析】由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D. 3. 234．83 5.。
2.1.1分数指数幂和无理数指数幂
3. 5
2 3
,5
2
有意义吗？
知识点一：分数指数幂的意义 思考1:设a>0， a ，
5 10
10 5
a
4
8
， a 分别等于什么？
4 12
8
12 4
a
10
a
2
a
5
,
a
8
a
a2,
a
12
1 3 8
(m 4 n
3
) (m , n 0)
8
(3)
25
125
4
25
(4)
a
2
(a 0)
3 2
a a
• 小结： • 1．指数幂的运算步骤： • (1)有括号先算括号里的；无括号先进行指 数运算． • (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． • (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， 先要化成分数，底数是带分数，要先化成 假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数幂的运算性质．
2
是一个确定的
数吗？
思考3:有理指数幂的运算性质适应于无理数 指数幂吗？
n m
结论:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 数幂没有意义。
知识点二:有理数指数幂的运算性质
整数指数幂有哪些运算性质？
设 m , n Z，则 a a a
m n
mn
；
n
(a ) a
m n
mn
；
b
(ab)
n
a
n
.
知识点二:有理数指数幂的运算性质
高一数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(1) 新人教A版必修1
22＝224＝212.
[点评] 当n为奇数时，n an ＝a；当n为偶数时，
n an＝
|a|＝
a a≥0 －a a<0.
要在理解的基础上，记准、
记熟、会用、用活；(4)中被开方数是(－2)2，容易出
现4 －22＝212的错误．
变式体验1 求下列各式的值．
3 (1)
－83；
(2) －102；
4 (3)
典例导悟 类型一 根式的概念
[例1] 求下列各式的值：
3 (1)
－73；(2)
－92；
(3) a－b2(a>b)；(4)4 －22 [分析] 运用根式的运算公式进行计算．
[解]
3 (1)
－73＝－7.
(2) －92＝|－9|＝9.
(3) a－b2＝|a－b|＝a－b(a>b)．
4 (4)
－22＝4
)
A．{x|x≠1}
B．{x|x≠0}
C．{x|x≠0,1}
D．以上答案都不对
答案：C
4．当1<x<3时，化简 x－32＋ 1－x2的结果 是________．
答案：2
5．求 614－ 3 338＋3 0.125的值．
解：原式＝
25－ 3 4
27＋ 3 8
18＝52－32＋12＝32.
互动课堂
n>1，且n∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示 n
①当 n是奇数时， a 的 n 次方根表示为 a， a∈ R. n
②当 n是偶数时， a 的 n 次方根表示为 ± a， a∈ [0，＋∞ )． (3)根式
n 式子 a叫做根式，这里 n 叫做根指数， a叫做被开方数．
2.1.1指数与指数幂的运算
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2. 记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数.
这时，a的 n 次方根用符号 n a 表示
偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
一个数的偶次方根有两个。
总结：
(1) 奇次方根有以下性质：
正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数.
na
零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质：
正数的偶次方根有两个且是相反数， n a 负数没有偶次方根，
一个数的奇次方根只有一个。
当n是偶数时：
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 4 81 3
64的6次方根是2，-2.
记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
an
1 an
(a
0, n
N ).
整数指数幂有哪些运算性质呢?
(1)am an amn (m, n Z ); (2)(am )n amn (m, n Z );
(3)(ab)n anbn(n Z );
(4)(a )n b
an bn
(b
0, n
Z );
问:当m, n不是整数,如是分数等,上面运算性质
练习题
【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
(学习方略)高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算课件 新人教A版必修1
A
28
【解】 当n为奇数时， 原式＝a－b＋a＋b＝2a； 当n为偶数时，∵a<b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a＋(－a－b)＝－2a. 综上知， n a－bn＋n a＋bn＝2－a2an为n奇 为数 偶数 ，.
A
29
规律技巧 为使开偶次方不出现符号错误，先用绝对值保 留开方的结果，然后根据题设条件化去绝对值符号，没给条件 的要分情况讨论．
A
7
2．根式的性质
(1)当n为奇数时， n an ＝________，当n为偶数时， n an ＝ ________.
(2)负数没有偶次方根，零的任何次方根都是________．
A
8
3．分数指数幂的意义
(1)设a>0，m，n∈N*，n>1，则将 n am 表示为a的分数指数
幂的形式为____________，a－
A
10
1.(1)xn＝a 根式 根指数 被开方数 a
(2)负数 n a n a －n a ±n a
自 2.(1)a |a|＝a a≥0 －a a<0 我 (2)0
校
m1
3.(1)a n m
对
an
(2)0 没有意义
4.ar＋s ars arbr
A
11
思考探究 在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
A
32
规律技巧 本题ab与a－b互为倒数，抓住这一点，已知和 所求分别平方很快得出答案，这里运用了公式变形a－b2＝a ＋b2－4ab.
A
33
变式训练4
已知a
1 2
＋a－
1 2
＝m，求a2＋a 1的值．
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
2.1.1指数与指数幂的运算
C.
4
a
4
4
1 32
b
4
a b D. 10 ( a b ) 10 a b
1 16
9、化简 (1 2
)(1 2
)(1 2 )(1 2 )(1 2 )的结果 ( A)
1 8
1 4
1 2
1 A. (1 2 2
C.1 2
1 32
1 32
)
一、根式
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根. 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做 被开方数
a
归纳:
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
探究
n
a a
n
一定成立吗？
(a 0) a (a 0)
n n n a a 1、当 是奇数时， a n n 2、当 n 是偶数时， a | a |
探究: (
n
a)
n
a
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
(3) (3 )
1、已知 x
3
1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值
2、计算下列各式
(1)
a b
1 2
1 2 1 2
a b
2
1 2
a b
1 2
【配套K12】2018版本高中数学必修一：2.1.1《指数与指数幂的运算》教案
《指数与指数幂的运算》教案
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n 次方根与根式的概念； （2）正确运用根式运算性质化简、求值； （3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质 四、教学难点
教学难点：根式概念的理解 五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
0,1(0)
n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠
七、教学环节。
高一数学必修一课件2.1.1-指数与指数幂的运算
a = a
m n
n
m
(a > 0,m,n N*, 且n > 1)
实数指数幂的运算法则
(1)a a a (a 0, r , s R)
r s
rs rs
(2)(a ) a (a 0, r , s R)
r s r
(3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
1 1 1 + 2 4 8
= 2 3 = 6;
1 1 1 2 - 3 3
= a ;(4)x
5 8
1 1 - + 3 3
- 4x
4 = 1- ． x
知识点总结
• 根式 • 分数指数幂 • 无理数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
新课导入
回顾旧知
正整数指数幂： 一个数a的n次幂等于n个a的连乘积， 即：
1.am· an=am+n； 2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn；
n a a 5. = n (b 0). b b n
前面我们讲的都是正整数指数幂，即 n只取正整数，那么n能否取有理数呢？
5 2 常数
无理数指数幂：
1.无理数指数幂ax（a>0，x是无理数） 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂的运算性质同样适用 于无理数指数幂.
课堂小结
整数指数幂 根式 xn=a
x a ; (当n是奇数)
n
负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
x n a . (当n是偶数,
且a＞0)
1 3
3 25Βιβλιοθήκη 63 1 (2) x x 2 2 x 2 ; 1 2
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
专题2.1.1 指数与指数幂的运算重难点题型(举一反三)(原卷版)
2.1.1指数与指数幂的运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1 根式的意义】1.n次方根2.根式（1）定义：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）性质：(n＞1，且n∈N*)①nn a )(＝a .②nna ＝⎪⎩⎪⎨⎧为偶数为奇数，n a n a ,,【知识点2 分数指数幂及其运算】 1.分数指数幂（1）意义：nma ＝n ma ，nm a-＝nm a1＝nma 1，其中a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义；（3）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 2．有理数指数幂的运算性质（1）s r a a ＝s r a +a (＞0，r ，s ∈Q )； （2）s r a )(＝rs a a (＞0，r ，s ∈Q )； （3）r ab )(＝r r b a a (＞0，r ，s ∈Q )．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂αa (a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【知识点3 化简求值的方法与技巧】（1）在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能统一成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算. （2）结果必须化为最简的形式.（3）巧妙公式变形：完全平方公式，立方和、立方差等.【考点1 根式的化简】【例1】（2019秋•信阳期中）式子( ) ABC．D．【变式2-1】（2019秋•中原区校级期中）当0a >(= )A ．B ．C ．-D ．-【变式2-2】（2019秋•32(0)a a a >的结果是( )A B C D【变式2-3】（2019秋•九龙坡区校级期中）把(a -根号外的(1)a -移到根号内等于( )A ．BC ．D 【考点2 根式与分数指数幂互化】【例2】（2019秋•( ) A ．35a -B ．53aC ．35aD ．53a -【变式2-1】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56aa a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【变式2-2】（2019秋•桐庐县期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是( )A ．12()(0)x x =-> B 13(0)y y <C ．340)xx ->D ．130)xx -=≠【变式2-3】（2019秋•城关区校级期中）若0a >，则用根式形式表示35a -为和．( ) A532a bB ，1235a bC532a bD 1235b b【考点3 多重根式的化简】【例3】（2019秋•3a a a 的分数指数幂表示为( )A ．32aB ．3aC ．34aD ．都不对【变式3-1】（2019秋•等于( )A ．B ．2 CD ．2【变式3-2】（2019秋•凌源市月考）已知0a >( )A ．712aB ．512aC ．56aD ．13a 【变式3-3】（2019秋•(0)a >为( ) A ．56aB ．16aC ．112a-D ．13a -【考点4 根式与分数指数幂的混合运算】 【例4】（2019秋•巴宜区校级期中） （1）2102329272()(9.6)()()483---+（2）1323422()ab b a ---÷【变式4-1】（2019秋•鸠江区校级期中） （121xy xy-；（21327()8-++．【变式4-2】（2019秋•温江区校级月考）计算： （1）210232983()( 2.5)()()4272----+；（2）10.523321(4()0,0)4(0.1)()ab a b a b ---->>．【变式4-3】（2019秋•石河子校级月考）计算下列各式的值：（10,0)a b >>，（2）210232183(2)(9.6)()()4272----+．【考点5 利用整体代换思想求值】 【例5】（2019秋•凌源市月考）已知11223x x --=．求：（1）1x x -+； （2）1x x --．【变式5-1】（2019秋•沙坪坝区校级期中）若1122x x-+，求12212x x x x --+-+-的值．【变式5-2】（2019秋•越秀区校级月考）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【变式5-3】（2018秋•湛江校级月考）已知11223a a -+=，求3322a a-+的值．【考点6 幂的综合应用】【例6】已知333ax by cz ==，且1111x y z++=，求证：11112223333()ax by cz a b c ++=++．【变式6-1】（2019秋•临沂期中）已知33()5x x f x --=，33()5x x g x -+=．（1）求证：()f x 是奇函数，并求()f x 的单调区间；（2）分别计算f （4）5f -（2）g （2）和f （9）5f -（3）g （3）的值，由此概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．【变式6-2】（2019秋•双桥区校级期末）设函数4()42xx f x =+，若01a <<，试求：（1）求f （a ）(1)f a +-的值；（2）求1231000()()()()1001100110011001f f f f +++⋯+的值．【变式6-3】设正整数a 、b 、()c a b c 剟和实数x 、y 、z 、ω满足：30x y z a b c ω===，1111x y z ω++=，求a 、b 、c 的值．。
2019高中数学必修2.1.1-3无理数指数幂
2. 1.1第三课时无理数指数幂教案【教学目标】1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。
2.理解无理数指数幂的概念。
【教学重难点】重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解难点：无理数指数幂的理解【教学过程】1、导入新课同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数，有理数到实数。
并且知道在有理数到实数的扩充过程中，增添的是是实数。
对无理数指数幂，也是这样扩充而来。
这样我们这节课的主要内容是：教师板书课题2、新知探究提出问题（1）6…，那么1.41，1.414，1.4142，1.41421，…，而1.42，1.415，1.4143，1.41422学生自己阅读教材发现规律。
（2）你能给教材上的思想起个名字吗？（3）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑是加以解释.问题（1的方向，另一方面从小于.问题（2）对教材中图表的观察得出无限逼近是实数问题（3）在前两个问题基础之上，推广到一般情形，即由特殊到一般.a>讨论结果：充分表明一般的结论即无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα（0且α是无理数）是一个确切的实数，也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数的概念又一次推广，类比实数的扩充，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相同呢？（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生相互合作，交流探讨，引导他们类比，归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a α（0a >且α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通.对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零是必要的，否则会造成混乱如1,a =-那么a α是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.（2）类比有理数指数幂即可得到无理数指数幂的运算法则.（3）实数指数幂的运算性质：①(0,,)r s r s a a a a r s R +∙=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r R ∙=>>∈3、应用示例、知能训练例1求值或化简（1(0,0)a b >>（2例2已知11(52n x =—15-），*n N ∈，求(n x +的值. 点评：教师要板书于黑板，要渗透解题思想练习：习题2.1A 组 34、拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请同学们说明无理数指数幂5、课堂小结（1）无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂a α（0a >且α是无理数）是一个确切的实数. （2）实数指数幂的运算性质：①(0,,)r s r s a aa a r s R +∙=>∈ ②)(0,,)(r s rs a a r s R a =>∈③()(0,0,)r r ra b a b a b r R ∙=>>∈④逼近思想，体会无限接近的含义【板书设计】一、无理数指数幂1.二、例题例1例2【作业布置】课本习题2.1B 组 22.1.1-3无理数指数幂课前预习学案一、预习目标理解无理数指数幂得实际意义。
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得出结论：一般地，无理数指数幂 a （ a 0, 是无理数）是一个确定的实数。有理
数指数幂的运算同样适用于无理数指数幂。 3.当堂检测
（1）参照以上过程，说明无 理数指数幂 2 3 的意义。
（2）计算下列各式 ○1 2 3.2 5
课后练习与提高 1.化简下列各式
○2 3 5
32
（1） 3 a 4 a
3、应用示例、知能训练 例 1 求值或化简
（1） a4b2 3 ab2 (a 0,b 0)
（2） 5 2 6 7 4 3 6 4 2
例
2
已知
x
1
1
(5n
1 x2 )n 的值.
2
点评：教师要板书于黑板，要渗透解题思想 练习：习题 2.1A 组 3 4、拓展提升
讨论结果：充分表明 5 2 是一个实数，一般的结论即无理数指数幂的意义：一般地，
无 理数指数幂 a （ a 0 且 是无理数）是一个确切的实数，也就是说无理数可以作为
指数，并且它的结果是一个实数，这样指数的概念又一次推广，类比实数的扩充，结合前 面 的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指 数幂.
就无法确定了，规定后就清楚了. （2）类比有理数指数幂即可得到无理数指数幂的运算法则.
（3）实数指数幂的运算性质 ：① ar as ars (a 0, r, s R) ②
(ar )s ars (a 0, r, s R) ③ (a b)r arbr (a 0,b 0, r R)
三、提出疑惑 同学们，你们通过自主学习，还有哪些疑惑请写在下面的横线上—————————
课内探究学案 一、学习目标 1.能熟练进行根式与分 数指数幂间的互化。 2.理解无理数指数幂的概念。 学习重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解 学习难点：无理数指数幂的理解 二、学习过程
1
1.解释 33 的意义，理解分数指数幂与根式的互化。探究 5 2 的实际意义。
对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂 a （ a 0 且 是无理数）
是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似， 并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自 然就得到了.
讨论结果：（1）底数大于零是必要的，否则会造成混乱如 a 1, 那么 a 是 1 还是-1
（2） a a a
3
2.下列说法错误的是（） A.根式都可以用分数指数幂来表示 B.分数指数幂不表是相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法 C.无理数指数幂有的不是实数 D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂
4
2. 1.1 第三课时无理数指数幂教案
【教学目标】 1.能熟练进行根式与分数指数幂间的互化。 2.理解无理数指数幂的概念。 【教学重难点】 重点：实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解 难点：无理数指数幂的理解 【教学过程】 1、导入新课 同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到分数，这样指数就推 广到有理数，那么它是否也和数一样， 到底有没有无理数指数幂呢 ？回顾数的扩充过 程， 自然数 到整数，整数到分数，有理数到实数。并且知道在有理数到实数的扩充过程中，增 添的是是实数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。这样我们这节课的主要内容是：教 师板书课题 2、新知探究
③ (a b)r arbr (a 0,b 0, r R)
2
④逼近思想，体会无限接近的含义 【板书设计】 一、无理数指数幂 1. 二、例题 例1 例2
【作业布置】课本习题 2.1B 组 2
2.1.1-3 无理数指数幂
课前预习学案 一、预习目标 理解无理数指数幂得实际意义。 二、预习内容
教材 52 页至 53 页 5 2 的意义解读。
能做出判断并合理地解释吗？借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？ 活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生
有困惑是加以解释.
问题（1）从近似值分类来考虑，一方面从大于 2 的方向，另一方面从小于 2 的方
向. 问题（2）对教材中图表的观察得出无限逼近是实数 问题（3）在前两个问题基础之上，推广到一般情形，即由特殊到一般.
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请同学们说明无理数指数幂 2 3 的意义
5、课堂小结 （1）无理数指数幂的意义
一般地，无理数指数幂 a （ a 0 且 是无理数）是一个确切的实数.
（2）实数指数幂的运算性质：
① ar as ars (a 0, r, s R)
② (ar )s ars (a 0, r, s R)
提出问题（1）我们知道 2 =1.41421356…，那么
1.41，1.414，1.4142，1.41421，…，是 2 的什么近似值？而
1.42，1.415，1.4143，1.41422，…，是 2 的什么近似值？
学生自己阅读教材发现规律。 （2）你能给教材上的思想起个名字吗？
（3）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如 5 2 ，根据你学过的知识，
提出问题 （1） 为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
1
（2） 无理数 指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相同呢？
（3） 你能给出实数指数幂的运算法则吗？ 活动：教师组织学生相互合作，交流探讨，引导他们类比，归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明