阻尼与振动
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2．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是 2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害 [ CD ] A．6m/s B．12m/s C．24m/s D．48m/s
单自由度体系有阻尼振动
三、阻尼对强迫振动的影响
振幅：yp， 最大静力位移：yst=F/k=F/mω2
动力系数：
yP y st
2 1 2
2 2 4 2 2
12
动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关
单自由度体系有阻尼振动
单自由度体系有阻尼振动
FD (t )
S
C
k
m P(t)
FS (t ) ky(t ) FI (t ) my(t ) FD (t ) cy
m 平衡方程:
. F (t) y .
P(t) FI(t)
cy ky P(t ) m y
P(t)
单自由度体系有阻尼振动
二、阻尼对自由振动的影响
yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 2 y kห้องสมุดไป่ตู้1 2 0.4 2 2 4.189s 1 T 1.5
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
m EI=∞
c 2m
2m 2
2k
20.0355 196104 33220 N s / m 332.2 N s / cm 4.189
单自由度体系有阻尼振动
1）低阻尼情形 ( <1 )
y
讨论：（a）阻尼对频率和周期的影响
Aet
An An+1
r 1 2 , 随 而
T 2
当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。 在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1， 可近似取:
r
T
2
r
r , Tr T
称为振幅的对数递减率.
单自由度体系有阻尼振动
2)ξ=1（临界阻尼）情况 临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。 （振与不振的分界点）
θ0 y0 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
单自由度体系有阻尼振动
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共 计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
几点注意： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ②当θ接近ω 时， β增加很快， ξ 对β的数值影响也很大。在0.75< θ/ω <1.25(共振区)内，阻尼大大 减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻 尼的影响是不容忽略。在共振区 之外阻尼对β的影响较小，可按 无阻尼计算。
阻尼对振动的影响
Contents
1 2 3
阻尼基本介绍
阻尼对自由振动的影响
阻尼对强迫振动的影响
单自由度体系有阻尼振动
一、阻尼基本介绍
1、阻尼的两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量； 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
（1）振动方程的解 特征方程
2 0
2 2
设解为：
y Be
t
特征值
一般解
1,2 ( 2 1),
y(t ) B1e B2e
ξ =1
1t
2t
ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。
ξ ＞1 ξ＜1
大阻尼
临界阻尼
小（弱）阻尼
β ξ=0 ξ=0.1
共振时 1 2
4.0
3.0 2.0 1.0 0
ξ=0.2
ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=1.0 1.0 2.0
θ/ω 3.0
单自由度体系有阻尼振动
考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
3．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害 [ ] A．6m/s B．12m/s C．24m/s D．48m/s
单自由度体系有阻尼振动
1．两个弹簧振子，甲的固有频率是100Hz，乙的固有频率 是400Hz，若它们均在频率是300Hz的驱动力作用下做受迫振动， 则[ ] A．甲的振幅较大，振动频率是100Hz B．乙的振幅较大，振动频率是300Hz C．甲的振幅较大，振动频率是300Hz D．乙的振幅较大，振动频率是400Hz
2．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是 2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害 [ ] A．6m/s B．12m/s C．24m/s D．48m/s
3．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害 [ ] A．6m/s B．12m/s C．24m/s D．48m/s
单自由度体系有阻尼振动
1．两个弹簧振子，甲的固有频率是100Hz，乙的固有频率 是400Hz，若它们均在频率是300Hz的驱动力作用下做受迫振动， 则[ B ] A．甲的振幅较大，振动频率是100Hz B．乙的振幅较大，振动频率是300Hz C．甲的振幅较大，振动频率是300Hz D．乙的振幅较大，振动频率是400Hz
单自由度体系有阻尼振动
（b）阻尼对振幅的影响
振幅
Ae
t
阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而 作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结 构停止振动。 y k 1 T 常数 相邻两个振幅的比: y e k 振幅按等比级数递减.
yk 2 T ln lne T y k 1 r
单自由度体系有阻尼振动
三、阻尼对强迫振动的影响
振幅：yp， 最大静力位移：yst=F/k=F/mω2
动力系数：
yP y st
2 1 2
2 2 4 2 2
12
动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关
单自由度体系有阻尼振动
单自由度体系有阻尼振动
FD (t )
S
C
k
m P(t)
FS (t ) ky(t ) FI (t ) my(t ) FD (t ) cy
m 平衡方程:
. F (t) y .
P(t) FI(t)
cy ky P(t ) m y
P(t)
单自由度体系有阻尼振动
二、阻尼对自由振动的影响
yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 2 y kห้องสมุดไป่ตู้1 2 0.4 2 2 4.189s 1 T 1.5
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
m EI=∞
c 2m
2m 2
2k
20.0355 196104 33220 N s / m 332.2 N s / cm 4.189
单自由度体系有阻尼振动
1）低阻尼情形 ( <1 )
y
讨论：（a）阻尼对频率和周期的影响
Aet
An An+1
r 1 2 , 随 而
T 2
当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。 在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1， 可近似取:
r
T
2
r
r , Tr T
称为振幅的对数递减率.
单自由度体系有阻尼振动
2)ξ=1（临界阻尼）情况 临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。 （振与不振的分界点）
θ0 y0 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
单自由度体系有阻尼振动
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共 计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
几点注意： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ②当θ接近ω 时， β增加很快， ξ 对β的数值影响也很大。在0.75< θ/ω <1.25(共振区)内，阻尼大大 减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻 尼的影响是不容忽略。在共振区 之外阻尼对β的影响较小，可按 无阻尼计算。
阻尼对振动的影响
Contents
1 2 3
阻尼基本介绍
阻尼对自由振动的影响
阻尼对强迫振动的影响
单自由度体系有阻尼振动
一、阻尼基本介绍
1、阻尼的两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量； 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
（1）振动方程的解 特征方程
2 0
2 2
设解为：
y Be
t
特征值
一般解
1,2 ( 2 1),
y(t ) B1e B2e
ξ =1
1t
2t
ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。
ξ ＞1 ξ＜1
大阻尼
临界阻尼
小（弱）阻尼
β ξ=0 ξ=0.1
共振时 1 2
4.0
3.0 2.0 1.0 0
ξ=0.2
ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=1.0 1.0 2.0
θ/ω 3.0
单自由度体系有阻尼振动
考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
3．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害 [ ] A．6m/s B．12m/s C．24m/s D．48m/s
单自由度体系有阻尼振动
1．两个弹簧振子，甲的固有频率是100Hz，乙的固有频率 是400Hz，若它们均在频率是300Hz的驱动力作用下做受迫振动， 则[ ] A．甲的振幅较大，振动频率是100Hz B．乙的振幅较大，振动频率是300Hz C．甲的振幅较大，振动频率是300Hz D．乙的振幅较大，振动频率是400Hz
2．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是 2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害 [ ] A．6m/s B．12m/s C．24m/s D．48m/s
3．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害 [ ] A．6m/s B．12m/s C．24m/s D．48m/s
单自由度体系有阻尼振动
1．两个弹簧振子，甲的固有频率是100Hz，乙的固有频率 是400Hz，若它们均在频率是300Hz的驱动力作用下做受迫振动， 则[ B ] A．甲的振幅较大，振动频率是100Hz B．乙的振幅较大，振动频率是300Hz C．甲的振幅较大，振动频率是300Hz D．乙的振幅较大，振动频率是400Hz
单自由度体系有阻尼振动
（b）阻尼对振幅的影响
振幅
Ae
t
阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而 作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结 构停止振动。 y k 1 T 常数 相邻两个振幅的比: y e k 振幅按等比级数递减.
yk 2 T ln lne T y k 1 r