到期收益率__债券价格_久期_凸性_计算_公式(Excel)
到期收益率的excel计算
1.用YIELDDISC函数直接计算贴现国债的年收益率它的使用格式为：=YIDELDDISC（债券结算日，债券到期日，债券价格，兑付价格，债券日期计算基本类型）债券日期计算基本类型：0??美国30／360基准，为缺省值；1??实际日期／实际日期；2??实际日期／360；3??实际日期／365；4??欧洲30／360基准。
例1：1997年8月1日9701国债（二年期贴现式，1997年1月22日发行）在上海证券交易所的收盘价是88.30元，用Excel求当日该券复利收益率。
解：进入Excel，打开一新工作表，在新工作表的任一单元格中键入：=YIELDDISC（datevalue(“97/08/01”),datevalue(“99/01/22”),88.3,100,0）按回车后，该单元格中即显示出所要求的结果为：8.983％。
2.用POWER函数间接求零息国债的年收益率零息国债的复利率收益率公式为：我们用Excel中的POWER函数可以求出，再减去1，就得到了零息国债的年收益率。
POWER函数的功能是用指定的幂指数对一个数进行求幂，它的格式为：=POWER（底数，指数）如：POWER（4，2）=42=16因此，用Excel计算零息国债年收益率的公式为：Y=POWER（F／V，1／T）－1 。
例2：1997年7月10日上海证券交易所796国债的收盘价是109.53元，已知该国债票面利 0.96％，三年期，1999年8月6日到期。
试用Excel求当日该券的复利率收益率。
解：进入Excel，打开一新工作表，在新工作表的任一单元格中键入：=POWER（100（10.96％＊3＋1）/109.53,1/757/365）－1按回车后，该单元格中即显示出所要求的结果为：9.66％。
3.用POWER函数间接求附息国债年收益率附息国债的计算公式是将上式两边都乘以（1＋Y），则得到将两式相减，则有式中：P??附息国债价格；I??每年利息；M??到期本金；Y??到期收益率；n??附息国债到期年数取整；h??从现在到下一次付息不满一年的时期。
到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。
它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。
债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。
久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。
凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：二、债券价格的计算公式：债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计算债券的久期。
修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期限相比较得到债券的久期。
Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动越不敏感。
四、凸性的计算公式：凸性的计算可以使用修正凸性法。
修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。
修正凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。
了解这些指标的计算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
到期收益率的两种算法
债券的收益率与久期假设债券在未来时间1t ，2t ，…，n t ，有现金流1C ，2C ，…，n C ，其中包括付息及到期兑付现金流。
则1）对每年付息1次的债券，1t ，2t ，…，n t 之间的间隔为1；2）对每年付息2次的债券，1t ，2t ，…，n t 之间的间隔为0.5。
假设当前时间为t ，价格为P 。
以下为几个常用指标的计算公式。
1．到期收益率：以1年为时间单位的算法以1年为时间单位计算的到期收益率y ，计算公式为：t t n t t t t n y C y C y C P ---++++++=)1()1()1(2121 2．到期收益率：bond equivalents 算法以半年为时间单位计算，然后换算为1年的到期收益率BE y ，)(2)(22)(21)2/1()2/1()2/1(21t t BE n t t BE t t BE n y C y C y C P ---++++++= 3．到期收益率：人民银行公式人民银行“银货政[2001]51号”文件所给出的计算公式为 111)/1()/1(/)/1(/)/1(/-+-+++++++++=n w n w w w f y M f y f C f y f C f y f C PV 以上公式实际上同时包含了两种算法。
1）对于1年付息1次的情况，1=f ，以上公式给出收益率y ；2）对于1年付息2次的情况，2=f ，以上公式给出收益率BE y 。
如果需要比较不同债券的到期收益率，应该用同一种算法。
也就是说，可以全部选择使用y ，或者全部选择使用BE y 。
而不能将一个债券的y 与另一个债券的BE y 进行直接比较。
这一点非常重要。
4．修正久期与凸性修正久期与凸性都是利率风险指标，衡量债券价格对利率变化的敏感性。
具体地说，有公式2)(*/2dy C dy D P dP +-=其中，dy 表示收益率的变化，dP 表示价格的变化，*D 表示修正久期，C 表示凸性。
债券凸性的计算公式
债券凸性的计算公式：对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为C，它的现值为，那么债券的理论价格就是各期现金流的现值和下面我们来求的泰勒级数前三项展开式．的一阶导数为111(1)Ttttt CFy y=⨯=-++∑的二阶导数为21(1)1(1)(1)Ttttt t CFy y=+=++∑根据泰勒级数公式，债券价格的近似计算公式为将一阶导数和二阶导数代入上式，有：或者令令1111(1)(1)(1)T Tt tt tt tt CF CFdPDP dy y y y==⨯=-=÷+++∑∑是债券现金流的加权平均期限，被称为久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流的现值占整个现金流的百分比，修正值D*=D*，经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标．令22211(1)11(1)(1)(1)T Tt tt tt tt t CF CFd PCP dy y y y==+==÷+++∑∑被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积的加权修正值，权数是现金流的现值占整个现金流的百分比，不同于久期的是，其修正值为．因此，债券价格的近似公式简化为：=。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限，其实是对久期的一种片面的理解，而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期（也称持续期）是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息，y=到期收益率，n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数，到期收益率越高，久期越小，债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时，债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形，得到：我们将的绝对值称作修正久期，它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到：在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到：由于P0是理论现值，为常数，因此，债券价格曲线 P与P /P 0有相同的形状。
由公式7, 在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期，而债券价格曲线 P的斜率为P0 X（修正久期）。
稳定性。
修正久期越大，斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大，y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下，修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系，这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图，对于债券B '，当收益率分别从y上升到y1或下降到y2, 由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1 'P1"和P2 'P2"的误差。
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式债券相关指标计算一、名词解释在本文中，下列名词具有以下含义：（一）零息债券：债券发行人在债券期限内不支付任何利息，至到期兑付日按债券面值进行偿付的债券。
（二）固定利率债券：债券发行人按固定票面利率定期支付利息的债券。
（三）浮动利率债券:债券发行人根据一定规则调整票面利率,并依此利率定期支付利息的债券。
（四）到期一次还本付息债券：发行时规定票面利率、但是在到期兑付日前不支付利息，全部利息至到期兑付日和本金一同偿付的债券。
（五）日计数基准：债券市场中计算应计利息天数和付息区间天数时采用的基准，如“实际天数/实际天数”、“实际天数/365”、“30/360”等。
（六）理论付息日：对零息债券和到期一次还本付息债券，债券期限内每年与到期兑付日相同的日期。
如零息债券A到期兑付日为2022年8月10日，则债券期限内每年的8月10日为债券A的理论付息日。
二、日计数基准银行间债券市场（包括债券回购交易）日计数基准为“实际天数/实际天数”，即应计利息天数按实际天数计算（算头不算尾），一年按实际天计算。
注：1，银行间债券闰年的2.29日是计算利息的，之前的版本不算利息；对于交易所债券来说2.29还是不计算利息的2，付息周期的实际天数是指下一个付息日与上一个付息日之间的实际天数，算头不算尾，含闰年的2月29日；计息年度是指发行公告中标明的第一个起息日至次一年度对应的同月同日的时间间隔为第一个计息年度，依此类推。
三、债券全价中内含应计利息的计算应计利息的计算需注意债券基础数据的准确。
涉及到债券基本信息、债券利率、债券所处时点的前后付息日期几个关键的数据。
应计利息计算公式如下：1．对固定利率债券和浮动利率债券，每百元面值的应计利息额为：AICftTS（1）其中：AI:每百元面值债券的应计利息额；C：每百元面值年利息，对浮动利率债券，C根据当前付息期的票面利率确定；：起息日或上一付息日至结算日的实际天数。
利用 Excel 计算终值、现值、年金、期限、收益率与久期
第1个财务函数FV(Rate，Nper，Pmt，Pv，Type)是计算终值FV，
计算时：
先输入第1个自变量“贴现率（每一期的复利率）Rate”的值r；
再输入第2个自变量“年限（或期数）Nper”的值n；
接着再输入第3个自变量“年金（或每期现金流金额）Pmt”的值A，如果计算的不是年金问题，而只是计算现在一笔现金P在n年（或期）以后的终值FV，那末第3个自变量“年金Pmt”的值取为0，这表示计算的不是年金问题；
这5个自变量的排列次序，依次为：
FV(Rate，Nper，Pmt，Pv，Type)；
PV(Rate，Nper，Pmt，Fv，Type)；
PMT(Rate，Nper，Pv，Fv，Type)；
NPER(Rate，Pmt，Pv，Fv，Type)；
RATE(Nper，Pmt，Pv，Fv，Type)。
计算这5个财务函数时，都要相应地按上述这些函数中5个自变量的排列次序，输入这5个自变量的值。其中最后一个自变量Type，只取值0或1：如果现金流发生在年末（或期末），Type就取值0或忽略；如果现金流发生在年初（或期初），Type就取值
利用Excel计算终值、现值、年金、期限、收益率与久期
利用Excel中的5个财务函数FV、PV、PMT、NPER与RATE，可以相应地依次快捷计算终值FV、现值PV、年金金额（或每期现金流金额）
A、年限（或期数）n与收益率（每一期的复利率）r。这5个财务函数FV、PV、PMT、NPER与RATE，都有5个自变量。
接着再输入第4个自变量“现值Pv”的值P，如果计算的不是现在一笔现金P在n年（或期）以后的终值FV，而计算的是年金问题，那末第4个自变量“现值Pv”的值取为0；
最后，输入最后一个自变量Type的值，如果现金流发生在年末（或期末），Type就取值0或忽略，如果现金流发生在年初（或期初），Type就取值
凸性与债券价格非付息期的计算
一.久期与凸性1、久期（仅针对分次附息债券.一次还本债.贴现债久期=剩余期限）（1） 久期含义：与剩余期不同，它指债券未来一系列现金流入的平均到期时间，即完全收回本金利息的加权平均年数。
可从期限角度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。
简化公式 （2）Macaulay 久期计算 D=1()()=⨯∑Tt PV ct tPD 1=1×[C 1/(1+r)]/p 0+2×[C 2/(1+r)2/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r)n]/p 0当每次现金流相同,公式简化为:D 1=011/(1)()(1)-+--+〈〉⨯nr cn n r p r r每年一次现金流D 1=22011/(1/2)/22()2(1/2)/2-+--+〈〉⨯nr c n n r p r r 半年一次现金流 甲债券,3年为期,年息票80元,面值1000元,到期收益率10%,现市价950.24元.求久期?D 1=1×[80/(1+0.1)]/950.24+2×[80/(1+0.1)2/950.24]+3×[(80+1000)/(1+0.1)3]/950.24 =1×0.0766 +2×0.0696+3×0.8539=2.78年（3）修正久期: D 2 = D 1/1+r(差异在于D 1用连续复利, D 2用离散复利,常用后者) (4) Fisher —w eil 久期:D 3 =1×[C 1/(1+r 1)]/p 0+2×[C 2/(1+r 1)(1+r 2)]/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r 1)(1+r 2)…(1+r n )]/p 0(差异在于r 随时而变) r 1、r 2…r n 用期限结构曲线计算。
组合D=1=∑ni it W D11==∑nit W其它久期计算:永久年金债券D=(1+ r)/ r固定年金债券D=[(1+ r)/r]－T/[(1+ r)T－1]T-年金支付次数 r-年金率带息债D=(1+ r)/r －{(1+ r)＋T(c －r)/c[(1+ r)T－1]＋r}c-每个付息期间息率 T-利息支付次数债券以面值出售时, D=[(1+ r)/r][1－1/(1+ r)T] 2.久期性质1)零息债息债久期=到期期限,有息债久期<到期期限 2)距到期日时间一定时,息票率越低,其久期越长, 3)当息票率一定时, 久期随距到期日时间延长而延长 4)其它因素不变, 到期收益率越低, 其久期越长, 3．久期与债券价格变化关系D 1 =1∆-+r r /∆PP ∆P P =11∆-+r D r ∆P P= —D 2×∆r 例: 乙债券, D 1为10年,到期收益率8%,现市价1000元.如r 由8%上升到9%,市价为多少?∆P P=11∆-+r D r = －10×((0.09－0.08)/1+0.08 = －9.26%∆P = －10×((0.09－0.08)/1+0.08×1000 =－92.6元P ＋∆P =1000－92.6 =907.4元4．债券凸性（1） 凸性定义；价格收益曲线弯曲度量值收益率图中切线表示为：p(r+∆r )=p(r)+(dp/dr)∆r因dp/dr =—D 2×p(r) 故：p(r+∆r )=p(r)—D 2×p(r)∆r—D 2×p(r)为曲线的斜率，斜率与修正久期关联。
利用 Excel 计算终值、现值、年金、期限、收益率与久期
利用Excel 计算终值、现值、年金、期限、收益率与久期利用Excel 中的5 个财务函数FV、PV、PMT、NPER 与RATE，可以相应地依次快捷计算终值FV、现值PV、年金金额（或每期现金流金额）A、年限（或期数）n 与收益率（每一期的复利率）r。
这5 个财务函数FV、PV、PMT、NPER 与RA TE，都有5 个自变量。
这5 个自变量的排列次序，依次为：FV(Rate，Nper，Pmt，Pv，Type)；PV(Rate，Nper，Pmt，Fv，Type)；PMT(Rate，Nper，Pv，Fv，Type)；NPER(Rate，Pmt，Pv，Fv，Type)；RA TE(Nper，Pmt，Pv，Fv，Type)。
计算这5 个财务函数时，都要相应地按上述这些函数中 5 个自变量的排列次序，输入这5 个自变量的值。
其中最后一个自变量Type，只取值0 或1：如果现金流发生在年末（或期末），Type 就取值0 或忽略；如果现金流发生在年初（或期初），Type 就取值1。
当其中的自变量Pmt 取为零时，计算机就自然默认为处理的是简单现金流量问题（可以认为这是一个广义的年金问题，只是其中的年金为0）：只有一开始的现金流入量Pv，或者最后的现金流入量Fv。
当其中的自变量Pv 或Fv 取为零时，计算机就自然默认为处理的是年金问题。
计算年金问题时，其中的自变量Pv 或Fv 都可以不取为零：Pv 是指一开始的现金流入量，Fv 是指最后的现金流入量。
例如，RATE(36，4，－100，100，0)＝4%，其中：第1 个自变量Nper 是指收付年金的次数，第 2 个自变量Pmt 是指年金流入的金额，第 3 个自变量Pv 是指一开始的现金流入量，第 4 个自变量Fv 是指最后的现金流入量，最后一个自变量Type 取0 是指年金都是在期末流入的。
以下再详细说明第1 个财务函数的计算方法。
其余财务函数的计算方法类似。
到期收益率,久期,凸性
以下算法来自央行 《中国人民银行关于全国银行间债券市场债券到期收益率计算有关事项的 通知》。 到期收益率按照央行规则，分为以下 4 种情况进行计算： 1. 对于处于最后付息周期的固定利率债券和浮息债、 待偿期在一年及以内的到期一次还本 付息债券和零息债券、贴现债。到期收益率按单利计算。 y= ������������ − ������������ D ÷ PV TY
其中， Ci 为债券的当期票面年利率；
f 为债券每年的付息次数；如果债券一年付息一次，则 f 1
w
d ； TS
其中 d为债券结算日到下一次付息日的实际天数，含2月29日。 （新老版本差异： 老：交易所债券：结算日至下一付息日的实际天数，不含 2 月 29； 新：交易所债券：结算日至下一付息日的实际天数，含 2 月 29； ）
∆r为发行时指定利差 TS1 ：银行间市场：本付息期的实际天数，含 2 月 29。 交易所市场：365/f n：结算日至到期兑付日的付息次数； 方式二： 处理为下一次付息就为到期的债券 y= M+
R+∆r f
∗ M − ������������
PV
÷
D TS
y：到期收益率； R: 本付息周期利率 f:付息频率 PV：债券全价；
修正久期：D������ = ������/(1 + ������ ∗ ������) 其中 r 为债券的年化到期收益率， 2. 对于不处于最后一次付息周期的付息债券（浮息债除外）或者待偿期在一年以上的到期 一次还本付息的债券（零息券）以及贴现券： 麦克劳林久期： 公式如下：
D
1 n1 (Ci / f ) ( w i) F (w n 1) ( ) f P i 0 (1 y / f ) wi (1 y / f ) wn 1
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范，利率风险逐渐显现的今天，如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是19３8年由F.Ｒ．Macａuｌaｙ提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中，P=债券现值,Ｃｔ=每年支付的利息，y=到期收益率,ｎ=到期期数,M=到期支付的面值。
ﻫ可见久期是一个时间概念，是到期收益率的减函数,到期收益率越高，久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间，但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度，因此引入了修正久期的概念。
ﻫ修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P求导并加以变形,得到: ﻫ我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
ﻫ由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下，P为常数,我们记作P０,即得到:ﻫ由于P０是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P0的斜率为修正久期，而债券价格曲线P的斜率为P0×（修正久期）。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大，P对ｙ的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见，同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
债券凸性公式
债券凸性公式债券久期刻画的是债券价格对利率的一阶敏感性。
但是，如何刻画利率变化的剧烈程度对债券价格的影响呢？这个时候就需要从数学上计算债券价格对收益率的二阶导数了。
我们把这种二阶导数称为债券的凸性，它是对久期指标的进一步补充。
同样，债券的凸性也分为凸性和有效凸性。
下面，我们对其进行详细描述。
一、凸性凸性（Convexity）反映的是债券的价格对利率的二阶敏感度，体现的是到期收益率的波动对债券价格的影响程度。
计算公式如下：一般来说，债券的凸性可从资讯数据中获取，如为银行间债券，则优先取中债推荐估价凸性，其次取中证估价凸性，最后取系统模型计算的凸性；如为交易所债券，则优先取中证估价凸性，其次取中债估价凸性，最后取系统模型计算的凸性。
二、有效凸性与有效久期一样，上述凸性的计算公式仅适用于固定利率债券，对于浮动利率或含权债，需要根据公式来计算有效凸性。
计算公式如下：组合的凸性和有效凸性为债券的凸性加权计算得到：三、进一步解释我们对债券价格的泰勒展开式进行了推导，如下：从上面的公式中可以看到，考察利率变动对债券价格的影响程度不仅需要考虑一阶线性近似，也需要考虑二阶近似，好比用高阶多项式来拟合曲线比直线拟合效果更好。
此外，当利率上移时，由于有凸性的存在，债券价格的下跌幅度将减小；当利率下降时，同样由于凸性的存在，债券价格的上涨幅度将增大。
因此，凸性对债券价格起到了保护作用。
当利率上涨时，债券价格涨得更快；当利率下跌时，债券价格跌得更慢。
正是因为上述凸性的性质，对投资者来说，债券的凸性越大越好，但往往凸性已经体现在债券的价格或收益率中了，凸性越大的债券收益率越低或价格越高。
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标关于久期，一篇科普性质的文章可见：本文将稍显晦涩。
关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。
我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。
用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则：到期收益率曲线非水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}}特殊地，到期收益率曲线水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}久期在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。
如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：\operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。
我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：\begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname dy_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y\end{aligned}有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上式也可以写成：\begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned}出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over\operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。
用Excel计算国债到期收益
用Excel计算国债到期收益国债作为一种重要的投资品种日益受到人们的关注。
要进行国债的买卖必须先计算到期收益率，国债到期收益率的计算力求精确，尤其是附息国债的收益率计算涉及到幂的计算，十分繁杂，用手工算法来求可谓事倍功半，目前市场上还没有成熟的专业国债分析软件来实现这一功能。
这里向你介绍一种利用Microsoft 的Excel5.0来计算国债到期收益率的方法。
需要注意的是，Excel一般只计算复利收益率。
Excel的函数精灵fx 提供了一组实现特定任务的函数，它们与计算和分析各种债券的收益率有关。
所有这些函数都是“分析工具库”嵌入宏的一部分。
如果你打开函数精灵后未找到这些函数，则可能是由于你没有安装“分析工具库”嵌入宏。
要安装这个嵌入宏很简单，只要从“工具”菜单下选择“加载宏”命令，再从“加载宏”列表框中选择“分析工具库”，单击确定即可。
如果“分析工具库”未列在“加载宏”列表框中，则必须再次运行Excel安装程序以便加入“工具库”模块。
下面对具体算法的实现进行举例说明。
1.用YIELDDISC函数直接计算贴现国债的年收益率它的使用格式为：=YIDELDDISC（债券结算日，债券到期日，债券价格，兑付价格，债券日期计算基本类型）债券日期计算基本类型：0——美国30／360基准，为缺省值；1——实际日期／实际日期；2——实际日期／360；3——实际日期／365；4——欧洲30／360基准。
例1：1997年8月1日9701国债（二年期贴现式，1997年1月22日发行）在上海证券交易所的收盘价是88.30元，用Excel求当日该券复利收益率。
解：进入Excel，打开一新工作表，在新工作表的任一单元格中键入：=YIELDDISC（datevalue(“97/08/01”),datevalue(“99/01/22”),88.3,100,0）按回车后，该单元格中即显示出所要求的结果为：8.983％。
2.用POWER函数间接求零息国债的年收益率零息国债的复利率收益率公式为：我们用Excel中的POWER 函数可以求出，再减去1，就得到了零息国债的年收益率。