运输问题-表上作业法
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4-02运输问题表上作业法
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
最小元素法实施步骤口诀
《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销； 满足销量划去“列”，修改“行产”要记
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
（3-6）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
运输问题 表上作业法
A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
第二节运输问题求解表上作业法
2
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
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表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
运输问题的表上作业法
表八
B1
B2
B3
B4
行差额
A1
3
1
3
10
0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10
5
1
列差额 2
5
1
3
（2）在行差额和列差额中选出最大者，并选择其所对应的行或列中的最小元素来 安排调运方案。本例中，差额最大为“5”，是列差，该列中最小运价为“4”，即 A3首先供应B2，观察产销平衡表，A3仓库储存9吨，零售店B2需求6吨，则运往6吨， B2的需求全部被满足，在单位运价表中划去B2列，如表十一所示。
产地 销地 A1 A2 A3 销量
产地 销地 A1 A2 A3
表三 产销平衡表
B1
B2
B3
B4
3
1
3
6
5
6
表四 单位运价表
B1
B2
B3
3
11
3
1
9
2
7
4
10
产量 7 4 9
B4 10 8 5
（3）在单位运价表中未划去的元素中找到最小运价“3”（A1到B3的运价），A1存储 量为7吨，B3还缺少4吨，故从A1配送给B34吨，B3的需求全部被满足，A1剩余7-4=3吨， 在单位运价表中划去B3所在列。结果如表五和表六所示。
表五 产销平衡表
产地
B1
销地
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
4 1
6
5
6
表六 单位运价表
产量
7 4 9
产地
B1
B2
经济管理决策分析方法第六章2-运输问题-表上作业法
A B C
销量（bj）
3
6
5
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
表4-6 A B C 销量（bj） 表4-7 甲 乙 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丙 4 1 6 6 3 5 6 丁 10 8 5 6 丁 3 产量（ai） 7 4 9
表上作业法
第一步 确定初始基可行解
与一般的线性规划不同，产销平衡的运输问
题一定具有可行解（同时也一定存在最优 解）。 最小元素法(the least cost rule)。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位 运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此 类推，一直到给出基本方案为止.
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20， 非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
=80+100-（90+75）=15。 经济含义：在保持产销平衡的条件下，该非 基变量增加一个单位运量而成为基变量时目 标函数值的变化量。
表4-30 A B
甲 11 = 1 3
31 = 10 3 销量（bj） C
乙 12 = 2 22 = 1 6 6
丙 4 1 33 = 12 5
丁 3
24 = -1 3 6
产量（ai） 7 4 9
表4-33 乙 12 = 2 22 = 1 6 31 = 10 3 6 销量（bj） A B C 表4-34 甲 乙 丙 4 1 丁 3
运输问题的表上作业法
6 2
2 0
6
产量 4 4 3
退化的处理〔第2步〕
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2024/9/22
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1 3
3
3
5
2
D3
产量
7
4
4
6
2
4
2
02
3
6
单位物品的运价是cij; 问题：如何调运物品才能使总运费最小？
2024/9/22
数学模型
mn
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij si , i 1,2 , , m
j1
s .t .
m
x ij
di,
j 1,2, , n
i1
x
ij
0,
i
1, 2 ,
,m;
j
1, 2 ,
运价为15，故增加15
(S2, D5)
减少17
(S1, D5)
增加13
(S1, D3)
减少13
(S2, D3)
目标函数总变化：15-17+13-13=-2，即增加(2,5)一单位运量可使总运费降低2单位。
2024/9/22
解的改进
换入量确实定：检验数为负数且绝对值最大的 那个空格为换入量；
换出量确实定： 以闭合回路顺时针方向，空格为第1个奇数顶
点，编号为1，依次对所有顶点编号。 可分为奇数顶点和偶数顶点 偶数顶点中的运输量最小顶点，作为空格所要
增加的运量 奇数顶点和偶数顶点的计算
2024/9/22
2 0
6
产量 4 4 3
退化的处理〔第2步〕
产地
销地
S1
S2
S3 销量
2024/9/22
运输表
D1
D2
8
5
2
0
49
4 2
1 3
3
3
5
2
D3
产量
7
4
4
6
2
4
2
02
3
6
单位物品的运价是cij; 问题：如何调运物品才能使总运费最小？
2024/9/22
数学模型
mn
min z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij si , i 1,2 , , m
j1
s .t .
m
x ij
di,
j 1,2, , n
i1
x
ij
0,
i
1, 2 ,
,m;
j
1, 2 ,
运价为15，故增加15
(S2, D5)
减少17
(S1, D5)
增加13
(S1, D3)
减少13
(S2, D3)
目标函数总变化：15-17+13-13=-2，即增加(2,5)一单位运量可使总运费降低2单位。
2024/9/22
解的改进
换入量确实定：检验数为负数且绝对值最大的 那个空格为换入量；
换出量确实定： 以闭合回路顺时针方向，空格为第1个奇数顶
点，编号为1，依次对所有顶点编号。 可分为奇数顶点和偶数顶点 偶数顶点中的运输量最小顶点，作为空格所要
增加的运量 奇数顶点和偶数顶点的计算
2024/9/22
第四章-运输问题
初始基本可行解
是否最优解？ Y
结束
寻找新的基本可行解 N
步骤1：初始基本可行解的确定
❖西北角法：从 x11开始分配，从西北向东南方 向逐个分配；
❖ 最小元素法：采用最小费用优先分配的原则；
步骤2：最优解的检验-位势法
检验数的公式为：
ijcij(ui vj)
其中 u i , v j 分别称为行位势、列位势。
结论：
（1）基变量所对应的检验数： ijcij(uivj)0 （2）若非基变量所对应的检验数 ijcij(uivj)0
当前解即为最优解；
步骤3：寻找新的基本可行解-闭回路法
闭回路： 从进基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，每
碰到数字格转90o（有些情况也可以不改变方向）继续前 进，直到回到出发的空格为止，由此形成的封闭的折线称 为闭回路。
销地 产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
❖ 其中， B3的销量必须得到满足。请问，应如何调运产 品，使得总运费最少？
4.某公司有从三个产地A1，A2， A3 ，将物品运送到三 个销地B1，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、 各产地到各销地的单位运价如下表所示：
9
销量
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基 本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单 位运价如下表所示：
运输问题表上作业法
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
=80+100-（90+75）=15。
得到初始调运方案为： x11=100,x13=100,x22=150,x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 *100 60* 5 15 100 *100 3087
2西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务,而是优先满足运输表中西北角左上角 上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
取
中ij最小0者对应的变量为换
入变量；
2、当迭代到运输问题的最优解时,如果 有某非基变量的检验数等于0,则说明该 运输问题有多重最优解；
3当运输问题某部分产地的产量和,与某部分销 地的销量和相等时,在迭代过程中间有可能有某 个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行 和一列,这时就出现了退化.为了使表上作业法 的迭代工作能顺利进行下去,退化时应在同时划 去的一行或一列中的某个格中填入0,表示这个 格中的变量是取值为0的基变量,使迭代过程中 基变量个数恰好为m+n-1个.
u 1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
运输问题的模型及表上作业法
04
CATALOGUE
表上作业法的实际应用
货物调运问题
总结词
货物调运问题是指如何合理安排货物的运输 ，以最小化运输成本。
详细描述
在货物调运问题中，需要考虑货物的来源、 目的地、运输方式、运输距离和运输成本等 因素。通过表上作业法，可以找到最优的运
输方案，使得总运输成本最低。
车辆调度问题
总结词
车辆调度问题是指如何合理安排车辆的运行，以最小化车辆的空驶和等待时间。
资源限制
运输问题的资源限制包括供应量 、需求量、运输能力等，这些限 制条件要求在运输过程中不能超 过资源的最大供应或需求量。
距离限制
运输问题的距离限制通常以运输 距离或运输时间为标准，要求在 运输过程中尽量缩短距离或时间 。
质量限制
在某些情况下，运输问题的质量 限制包括货物的质量、运输工具 的质量等，要求在运输过程中保 证货物的质量和运输工具的安全 。
02
CATALOGUE
运输问题的数学模型
变量与参数
变量
表示各供应地应向各需求地运输的货物量。
参数
包括各供应地的供应量、各需求地的需求量、各供应地到各需求地的单位运输费用和各货物的单位运 价。
目标函数
• 最小化总费用：目标是找到一组 运输方案，使得总运输费用最小 。
约束条件
供需平衡约束
每个供应地的供应量等于其对应需求地的需求量。
运输问题的模型及 表上作业法
contents
目录
• 运输问题概述 • 运输问题的数学模型 • 表上作业法 • 表上作业法的实际应用 • 表上作业法的优化与改进
01
CATALOGUE运输问题概述Fra bibliotek定义与特性
运筹学运输问题表上作业法资料
4
3
3
10
7
1
9
2
3
1
84
7
4
6
10
5
3
9
36
56
34
31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？
3
3
10
7
1
9
2
3
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31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？
运输问题的求解方法
第3节 运输问题的求解方法 ——表上作业法
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
产销不平衡的运输问题的求解方法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
P ,P ,P ,P ,P B ik lk ls us uj
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解,在产销平衡表上给出 m+n-1个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。 xi ,n1 设 是产地Ai的储存量，于是有
n n 1 xij xi,n1 xij ai (i 1,2,, m) j 1 m j 1 xij b j ( j 1,2, n) m i 1 m n x i ,n 1 ai b j bn 1 i 1 j 1 i 1
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
产销不平衡的运输问题的求解方法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
P ,P ,P ,P ,P B ik lk ls us uj
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解,在产销平衡表上给出 m+n-1个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。 xi ,n1 设 是产地Ai的储存量，于是有
n n 1 xij xi,n1 xij ai (i 1,2,, m) j 1 m j 1 xij b j ( j 1,2, n) m i 1 m n x i ,n 1 ai b j bn 1 i 1 j 1 i 1
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3.表上作业法的基本步骤
（1）找出初始基可行解： m+n-1个数字格（基变
量）； （2）求各非基变量（空格）的检验数。
（3）确定入基变量，若min{ ij | ij 0} lk ,那么
选取xij为入基变量；
（4）确定出基变量，找出入基变量的闭合回路； （5）在表上用闭合回路法调整运输方案； （6）重复2、3、4、5步骤，直到得到最优解。
下面就以表4-6中给出的初始基可行解（最 小元素法所给出的初始方案）为例，讨论闭合 回路法。
表4-24 甲 A B C （+3） 3 -1） （ 6 6 乙 丙 4（-3） 1 （+2） 3 6 丁 3 产量（ai） 7 4 9
3 5 销量（bj） 从表4-6给定的初始方案的任一空格出发寻找闭合回路，如对 于空格（A，甲）在初始方案的基础上将A生产的产品调运一个 单位给甲，为了保持新的平衡，就要依次在（A，丙）处减少 一个单位、（B，丙）处增加一个单位、（B，甲）处减少一个 单位；即要寻找一条除空格（A，甲）之外其余顶点均为有数 字格（基变量）组成的闭合回路。表4-24中用虚线画出了这条 闭合回路。闭合回路顶点所在格括号内的数字是相应的单位运
最小元素法的应用（以引例4-1为例）
表4-1
A B C 销量（bj） 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丁 10 8 5 6 产量（ai） 7 4 9
第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4-3.
2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质
上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。
4.2
表上作业法
表上作业法 表上作业法与单纯形法的关系 表上作业法的基本步骤 确定初始基可行解 最小元素法的基本步骤 伏格尔法
三、 运输问题的求解
1.表上作业法
运输问题的求解采用表上作业法，即用列 表的方法求解线性规划问题中的运输模型的 计算方法，实质上是单纯形法。 表上作业法是一种特定形式的单纯形法， 它与单纯形法有着完全相同的解题步骤，所 不同的只是完成各步采用的具体形式。
表4-24 甲 A 乙
B C
销量（bj）
（+3） 3 -1） （
3 6 6
丙 4（-3）
丁 3 3 6
产量（ai） 7
1 （+2）
5
4 9
对应这样的方案调整，运费会有什么变化呢？可以
看出（A，甲）处增加一个单位，运费增加3个单位； 在（A，丙）处减少一个单位，运费减少3个单位；在 （B，丙）处增加一个单位，运费增加2个单位；在 （B，甲）处减少一个单位，运费减少1个单位。增减 相抵后，总的运费增加了1个单位。由检验数的经济 含义可以知道，（A，甲）处单位运量调整所引起的 运费增量就是（A，甲）的检验数，即σ 11=1。
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空
格的检验数，表4-25～表4-30展示了各 检验数的计算过程，表4-30给出了最终 结果。可以证明，对初始方案中的每一 个空格来说“闭合回路存在且唯一”。
表4-25
甲
A B
11 = 1 3
乙
（+11）
丙
4 1
丁
3（-10）
产量（ai）
7 4
C
销量（bj） 表4-26
4.2.2
基可行解的最优性检验
对初始基可行解的最优性检验有闭合回路法
和位势法两种基本方法。闭合回路法具体、 直接，并为方案调整指明了方向；而位势法 具有批处理的功能，提高了计算效率。 所谓闭合回路是在已给出的调运方案的运输 表上从一个代表非基变量的空格出发，沿水 平或垂直方向前进，只有遇到代表基变量的 填入数字的格才能向左或右转90度（当然也 可以不改变方向）继续前进，这样继续下去， 直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭 折线叫做闭合回路。一个空格存在唯一的闭 回路。
丙
4（+3） 1（-2）
丁
3（-10） （+8） 3
产量（ai）
7 4 9
5
6
表4-28
甲 A
11 = 1
乙
12 = 2
丙
4（-3）
丁
3（+10）
产量（ai）
7
B C
销量（bj）
3
22 = 1
6 6
1
（+10） 5
24 = -1
3（-5） 6
4
9
3
表4-29 甲 A B C 销量（bj） 表4-30 A
甲
A B C 销量（bj） 3 3 甲 3 1 7 3
表4-2 乙
丙
丁
产量（ai） 7 4 9
6 表4-3 乙 11 9 4 6
5 丙 3 2 10 5
6 丁 10 8 5 6 产量（ai） 7 4 9
A B C
销量（bj）
表4-3 A B C 销量（bj） 甲 3 1 7 3 乙 11 9 4 6 丙 3 2 10 5 丁 10 8 5 6 产量（ai） 7 4 9
表4-6 A B C 甲 3 1 7 乙 11 9 4 丙 3 2 10 丁 10 8 5 6 丁 3 3 5 6 产量（ai） 7 4 9
销量（bj）
表4-7
3
甲
6
乙
5
丙 4 1
A B C
销量（bj）
3 3 6 6
产量（ai） 7 4 9
最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见
表4-6。这一方案的总运费为86个单位。
4、确定初始基可行解
与一般的线性规划不同，产销平衡的运输问
题一定具有可行解（同时也一定存在最优 解）。 最小元素法（the least cost rule）和伏格尔法 （Vogel’s approximation method）。 最小元素法 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位 运价表中最小的运价开始确定产销关系，依此 类推，一直到给出基本方案为止.
产量（ai） 4 4 12
8.伏格法尔法
每次从当前运价表上，计算各行各列 中两个最小运价之差值（行差值hi，列差 值kj），优先取最大差值的行或列中最小 的格来确定运输关系，直到求出初始方案。
8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤：
1.计算每行、列两个最小运价的差； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。
表4-1 A B C 甲 3 1 7 乙 11 9 4 丙 3 2 10 丁 10 8 5 产量（ai） 7 4 9
销量（bj）
表4-12 A B C
两最小元素之差
3
甲 3 1 7
6
乙 11 9
5
丙 3 2 10 丁 10 8 5
6
两最小元素之差
4
0 1 1
2
5
1
3
表4-13
甲 A B C 销量（bj） 3 甲 3 乙 丙 丁 产量（ai） 7 4 9 5 乙 11 丙 3 6 丁 10
1.闭合回路
所谓闭合回路法，就是对于代表非基变量的
空格（其调运量为零），把它的调运量调整 为1，由于产销平衡的要求,我们必须对这个 空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少1。 最后我们计算出由这些变化给整个运输方案 的总运输费带来的变化。如果所有代表非基 变量的空格的检验数也即非基变量的检验数 都大于等于零，则已求得最优解，否则继续 迭代找出最优解。
2
表4-17
甲
A B
乙
丙
丁
3
3
C
销量（bj） 表4- 18 A B C
两最小元素之差
6
6 5
3
6
产量（ai） 7 4 9
甲 3 1 7
乙 11 9 4
丙
3
2 10
丁 10 8 5
两最小元素之差
7
6
1
2
表4-19
甲
A B C 销量（bj） 表4-20 甲 3 1 7
两最小元素之差
乙
丙
丁
5
3 6
3 6 5
3
6（-4）
6 5
3（+5）
6
9
乙 甲 A B C 销量（bj）
11 = 1 3 12 = 2 （+9） 6（-4） 3 6
丙
4（+3） 1（-2）
丁
3（-10）
产量（ai）
7 4
3（+5） 5 6
9
表4-27
甲
A B C 销量（bj）
3 11 = 1 3
乙
12 = 2 22 = 1 6 6
两最小元素之差
6
6
表4-14
A
B C
两最小元素之差
1 7
9 4
5
2 10
8
5 3
0 1 2
2
1
表4-15 甲 乙 丙 丁
A B C 销量（bj）
表4-16
6
3
甲 3
3
5
丙 3 2 10 丁 10 8 5
产量（ai） 7 4 9
6