实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库（4）及参考答案
实变函数试题库（4）及参考答案实变函数试题库及参考答案（4）本科⼀、填空题1.设为两个集合,则.,A B __cA B A B -I 2.设,如果满⾜(其中表⽰的导集),则是nE R ?E E E '?E 'E E 3.若开区间为直线上开集的⼀个构成区间,则满(i) (,)αβG (,)αβ）（b a ,G(ii),a G b G4.设为⽆限集.则的基数(其中表⽰⾃然数集的基数) A A __A a a N5.设为可测集, ,则.12,E E 2mE <+∞1212(\)__m E E mE mE -6.设为可测集上的可测函数列,且,则由______定理可知得,{}()n f x E ()(),n f x f x x E ∈存在的⼦列,使得.{}()n f x {}()k n f x .()()()k a en f x f x x E →∈7.设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值存在且()f x E nR ?()f x E L 在上可积.（填“⼀定”“不⼀定”）|()|f x E L 8.若是上的绝对连续函数,则是上的有 ()f x [,]a b ()f x [,]a b ⼆、选择题1．设，则（）(){},001E x x =≤≤ 是中闭集是中完备集A 1mE =B 0mE =C E 2RDE 2R 2．设，是上的可测函数，则（）()f x ()g x E 、不⼀定是可测集、是可测集A ()()E x f x g x ??≥??B ()()E x f x g x ??≠??、是不可测集、不⼀定是可测C ()()E x f x g x ??≤??D ()()E x f x g x ??=??集3．下列集合关系成⽴的是（）A 、 B 、 (\)A B B A B =U U (\)A B B A =U C 、 D 、(\)B A A A ?U \B A A4. 若是开集，则（）()nE RA 、的导集B 、的开核C 、D 、的导集E E ?E E =E E =E E=三、多项选择题（每题⾄少有两个以上的正确答案）1．设是上有界函数，且可积，则（）()f x [],a b L 在上黎曼可积在上可测A ()f x [],a bB ()f x [],a b 在上⼏乎处处连续在上不⼀定连续C ()f x [],a bD ()f x [],a b 2. 设,则(){[0,1]}E =中的⽆理点A 、是可数集 B 、是闭集 C 、中的每个点均是聚点 D 、E E E 0mE >3. 若()⾄少有⼀个内点，则（）E R ?A 、可以等于０ B 、 C 、可能是可数集 D 、不可能是可数集*m E *0m E =E E 4．设是可测集，则的特征函数是（）[,]E a b ?E ()E x χA 、上的符号函数C 、上的连续函数[,]a b E B 、上的可测函数 D 、上的连续函数[,]a b [,]a b四、判断题1. 零测集上的函数是可测函数. （）2. 可列个闭集的并集仍为闭集（）3. 任何⽆限集均含有⼀个可列⼦集（）4. 设为可测集，则⼀定存在集，使，且. （）E G σG E G ?()\0m G E =五、定义题1. 为什么说有界变差函数⼏乎处处可微？2. 简述⽆穷多个开集的交集是否必为开集？3. 可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？E 4. 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？[],a b 六、计算题7. 设，为康托集，求.()[]3sin 0,1\xx Pf x x x P ?∈?=?∈??P ()[]0,1f x dx ?8. 求.()()0,ln limcos xn n x n e xdx n -→∞+?七、证明题1．设是上⼏乎处处有限的可测函数，且，(),(),(),()n n f x g x f x g x E ()()n f x f x ?，则()()n g x g x ?()()()() n n f x g x f x g x +?+2．设是上在上也是可积的(),()f x g x E L -E L -3．设是可测集上的⾮负可测函数，如果，则于()f x E ()0Ef x dx =?()0.f x a e =E4．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =U I实变函数试题库及参考答案（4）本科⼀、填空题1.等于2.闭集.3.4.5.6.黎斯7.不⼀定不⼀定8.界变差函数.(a,b)G ?≥≥2、单选题1.B 2.B 3.A 4.B3、多选题1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC四、判断题√×√√五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表⽰成两个单调增函数的差，⽽单调函数⼏乎处处可微，所以有界变差函数⼏乎处处可微.2.答：不⼀定，如[]1111,11,1n n n +∞=??---+=- ??I 3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不⼀定是简单函数，可测函数⼀定可表⽰成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不⼀定为单调函数，有界变差函数可表⽰成单调函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于0mP =(),.f x x a e =[]0,1于是⽽在上连续，所以()[][]0,10,1f x dx xdx =??x []0,1 因此.[]()2121000,11|22x xdx R x dx ===??()[]0,112f x dx =2.解：令()()()()0,ln cos xn n x n f x x e x nχ-+=显然在上可测，且()n f x ()0,+∞()()()()0,0,ln cos xn n x n e xdx f x dx n -+∞+=??因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n-++≤≤?∈+∞=L 不难验证，当⾜够⼤时，是单调递减⾮负函数，且()()ln n x n g x n+=n ，所以()lim 0n n g x →∞=()()()()()()0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==() 0,00dx +∞==?由勒贝格控制收敛定理 ()()0,limn n f x dx →∞+∞=?故.()()0,ln limcos 0xn n x n e xdx n -→∞+=?七、证明题1.证明对任何正数，由于0σ>|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+- 所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|[|()()|22n n E x f x f x E x g x g x σσ-≥-≥U 于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σσ≤-≥+-≥0()n →→∞ 故()()()()n n f x g x f x g x +?+2.证明因是上可积，所以在上可积，从⽽(),()f x g x E L -|()|,|()|f x g x E L -可积，|()||()|f x g x +L -|()||()|f x g x ≤=+在上可积E L -3.证明反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，[|()0]A E x f x =>()f x A 0mA =若不然，则0 mA >由于，所以存在，使11[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥U 1N ≥1[|()]0mE x f x d N≥=> 于是11[|()[|()]111()()[|()0EE x f x E x f x NNd f x dx f x dx dx mE x f x N N N N≥≥≥≥=≥=>?因此，⽭盾，故于()0Ef x dx >?()0.f x a e =E4.证明\()()()()()(\)(\)c c c c cA B C A B C A B C A B A C A B A C ====U I U I I I I I I。
实变函数本科试题及答案
实变函数本科试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 实数集R上的开区间(a, b)是一个开集，这是因为它满足：A. 任意点的邻域性质B. 包含所有有理数C. 包含所有整数D. 包含所有实数答案：A2. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 空集B. (0, 1)C. 整数集ZD. 实数集R本身答案：C3. 一个函数在某点连续的充要条件是：A. 在该点导数存在B. 该点的左极限等于右极限C. 在该点的极限存在且等于函数值D. 在该点的振幅为零答案：C4. Lebesgue可测集的定义是基于：A. 开区间B. 闭区间C. 开集D. 半开半闭区间答案：A5. 如果一个实值函数在区间[a, b]上单调增加且有界，则根据Weierstrass定理，该函数必定：A. 有最大值和最小值B. 仅在有限点处不连续C. 仅在至多可数点处不连续D. 在区间[a, b]上连续答案：A6. 一个函数在某点的导数为0，这意味着该点是函数的：A. 驻点B. 极值点C. 拐点D. 渐近点答案：A7. 集合的外测度是：A. 集合所有开覆盖的体积的上确界B. 集合所有闭覆盖的体积的下确界C. 集合所有开覆盖的体积的下确界D. 集合所有闭覆盖的体积的上确界答案：A8. 如果一个函数在区间[a, b]上可积，则它的积分值：A. 必须为正B. 必须为负C. 可以是任意实数D. 必须为零答案：C9. 一个函数在某区间上一致连续的定义是：A. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值有界B. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值无界C. 函数在该区间的任意子区间上连续D. 函数在该区间的端点处的极限存在答案：A10. 根据Riemann积分的定义，如果一个函数在区间[a, b]上的积分存在，则：A. 该函数在该区间上必定连续B. 该函数在该区间上必定有界C. 该函数在该区间上必定单调增加D. 该函数在该区间上必定一致连续答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果函数f(x)在点x=c处的左极限为L，则记为______。
实变函数第四章答案
实变函数第四章▉▉第4章 Lebesgue （习题及参考解答）E E A 1．设是)(x f 上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有()0Af x dx =∫，试证：=0，)(x f ].[.E e a }1)(|{}0)(|{1kx f x E x f x E k ≥=≠∞=∪k ∀∈ 证明 因为，，而}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E −≤≥=∪，由已知，有111{||()|}{|()}{|()}()()()E x f x E x f x E x f x kkkf x dx f x dx f x dx ≥≥≤−=+∫∫∫000=+=.又因为11{|(){|()}1110(){|()}E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k≥≥0=≥=≥∫∫≥ 并且11{|()}{|()1110(){|()E x f x E x f x kkf x dx dx mE x f x k k k ≥−≥−⎛⎞=≤−−≤⎜⎟⎝⎠∫∫}0−≤ 所以，0}1)(|{}1)(|{=−≤=≥kx f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=−≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE因此，11{|()0}[{|()|}k mE x f x m E x f x k∞=≠=≥∪111{|()|}00k k mE x f x k ∞∞==≤≥==∑∑0)(=x f .从而，，.].[.E e a2. 设，f g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数，都有a })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥)()(x g x f =，试证：，从而，()Ef x dx =∫()Eg x dx ∫.证明 我们证与f g 是同一个简单函数序列的极限函数. ∞=1){m m ψ对于及，令m ∀∈ 12,,1,0−=mm k }21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤= })(|{2,m x f x E E mm m ≥=并且再令，则是互不相交的可测集，并且. 定义简单函数k m E ,k m m k E E m ,21==∪∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ. E x ∈)()(lim x f x m m =∞→ψ.下面证明：，m ∀∈ m m m E x 2,0∈E x ∈∀0+∞=)(0x f , 若. 事实上，，则，有)()(0∞→∞→=m m x m ψ)()(lim 00x f x m n =∞→ψ. 即, .所以, +∞<)(0x f 若，则可取正整数，当)(00x f m >0m m ≥∀时, 有}21)(2|{})(0|{1210mm m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈−=∪ 故，存在使得)120(−≤≤mm k k }21)(2|{0mm k x f k x E x +<≤∈ mm k x f k 21)(20+<≤. 因此, 即，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ. 故000|()()|()()m m 0f x x f x x ψψ−=− 011()02222m m m m k k k f x +−<−=→=)()(lim 00x f x m n =∞→ψ.从而，实变函数第四章▉▉同理，对m ∀∈ ，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,mm k m k x g k x E E +<≤=，. 12,,1,0−=mm k 并且.})(|{*,m x g x E E k m ≥=E x ∈)()(lim 0x g x m n =∞→ψ.，同上一样，我们可以证明：因，有a ∀∈ })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，则，a ∀∈ })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，，有)120(−≤≤∀m m k k,1{|()}22m k m mk k mE mE x f x +=≤< *,1{|()}22m k m m k k mE x g x mE +=≤<=并且.即，，mm m m m m mEm x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=N m ∈∀=)(x m ψ)(x m ϕ.)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞→∞→ϕψ.因此，⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x x x f 31)(3. 若，计算.∫1,0[)(dx x f x x E |]1,0[{0∈=01]1,0[E E −=为有理数}，解 设，则∫]1,0[)(dx x f +=∫∫1)()(]1,0[E dx x f dx x f∫∫∫+==0111E EE dx xdx xdx x10E E E ==+∫∫∫ 2]2[11101]1,0[====∫∫x dx xdx x .4. 设是中n 个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于n 1,,n E E ]1,0[]1,0[nq 1,,q n E E . 证明 令，其中：∑==ni E x x f i1)()(χi E χ为上的特征函数并且，有i E ]1,0[∈∀x q x x f ni E i≥=∑=1)()(χ所以，. 又因为q qdx dx x f =≥∫∫]1,0]1,0[)(1[0,1][0,1]()()inE i q f x dx x χ=≤=∑∫∫dx1n.1110,1()()i i nnnE E i i i i E i x dx x dx mE χχ=======∑∑∑∑∫∫nqmE i <，则 如果每个∑∑===⋅=>ni n i i q nq n n qmE 11nqmE i ≥这与矛盾. 从而，存在∑=≤ni i mE q 1(1)i i n ≤≤. 使得5. 设与都是f g E 上的可积函数，试证明：22g f +E 也是上可积函数.E 证明：（1）先证：设与都是)(x f )(xF 0()f x ≤上的可测函数并且E E ()F x ≤ ，若在].[.E e a )(x F 可积，则在)(x f 可积.N m l ∈∀,)()(0x F x f ≤≤ ，故].[.E e a ，因为事实上，l l x F x f )}({)}({0≤≤.因此，+∞<≤≤≤∫∫∫EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E ∩=，}||||{∞<=x x S m . 从而，是∞=∫1})}({{l l E dx x F m实变函数第四章▉▉单调递增有上界的数列，故∫Edx x F )(∫∫∫≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因单调递增有上界，所以存在，并且∫∞=mE m dx x f 1})({∫∞→mE l dx x f )(lim∫∫∫+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(即. 所以，在+∞<≤∫dx x f E)(∫∞→∞→mE l l m dx x f )}({lim lim E )(x f 可积.E （2上可积.在E E 事实上，因为与在f g 上都可积. 所以, 与在||f ||g 上可积. 从而, +在E ||f ||g 上可积.||||f g ≤+E ，由（1）上可积.在6. 设+∞<mE ，是)(x f E 上的非负可测函数，，∞+<∫Edx x f )(})(|{k x f x E E k >=0lim =⋅∞→dx mE k k l .，试证明：k ∀∈ 证明 ，因为+∞<≤≤≤∫∫EE k dx x f dx x f kmE k)()(0所以)(0)(10∞→→≤≤∫k dx x f k mE Ek lim 0k k mE →∞=.故，又因为，由积分的绝对连续性（即，P85，定理4）, 对于∫+∞<Edx x f )(δ<mA 0>∀ε0>∃δE A ⊂,,使得对于任何可测集，恒有，∫Adx x f |)(|∫<=Adx x f ε)(.0>δN k ∈0对于，根据，存在0lim =∞→k k mE ，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤∫dx x f mE k kE k )(0.0lim =⋅∞→k k mE k .从而, +∞<mE E E 7. 设为可测集，并且，为)(x f 上的非负可测函数，，试证:在}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k E )(x f 上可积当且仅当级数收敛.∧∞=∑kk Ekm 1证明 设，k }1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ∈ )(⇒，因为在)(x f E 可积，故111()()kkk k k k EE E f x dx f x dx k dx k mE ∞∞∞====≥=∑∑∑∫∫∫⋅即，级数收敛.∑∞=∧⋅1k kEm k k ∀∈ )(⇐, 因为，则}1)(|{+<≤=k x f k x E E k k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤∫∫)1()1()(.又因并且，根据Lebesgue 基本定理，有∑∞==1)()()(k E x x f x f k χdx x x f dx x f m kE EE )()()(χ∫∫=1()()()kE k EE f x dx f x x dx χ∞==∑∫∫11()()kk k k k E f x dx kmE mE ∞∞===≤+∑∑∫+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.E 从而，在)(x f 上可积.8. 设是 上的可积函数，证明：.∫=−+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f f实变函数第四章▉▉R ′0>∀ε)(x ϕ证明 （1）先证：，使得，存在时直线上的连续函数∫<−+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于，记：N ∀∈ ⎪⎩⎪⎨⎧−<−>≤=N x f N N x f N N x f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([],[b a E x =∈，其中则0,|()|()[()](),()(),()N f x N f x f x f x N f x N f x N f x N≤⎧⎪−=−>⎨⎪+<−⎩因此，[,]|()[()]|N a b f x f x d −∫x=+dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫≤−dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|∫>−(||)|()[()]|N E f N f x f x d >−∫x =dx N x f N f E |)(|)|(|∫>+≤dx x f N f E |)(|)|(|∫>≤.0>∀ε0>∃δ因为在上是Lebesgue 可积的，故对于)(x f ],[b a ，，使∀δ<mA E A ⊂，恒有：Adx x f Aε<∫|)(|又因是单调的集列并且，则)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n ∩∞=1|)}(|{n f E =>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n 0)|(|=+∞=f mE .4|)(|)|(|ε<∫>dx x f N f E 0>δN ∃∈ .所以，对于，使得现在对于，取04>=NεηN x f )]([，由连续扩张定理，存在闭集F [,]a b ⊂)(x ϕ以及 上的连续函数，使得F F N x x f |)(|)]([ϕ=（A ）； NF E m 4)(ε<−（B ）；N x ≤|)(|ϕ（C ）. 因此，[,][]||[]|N N a b E Ff dx f dx ϕϕ−−=−∫∫([]||)|2()242N E Ff dx N m E F N Nεεϕ−≤+≤⋅−<⋅∫=从而，[,][,]()()||()[()]||[]()|N N a b a b f x x dx f x f x dx f x dx ϕϕ−≤−+−∫∫εεεϕ=+⋅≤−+≤∫∫>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E （2）再证：.0|)()(lim],[0=−+∫→dx x f b x f b a h 0>∀ε)(x ϕ，由（1）知，存在上的连续函数 使得对于3|)()(]1,1[εϕ<−∫+−dx x x f b a .)(x ϕ因为在上一致连续，则]1,1[+−b a )1(0<>∃δδ使得，当],[b a x ∈∀)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x −<−+εϕϕ.又因为[,]|()()|a b f x h f x dx +−≤∫[,]|()()|a b f x h x h dx ϕ+−+∫++dx x h x b a |)()(|],[∫−+ϕϕdx x f x b a |)()(|],[∫−ϕ],[b a x ∈(||1)h h δ∀<<(1,1x h a b )+∈−+，故并且对于，，有3|)()(|]1,1[εϕ<−≤∫+−dx x x f b a dx h x h x f b a |)()(|],[∫+−+ϕ所以，实变函数第四章▉▉≤−+∫dx x f h x f b a |)()(|],[[1,1]|()()|a b f x x d ϕ−+−∫xεεεε=++<333dx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[∫∫−+−+ϕϕϕ+.从而，.0|)()(|lim],[0=−+∫→dx x f h x f b a h9. 设是f E 上的非负可积函数，是任意常数，满足c ∫≤≤Edx x f c )(0试证：存在，使得.c dx x f E =∫1)(E E ⊂1证明：设常数，合于，当时，存在，使得. 不妨设.∫≤≤Edx x f c )(0∫=Edx x f c )(c ∫≤≤Edx x f c )(0c dx x f E =∫1)(E E =1我们先证：在∫−=Et t dx x f t F ∩],[)()(),0[0+∞∈∀t),0[+∞上连续，，事事实上，对于0t t >∀，因为000[,][,]0()()()()t t Et t EF t F t f x dx f x dx −−≤−=−∫∫∩∩00[,][,]()()t t Et t Ef x dx f x dx −−=+∫∫∩∩δ<mA 0>∃δE A ⊂∀由积分的绝对连续性（p.85，定理4），，有，，2)(|)(|ε<=∫∫AAdx x f dx x f .δ<−≤∀00:t t t δ<−≤−00)),([t t E t t m ∩，故故，对于，因为εεε=+=+=−≤∫∫−−22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F ∩∩.)()(lim 00t F t F t t =+→. 所以，),0[0+∞∈∀t 同理，对，用上述完全类似方法可得.故，在)()(lim 00t F t F t t =−→)(t F ),0[+∞上连续.又因为（根据p.89的定义4）, 则，使得c dx x f dx x f EEt t t >=∫∫−+∞→)()(lim],[∩00>∃t c dx x f t F Et t >=∫−∩],[0)()(.)()0(0t F c F <<.故由于在闭区间上连续，由连续函数的介值定理，∃],0[0t 1t ∈)(t F E E t t E ⊂−=∩],[1110(0,)t ，有，使得c t F dx x f dx x f Et t E ===∫∫−)()()(1],[01∩.E 10. 设是g 上的可测函数，是大于1的数，是的共轭数，即p q p 111=+qp . 如果对任意，都有)(E L f P ∈1()fg L E ∈，试证：. )(E L g q∈11． 试证：1)1(1lim),0(1=+∫+∞∞→dt tkt kk k （i ）.dx x e dx x n x x n k ∫∫+∞−+∞−∞→=−),0(),0(11(lim αα(ii) .2≥∀k 证明：（i ）时，（寻找控制函数） )10(≤<t t 时，因为当tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；而当时，1>t 112111()(1)1((1)()2!k k k kk f t t k k t t k t t k k k=≤=−+⋅+++实变函数第四章▉▉224)211(2t t =−≤令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2从而，),0(+∞∈∀t ，并且在)()(t F t f k ≤)(t F ),0(+∞是R-可积的，故在)(t F ),0(+∞是L-可积的. 又因为tt kk tt kk kk k k k e etkt t ktt f −∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11则由Lebesgue 控制收敛定理，∫∫∫∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t fdt t fdt tkt kk kk kk k10==∫+∞−dt e t ∫∞−=),0(dt et.(ii), 定义n ∀∈ 1(1),(0,]()0,(n n x ,)xx n f x nx n α−⎧−∈⎪=⎨⎪∈+∞⎩， 并且，1)(−−=αx ex F x),0(+∞∈x ),0(+∞∈∀x ， 则对于,有)(1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==−=−−−∞→∞→αα. N n ∈∀，.)()(1x f x f n n +≤下面证明：ttx t G )1()(−=),0(+∞∈∀x ),1[+∞∈t ，取 事实上，，令，1ln()(ln txt t G −=，则▉▉第四章习题参考解答x t xt x t x t x t txt G t G −+−=−+−=′)1ln(11)1ln()()(2. x t xt x t h −+−=′)1ln()(，又因 又记222)()()(11)(x t xx t t x x t x t x tx t h −−−=−−−=′0)()()(222<−−=−−−=x t t x x t t tx x t x .xt xt x t G t G t h −+−=′=)1ln()()()(所以，关于单调递减并且故，t 0)(lim =∞→t h t ),1[+∞∈∀t ，有. 因此，0)(>t h 0)()()(>⋅=′t h t G t G .即, 在)(t G ),1[+∞n ∀∈ 单调增加. 从而，,)1(11()1()(1+=+−<−=+n G n x n x n G n n .所以,)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +−+−=+−<−=αα.因此, ，n ∀∈ 1)()(|)(|−−=≤=αx e x F x f x f x n n ),0(+∞∈x，因为在1)(−−=αx e x F x ),0(+∞上可积，由Lebesgue 控制收敛定理，有∫∫∫+∞−−+∞∞→−∞→===−),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.+∞<mE 12. 设，试证明：在E 上当且仅当0⇒k f 0||1||lim =+∫∞→dx f f Ek k k . k ∀∈ 0>∀σ)(⇒，因为证明 ，实变函数第四章▉▉)1|(|]||1||[σσσ−≥=≥+k k k f E f f E 并且（在0⇒k f E 上），则我们有01|(|lim )||1||{lim =−≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE .0||1||⇒+k k f f E .故在上，1||1||≤+k k f f k ∀∈ +∞<mE ，由Lebesgue又因为对于，并且有界收敛定理，有00||1||lim ==+∫∫∞→E E k k k dx dx f f .0>∀σ)(⇐，因为对于(||)0(||)11kk E f EmE f dx σσσσσσ≥≤≥=++∫ ∫≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ≤)(0∞→→k . 则有0)|(|lim 10≤≥−≤∞→δσσk k f mE . 从而，0)|(|lim =≥∞→δk k f mE . 即.0⇒k f。
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、x x f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（ ）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（ ）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（ ）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
华中师大《实变函数》练习题库及答案
１《实变函数》练习题库及答案一、单项选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅ B ()\A B A =∅C ()\A B B A =D ()\B A A B =2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=4．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰B ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰5．下列集合关系成立的是（ ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．若n R E ⊂是闭集，则（ ）A E E '=B E E '⊂C E E '⊂D 0E E =7．设E 为无理数集，则（ ）A E 为闭集B E 是不可测集C mE =+∞D 0mE = 9．下列集合关系成立的是（ ）２A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D cc c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．设n R E ⊂，则( )A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂DE E =11．设P 为康托集，则（ ）A P 是可数集B 0mP =C P 是不可数集D P 是开集 13．下列集合关系成立的是（ ）A 若AB ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂C 若A B ⊂则A B B =D 若A B ⊂则A B B =14．设nR E ⊂，则（ ）A ()E E = B 0E E ⊃ C E E '⊂ D E E '⊂15．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集DE 是2R 中完备集16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）A ()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集B ()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集C ()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集D ()()E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集１7．下列集合关系成立的是（ ）（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A = （C ）(\)B A A A ⊆ （D ）\B A A ⊆３18. 若()nE R⊆是开集，则 （ ）（A ）E 的导集E ⊆ （B ）E 的开核E = （C ）E E = （D ）E 的导集E = 19. 设P 的康托集，则（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集 （C ）0mP = （D ）1mP =20、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数 21．下列集合关系成立的是（ ）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅ （C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆ 22. 若()nE R⊆是闭集，则 （ ）（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '⊆ （D ）E E '= 23. 设Q 的有理数集，则（ ）（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0Ef x dx =⎰，则 （ ）（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f x ≥ （C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠ 25.二、填空题４1．设,A B 为集合，则()\A B B _A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A _B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是_集 4．有限个开集的交是_集5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E _12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ⊂ 是可数集，则*m E _07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是_函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒_ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上_11．设,A B 为集合，则()\B A A _A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-= ，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设nE ⊂ ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是_集 14．任意个开集的并是_集15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE _2mE 16．设E 中只有孤立点，则*m E _017．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测18．可测函数列的下极限也是_函数19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒_ 20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()Ef x dx =⎰_21．设,A B 为集合，则()\A B B _B５22．设A 为有理数集，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 23．设n E ⊂ ，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是_集 24．有限个闭集的交是_集 25．设n E ⊂ ，则*m E _026．设E 是n 中的区间，则*m E _E 的体积27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测28．可测函数列的极限也是_函数29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x _()g x30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有()Ef x dx =⎰_31．设,A B 为集合，则()\B A B A _A B32．设A 为无理数集，则A _c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设nE ⊂ ，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是_集 34．任意个闭集的交是_集35．设n E ⊂ ，称E 是可测集，如果nT ∀⊂ ，()**m T m T E =+ _36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*m F _037．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x a f xb ⎡⎤≤<⎣⎦是_，（a b ≤）则称()f x 在E 上可测 38．可测函数列的上确界也是_函数39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒_40．设()()n f x f x ⇒，那么由_定理，(){}n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于６E41.设,A B 为两个集合,则__cA B A B - .42.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是____集.43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)_______________(ii)__________.44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数). 45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是______,则()f x 是E 上的可测函数.47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E .48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a en f x f x x E →∈.49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上____________L 可积.50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x ____[,]a b 上的有界变差函数. 51．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A52．设nE R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是_____集 53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的________区间54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数____ a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B -７56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是______57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a en f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒ x E ∈_________59． 设()f x 为可测集()nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值_________ 60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个_______________________61.设B 是1R 中无理数集，则=B 。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ?),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-?--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ?知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由+∞<="" 4、(="" b="" m="" ma="" p="" √="" 。
从而移项可得结论。
="" 知，+∞<-+∞理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合,1,,31,21,1,0n 到集合 ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ?知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(，故mA mA A B mmB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ?Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
实变函数测试题与答案
实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。
2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。
3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。
4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。
5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。
6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。
7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。
8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。
9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。
《实变函数》综合训练题(四)及解答
《实变函数》综合训练题（四）（含解答）一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设E 是[0,1]中的有理点全体，则（C 、D ）[考核对典型集合掌握的情况] （A ）E 是闭集 （B ）E 中的每一点都是内点 （C ）E 是可数集 （D ）0mE =2、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 3、若1E R ⊂的外测度为零，则（ B 、D ）[考核零测集的特点] （A ）E 一定是可数集 （B ）E 一定是可测集 （C ）E 不一定是可数集 （D ）0mE =4、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）[考核典型集的外测度可数性的特点]（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集5、设()nmE E R <+∞⊂，函数列{()}n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若()()()n f x f x x E ⇒∈，则下列哪些结论不一定成立（A 、B 、C 、D ）[考核可测函数与勒贝格积分的简单综合]（A ）()d Ef x x ⎰存在 （B ）()f x 在E 上L 可积（C ）..()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()d ()d n n EEf x x f x x →∞=⎰⎰6、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ）[考核特征函数的特点]（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数7、若()f x 在可测集E 上有L 积分值，则（A 、C ）[考核勒贝格积分的定义]（A ）()f z +和()f z -中至少有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上也有L 积分值 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 8、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）[考核勒贝格积分的定义]（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积9、设()f z 是[,]a b 的绝对连续函数，则（ A 、B 、C ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]（A ）()f z 是[,]a b 上的连续函数 （B ）()f z 是[,]a b 上的一致连续函数 （C ）()f z 是[,]a b 上的有界变差函数 （D ）()f z 在[,]a b 上处处可导10、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 二、单项选择题 （每题仅有一个正确答案）1．设E 是[0,1]中的无理点全体，则E 是（ Ｃ ）.[考核对典型集合掌握的情况] （Ａ）可数集 （Ｂ）有限集 （Ｃ）不可数集 （Ｄ）零测集 2．下面集合关系成立的是（ Ａ ）. [考核对集合的基本运算掌握的情况]（Ａ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （Ｂ）(\)A B B A ⋃= （Ｃ）(\)B A A A ⋃⊂ （Ｄ）\B A A ⊂ 3．若2E R ⊂至少有一个内点，则有（Ｂ ）. [考核对典型集合外测度掌握的情况]（Ａ）*0m E = （Ｂ）*0m E > （Ｃ）0mE =（Ｄ）0mE < 4．设2E R ⊂是开集，则（ Ｂ ）.[考核开集闭集的基本特征] （Ａ）E E '⊂ （Ｂ）0E E = （Ｃ）E E = （Ｄ）E E '=5．设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是[,]a b 上的（Ａ）. [考核对集合的特征函数的认识]（Ａ）简单函数 （Ｂ）常函数 （Ｃ）连续函数（Ｄ）单调函数 6．设[0,1]Q ⊂是有理数集，1,()0,x QD x x Q ∈⎧=⎨∉⎩,则()D x 是[0,1]上的（Ｃ）.[考核目标同上题]（Ａ）连续函数（Ｂ）单调函数（Ｃ）简单函数（Ｄ）定积分存在的函数 7．设()f x 在可测集E 上勒贝格可积，则（Ｂ）. [考核勒贝格积分的定义]（Ａ）()f x +和()f x -有且仅有一个在E 上勒贝格可积；（Ｂ）()f x +和()f x -都在E 上勒贝格可积（Ｃ）()f x +和()f x -都在E 上不勒贝格可积；（Ｄ）()()()f x f x f x +-=+在E 上不勒贝格可积8．设W 是[0,1]上的无理数集，c 表示连续基数，则（Ｄ）. [考核对典型集合基数和测度掌握的情况]（Ａ）W c > （Ｂ）W c < （Ｃ）0mW = （Ｄ）1mW =9．设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 是[,]a b 上的（Ｄ）. [考核基本的有界变差函数和绝对连续函数]（Ａ）连续函数 （Ｂ）绝对连续函数 （Ｃ）可导函数 （Ｄ）有界变差函数10．设()f x 在[,]a b 上绝对连续，则()f x 在[,]a b 上（Ａ）.[考核绝对连续函数的关系的基本性质]（Ａ）有界变差 （Ｂ）可导 （Ｃ）单调 （Ｄ）连续可微三、填空题1．设A ，B 为X 的两个子集，则\A B 等于 C A B ⋂ ．[考核集合之间的基本关系] 2．设A ，B 为两个集合，则A B ⋃ 等于 (\)B A A ⋃ ．[考核目标同上]3．设n E R ⊂，如果E 满足E E '⊂，则E 是 闭 集．[考核开集、闭集的定义] 4．设n E R ⊂，如果E 中的每一点都是内点，则E 是 开 集．[考核开集、闭集的定义]5．若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ⊂且,G αβ∉．[考核开集的构成区间的定义和特点]6．设E 是1R 上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b E ⊂且,a b E ∉,则称(,)a b 是开集E 的 构成 区间．[考核开集的构成区间的定义和特点]7．设A 是无限集，则A 的基数A 大于或等于 a （其中a 表示可数基数）．[考核可数集的性质]8．设A 是偶数集，则A 的基数A 等于 a （其中a 表示可数基数）．[考核可数集的性质]9．设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\)m E E 大于或等于 12mE mE -．[考核测度的性质，单调性和次可加性]10．设A ，B 为可测集，则()m A B ⋃ 小于或等于 mA mB +．[考核测度的性质，次可加性]11．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a >是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数. [考核可测函数的定义]12．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数a ，b (a b <)，有[()]E x a f xb <<是可测 集. [考核可测函数的基本性质]13．设1E R ⊂是可数集，则*m E 等于 0.[考核典型集合的测度和外测度] 14．设[0,1]P ⊂是康托集，则mP 等于 0.[考核典型集合的测度和外测度]15．设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ，使得()kn f x 在E 上 几乎处处收敛于 ()f x . [考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理]16．设mE <+∞,{()}n f x 是E 上的可测函数列，()f x 是E 上的实函数,若()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x ，则()n f x 在E 上 依测度 收敛于()f x .[考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理]17．设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，则()f x 在[,]a b 上勒贝格可积，且它们的积分值 相等 ．[考核黎曼积分与勒贝格积分的关系]18．设()f x ,()g x 都在[,]a b 上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在[,]a b 上勒贝格积分 值 相等 ．[考核勒贝格积分的基本性质]19．若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 是 [,]a b 上的有界变差函数．[考核有界变差函数和绝对连续函数的关系]20．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 可以表示成两个单调函数的 和或差 ．[考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理]四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由） 1．无限个闭集的并集仍为闭集．[考核开集、闭集的性质] 答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。
实变函数（复习资料,带答案）
实变函数（复习资料,带答案）《实变函数》试卷⼀⼀、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=??;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===??; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=??;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成⽴的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何⼦集都可测(C) 开集和闭集都是波雷⽿集（D ）波雷⽿集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下⾯不成⽴的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下⾯不成⽴的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上⼏乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)-=b aa fb f dx x f )()()('⼆. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任⼀点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成⼀列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的⼀切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I∈⋃；10、ααA C s I ∈⋂；11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1；12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1；13、211)(∑=nk k x ；14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈；15、2112})({∑∞=-k k k y x ；16、21222211})(){(y x y x -+-；17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、}1:),{(22≤+y x y x ；23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d A y A x ∈∈；30、1；31、∑∞=1||inf i i I ；32、n n mS ∞→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ；35、C B D A ⊂⊂⊂；36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞=1i i G （i G 开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞=1n n F ，（n F 闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞→lim ；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E，E不可测，而EE14、（√）理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版)选择题1，下列对象不能构成集合的是：( ）A 、全体自然数 Ｂ、0，1 之间的实数全体 C 、[0， 1］上的实函数全体 Ｄ、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是：( ）A 、｛全体实数｝ Ｂ、｛全体整数} C 、{全体小个子｝ D 、｛x ：x>1｝3、下列对象不能构成集合的是：（ ）A 、{全体实数｝B 、{全体整数} Ｃ、{ｘ：x ＞1}D 、｛全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:( )A 、{全体实数｝ Ｂ、{全体整数} C 、{x ：ｘ>1} D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是：( ）A 、｛全体小孩子}B 、｛全体整数}C 、{x:x 〉1} Ｄ、｛全体实数｝6、下列对象不能构成集合的是:( ）Ａ、｛全体实数} B 、｛全体大人｝ C 、｛ｘ：x 〉１} D 、{全体整数｝７、设}1:{ααα≤<-=x x A ， Ｉ 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ） A 、（-1, 1) B 、（-１， 0） Ｃ、（—∞, +∞)Ｄ、(１， +∞）8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋃1= ( ） A 、（－1, １） Ｂ、（-1, 0) C 、［0， 1] Ｄ、［—1, 1］9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= ( ） Ａ、（0, 1） B 、[0， 1］ C 、［0, １］D 、（０, +∞）10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋃1= （ ) Ａ、［1， 2] B 、（1, ２) Ｃ、 （０， 3）D 、（1, ２)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i ， N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= （ ） A 、（—1， 1） B 、[0， １］ C 、ΦD 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈， 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(－1， １） B 、[0, １］ Ｃ、Φ D 、｛0｝13、设]1212,0[12--=-n A n ， ]211,0[2nA n +=, N n ∈，则=∞→n n A lim （ ）Ａ、［0， 2] B 、[０， 2] C 、［0， 1］ D 、[０, 1］1４、设]1212,0[12--=-n A n ， ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim （ ） A 、［0， ２］B 、［0, 2]C 、［０, 1]D 、[0， 1]15、设),0(n A n =， N n ∈， 则=∞→n n A lim （ )A 、ΦB 、［0， ｎ］C 、RＤ、（0， ∞）16、设)1,0(n A n =, N n ∈， 则=∞→n n A lim （ )Ａ、（0， １） B 、（０, n 1） C 、｛0｝D 、Φ17、设)1,0(12n A n =-, ),0(2n A n =, N n ∈， 则=∞→n n A lim ( ）A 、ΦB 、（0， n 1） C 、（0, n ）D 、（０, ∞）1８、设)1,0(12n A n =-， ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim （） A 、Φ B 、（0， n 1) C 、（0, n)D 、（0， ∞）19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-（A －Ｂ)= （ ）Ａ、B Ｂ、A C 、A ⋂BＤ、A ⋃B ２0、设Ａ 、Ｂ 、C 是三个集合， 则Ａ－（Ｂ⋃C ）＝ （)A 、（A —B)⋂(A-C ） Ｂ、（Ａ-Ｂ）⋃(A －C ）C 、Ａ⋂BＤ、A ⋂C２１、设Ａ 、B 、C 是三个集合， 则Ａ—（B ⋂Ｃ）= （ ）A 、（A －B)⋂（A-C ）B 、(A —B ）⋃（A-C ） C 、A ⋂BD 、Ａ⋂C２2、设A 、B 、S 是三个集合， 且S A ⊂， S B ⊂, 则)(B A C s -= ( ） Ａ、B C A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃ D 、B A C s ⋂2３、设A 、B 、Ｓ是三个集合, 且S A ⊂， S B ⊂, 则)(B A C s ⋃＝ （ )A 、BC A C s s ⋃ Ｂ、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃２4、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-（B －Ｃ） = （ ）A 、 A ⋃C －ＢB 、 A-B －C Ｃ、 (A —B)⋃(A ⋂C)D 、 C －（B －Ａ）25、集合E 的全体内点所成的集合称为Ｅ的 （ )A 、开核 Ｂ、边界 C 、导集 Ｄ、闭包2６、集合Ｅ的全体聚点所成的集合称为E 的 （ ）A 、开核 Ｂ、边界 Ｃ、导集 D 、闭包２7、集合Ｅ的全体边界点和内点所成的集合是E 的 （ ）A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包2８、E —E ’所成的集合是 （ ）A 、开核B 、边界C 、外点 Ｄ、{E 的全体孤立点｝29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 （ ）A 、开核 Ｂ、边界 C 、导集 D 、闭包30、设点Ｐ是集合Ｅ的边界点, 则 （ ）A 、P 是E 的聚点B 、P 是Ｅ的孤立点 Ｃ、Ｐ是Ｅ的内点 D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G ， 则下列那一个是Ｇ的构成区间： （ ）A 、(0, 1） Ｂ、（21, １） Ｃ、[０， 1］ D 、(0， 2) ３２、设)1,0(1=G ， )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间: （ )Ａ、(0, 1） B 、(0, 2） Ｃ、（—1, 21） D 、（—1, 2） 33、设)4,0(1=G ， )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是Ｇ的构成区间： ( )A 、（0, 1) Ｂ、(3, ４） C 、(０, 4） D 、 （1, 4）34、设)1,0(1=G ， )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间： （ )Ａ、（０， 1） B 、（0, 3) C 、(０， 4) D 、(1, 4）35、设)2,0(1=G ， )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间： ( )A 、(0, 1)B 、（0， 2)C 、(1， 2)D 、（1, 4）36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=， 则下列那一个是G 的构成区间: ( ）A 、（21, 23） B 、（1, ２) C 、(０, 1) D 、(—1, 0) ３7、若B A ⊂ ,则下列命题错误的是： （ ）A 、B A ⊂ Ｂ、Ａ＇⊂B'C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂3８、若C B A =⋃， 则下列命题正确的是：( ）A 、 CB A =⋃ Ｂ、 A'⋃B ’=C'C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、｛A 的孤立点｝⋃｛B 的孤立点｝={Ｃ的孤立点｝39、若C B A =⋂， 则下列命题错误的是：( ）A 、 CB A =⋂ Ｂ、C ＇⊂ Ａ’⋂B ’ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点｝⋂｛B 的孤立点}={Ｃ的孤立点｝40、设CA 是Ａ的余集,则下列命题正确的是:（ )A 、 )()(CA A C = Ｂ、)(CA A ∂=∂ C 、Ｃ(A ’）=(C Ａ）＇ D 、CA A C =)( 41、设Ａ－Ｂ=C ， 则下列命题正确的是:（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ Ｂ、C B A =- Ｃ、Ａ’-B ＇=C'D 、{Ａ的孤立点｝-｛B 的孤立点}={C 的孤立点｝4２、 （2-4—１－2） 下列命题错误的是:( ）A 、A 是闭集B 、Ａ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集 4３、若A 是闭集，B 是开集,则A －B 是：（ )A 、开集 Ｂ、闭集 C 、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断44、若Ａ 是开集，Ｂ是闭集，则A-Ｂ是：（ ）A 、开集B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断４5、若}{n A 是一开集列,则n n A ∞=⋃1是:( )A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断４6、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是:( ） A 、开集 Ｂ、闭集 C 、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断4７、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是:（ ） Ａ、开集 B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 Ｄ、无法判断48、若}{n A 是一闭集列,则n n A ∞=⋂1是:（ ) A 、开集 B 、闭集 Ｃ、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （ ）Ａ、０ B 、1 C 、２ D 、35０、下述结论（ ）正确．A 、E m E m **>B 、E m E m *≥* Ｃ、E m E m **< Ｄ、E m E m **≤ ５1、下列说法正确的是（ ） Ａ、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在［０，1］有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在［0,１］有界 52、函数列n n x x f =)(在[０，1］上( )于０．A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛5３、设E 是[0，1］中的不可测集,⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在［0,1]上可测的是( ）.A 、)(x fB 、)(x f + Ｃ、|)(|x f D 、)(x f -54、若)(x f 可测,则它必是（ )．A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[,则=mE （ ）A 、０ Ｂ、1 C 、2 D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、Ｅ的测度有限，则E 必有界B 、Ｅ的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限５7、(４-4－2-１）下述论断正确的是（ )A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限５8、函数列n n x x f )21()(=在［0， 2］上( ）于0． A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a 。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
实变函数测试题与参考答案
实变函数试题一，填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂,则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集,则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦,则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ⊂,0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,若0σ∀>,有 ,则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈,则∃{}()n f x 的子列{}()jn fx ,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例. 1. 若,A B 可测,A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集,P E ∉,则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞,则E 为无限集合. 三,计算证明题1.证明:()()()A B C A B A C --=-2.设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M 为可数集.3.设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集,1,2i =.根据题意,若有()()*0,i m B E i -→ →∞,证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集,()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x ,而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n ,()1,2n =,求1()f x dx ⎰.6. 求极限:13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一填空题 1.[]0,2.2.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭;∅.3.闭集.4.b a -.5.几乎处处收敛于()f x 或a.e.收敛于()f x .6.对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.7.()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F .例如,(0,1)A =,[]0,1B =,则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F .例如,0(0,1)∉,但0不是(0,1)的外点.3. F .由于{}0E E '=⊄.4. F .例如,在1R 中,11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,3,4n =是一系列的闭集,但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T .因为若E 为有界集合,则存在有限区间I ,I <+∞,使得E I ⊂,则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三,计算证明题. 1.证明如下:2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z ,半径为r 唯一确定,x ,y ,z 跑遍所有的正有理数,r 跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==,则i E B B ⊂⊂且B 为可测集,于是对于i ∀,都有i B E B E -⊂-,故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞,得到()*0m B E -=,故B E -可测.从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =,令[]0,1G P =-,则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合:0P ,1G ,2G ,其中0P 为Cantor 集,n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并.由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =,可得6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续,13230(R)sin 1nx nxdx n x+⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等.易知由于12x 在()0,1上非负可测，且广义积分1012dx x ⎰收敛，则 12x在()0,1上(L)可积，由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+，()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。
实变4答案
华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷（B 卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。
共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、R n中全体子集构成一个σ代数。
（ 对 ） 2、若()f x 为Lebesgue 可测集E 上的Lebesgue 可测函数，且()f x 在E 上有积分值（即()d Ef x x ⎰存在），则()f x 在E 上必Lebesgue 可积。
（ 错 ） 3、[0,1]上的Cantor （三分）集具有连续势。
（ 对 ） 4、可数个G δ集的交集不一定是G δ集。
（ 错 ）5、若()n f x （1n =，2， ）和()f x 都为可测集E 上的可测函数， 且()()n f x f x ⇒，x E ∈，则lim ()()n n f x f x →∞=，..a e 于E 。
（ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、Fatou 引理（法都引理）答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，) 都是E 上的非负可测函数，则lim ()d lim ()d nn n n E Ef x x f x x →∞→∞≤⎰⎰。
2、非负可测函数的Fubini 定理 答：设(,)f x y 是p qp q RR R +=⨯上的非负可测函数，则（1）对几乎所有的px R ∈，(,)f x y 作为y 的函数是qR 上的非负可测函数； （2）()(,)qR F x f x y dy =⎰也是p R 上的非负可测函数；（3）(,)(,)p qpqR R R f x y dxdy dx f x y dy +=⎰⎰⎰。
3、Lebesgue 控制收敛定理答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x （1n =，2， ）和()f x 都是E 上的可测函数，若 （1）lim ()()n n f x f x →∞=，..a e 于E ；（2）存在E 上的非负可积函数()F x ，使得 n ∀，()()n f x F x ≤，x E ∈。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。
实变函数试题库参考答案
实变函数试题库参考答案(共37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 69、下列说法正确的是（ ） A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x xx f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数 73、()=-)2,1()1,0( m ( ) A 、1、 B 、2 C 、3 D 、4 74、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 75、下列说法正确的是（ ） A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、 B 、21)(xx f =在]1,21[无界C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f - 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 80、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和. 81、下列说法正确的是（ ） A 、31)(x x f =在)1,21(无界 B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f - 84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上.收敛于.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积 88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 1 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 17、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃=9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂=10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃=11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂= 22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂= 24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) = 26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) = 27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ= 30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、nR E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
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实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - .
2.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是
3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)
）（b a ,G (ii),a G b G ∉∉
4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数)
5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -.
6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()
()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E
上L 可积.（填“一定”“不一定”）
8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有
二、选择题
1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）
A 1mE =
B 0mE =
C E 是2R 中闭集
D
E 是2R 中完备集
2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）
A 、()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集
B 、()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集
C 、()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集
D 、()()
E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集
3．下列集合关系成立的是（）
A 、(\)A
B B A B = B 、(\)A B B A =
C 、(\)B A A A ⊆
D 、\B A A ⊆
4. 若()
n E R ⊆是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ⊆ B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
1．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（ ）
A ()f x 在[],a b 上黎曼可积
B ()f x 在[],a b 上可测
C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续
D ()f x 在[],a b 上不一定连续
2. 设{[0,1]}E =中的无理点,则()
A 、E 是可数集
B 、E 是闭集
C 、E 中的每个点均是聚点
D 、0m
E >
3. 若E (R ⊆)至少有一个内点，则（）
A 、*m E 可以等于０
B 、*
0m E = C 、E 可能是可数集 D 、E 不可能是可数集
4．设[,]E a b ⊆是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（）
A 、[,]a b 上的符号函数 C 、E 上的连续函数
B 、[,]a b 上的可测函数 D 、[,]a b 上的连续函数
四、判断题
1. 零测集上的函数是可测函数. （ ）
2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）
3. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ）
4. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ⊆，且()\0m G E =. （ ）
五、定义题
1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
3. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？
4. [],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
六、计算题
7. 设()[]3sin 0,1\x x P f x x
x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.
8. 求()()
0,ln lim cos x n n x n e xdx n -→∞+⎰.
七、证明题
1．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
2．设(),()f x g x 是E 上L -E 上也是L -可积的
3．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果()0E f x dx =⎰，则()0
.f x a e =于E
4．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =
实变函数试题库及参考答案（4） 本科
一、填空题
1.等于
2.闭集.
3.(a,b)G ⊆
4.≥
5.≥
6.黎斯
7.不一定不一定
8.界变差函数.
二、单选题
1.B
2.B
3.A
4.B
三、多选题
1.BD
2.CD
3.BD
4.ABC
四、判断题
√×√√
五、定义题
1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.
2.答：不一定，如[]1111,11,1n n n +∞=⎛
⎫---+=- ⎪⎝⎭
3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.
4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.
六、解答题
1.解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1
于是
()[][]0,10,1f x dx xdx =⎰⎰
而x 在[]0,1上连续，所以 []()2
121000,11|22x xdx R x dx ===⎰⎰因此()[]
0,112f x dx =⎰. 2.解：令()()()()0,ln cos x n n x n f x x e x n
χ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且()()()()
0,0,ln cos x n n x n e xdx f x dx n -+∞+=⎰⎰ 因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n
-++≤≤∀∈+∞= 不难验证()()ln n x n g x n
+=，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞
=，所以
()()()()()()0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==⎰⎰⎰()
0,00dx +∞==⎰ 由勒贝格控制收敛定理()()0,lim 0n n f x dx →∞+∞=⎰
故()()
0,ln lim
cos 0x n n x n e xdx n -→∞+=⎰.
七、证明题
1.证明 对任何正数0σ>，由于
|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+-
所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|][|()()|]22n n E x f x f x E x g x g x σ
σ
⊂-≥-≥
于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥
[|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σ
σ
≤-≥+-≥0()n →→∞
故()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
2.证明 因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x g x 在E 上L -可积，从而 |()||()|f x g x +L -可积，
|()||()|f x g x =+
E 上L -可积
3.证明 反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA > 由于1
1[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥ ，所以存在1N ≥，使 1[|()]0mE x f x d N ≥
=> 于是11[|()][|()]111()()[|()]0E E x f x E x f x N N
d f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥≥≥≥=≥=>⎰⎰⎰
因此
()0E f x dx >⎰，矛盾，故()0.f x a e =于E
4.证明 \()()()()()(\)(\)c c c c c A B C A B C A B C A B A C A B A C ====。