实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4） 本科

一、填空题

1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - .

2.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是

3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)

）（b a ,G (ii),a G b G ∉∉

4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数)

5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -.

6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()

()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E

上L 可积.（填“一定”“不一定”）

8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有

二、选择题

1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）

A 1mE =

B 0mE =

C E 是2R 中闭集

D

E 是2R 中完备集

2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）

A 、()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集

B 、()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集

C 、()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集

D 、()()

E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集

3．下列集合关系成立的是（）

A 、(\)A

B B A B = B 、(\)A B B A =

C 、(\)B A A A ⊆

D 、\B A A ⊆

4. 若()

n E R ⊆是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ⊆ B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

1．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（ ）

A ()f x 在[],a b 上黎曼可积

B ()f x 在[],a b 上可测

C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续

D ()f x 在[],a b 上不一定连续

2. 设{[0,1]}E =中的无理点,则()

A 、E 是可数集

B 、E 是闭集

C 、E 中的每个点均是聚点

D 、0m

E >

3. 若E (R ⊆)至少有一个内点，则（）

A 、*m E 可以等于０

B 、*

0m E = C 、E 可能是可数集 D 、E 不可能是可数集

4．设[,]E a b ⊆是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（）

A 、[,]a b 上的符号函数 C 、E 上的连续函数

B 、[,]a b 上的可测函数 D 、[,]a b 上的连续函数

四、判断题

1. 零测集上的函数是可测函数. （ ）

2. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ ）

3. 任何无限集均含有一个可列子集 （ ）

4. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ⊆，且()\0m G E =. （ ）

五、定义题

1. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？

2. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？

3. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？

4. [],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？

六、计算题

7. 设()[]3sin 0,1\x x P f x x

x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.

8. 求()()

0,ln lim cos x n n x n e xdx n -→∞+⎰.

七、证明题

1．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+

2．设(),()f x g x 是E 上L -E 上也是L -可积的

3．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果()0E f x dx =⎰，则()0

.f x a e =于E

4．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =

实变函数试题库及参考答案（4） 本科

一、填空题

1.等于

2.闭集.

3.(a,b)G ⊆

4.≥

5.≥

6.黎斯

7.不一定不一定

8.界变差函数.

二、单选题

1.B

2.B

3.A

4.B

三、多选题

1.BD

2.CD

3.BD

4.ABC

四、判断题

√×√√

五、定义题

1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.

2.答：不一定，如[]1111,11,1n n n +∞=⎛

⎫---+=- ⎪⎝⎭

3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.

4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.

六、解答题

1.解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1

于是

()[][]0,10,1f x dx xdx =⎰⎰

而x 在[]0,1上连续，所以 []()2

121000,11|22x xdx R x dx ===⎰⎰因此()[]

0,112f x dx =⎰. 2.解：令()()()()0,ln cos x n n x n f x x e x n

χ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且()()()()

0,0,ln cos x n n x n e xdx f x dx n -+∞+=⎰⎰ 因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n

-++≤≤∀∈+∞= 不难验证()()ln n x n g x n

+=，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞

=，所以