一道值得商榷的例题_梁宝同

用判别式法 , 用数形结合来处理 , 于是有如下解法 .
图2
图3
解
由
2 a
+1b
=1 , 则
P(2
,
1)在直线
x a+yb=1上 , a +b - a2 +b2的几何意义就是表示图 3 所示
的内切圆的直径 , 因此 , 问题转化为怎样使内切圆的
半径最大 .设半 径为 r , 由 O1 P ≥r 得(2 -r)2 +
·教学参考· 数学通讯 — 2013 年第 10 期 (下半月)
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原式 =cos(k π+π3 +α)+cos(kπ-π3 -α)
=(-1)kcos(π3 +α)+(-1)kcos(-π3 -α)
=(-1)k2cos(π3 +α)
=
2cos(π3 +α)(k 为偶数), -2cos(π3 +α)(k 为奇数).
一道值得商榷的例题
梁宝同
(安徽省颍上第一中学 , 236200)
文[ 1] 给出了一节有关“数形结合思想”的教学
设计示例 , 拜读之余 , 笔者发现其中一道例题有值得
商榷之处 , 现指出与大家一起探讨 .
例题 已知 a >0,
b >0 ,
2 a
+
1 b
=1 , 求
a
+b
- a2 +b2的最大值 .
cos(nπ+α)=(-1)n cosα, (n ∈ Z)
②
tan(nπ+α)=tan α.
sin(π2 cos(π2
α)=cos α, α)= ±sin α
③
共三组 , 较现行的六组精减了一半 .
关于符号
,
π 2
-α的函数符号全部为“
+”
,
只有
-α的函数符号有变化 , 又由于角 α, -α的终边关
>0 , 解得
m
<2 n
且n
<
2 m .于是便有如下的结论 :
定理 已知
a
>0 ,
b
>0 ,
m
>0 ,
n
>0 ,
m a
+bn
=1 , 其中 m <2n 且 n <2 m , 则 a +b - a2 +b2的
最大值为 2(m +n - 2m n).
参考文献 :
[ 1] 张琥 .“数 形结合思想” 教学设 计示 例之二[ J] .中学 数 学教学参考(上旬), 2013(1 -2). (收稿日期 :2013-05-27)
②
则 ②必须有 正实数 根 .事实上 , 因为 2r2 +2r
>0 , -4r2 <0 , 所以 ②式并无两个负根的情况 , 更不
可能有 0 的根 .因此 , ②式要有正实数根 , 只需使 Δ
≥0 , 即(2 r2 +2r)2 +16 r2(1 -2r)≥0 , 化简整理得 r2 -6 r +5 ≥0 , 解得
内切圆的直径最大值为 2 .故 a +b - a2 +b2 的最 大值为 2 .”
上述解法看似正确无误 , 但仔细想想其实不然 ,
只要验证等号能否取到即可 , 当 r =1 时代入 ②式 可得 a2 -4a +4 =0 , 解 得 a =2 , 由 已 知 a >0 ,
b
>0 ,
2 a
+1b
=1
可得
于 x 轴对称 , α与 -α的余弦线相同 , 正弦线是相反
数,
∴ cos(-α)=cosα, sin(-α)=-sin α,
这就彻底清除了符号看象限的烦脑 .
复杂的概念, 仅是对原始现象的描述, 进一步发展
规律后就变得简单了 .因此复杂不科学, 简单才科学 .
参考文献 :
[ 1] 何秀杰 .建立以 和角公式 为纲 的三 角新体 系[ J] .数 学 通讯 , 1999(6). (收稿日期 :2013-06-19)
求的问题就转化为求 OA +OB -AB 的最大值 .
步骤 2(由形化数):借助所画的图形 , 仔细观察
研究 , 揭示图形中蕴涵的较为简单的数量关系 , 反映
几何图形内在属性 .
设直角 ■OAB 的内切圆半径为 r , 则其圆心为
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数学通讯 — 2013 年第 10 期 (下半月) ·教学参考·
由于 sin(π2 +α)=sin[
π 2
-(-α)]
=cos(-α)
=cos α,
cos(π2 +α)=cos[
π 2
-(-α)]
=sin (-α)=
-sin α,
所以
,
公式
π 2
+α可归并于
π 2
-α, 这样全部诱
导公式就为 :
sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α
①
sin(nπ+α)=(-1)n sin α,
我们不 妨先 把问 题一 般 化 , 即已 知 a >0 , b >0 ,
m
>0 ,
n
>0
,
m a
+bn
=1
,求
a
+b
-
a2 +b2 的最
大值 .类似上面的数形结合的方法 , 可以由 O1 P ≥r
得到(m -r)2 +(n -r)2 ≥r2 , 化简得 r2 -(2 m +
2 n)r +m 2 +n2 ≥0 , 解得 r ≤m +n - 2 mn 或 r ≥
比较两种解法 :无话可说 , 后者妙不可言 !
例 2 , 3 是综合性题 , 是培养优等生的题 , 对于中
差生来说难以全面掌握 .难是难在复杂 , 如果按公式
nπ+α来讲解 , 可以说 , 中差生只有个别不能掌握 . 这说明提高教学质量 , 减少中差生 , 教材所含知识的
进步 , 理论的更新才是根本途径 .
探究 把 b =a -a 2直接带入 a +b - a2 +b2
可得
a
+a
a -2
-
a2 +(a a-2)2 (a >2), 笔者借助
几何画板的绘制函数功能 , 作出其图 象 , 如图 2 所
示 , 观察到为减函数 , 故最大值不存在 .下面给出严
格的数学解释 . 本节课主要讲数形结合思想 , 那么本题亦可不
m + n + 2m n (此 时 m + n + 2 mn >
m 2 +n2 , 即 r >OP , 故舍去), 当且仅当 O 1P =r
且直线 x a
+
y b
=1 的斜 率为 负值时 等号 成立 , 即
O 1P
的斜 率 为正 数 ,
n -r m -r
>0 ,
把
r
=m
+n
-
2m n代入得
2 mn -m 2m n -n
原文给出的解法如下 :
“解析 步骤 1(由数化
形):根据题设条件正确绘制
图1
相应的图形 , 使图形 能较为
真实地反应对应的数量关系 , 揭示出数与式的本质
特征 .
已知 a
>0 , b >0 ,
2 a
+1b
=1 , 将其转化成直线
x a
+by
=1 过定点(2 , 1)并且与
x
轴 、y
轴的正半轴
分别相交于 A(a , 0), B (0 , b)两点(图 1).因此 , 所
a
>2 , 故
r
=1
取不到 .其实 ,
仔细分析不难 得到 , 由于 张老师没有考 虑到 a >2
这个隐含条件 , 而错用判别式法 , 导致结果不正确 .因
此, 上面例题也在警告我们 , 不要乱用判别式法 , 或者 说用判别式法时一定要弄清楚变量的取值范围.那么,
上面的最大值到底存不存在 ? 若存在又是多少呢?
r ≥5 或 r ≤1
③
步骤 3(数形转化):仔细观察图形 , 分析数与式
的结构 , 适时将它们进行转化 , 并进行必要的精确计
算 , 揭示隐含的较为复杂的数量关系 .
因为 r <min {a , b }, 当 且 仅 当 a = b 时 ,
min{a , b}取最大值 3 , 因此
r <3
④
根据 ③④可得 r ≤1 , 即 r 的最 大值为 1 , 所以
(r , r), 根据圆心到直线 AB 的距离为 r , 可得 r =
ar +br -ab , 平方整理得 a2 +b2
2r2 -2(a +b)r +ab =0
①
因为直线
x a
+
y b
=1
过定点(2 , 1), 可得
b
=
a
a -2
,
代入
①式整理可得
(1 -2r)a2 +(2r2 +2r)a -4r2 =0
(1 -r)2 ≥r2 , 即 r2 -6r +5 ≥0 , 解得 r ≤1 或 r ≥5
(舍).当 r =1 时 , 此时 直线 正好与 x 轴 垂直 , 即
a =2 , 又 a >2 , 故 r =1 取不到 , 从而无最大值 .
评注 显然 , 由 于本题定 点的坐 标没有 处理