微积分(上)复习资料——概念

a-b
a
a+b
1.2 显函数和隐函数
明确因变量和自变量，可用 y=f(x)表示的函数称为显函数。反之不明确因 变量和自变量，不可用 y=f(x)表示，即只是表示 x 于 y 关系的函数隐函数。
Tip:
-1,x<1
符号函数 y=sgnx= 0,x=1
1,x>0
取整函数 y=[x]
1.3 有界性
设 f(x)在实数集 D 上有定义。若存在正数 M，是对 D 中的任意 x 都有 If(x)I ≤M，则称 f(x)在 D 上有界，f(x)是 D 上的有界函数，M 称为 f(x)在 D 上的一个 界。若不存在满足上述条件的 M，则无界。
定理 2：设 ， ，且 存在，则
2.8 函数连续性
定义 1
设 在 的某个邻域内有定义，若
，则称 在 连续，
并称 为 的连续点。 定义 2
设 在 的某个邻域内有定义，若 定义 3
，则称
若定义 1 中的 具体化为
或
，支持则称
右连续。 定理 1
在 连续的充要条件是其左右极限存在且相等。
在 连续。 在 左连续或
区间 I 上的每一个对应的导数记作
,有时也写成
。
定理若
可导则它一定在 连续
3.3 导数在经济学的应用
边际概念：
设
可导，则导数 叫做边际函数。成本函数的导数叫做边际成
本； 收入函数的导数叫做边际收入；利润函数的导数叫做边际利润。 函数的弹性：
在经济学，
的增量 称为函数在 x 的绝对改变量，导数 称为
3.导数 3.1 导数概念
设
在 的某个邻域内有定义，
若极限 则称 在 可导，并该极限称为
, 在 的导数。
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若 具体化为
或
，支持则称 在 左极限或右极限，
统称单侧极限。
在 可导的充要条件是其左右极限存在且相等。
3.2 导函数
若 在区间 I 上的点都可导，则称 是在区间 I 上的导函数，对于 在
可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点，其特点是左右极限都存在，其 余间断点则称为第二类间断点，其特点是左右极限至少有一个不存在，如：
无穷间断点：
的
震荡间断点：
在 时函数值在-1 与 1 之间无限次的变动。
2.10 连续函数的运算
定理 2(四则运算)
若 ， 在 连续，则其四则运算的结果也在 连续。
定理 3(复合函数的运算)
存在，则 f(x)在 的某去心邻域 有界
性质 3(局部保号性)：若 当 0<Ix- I<b 时，有 >0(或<0)
，则存在正数 b，
推论 1 若
，则存在正数 b，当 0<Ix- I<b 时，有
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> (或< ) 推论 2 若在 的某去心邻域内 ≥0(或≤0)，且
如果
在 连续，
在 连续，且
，则
在
连续。
定理 4(反函数的连续性)
若
在 单调连续则
在
连续。
推论 1 若 在 连续，则 定理 6(介值定理) 若 在 连续，且
在 有界。 ，
则 推论 2(根的存在定理) 若 在 连续，且
，则至少存在一个
,使
。 推论 3 在闭区间的连续函数必取得介于其最大值和最小值之间的任何值。
2.3 函数极限
设 f(x)为区间 D 上的函数，A 为任意值。若当 x→ ，f(x)→A，则称 是
f(x)的极限，记作 定理 1
或 f(x)→A (x→ )
的充要条件是
定理 2
的充要条件是 总结：极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
2.4 函数极限性质
性质 1(唯一性)：若
存在，则极限是唯一的
性质 2(局部有界性)：若
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2.极限 2.1 数列极限
设
，常数 。若当 n→∞， →常数 ，则称该数列收敛于 或收敛数
列， 称为极限。记作
或 → ,( n→∞)
若
没有极限，则称 不收敛，或称 为发散数列
2.2 收敛数列性质
性质 1(唯一性)：收敛数列只有一个极限 性质 2(有界性)：有界是收敛数列的必要条件 性质 3(保号性)：若数列极限为正(或负），则该数列从某一项开始的所有项 也为正(或负）。 性质 4:若数列收敛于 a，则它的子数列也收敛于 a。数列的任意一段数列称 为子数列
2.9 间断点
定义 4 设 在 的某个去心邻域内有定义，若 在 不连续，则称 为 的 不连续点或间断点。据此，必有下列情况之一： (1) 在 无定义；
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(2) 在 有定义但
不存在；
(3) 在 有定义，且
存在，但
。
可去间断点：上述(1)(3)
跳跃间断点： 在 的左右极限存在但不相等
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，则称
无穷小性质：
为当
(1)若 ， 为无穷小，则
时的无穷小。 ，
为无穷小。
(2)若 为无穷小， 为有界函数，则
仍为无穷小。
(3) 无穷大定义：
是一个当 时的无穷小。
若
，则称 为当 时的无穷大。
定理 1：在自变量 x 的同一变化过程中，若 为无穷大，则 为无穷小；
反之若 为无穷小，且
，则为无穷大。
2.7 无穷小的比较
2.5 极限存在准则——两个重要极限
定理 1(夹逼准则) 设数列{ }，{ }，{ }满足
(1)
(2)存在正整数 ，当
时,
,则数列{ }收敛，且
设函数 f(x)，g(x)，h(x) (1)
(2)在 的某个邻域内，有
，则
定理 2(单调有界准则)单调有界数列必有极限。
2.6 无穷小与无穷大
无穷小定义：
若
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微积分(上)复习资料——概念
复习步骤——
1.概念 2.公式 3.解题格式 4.题型
知识网络——
1.函数 2.极限 3.导数 4.导数应用 5.微分 6.微分中值定理 7.洛必达法则 8. 不定积分
1.函数
1.1 邻域
设有实数 a 及 b，b>0。{xIIx-aI}<b，为点 a 的 b 邻域，记为 U（a，b）。 若去掉点 a，{xI0<Ix-aI<b}为 a 的去心邻域。
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设 f 及 g 是在自变量 x 的同一变化过程中的无穷小，且
。
(1)若
，则 f 是比 g 高阶的无穷小，或 g 是比 f 低阶的无穷大，记
作
；
(2)若
，则 f 与 g 是同阶无穷小，记作
。
特别地，若
，则 f 与 g 是等阶无穷小，记作 。