巧用配方法解题4
配方法的题及其答案（精选3篇）
配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。
配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。
配方法的解题步骤
配方法是一种解决二次函数问题的有效技巧，尤其在求解一元二次方程和求二次函数最值时非常常用。
以下是使用配方法的解题步骤：1. 整理方程：将待求解的一元二次方程或二次函数表达式整理成一般形式ax^2 + bx + c = 0（a≠0）或y = ax^2 + bx + c（a≠0）。
2. 系数调整：如果a不等于1，可以先将方程两边同时除以a，使得二次项系数为1，即x^2 + (b/a)x + c/a = 0 或y = x^2 + (b/a)x + c/a。
3. 常数移项：将方程中的常数项c移到等号右边，得到x^2 + (b/a)x = -c/a 或y - c/a = x^2 + (b/a)x。
4. 配方：为了使等式左边成为一个完全平方的形式，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即[(b/a)/2]^2。
这样可以保证等式左边是一个完全平方的形式。
- 对于一元二次方程，有x^2 + (b/a)x + [(b/a)/2]^2 = -c/a + [(b/a)/2]^2，即(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)。
- 对于二次函数，有y - c/a = x^2 + (b/a)x + [(b/a)/2]^2，即y = (x + b/2a)^2 + (c/a - (b^2)/(4a^2))。
5. 求解方程：- 对于一元二次方程，利用开平方公式求解，即x + b/2a = ±√(b^2 - 4ac)/(2a)，化简后得到x = [-b ±√(b^2 - 4ac)]/(2a)。
- 对于二次函数，已经得到了顶点坐标(-b/2a, c/a - (b^2)/(4a^2))，可以直接画出图像并确定其性质。
以上就是配方法的基本步骤，通过这些步骤可以方便地求解一元二次方程和分析二次函数的性质。
需要注意的是，在实际应用中要根据具体问题灵活运用这些步骤。
配方法在解题中的应用
一
同 理 ，９ ｂ ２ — １ ８ ｂ ＝ （ ９ ｂ 一 ｌ ８ 西 ＋ ９ ） 一 ９ ＝ （ ３ ｂ 一 ３ ）
［ ２ ］ 钱佩玲 ． 中学 数 学思 想 方 法 【 Ｍ】 ． 北京 ：
北 京师 范大 学出版 社 ， ２ ０ ０ １ ．
点评 ： 利 用 配 方 法 求 值 常 常 需 要 利 用
１ 利 用配 方法求 二 次 函数最 值
例ｌ ： 某 农 家 旅 游 公 司 有 客 房３ ０ ０ 间， 每
变换 等 问题 。
关键词： 配方法 完全平方公式 二次函数 二 次三项式
中图分类号 ： Ｇ ４ ２ ０
． 文献标识码 ： Ａ
文章编号： ｌ ６ ７ ３ ～ ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ （ ｃ ） 一 ０ ０ ７ ８ 一 ｏ １
形成 一定的 数学思 想方法， 是 数 学 课
２ －２ ａ ＝（ ａ －２ ａ ＋１ ） 一１ ＝（ Ⅱ 一１ ） 一ｌ 在 教 学 中的 重 要 性 。 在 教 学 中， 使 学 生 掌 握 则得 到 。ａ
种 方法 ， 未 解 决 一 些 其 他 的 问 题 找 到 很
并灵活地运用“ 配方 法” 思考并解决问题 ，
将 大 大 地锻 炼 和 提 高 学 生 的 数学 思 维 能 力
例３ ： 化简， ／ ５ ． ２
分析 ： 化 简 就 是 将 根 式 化 为 最 简 二 次
算中考 ， ２ ０ １ ０ （ １ ０ ） ： ３ ６ — ３ ７ ．
配方法在初中数学解题中的应用_王亚峰
本文摘自中学数学教学参考
配方法在初中数学解题中的应用
河北省唐山市丰润区欢ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ庄乡中学 063000 王亚峰
从小学到中学，数学一直是一门必学课程，学生需要熟练 掌握的数学理论方法很多，配方法就是一种必须能够灵活运用 的解题方法． 配方法这种恒等变形的方法广泛应用于因式分 解、解方程、代数的配方与求值以及函数等数学教学领域，如果 学生可以熟练掌握并灵活运用这种方法，不仅可以有效地提高 数学成绩，而且能够培养学生的逻辑思维能力、计算能力和空 间想象能力． 配方法的计算过程严谨而缜密，思路清晰，可以让 学生体会到科学、严谨的科学态度与作风． 本文将详细介绍配 方法的教学目标和解析方法，举例论证配方法在初中数学解题 过程中的广泛应用，并针对如何提高配方法的教学效果提出个 人见解．
2． 配方法的解析方法 配方法的主要解析方法包括公式法、函数法和配方法等． 公式法是用现有 公 式 对 某 一 类 型 的 代 数 式 进 行 直 接 配 方，例 如： a2 + 2ab + b2 = （ a + b） 2 ，a2 － 2ab + b2 = （ a － b） 2 和 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = （ a + b + c） 2 等． 配方法应用于二次 函数，配方法一般是通过配成完全平方式的形式来解析一元二 次方程的跟． 二、配方法在初中数学解题过程中的广泛应用
运用“配方法”巧做因式分解
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２２ ２０运用配方法巧做因式分解运用 配方法 巧做因式分解Һ张㊀衡㊀（甘肃省通渭县黑燕山学校，甘肃㊀定西㊀７４３３０６）㊀㊀ʌ摘要ɔ因式分解的应用是学生在初中学习数学过程中最需要掌握的基本知识．如果学生能够掌握因式分解的概念，那么该概念将在今后因式分解的实际应用中发挥重要作用．因此，笔者根据多年的初中数学教学经验，对学生掌握因式分解的重要性㊁因式分解的教学方法以及因式分解教学中面临的问题进行了有效的分析，希望能为一线教师进行因式分解教学提供有效的帮助，从而有效地提高学生的数学成绩．人教版初中数学教材对于因式分解的问题，仅介绍了 提公因式法 和 公式法 这两种方法，然而在具体做题的过程中，我们发现仅仅运用这两种方法去分解因式有很大的局限性，很多式子都无法用这两种方法去分解．在这种情况下， 配方法 是我们最好的选择．本文将详细阐述如何运用 配方法 分解因式．ʌ关键词ɔ配方法；因式分解；提公因式法；公式法因式分解是初中数学中学习代数恒等式变换时的一种重要学习方法，常用于解决因式计算的数学问题，其基本概念便是将多项式整理成最简单的整式乘积的形式．可以看出，如果学生能够有效地运用因式分解，不仅可以提高数学能力，还可以通过因式分解更好地理解其他数学理论知识．因此，教师在进行数学因式分解的教学过程中，必须重视教学方式和方法，对学生进行系统㊁专业的教学，确保学生能够熟练掌握因式分解的基本概念，并应用于数学问题的求解．一㊁因式分解在初中数学中的重要作用初中数学的缜密性㊁专业性都比较强，掌握数学知识对于刚步入初中的学生而言是一项非常大的挑战．但是，学生一旦掌握了数学思想，理解了数学概念之后可以快速提高数学能力．众所周知，因式分解在初中数学课程中占有非常重要的地位，其主要功能体现在以下几个方面：１．因式分解是数学计算的基础．２．充分掌握因式分解的概念知识，并将其合理应用到数学解题思维中，可以使一些问题的计算方法更加方便，结果更加合理．比如：１００２－９９２＝（１００＋９９）（１００－９９）＝１９９．可以看出，使用因式分解法解决这种复杂的题型，既快捷，又准确．３．在初中数学学习过程中，解方程是十分重要的课程内容．例如，在求解二次方程问题时，因式分解法中的交叉相乘法比公式法更方便．此外，求解高阶方程时的最佳方法是使用因式分解法．比如解方程：ｘ３－４８ｘ＋７＝０，ｘ３－４８ｘ＋７－７ｘ２＋７ｘ２＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ２＋４８ｘ－７）＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ－１）（ｘ＋７）＝（ｘ＋７）（ｘ２－７ｘ＋１）．那么，原方程便应当是ｘ＋７＝０或者是ｘ２－７ｘ＋１＝０．由此可以可看出，利用因式分解法进行解题，可以使解题思路更清晰．二㊁目前因式分解法在教学过程中所面临的问题因式分解法在初中的数学学习中，属于必考易错的知识．教材中有提取公因式法和公式法两种解题思路．为了让学生更容易理解这两种方法的概念，有些教师会将两种不同的概念合并为一种，在同一节课中讲解这两种方法，然后让学生进行有针对性的练习．但毕竟在课堂上的时间是有限的，对于很多内容，学生缺乏足够的练习时间，更设有时间深入思考．回顾时教师会发现学生做的一些综合练习，效果不是很好，这是因为很多学生只看到了表面的知识点，没有办法着手解决更复杂的问题．根据笔者的经验，产生这些问题的主要原因如下：１．时间不足，学生对概念的理解不够透彻．在一个课堂上学习这两个概念，容易使学生感到困惑，不能灵活运用解决问题的思路；２．教师对思想重视不够，仅用因式分解的方法讲解一般内容，没有给予学生足够的练习时间，忽视了学生灵活解决问题能力的培养；３．在讲授内容的过程中，忽视了学生对方法的理解，只是一味地传递教师自己的思想，导致学生对公式概念的理解不足．一旦出现稍微难一点的题型或者相似题型，学生便不知该如何下手．㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２０三㊁初中数学运用 配方法 巧做因式分解案例分析人教版数学教材八年级上册 １４．３因式分解 一课中，主要讲述了运用 提公因式法 和 公式法 分解因式的具体方法和步骤．这两种方法浅显易懂，学生很容易理解和掌握．但笔者在多年的教学经验中发现，学生在做因式分解的题目时遇到的一些题型很难运用这两种方法去做，例如：式子（１）ｘ２＋８ｘ＋１５；（２）ｘ２－１０ｘ＋２４；（３）ｘ２＋ｘ－１２；（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２；（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５．于是，很多教师想到了老教材中的 十字相乘法 ，运用 十字相乘法 确实能够解决这类问题，但是在现行课本中没有安排这节内容，不属于‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“规定的内容，学生掌握起来也难度较大．那么对于这一问题，笔者建议运用 配方法 ．所谓 配方法 ，就是通过 添项 或 拆项 配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２＝（ａʃｂ）２的形式，即完全平方形式，来解决问题的方法．这种方法既可以帮助学生解决一些因式分解的问题，又为学生九年级学习一元二次方程和二次函数打好基础．那么就以上面的几个式子为例，讲讲运用配方法分解因式的方法和步骤．（一）方法步骤１．添项配完全平方式分解因式解：（１）ｘ２＋８ｘ＋１５＝ｘ２＋２ˑ４ｘ＋４２－４２＋１５（添 ４２－４２ 配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ＋４）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ＋４＋１）（ｘ＋４－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５）（ｘ＋３）（分解完毕）（２）ｘ２－１０ｘ＋２４＝ｘ２－２ˑ５ｘ＋５２－５２＋２４（添 ５２－５２ 配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－５）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ－５＋１）（ｘ－５－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ－４）（ｘ－６）（分解完毕）（３）ｘ２＋ｘ－１２＝ｘ２＋２ˑ１２ｘ＋１２()２－１２()２－１２(添 １２()２－１２()２配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式)＝ｘ＋１２()２－４９４（写成完全平方形式）＝ｘ＋１２()２－７２()２（写成平方差形式）＝ｘ＋１２＋７２()ｘ＋１２－７２()（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋４）（ｘ－３）（分解完毕）（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＋３６ｙ２－３６ｙ２（添 ３６ｙ２－３６ｙ２ 以便配方）＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－３６ｙ２（计算 －３５ｙ２＋３６ｙ２ 可配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－ｙ）２－３６ｙ２（写成完全平方形式）＝（ｘ－ｙ）２－（６ｙ）２（写成平方差形式）＝［（ｘ－ｙ）＋６ｙ］［（ｘ－ｙ）－６ｙ］（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５ｙ）（ｘ－７ｙ）（分解完毕）２．拆项配完全平方式分解因式（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５＝９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－９＋４（将常数项 －５ 拆成 －９＋４ ）＝９ｘ２＋１２ｘ＋４－１６ｙ２＋２４ｙ－９（移项）＝（９ｘ２＋１２ｘ＋４）－（１６ｙ２－２４ｙ＋９）（将要配方的两大块添上括号）＝［（３ｘ）２＋２㊃３ｘ㊃２＋２２］－［（４ｙ）２－２㊃４ｙ㊃３＋３２］（配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（３ｘ＋２）２－（４ｙ－３）２（写成完全平方形式）＝［（３ｘ＋２）＋（４ｙ－３）］［（３ｘ＋２）－（４ｙ－３）］（运用平方差公式分解因式）＝（３ｘ＋２＋４ｙ－３）（３ｘ＋２－４ｙ＋３）（取小括号后中括号变小括号）＝（３ｘ＋４ｙ－１）（３ｘ－４ｙ＋５）（分解完毕）（二）变式练习（１）ｘ２－４ｘ－５；（２）６ｘ２＋ｘ－２；（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２；（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８．解㊀（１）ｘ２－４ｘ－５＝ｘ２－２ˑ２ｘ＋２２－２２－５＝（ｘ－２）２－９＝（ｘ－２＋３）（ｘ－２－３）＝（ｘ＋１）（ｘ－５）㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４数学学习与研究㊀２０２２ ２０（２）６ｘ２＋ｘ－２＝６ｘ２＋１６ｘ－１３()＝６ｘ２＋２ˑ１１２ｘ＋１１２()２－１１２()２－１３[]＝６ｘ＋１１２()２－４９１４４[]＝６ｘ＋１１２()２－７１２()２[]＝６ｘ＋１１２＋７１２()ｘ＋１１２－７１２()＝６ｘ＋２３()ｘ－１２()＝３ｘ＋２３()ˑ２ｘ－１２()＝（３ｘ＋２）（２ｘ－１）（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＋４９ｙ２－４９ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－４９ｙ２＝（ｘ－ｙ）２－（７ｙ）２＝［（ｘ－ｙ）＋７ｙ］［（ｘ－ｙ）－７ｙ］＝（ｘ＋６ｙ）（ｘ－８ｙ）（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８＝４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋９－１＝４ｘ２＋１２ｘ＋９－９ｙ２－６ｙ－１＝（４ｘ２＋１２ｘ＋９）－（９ｙ２＋６ｙ＋１）＝［（２ｘ）２＋２㊃２ｘ㊃３＋３２］－［（３ｙ）２＋２㊃３ｙ㊃１＋１］＝（２ｘ＋３）２－（３ｙ＋１）２＝［（２ｘ＋３）＋（３ｙ＋１）］［（２ｘ＋３）－（３ｙ＋１）］＝（２ｘ＋３＋３ｙ＋１）（２ｘ＋３－３ｙ－１）＝（２ｘ＋３ｙ＋４）（２ｘ－３ｙ＋２）四㊁教师在因式分解教学中的建议在传统的数学课堂上因缺少趣味性，很难让学生对数学知识产生浓厚的兴趣，也不利于学生的发展，长此以往学生会对数学的学习产生厌烦情绪．在新课程改革背景下，教师打破了传统教学模式，改变了枯燥的数学知识的讲解方式，使学生由被动地接受知识转变为主动地探索知识．兴趣对学习的重要性得到了一线教师们的认同．只有学生对所学的教学内容产生了兴趣，才会在教学内容的吸引下去进行深层次的探究，这样才能使教学的质量和效果不断提升．因此，教师在教学中要高度重视这一点，根据学生的数学实际水平设计一些学生比较感兴趣的问题，进而把学生的注意力吸引到课堂教学活动中，引导学生对数学内容进行深层次的思考，并提出相应的问题．通过教师的启发式的教学方法，学生学会动脑思考问题，对问题进行探究，去探讨解决问题的方法和技巧，从而找到学习数学的兴趣点，产生学习数学的热情．例如，在平方差公式的教学中，教师随便在黑板上出了几道数学口算题，让学生快速的口算：１８２－１６２，由于教师说要快速计算出结果，学生都表现出了强烈的参与热情，同时也在心里产生了疑问，这么大的数字很难通过口算去进行计算，教师为什么会出这样的问题呢？学生都面露难色．教师随即引导学生，在学习了因式分解的平方差公式后，可以很轻松地解答来这样的问题．学生于是对学习平方差公式产生了强烈的兴趣．然后教师给出了（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）的式子，让学生利用所学的多项式乘法的计算方法试着计算，很快就计算出了结果：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２．那么按照等式的性质，反过来也是成立的．因此，１８２－１６２就可以用平方差公式来计算，这样学生就可以很轻松地通过口算计算出结果了．在教师的启发下，学生自主利用所学的数学知识，总结出了平方差公式，并在实际的应用中加以验证．教师把学生分成学习小组，让小组成员互相出题然后比赛看谁计算得快．这样课堂教学在热烈的学习氛围中获得了事半功倍的教学效果，同时教师通过启发引导，也培养了学生的创造性，激发了学生学习数学的主观能动性．五㊁结语当我们在做因式分解的练习时，遇到用所学的 提公因式法 和 公式法 无法分解的题目， 配方法 就是最适合的选择．以上就是配方法的教学步骤和搭配的变式练习，希望对同仁们的工作有所帮助．ʌ参考文献ɔ［１］常成．初中数学因式分解技巧研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（１）．［２］陈建新．指向数学核心素养的问题设计策略 以 一元二次方程的解法（第１课时） 为例［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１７（３２）．［３］王然恩．初中数学思想方法及其教学研究［Ｄ］．河北师范大学，２００５．［４］张涛．优化初中数学教学过程，提升初中数学教学效果［Ｊ］．考试与评价，２０１９（３）．［５］尹敬会．多媒体教学在初中数学教学中的应用策略研究［Ｊ］．中国校外教育，２０１８（３５）．。
利用配方法解题举例
利用配方法解题举例作为一个重要的数学方法，配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明．一、用于因式分解例1分解因式：(1)x4+4；(2)a2-4ab+3b2-2bc-c2解：(1)原式＝x4+4x2+4-4x2＝(x2+2)2-(2x)2＝(x2+2x+2)(x2-2x+2)．(2)原式＝(a2-4ab+4b2)-(b2+2bc+c2)＝(a-2b)2-(b+c)2＝(a-b+c)(a-3b-c)．二、用于求值例2已知x2+y2+4x-6y+13＝0，x，y为实数，则x y＝_______．解：由已知等式配方，得(x+2)2+(y-3)2＝0．因x，y为实数，故x＝-2，y＝3．故x y＝(-2)3＝-8．三、用于化简根式四、用于解方程(组)例4解方程(x2+2)(y2+4)(z2+8)＝64xyz(x，y，z均为正实数)．解：原方程变形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz＝0．各自配方，得(xyz-8)2+2(4x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2＝0．解：显然，x＝y＝z＝0适合方程组．当x≠0，y≠0，z≠0时，原方程组可变形为：∴ x＝1，y＝1，z＝1．五、用于求最值解：所求式变形配方，得∴当x＝1时，y有最小值1．六、用于证明恒等式例7四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+b4+c4+d4＝4abcd．求证：a ＝b＝c＝d．证明：已知等式变形，得a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d2+2a2b2+2c2d2-4abcd＝0．配方，得(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2＝0．∴ a2＝b2，c2＝d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．七、用于证明不等式例8若a，b，c为实数，求证：a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．证明：∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)＝(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)＝(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，∴ a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．八、用于判定几何图形的形状例9已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ca＝0，试判定△ABC 的形状．解：仿上例，已知等式可化为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＝0．∴ a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0．即a＝b＝c．故△ABC是等边三角形．。
活用配方法解题
语数外学 习 （ 九年级 ）
＋、 形结合 法 数
例 １ 比较、 ＋ ／ ２ ／ １ ／ 、了＋ 、而与 ８ ／ 的大小． 、 解： 可通过在方格纸上作折线 图来 进行 比较．
、 Ｔ ＋ ／ ＋ 、 Ｔ ＝ ／ 、 。 、 ＋ ／ ／ ２ 、Ｔ ＋ ／ ＼ ／ ＋ ／ 、 Ｔ ．
Ｅ
・
此种 解法告诉我 们 ， 二次 也可 以使用 配方法．
二、 配方法的变式应用 例 ２ 解方程 （一 ） ＋ ： 并 ２２ ３ －
例 ５ 已知
帆 ４ １＝ ，求 ， ＋ ＋ ３ 的
值．
解： 原方程可 以变形为 （．
０ ．
分析 ： 含 ， 可将 Ｙ的方程化为两个 非负数 的和 为 ０的形式 ， 根 据 “ 个 非 负 数 的 和 再 两 为 ０． 这 两 个 非 负 数 均 为 ０ 求 出 两 个 未 则 ”
（ ＋ ＋ ） （ ６ ＋ ） ０ ４ ４ ＋ 一 ９ ＝ ．
即（ ＋ ） （一 ） Ｏ １ ２ ３ ． ＋ ＝ 又 （ ＋ ） ０ （一 ）Ｉ０ ｊ ２ ， ３ ， １ ＞ ＞
’ ． ．
点评 ： 里把 “一 ” 为一 这 ２作 方 ， 以使运算过程 变得 简单 ． 可 三、 配方法的选择应 用 分析 ： 本题的常数项及一次项系数都很大 ．
未 知数时 ， 有时可 以利用 “ 几个 非负数 的和 为
０ 则这几个非负数均为 ０来 求解． ． ” 五、 配方法的归纳应用 配方法既然有这么多 的应用 。 那么能否用
配方法解一个一般 的一元二次方 程 ＋ ｃ ＋ ＝
8 例析利用配方法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用配方法解题题型配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。
所谓配方法：是把代数式通过“凑”、“配”等手段，善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法；配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明及二次曲线的讨论。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222)b a (b ab 2a ±=+±；将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式；如：ab 2)b a (ab 2)b a (b a 2222+-=-+=+；222222)b 23()2b a (ab 3)b a (ab )b a (b ab a ++=+-=-+=++；])a c ()c b ()b a [(21ca bc ab c b a 222222+++++=+++++； 2)x cos x (sin x cos x sin 21x 2sin 1+=+=+；2)x1x (2)x 1x (x 1x 2222+-=-+=+。
一、运用配方法解方程对有一类方程的求解，可运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，则就需要配方。
例1、求方程05y 4x 2y x 22=+-++的解x ，y 。
【提示】 【解析】 【评注】例2、证明：无论m 取何值，关于x 的方程05m x 4x )10m 6m (22=-++-都是一个一元二次方程。
二、运用配方法解（证明）不等式根据完全平方的非负性，结合配方，可解决不等式的证明与建立不等量关系，解决不等式问题。
例3、设方程2x kx 20++=的两实根为p 、q ，若22p q ()()7qp+≤成立，求：实数k 的取值范围。
配方法的四种常见应用(沪科版)(原卷版)
配方法的四种常见应用考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对配方法的四种常见应用的理解！【类型1 利用配方法确定未知数的取值】1．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式−x2+6x−m的最大值为10，则m的值为（）A．1B．−1C．−10D．−192．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c，则c的值为（）A．−3B．0C．1D．33．（2023春·浙江杭州·八年级期末）若−2x2+4x−7=−2(x+m)2+n，则m，n的值为（）A．m=1,n=−5B．m=−1,n=−5C．m=1,n=9D．m=−1,n=−94．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（）A．1B．2C．4D．55．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，则k的值可能是()A．0B．2C．3D．926．（2023春·天津和平·八年级校考期中）若方程4x2−(m−2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为（）A．−2B．−2或6C．−2或−6D．2或−67．（2023春·河北保定·八年级统考期末）将一元二次方程x2−8x+5=0配方成(x+a)2=b的形式，则a+b 的值为．8．（2023春·山东威海·八年级统考期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为．9．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m)2+n（1）则m= ，n= ；（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7 ?10．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+2√3x+5=x2+2×√3x+(√3)2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【类型2 利用配方法构造“非负数之和”解决问题】1．（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2−2c=−1，c2−2a=−17，则a−b+c的值为（）A．−1B．5C．6D．−72．（2023·全国·八年级专题练习）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是．3．（2023春·江苏·八年级期末）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为．4．（2023春·八年级课时练习）根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值；(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知a+b−2√a−1−4√b−2=3√c−3−1c−5，求a+b+c的2值．6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）（1）若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：因为m2−2mn+2n2−8n+16=0，所以(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0由此，可求出m=______；n=______；根据上面的观察，探究下面问题：（2）x2+4xy+5y2+2−2√2y=0，求2x+y的值；7．（2023春·全国·八年级专题练习）已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b 的值．8．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零．例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，∴n=2，m=-3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a=．b=．（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求x y的值．（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读与思考的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2+4x−5=x2+4x+22−22−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解①x2+3x−4；②x2−8x−9（2）深入研究：说明多项式x2−6x+12的值总是一个正数?（3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2−2ab+2b2−2bc+c2=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．10．（2023春·内蒙古赤峰·八年级统考期末）阅读材料：若x2−2xy+2y2−8y+16=0，求x，y的值．解：∵x2−2xy+2y2−8y+16=0∴(x2−2xy+y2)+(y2−8y+16)=0∴(x−y)2+(y−4)2=0∴(x−y)2=0，(y−4)2=0∴y=4,x=4根据上述材料，解答下列问题：（1）m2−2mn+2n2−2n+1=0，求2m+n的值；（2）a−b=6，ab+c2−4c+13=0，求a+b+c的值．11．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）设b为正整数，a为实数，记M=a2−4ab+5b2+2a−2b+11，4在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值，并求出M取得最小整数值时a，b的值．12．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=(x−2)2−2；②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=(x−√2)2+(2√2−4)x，或x2−4x+2=(x+√2)2−(4+2√2)x③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=(√2x−√2)2−x2根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求x y的值．13．（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1−1=a2+6a+9−1=(a+2)(a+4)②M=a2−2ab+2b2−2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2−2ab+2b2−2b+2=a2−2ab+b2+b2−2b+1+1=(a−b)2+(b−1)2+1∵(a−b)2≥0，(b−1)2≥0∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2−2x+______．3(2)用配方法因式分解：x2−4xy+3y2．(3)若M=x2+8x−4，求M的最小值．(4)已知x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5=0，则x+y+z的值为______．【类型3 利用配方法求最值】1．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）代数式x2−4x+5的最小值为（）A．−1B．0C．1D．22．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是（）A．B−A的最大值是0B．B−A的最小值是−1C．当B=2A时，x为正数D．当B=2A时，x为负数3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2−10)，且实数m，n 满足2m−3n2+9=0，则点P到原点O的距离的最小值为（）A．35√10B．125C．65√3D．45√54．（2023春·浙江·八年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：a1(x−m)2+n=0与a2(x−m)2+n=0，称为“同族二次方程”．如2(x−3)2+4=0与3(x−3)2+4=0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2(x−1)2+1=0与(a+2)x2+(b−4)x+8=0是“同族二次方程”．那么代数式ax2+bx+2018能取的最小值是（）A．2011B．2013C．2018D．20235．（2023春·福建福州·八年级福建省罗源第一中学校考期中）已知实数m、n满足m−n2=8，则代数式m2−3n2+m−14的最小值是．6．（2023春·广东韶关·八年级校考期末）阅读下面的解答过程：求y2+4y+8的最小值解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4=(y+2)2≥0，即(y+2)2的最小值为0，∴(y+2)2+4的最小值为4．即y2+4y+8的最小值是4．根据上面的解答过程，回答下列问题：(1)式子x2+2x+2有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）．(2)求12x2+x的最小值．(3)求−x2+2x+4的最大值．7．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．应用：代数式m2−1有值(填“最大”或“最小”)这个值是．探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x−1的最小值，并求此时x的值，拓展：求多项式x2−4xy+5y2−12y+15的最小值及此时x，y的值8．（2023春·广东惠州·八年级期末）阅读理解：求代数式x2+6x+10的最小值.解：因为x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1，所以当x=−3时，代数式x2+6x+10有最小值，最小值是1.仿照应用求值：(1)求代数式x2+2x+10的最小值；(2)求代数式−m2+8m+3的最大值.9．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数y=x+1x时，提出了如下问题：（1）初步思考：自变量x的取值范围是_______________（2）探索发现：当x>0时，y>0；当x<0时，y<0．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限；（3）深入思考：当x>0时，y=x+1x =(√x)2+(1√x)2=(√x−1√x)2+2≥2，于是，当√x−1√x=0时，即x=1时，y的最小值是2．请仿照上述过程，求当x<0时，y的最大值；【实际应用】（4）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【类型4 利用配方法比较大小】1．（2023·全国·八年级假期作业）若代数式M=10a2+b2−7a+8,N=a2+b2+5a+1，请比较M、N的大小．2．（2023春·浙江杭州·八年级期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣3）．2（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．3．（2023·江苏·八年级假期作业）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8=a2+6a+32−32+8=(a+3)2−1因为(a+3)2≥0，所以a2+6a+≥−1，因此，当a=−3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是−1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x=___________时，代数式x2−2x−1有最小值，最小值为___________．(2)当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)当x，y何值时，代数式5x2−4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？(4)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由．4．（2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）问题：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2xa−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa−3a2=(a2+2ax+a2)−a2−3a2=(x+a)2−4a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法"，解决下列问题：(1)分解因式：a2−6a+8.(2)比较代数式x2−1与2x−3的大小.5．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求y的值；（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．6．（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）先阅读后解题：若m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：等式可变形为：m2+2m+1+n2−6n+9=0即(m+1)2+(n−3)2=0因为(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，所以m+1=0，n−3=0即m=−1，n=3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x2+y2+4x−10y+29=0，求y x的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−6b+11=0，则△ABC的周长是________；（3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x−3与x2+3x−4的大小，并说明理由．7．（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下列材料利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式．例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1（1）填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系．∵x2﹣2x＋3＝（x﹣）2＋．∴x2﹣2x＋30（填“＞”、“＜”、“＝”）（2）如图①所示的长方形边长分别是2a＋5、3a＋2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a＋5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．8．（2023春·广东肇庆·八年级德庆县德城中学校考期中）材料阅读结论：①形如(a±b)2+c的式子，当a±b=0有最小值，最小值是c；②形如−(a±b)2+c的式子，当a±b=0有最大值，最大值是c；③а2+b2≥2ab．这三个结论有着广泛的运用．比如：求x取何值时，代数式x2−4x+3有最小值，最小值是多少？小明同学用结论①求出了答案，他是这样解答的：∵x2−4x+3=x2−4x+(4−4)+3=(x2−4x+4)−4+3=(x−2)2−1∴当x−2=0，即x=2时x2−4x+3的值最小，最小值为−1．理解运用请恰当地选用上面的结论解答下面的问题(1)求x取何值时，代数式−x2−6x+5有最大值，最大值是多少？(2)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：方案一：第一次提价p%，第二次提价q%：%．方案二：第一次，第二次提价均为p+q2其中p，q是不相等的正数，请比较两种方案，哪种方案提价较多？。
巧用配方法解题
巧用配方法解题配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式．配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．一、用配方法解方程例1 解方程：2x 2－3x+1=0．分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1． 将二次项的系数化为1；2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；4．将方程化为(x+m)2=n 的形式；5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．解：方程两边都除以2，得.02123—2=+x x 移项，得.21—23—2=x x 配方，得222)43(21—)43(23—+=+x x ， 161)43—(2=x ， 即4143—=x 或.41—43—=x 所以x 1=1，.212=x 二、用配方法分解因式例2 把x 2+4x —1分解因式．分析：在原式中加上4的同时又减去4．解：原式=x 2+4x+4—4—1=x 2+4x+4—5=(x+2)2—2)5(=).5—2)(52(+++x x三、用配方法求代数式的值例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—422=+++b a b a ，求—ab 的平方根．分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+++b a b a ， ∴0)144()41—(22=++++b b a a ， 即0)12()21—(22=++b a ， ∴.21—,21==b a ∴±.21)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值例4 代数式2x 2—3x —1有最大值或最小值吗？求出此值．分析：代数式2x 2—3x —1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．解：2x 2—3x —1=2(x 2—23x)—1=2(x —43)2+.81 ∴当43=x 时，2)43—(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2—3x —1有最小值为81． 五、用配方比较两个代数式的大小例5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3—2x 2—4x+1与3x 3+4x+10的值的大小． 分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．解：（3x 2—2x 2—4x+1）—（3x 3+4x+10）=—2x 2—8x —9=—2(x+2)2—1<0，所以对于任意实数x ，恒有3x 3—2x 2—4x+1<3x 3+4x+10．六、用配方法证明等式和不等式例6 已知方程中(a 2+b 2)x 2—2b(a+c)x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数．求证：.x ab bc == 分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a ，b ，c ，x ．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b ，c ，x 之间的关系．证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a 2x 2—2abx+b 2)+(b 2x 2—2bcx+c 2)=0，∴(ax —b)2+(bx —c)2=0．∵a ，b ，c ，x 都是实数，∴(ax —b)2≥0,(bx —c)2≥0．∴ax —b=0,bx —c=0． ∴.x a bb c ==。
高中数学解题积分方法之配方法
配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log1(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
巧用配方法解题
•JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法.F；#巧用紀解L◎朱静怡(扬K大学，江苏扬K225000)!摘要】配方法是中学解题中一种极其重要的恒等变形，其应用非"广泛.在解方程、求最值中，随处可见到它的身影.对于中学生来说，配方法的灵活应用能够帮助他们更快更好地解决数学问题，提高其解题能力，为以后接触更多更复杂的数学难题打下良好的基础.熟练掌握配方法的基本概念及技巧，可以大大提高学生的解题效率和正确性，同时对学生综合能力的培养也有促进作用.!关键词】配方法；中学数学；解题一、引言配方法是数学解题方法的灵魂之一，是数学解题方法的一盏指路明灯.一般意义上的配方法是指运用“添项”“配凑”的方法,通过恒等变形，将式子转化为完全平方或者含有完全平方的代数式.主要在二次方程和二次函数求最值中运用.所谓更深意义上的配方法是指在实数的范围内产生非负数的特殊功能，其主要应用于基本不等式、柯西不等式、几何距离等.初中利用配方法将式子变形为一个完全平方式或多个完全平方式的和式的恒等变形，以达到快速解题的目的.通过对配方法在解一元二次方程、因式分解、函数最值中的相关应用的研究与归纳，可以进一步加深学生对配方法的理解和掌握，构建关于配方法的完整体系.二、一元二次方程求解中学阶段,一元二次方程根的求解是一个重要的数学知识点，对根的求解是每名学生必须学会的，学生要善于运用配方法求解根，在解题中，要重视配方法的运用.例1解方程3%2+4%=6.解题思路首先将方程的二次项系数化为1，然后配方，观察等式的左边，发现没有常数项，如果将等式的两边都加上(寻)，将会得到%2+令%+(寻)=2+(寻)，将其合并化简，开方，移项后得出最后的答案.具体解题方法如下：解v3%2+4%=6，24/2\2=/2\2I2\222•%+亍％+(T)=2+(T)<(%+亍)=歹，•%+寻=士华，332/2x=—――±—-—.33在解此类一元二次方程时，首先要将最高项系数化为1，然后再运用配方法，将等式左边化为两个一次项乘积，从而把解二次项的方程/(%)=0的问题转化为求一次项的方程问题.由此得出结论，一些高次方程也可以运用此种方法解.例2解方程%4-2%3-24%2+80%-64=0.解题思路观察上述式子，我们发现上述式子可以拆成两个完全平方,再利用平方差，等式左边就能化成两个式的积.解首先将-24%2项拆成%2和-25%2，(%4-2%3+%2)-(25%2-80%+64)=0，得(%2-%)2-(5%-8)2=0，(%2-%+5%-8) (%2-%-5%+8)=0，(%2+4%-8) (%2-6%+8)=0，因此，%2+4%-8=0或%2-6%+8=0.分别解上述方程，得到原方程的四个根是：%1=-2+2//，%2=-2-2//，%3=2，%4=4.根据例2可以归纳出四次方程求解的核心要点，通过把原方程的左边先拆分再配成两个完全平方的差，把求解次方转解两个二次方，而得到解.通过利用配方法，使我们在求解高次方程解时，不再那么盲目、不知所措.三、因式分解求解在中学阶段，因式分解问题是常考的一类题型，在处理此类题型时，通常使用的是十字相乘法、提公因式法、公式法.这三种方法可以帮助我们快速分解因式.但是当上述三种方法都不能解决时，我们就可以考虑配方法.因式分解的方法多种多样，这就需要学生通过自己的积累逐步掌握.例3因式分解%2-4%+1.解题思路观察上述因式，我们发现常规的方法都不适宜此题,在这种情况下，我们就可以考虑配方法.首先根据未知数％，我们可以运用加减常数的方式得出%2-4%+ 1=%2-4%+4-4+1=(%-2)2-3，方差公式，进一步得到答案%2-4%+1=(%-2+//)(%-2-//)，具体解题方法如下：数学学习与研究2020.4JIETI JIQIAO YU FANGFA • •解题技巧与方法144 ---------------------------------------------------------------解 %2 一4% + 1 = %2 -4%+ 4-4+1=(% -2)2 - 3=(% - 2 + //) (% - 2 - //).这样的问题打破了我们常规的解题思路，多方面对学 生所学的知识进行了考查,这里的配方法告诉我们,在解题时，要突破传统、打开眼见,不能中规中矩•配方法在因式分 解中的应用，培养了学生的创新能力,促进了学生多角度思 考问题，善于将所学的方法贯穿于不同的题中.四、 代数求值在面对代数求值时，配方法也是一种常用到的技巧.当 我们遇到一个等式中求解两个或三个未知数的值时，我们应该培养学生的配方思想.在此类题型中，教师要引导学生关注式子的结构，能够培养学生通过式子的结构来判定是 否使用配方法.例4 已知有理数％,0,h 满足// + // - 1 + // -2 =寺(% + 0 ++),那么，(% -0Z )3的值为多少？解题思路遇到一个等式中有多个未知数并且要求我们进行代数求解时，一般需要经过移项、拆项、配方，然后将等式左边化为三个完全平方式的和，等式右边为零的情形，从而利用完全平方的性质，求解出未知数.解 ]// + // _ 1 + // -2 =寺(% +0 +z )，.% - 2 // + 1 + ( 0-1 ) - 2 // _ 1 + 1 + ( z - 2 )-2 ////- +1 =0，(/% - 1)2 + ( // -1 - 1)2 + ( // -2 - 1)2 =0.又](//-1)2#0，( /0T -1)2#0，(//--1)2 #0，.% = 1，0 = 2，z = 3，故(％-0z )3 = (1 -2x3)3 = - 125.此类题型是中学数学中常见的题型，但是对于此类题， 学生往往很难将其解出，主要的原因就是他们不知道怎么将未知数求解出来，在配方时也容易出现不会组合的情况. 此类题型是配方法中较难的一类，涉及的未知数较多，如果能将此类题型熟练地掌握，对配方法的认识将更近一步.五、 函数最值求解在中学阶段，函数最值问题的解答可以利用配方法，通 过对代数式的恒等变形,构造完全平方，然后通过对二次函数图像的分析，最终可以求解出最大值和最小值.例5 求函数0 = sin 2%+4coss -2的最大值和最小值.解题思路观察例5,我们发现函数中既含有正弦函数又含有余弦函数，显然是无法直接求解的.首先，由正余弦函数的关系sin 2% + cos 2% = 1变形转换，可得cos 2% = 1 -sin 2%，将其代入0 = sin 2% +4coss -2,合并化简，从而将原函 数转化为一个只含有正弦的函数0 = - cos 2% +4coss - 1，配 方后得0= -( css -2)2 + 3再考虑函数的定义域，得-1 $ css W 1，因此，根据二次函数的性质，可以得到最大、最小值分别为多少.解 0 = 1- cos 2% + 4coss - 2= -(cos 2% -4coss +4) + 3=- ( css%- 2) 2 + 3.]-1 $ coss $ 1，.当Coss = - 1时，就是% = (2N + 1) !(N 是整数时)，0D =- 6 ；当coss = 1时，就是% =2饰(N 是整数时)，0”* =2.函数最值问题的求解是中学数学中必不可少的一部 分，是在中考、高考中经常涉及的问题，正确研究此类题目的解决方法有着重要的意义.通过例5,我们需要注意的是，在三角函数的最值问题求解时，当我们不能一下子对式子进行平方时，可以首先对式子进行变形，在最后求解最大、 最小值时不要忘了正余弦函数其自身的取值范围，结合正 余弦函数自身的取值范围与条件中所给的范围，在最终的 范围内进行取舍.六、小结从以上几个例子可以看出，配方法是学生学好数学的一把“金钥匙”.作为中学阶段常用的解题方法之一,配方法 在解题方面发挥着重要的作用，同时还增强了学生的创新能力.学习数学的关键在于其数学思想的学习，灵活运用各 种数学思想方法可以帮助学生更好地切入主题，从而快速地解题，因此，在学习配方法时，教师可以将思维训练贯穿其中,努力帮助学生探究新的方法.为了能够帮助学生进一步地理解掌握配方法，教师应该依据教材，优化教学方法, 必要时刻可以借助多媒体来加深学生对配方法的理解与掌握.【参考文献】[1] 罗增儒.数学解题学引论[J ].中学数学教学参考，2016(32) ：2.[2] 许永江,蔡建锋.突出教学方法,提升解题能力—— “配方法解一元二次方程”课堂教学实录与点评[J ].中学数学,2015(10) ：6 - 8.[3] 张耀，刘振铎.浅谈配方法在中学代数中的重要性 [J ].运城学院学报,1996(4) ：12-14.[4] 杨爱东.三角函数最值问题的常见解法# J ].高中数 学教与学,2016(24) ：48 -49.数学学习与研究2020. 4。
第1讲 怎样用配方法解题
第1讲怎样用配方法解题知识梳理配方法是中学数学中一种重要的解题方法，应用十分广泛，巧用配方法，可使很多数学问题迎刃而解，主要依据：（a+b）2=a 2+2ab+b 2;（a-b）2=a 2-2ab+b 2典例分析题型一、巧用配方法解题例1、若a+x 2=1997,b+x 2=1998,c+x 2=1999,且abc=12，求【趁热打铁】1.已知a、b、c 均为整数，且满足a 2+3b 2+3c 2+13<2ab+4b+12c，试求ba b a c ++-+)()a (的值cb a ca b bc a c 111ab ---++题型二、用配方化简例2、化简【趁热打铁】1.设x>0，化简题型三、巧用配方证明例3、已知a 12+a 22+…+a n 2=19972，b 12+b 12+…+b n 2=19992,a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =1997×1999,以上各数均为实数，且b 1、b 2、…、b n 均不为零，求证nn b a b a a === 2211b )1552326(2)71)(51(211+---+++142121142121+-+-+++x x x x【趁热打铁】1、用配方法证明:不论x 为任何实数,代数式5.442+-x x 的值恒大于0.题型四、巧用配方分解因式例4、（1+y）2-2x 2（1+y 2）+x 4（1-y）2【趁热打铁】(1)44x +;(2)22(1)(1)4m n mn --+.考点五、巧用配方判定例5、设a、b、c为△ABC的三边，且（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是一个完全平方式，试判定△ABC的形状。
【趁热打铁】1．已知9x2＋18(n－1)x＋9n2＋n是完全平方式，求常数n的值．考点六、巧用配方解方程（组）例6、求方程x2-6xy+13y2=100的正整数解【趁热打铁】1、x 2+y 2+4x-6y+13=0,x、y 为实数，求x y 的值实战演练课堂狙击1．已知：a,b,c,d 都是整数且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.2．求方程x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解3．化简下列二次根式：①347+；②32-；③223410+-.4．因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.5．阅读材料:把形如2ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即222a ab b ±+2()a b =±.例如:2(1)3x -+、2(2)2x x -+、2213(2)24x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子，写出249x x -+三种不同形式的配方;(2)将22a ab b ++配方(至少两种不同形式);(3)已知2223240a b c ab b c ++---+=,求a b c ++的值.6．求证：五个连续整数的平方和不可能是一个整数的平方.课堂反击1．因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4；②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9；③x 4+x 2-2ax-a 2+1.2．化简下列二次根式：①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）；②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)；③21217-；④53+；⑤324411-+；⑥5353-++；3．已知：a 2+b 2+c 2=111,ab+bc+ca=29.求：a+b+c 的值.4．已知：实数a,b,c 满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式cb a 111++值的正负.5．解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0；②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.6．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=42-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k +2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？。
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巧用配方法解题
配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式．
配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．
一、用配方法解方程
例1 解方程：2x 2－3x+1=0．
分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1．将二次项的系数化为1；
2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；
3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4．将方程化为(x+m)2=n 的形式；
5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）． 解：方程两边都除以2，得.02123—
2=+x x 移项，得.2
1—23—2=x x 配方，得222)4
3(21—)43(23—+=+x x ， 16
1)43—(2=x ， 即4143—=x 或.4
1—43—=x 所以x 1=1，.2
12=x 二、用配方法分解因式
例2 把x 2+4x-1分解因式．
分析：在原式中加上4的同时又减去4．
解：原式=x 2+4x+4-4-1=x 2+4x+4-5
=(x+2)2-2)5(=).5—2)(52(+++x x
三、用配方法求代数式的值
例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—422=+++b a b a ，求—ab 的平方根．
分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+
++b a b a ， ∴0)144()41—(22=++++
b b a a ， 即0)12()2
1—(22=++b a ， ∴.2
1—,21==b a ∴±.2
1)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值
例4 代数式2x 2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值． 分析：代数式2x 2-3x-1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．
解：2x 2-3x-1=2(x 2-23x)-1=2(x-43)2+.81 ∴当43=x 时，2)4
3—
(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2-3x-1有最小值为81． 五、用配方比较两个代数式的大小
例 5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3-2x 2-4x+1与3x 3+4x+10的值的大小．
分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．
解：（3x 2-2x 2-4x+1）-（3x 3+4x+10）
=-2x 2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，
所以对于任意实数x ，恒有
3x 3-2x 2-4x+1<3x 3+4x+10．
六、用配方法证明等式和不等式
例6 已知方程中(a 2+b 2)x 2-2b(a+c)x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数． 求证：.x a
b b
c == 分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a ，b ，c ，x ．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b ，c ，x 之间的关系．
证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a 2x 2-2abx+b 2)+(b 2x 2-2bcx+c 2)=0，
∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．
∵a ，b ，c ，x 都是实数，
∴(ax-b)2≥0,(bx -c)2≥0．
∴ax-b=0,bx-c=0． ∴
.x a
b b
c ==。