巧用配方法解题4

巧用配方法解题

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式．

配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．

一、用配方法解方程

例1 解方程：2x 2－3x+1=0．

分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

1．将二次项的系数化为1；

2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；

3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；

4．将方程化为(x+m)2=n 的形式；

5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）． 解：方程两边都除以2，得.02123—

2=+x x 移项，得.2

1—23—2=x x 配方，得222)4

3(21—)43(23—+=+x x ， 16

1)43—(2=x ， 即4143—=x 或.4

1—43—=x 所以x 1=1，.2

12=x 二、用配方法分解因式

例2 把x 2+4x-1分解因式．

分析：在原式中加上4的同时又减去4．

解：原式=x 2+4x+4-4-1=x 2+4x+4-5

=(x+2)2-2)5(=).5—2)(52(+++x x

三、用配方法求代数式的值

例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—422=+++b a b a ，求—ab 的平方根．

分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+

++b a b a ， ∴0)144()41—(22=++++

b b a a ， 即0)12()2

1—(22=++b a ， ∴.2

1—,21==b a ∴±.2

1)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值

例4 代数式2x 2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值． 分析：代数式2x 2-3x-1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．

解：2x 2-3x-1=2(x 2-23x)-1=2(x-43)2+.81 ∴当43=x 时，2)4

3—

(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2-3x-1有最小值为81． 五、用配方比较两个代数式的大小

例 5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3-2x 2-4x+1与3x 3+4x+10的值的大小．

分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．

解：（3x 2-2x 2-4x+1）-（3x 3+4x+10）

=-2x 2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，

所以对于任意实数x ，恒有

3x 3-2x 2-4x+1<3x 3+4x+10．

六、用配方法证明等式和不等式

例6 已知方程中(a 2+b 2)x 2-2b(a+c)x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数． 求证：.x a

b b

c == 分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a ，b ，c ，x ．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b ，c ，x 之间的关系．

证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a 2x 2-2abx+b 2)+(b 2x 2-2bcx+c 2)=0，

∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．

∵a ，b ，c ，x 都是实数，

∴(ax-b)2≥0,(bx -c)2≥0．

∴ax-b=0,bx-c=0． ∴

.x a

b b

c ==