平面曲线弧长极坐标公式探讨[1]
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M
s MM MM MM ( ) lim lim 0 0 MM 0 MM
lim
0
M
( )
lim
MM MM
( ) ( )
从而得到的弧长元素的计算公式
2
[4-5]
，采
用计算与证明相结合的方式，指出只能用 ds 2 ( ) ( ) d 表示弧长元素，而不能为 ds ( )d ．
1 平面曲线弧长的定义与弧长元素的极坐标公式
高等数学中，通过在曲线弧上取分点，依次连接相邻的分点得一折线，考查当分点的数目无限增加且 每个小段弧都缩向一点时折线长的极限来定义弧长．若极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长．若曲线弧 由极坐标方程 ( )( ) 给出，其中 ( ) 在 [ , ] 上具有连续导数，则弧长元素为
2 ( ) ( ) d ，not be ds ( )d ．
2
Key words：a curve in plane；arc length；polar coordinates 平面曲线的弧长是通过内接折线长的极限定义的
[1-3]
．针对学生关于弧长元素极坐标公式的疑问
第 33 卷 第 3 期 2013 年 5月
高 师 理 科 学 刊 Journal of Science of Teachers′College and University
Vol. 33 No.3 May 2013
文章编号：1007-9831（2013）03-0009-03
平面曲线弧长极坐标公式探讨
ds 2 ( ) ( ) d
2
从而所求弧长为 s
2 ( ) ( ) d
2
（1）
2 关于弧长元素极坐标公式的疑问
平面曲线弧长的极限式定义，依据一个重要的极限 lim
收稿日期：2013-01-15 作者简介：陆小庆（1984-） ，女，江苏南京人，助教，硕士，从事应用数学研究．E-mail：luxiaoqing1984@126.com
1 ，因此公式（2）的推导有误． MM 定积分的应用，一定要注意总量分割后选取的近似量是否在分割无限加细时趋向于总量，否则就会出 现错误的结论．在教学过程中，既应鼓励学生对书上的知识展开自我思考，也应注意培养学生证明想法可 行的严谨精神，才能达到真正学有所得的目的．
时，才能保证 lim
MM
2
关键词：平面曲线；弧长；极坐标 中图分类号：O172 文献标识码：A
doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2013.03.004
The discussion of the arc length formula of a curve in plane in polar coordinates
陆小庆 ，颜超 ，孔倩
1 1 2
（1. 解放军理工大学 理学院，江苏 南京 211101；2. 南京农业大学 工学院，江苏 南京 210031）
摘要：平面曲线弧长的计算是定积分在几何上一个非常重要的应用．通过计算与证明相结合，说 明弧长元素的极坐标公式只能为 ds 2 ( ) ( ) d ，而不能为 ds ( )d ．
MM
Baidu Nhomakorabea
2
(2 2 ( ) 2 ( ) ( ) )(1 cos ) ( ( ) ) 2 lim lim 0 0 ( ( ) ) 2
2
4( 2 ( ) ( ) ( ) )sin 2 ( ( ) ) 2
π 的一段弧（见图 2）的长度． 2 π π π π π π 2 解 因为 0 ，所以 s1 2 2 ( ) ( ) d 2 12 02 d ， s2 2 ( )d 2 1d , 0 0 0 0 2 2 显然，由公式（1） 、 （2）都计算得到了正确的弧长． 1 π 例 2 计算直线 上相应于 0 的一段弧（见图 3）的长度． cos sin 2 π π sin cos 1 2 解 因为 ，所以 s1 2 2 ( ) ( ) d 2 2 d ． 0 0 1 sin 2 1 sin 2 π π 1 du du 1 令 u tan ， 则 s1 2 2 2 ，s2 2 ( )d 2 d . 2 2 0 0 cos sin 0 0 (u 1) 2u 1 u 1 1 u2 1 1 1 2du du 2 令 u tan ，则 s2 2 ln(3 2 2) ，显然， s2 的计算结果 2 2 0 1 u 0 (u 1) 2 2 2 2 2u 1 u 1 u2 1 u2 有误．
Abstract：One of the most important applications of integrals is to calculate the arc length of a curve in plane．The calculation and proof indicated that the formula of the element of arc length in polar coordinates can only be ds
2
( ( ) ) 2
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ( )) 2 1 lim lim 其中： 介于 和 之间， 只有当 lim '( ) 0 ， 2 0 0 0 ( ) ( )
0
参考文献：
[1] 同济大学数学系．高等数学（上）[M]．6 版．北京：高等教育出版社，2007 [2] 陈纪修，於崇华，金路．数学分析（上）[M]．北京：高等教育出版社，2002 [3] James Stewart．Calculus Early Transcendentals[M]．6th ed．New Yourk：Thomson Higher Education，2008 [4] 罗永超, 傅文德. 用定积分求平面曲线弧长公式教学设计与实践[J]．黔东南民族师范高等专科学校学报，2006, 24（6） ： 10-11 [5] 卢跃奇．求平面曲线弧长需要注意的一个问题[J]．科教文汇，2008（74） ：270-271
LU Xiao-qing ，YAN Chao ，KONG Qian
1 1 2
（1. School of Science，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，China； 2. School of Engineering，Nanjing Agricultural University，Nanjing 210031，China）
例 1 计算半径为 1 的圆上相应于 0
y
1(0 0.5π)
y
1 (0 0.5π) cos sin
O O
x
O
x
图 2 例 1 图示
图 3 例 2 图示
例 1~2 表明，公式（2）只在特殊的情况下能够得到正确的弧长．
4 公式（2）的出错原因
例 2 的计算结果表明，公式（2）并不能作为曲线弧长的计算公式．从推导过程来看，公式（2）的成
（上接第６页） 由于级数 K x (t )
αZ n
D α K x ( x0 ) ) 都收敛，因此每一个函数 f H K 是实解 (t x0 )α 对任意的 t U ( x0 r α
证毕．
收敛的． 析的，且是以半径 r
参考文献：
[1] Hastie T，Tibshirani R，Friedman J．The Elements of Statisical Learning[M]．New York：springer-verlag，2001 [2] 孙红卫，于朝霞．Mercer 定理的推广[J]．济南大学学报：自然科学版，2004，18（3） ：280-282 [3] Cucker F，Zhou D X．Learning Theory：An Approximation Theory Viewpoint[M]．Cambridge：Cambridge University Press，2007 [4] Smale S，Zhou D X．Learning theopry estimates via integral operators and their approximations[J]．Constr Approx，2007（26）： 153-172 [5] Xiao Q W，Zhou D X．Learning by nonsymmetric kernels with data dependent spaces and 1-regularizer[J]．Taiwanese Journal of Mathematics，2010，14（5）：1821-1836 [6] Sun H W， Wu Q． A note on application of intergral operator in learning theory[J]． Appl Comput Harmonic Anal， 2009 （3） ： 416-421 [7] 郭芹，孙红卫．基于弱相关抽样的系数正则化的一致性分析[J]．济南大学学报：自然科学版，2010，24（1） ：99-103
MM 1 （见图 1） ．教学过程中有学生提出， 0 MM
10
高 师 理 科 学 刊
第 33 卷
在极坐标情况下，因为圆弧 MM 可用 ( ) 简单表示．因此， 就可得到如下 若用圆弧 MM 代替线段 MM 来逼近曲线弧 MM ， 的计算结果：
y
M
ds ( ) ，即 ds ( )d ，则 d
s ( )d
O
x
图 1 平面曲线弧段的近似替换 （2）
公式（2）与教科书上的结果不符．
3 两个计算实例
为说明公式（2）的错误性，首先看两个计算实例．不妨将用公式（1）计算所得弧长记为 s1 ，将用公 式（2）计算所得弧长记为 s2 ．
第3期
陆小庆，等：平面曲线弧长极坐标公式探讨
11
2 2
MM MM MM MM 立，需要极限 lim lim lim 1 成立，但是可以证明： lim 0 MM 0 MM 0 MM MM 0 MM 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )cos ( ( ) ( ) )2 2 ( ) 2( ( ) ( ) ) ( )cos lim lim 0 0 ( ( ) )2 ( ( ) )2
s MM MM MM ( ) lim lim 0 0 MM 0 MM
lim
0
M
( )
lim
MM MM
( ) ( )
从而得到的弧长元素的计算公式
2
[4-5]
，采
用计算与证明相结合的方式，指出只能用 ds 2 ( ) ( ) d 表示弧长元素，而不能为 ds ( )d ．
1 平面曲线弧长的定义与弧长元素的极坐标公式
高等数学中，通过在曲线弧上取分点，依次连接相邻的分点得一折线，考查当分点的数目无限增加且 每个小段弧都缩向一点时折线长的极限来定义弧长．若极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长．若曲线弧 由极坐标方程 ( )( ) 给出，其中 ( ) 在 [ , ] 上具有连续导数，则弧长元素为
2 ( ) ( ) d ，not be ds ( )d ．
2
Key words：a curve in plane；arc length；polar coordinates 平面曲线的弧长是通过内接折线长的极限定义的
[1-3]
．针对学生关于弧长元素极坐标公式的疑问
第 33 卷 第 3 期 2013 年 5月
高 师 理 科 学 刊 Journal of Science of Teachers′College and University
Vol. 33 No.3 May 2013
文章编号：1007-9831（2013）03-0009-03
平面曲线弧长极坐标公式探讨
ds 2 ( ) ( ) d
2
从而所求弧长为 s
2 ( ) ( ) d
2
（1）
2 关于弧长元素极坐标公式的疑问
平面曲线弧长的极限式定义，依据一个重要的极限 lim
收稿日期：2013-01-15 作者简介：陆小庆（1984-） ，女，江苏南京人，助教，硕士，从事应用数学研究．E-mail：luxiaoqing1984@126.com
1 ，因此公式（2）的推导有误． MM 定积分的应用，一定要注意总量分割后选取的近似量是否在分割无限加细时趋向于总量，否则就会出 现错误的结论．在教学过程中，既应鼓励学生对书上的知识展开自我思考，也应注意培养学生证明想法可 行的严谨精神，才能达到真正学有所得的目的．
时，才能保证 lim
MM
2
关键词：平面曲线；弧长；极坐标 中图分类号：O172 文献标识码：A
doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2013.03.004
The discussion of the arc length formula of a curve in plane in polar coordinates
陆小庆 ，颜超 ，孔倩
1 1 2
（1. 解放军理工大学 理学院，江苏 南京 211101；2. 南京农业大学 工学院，江苏 南京 210031）
摘要：平面曲线弧长的计算是定积分在几何上一个非常重要的应用．通过计算与证明相结合，说 明弧长元素的极坐标公式只能为 ds 2 ( ) ( ) d ，而不能为 ds ( )d ．
MM
Baidu Nhomakorabea
2
(2 2 ( ) 2 ( ) ( ) )(1 cos ) ( ( ) ) 2 lim lim 0 0 ( ( ) ) 2
2
4( 2 ( ) ( ) ( ) )sin 2 ( ( ) ) 2
π 的一段弧（见图 2）的长度． 2 π π π π π π 2 解 因为 0 ，所以 s1 2 2 ( ) ( ) d 2 12 02 d ， s2 2 ( )d 2 1d , 0 0 0 0 2 2 显然，由公式（1） 、 （2）都计算得到了正确的弧长． 1 π 例 2 计算直线 上相应于 0 的一段弧（见图 3）的长度． cos sin 2 π π sin cos 1 2 解 因为 ，所以 s1 2 2 ( ) ( ) d 2 2 d ． 0 0 1 sin 2 1 sin 2 π π 1 du du 1 令 u tan ， 则 s1 2 2 2 ，s2 2 ( )d 2 d . 2 2 0 0 cos sin 0 0 (u 1) 2u 1 u 1 1 u2 1 1 1 2du du 2 令 u tan ，则 s2 2 ln(3 2 2) ，显然， s2 的计算结果 2 2 0 1 u 0 (u 1) 2 2 2 2 2u 1 u 1 u2 1 u2 有误．
Abstract：One of the most important applications of integrals is to calculate the arc length of a curve in plane．The calculation and proof indicated that the formula of the element of arc length in polar coordinates can only be ds
2
( ( ) ) 2
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ( )) 2 1 lim lim 其中： 介于 和 之间， 只有当 lim '( ) 0 ， 2 0 0 0 ( ) ( )
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参考文献：
[1] 同济大学数学系．高等数学（上）[M]．6 版．北京：高等教育出版社，2007 [2] 陈纪修，於崇华，金路．数学分析（上）[M]．北京：高等教育出版社，2002 [3] James Stewart．Calculus Early Transcendentals[M]．6th ed．New Yourk：Thomson Higher Education，2008 [4] 罗永超, 傅文德. 用定积分求平面曲线弧长公式教学设计与实践[J]．黔东南民族师范高等专科学校学报，2006, 24（6） ： 10-11 [5] 卢跃奇．求平面曲线弧长需要注意的一个问题[J]．科教文汇，2008（74） ：270-271
LU Xiao-qing ，YAN Chao ，KONG Qian
1 1 2
（1. School of Science，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，China； 2. School of Engineering，Nanjing Agricultural University，Nanjing 210031，China）
例 1 计算半径为 1 的圆上相应于 0
y
1(0 0.5π)
y
1 (0 0.5π) cos sin
O O
x
O
x
图 2 例 1 图示
图 3 例 2 图示
例 1~2 表明，公式（2）只在特殊的情况下能够得到正确的弧长．
4 公式（2）的出错原因
例 2 的计算结果表明，公式（2）并不能作为曲线弧长的计算公式．从推导过程来看，公式（2）的成
（上接第６页） 由于级数 K x (t )
αZ n
D α K x ( x0 ) ) 都收敛，因此每一个函数 f H K 是实解 (t x0 )α 对任意的 t U ( x0 r α
证毕．
收敛的． 析的，且是以半径 r
参考文献：
[1] Hastie T，Tibshirani R，Friedman J．The Elements of Statisical Learning[M]．New York：springer-verlag，2001 [2] 孙红卫，于朝霞．Mercer 定理的推广[J]．济南大学学报：自然科学版，2004，18（3） ：280-282 [3] Cucker F，Zhou D X．Learning Theory：An Approximation Theory Viewpoint[M]．Cambridge：Cambridge University Press，2007 [4] Smale S，Zhou D X．Learning theopry estimates via integral operators and their approximations[J]．Constr Approx，2007（26）： 153-172 [5] Xiao Q W，Zhou D X．Learning by nonsymmetric kernels with data dependent spaces and 1-regularizer[J]．Taiwanese Journal of Mathematics，2010，14（5）：1821-1836 [6] Sun H W， Wu Q． A note on application of intergral operator in learning theory[J]． Appl Comput Harmonic Anal， 2009 （3） ： 416-421 [7] 郭芹，孙红卫．基于弱相关抽样的系数正则化的一致性分析[J]．济南大学学报：自然科学版，2010，24（1） ：99-103
MM 1 （见图 1） ．教学过程中有学生提出， 0 MM
10
高 师 理 科 学 刊
第 33 卷
在极坐标情况下，因为圆弧 MM 可用 ( ) 简单表示．因此， 就可得到如下 若用圆弧 MM 代替线段 MM 来逼近曲线弧 MM ， 的计算结果：
y
M
ds ( ) ，即 ds ( )d ，则 d
s ( )d
O
x
图 1 平面曲线弧段的近似替换 （2）
公式（2）与教科书上的结果不符．
3 两个计算实例
为说明公式（2）的错误性，首先看两个计算实例．不妨将用公式（1）计算所得弧长记为 s1 ，将用公 式（2）计算所得弧长记为 s2 ．
第3期
陆小庆，等：平面曲线弧长极坐标公式探讨
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MM MM MM MM 立，需要极限 lim lim lim 1 成立，但是可以证明： lim 0 MM 0 MM 0 MM MM 0 MM 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )cos ( ( ) ( ) )2 2 ( ) 2( ( ) ( ) ) ( )cos lim lim 0 0 ( ( ) )2 ( ( ) )2